Matériaux de construction 1

Mise à jour : 09 - 2015
UNITE D’ENSEIGNEMENT
Domaine de compétences :
Maîtrise des outils scientifiques de l’ingénieur
Unité d’enseignement : OS-1
Crédits ECTS : 12
ELEMENT CONSTITUTIF DE L’UNITE D’ENSEIGNEMENT
Matière : CALCUL DIFFERENTIEL
Module : OS–1-2
Professeur : GUILLERMIN Bruno
Langue d’enseignement : Français
ème
Niveau : Licence
Année d’études : 3
Semestre: 5
Classe : B1
Code : 5
Coefficient : 2
N° : 0904
PREREQUIS
COMPETENCES A L’ISSUE DE L’ENSEIGNEMENT / RESULTATS DE
FORMATION (en termes de savoir, savoir-faire et savoir-être)
Les compétences à acquérir couvrent la connaissance et la compréhension de notions
mathématiques utilisées dans différentes disciplines de la Physique mais aussi des bases permettant
l’accès à la géométrie différentielle au calcul sur les variétés différentiables mais aussi à l’ensemble
les disciplines de la physique.
Ce cours permet aux étudiants d’assimiler les notions de géométrie couramment utilisées et intervient
en complément des deux autres cours de mathématiques de première année de la présentation des
méthodes mathématiques de la physique.
Comme pour les autres cours de mathématiques, ce cours doit permettre une bonne compréhension
et utilisation des notions et par ce fait de développer l’esprit critique de l’étudiant.
CONTENU DE L’ENSEIGNEMENT
Espaces Euclidiens
-
Systèmes de coordonnées.
Changement de coordonnées.
Espace euclidien (Courbe dans l'espace euclidien - Formes quadratiques et vecteurs).
Espaces riemanniens (Métrique riemannienne).
Théorie des surfaces
-
Géométrie sur une surface dans l'espace (Coordonnées sur une surface - Plan tangent Première forme fondamentale - Aire d'une surface).
Version Octobre 2012
Deuxième forme fondamentale (Courbure des courbes sur une surface – Courbures et
directions principales – Courbure totale et courbure moyenne d’une surface).
-
Tenseurs
-
Exemples de tenseurs.
Définition générale d'un tenseur.
Opérations algébriques sur les tenseurs (Permutation d'indices - Contraction des indices Produit tensoriel).
Tenseurs de l'espace riemannien (Tenseurs dans l'espace riemannien - Montée et descente
d'indices - Valeurs propres d'une forme quadratique – symétrie et antisymétrie).
Effets d'une application sur les tenseurs (Opération générale de restriction des tenseurs à
indices inférieurs - Application des espaces tangents).
Calcul différentiel sur les tenseurs
-
Dérivation covariante (Connexion euclidienne - Dérivation covariante de tenseurs de rang
quelconque - Dérivation et métrique - Transport parallèle de vecteurs - Géodésiques Connexions associées à la métrique).
-
Tenseurs de type (0,k) (Notation différentielle des tenseurs à indices inférieurs - Tenseurs
alternés de type (0,k) - Produit extérieur de deux formes différentielles - Algèbre extérieure).
Calcul différentiel sur les tenseurs alternés (Gradient d'un tenseur alterné - Différentielle
extérieure d'une forme).
Tenseurs alternés et théorie de l'intégration (Intégration des formes différentielles - Formule de
Stokes).
-
METHODES PEDAGOGIQUES
Le cours se déroule sous la forme de 9 cours de 1h30 dispensés en amphithéâtre et de 3 applications
de 2h30 se situant à la fin des différentes étapes du cours. Afin de soutenir la cours magistral, les
élèves disposent d’un polycopié distribué dès le premier cours.
Les cours magistraux permettent de présenter les différentes notions que l’on retrouve de façon
classique dans toutes les disciplines de la physique des milieux continus en en présentant l’approche
mathématique. Ce cours doit permettre de mieux comprendre et maitriser les notions développées
dans les autres disciplines et permet aux élèves de pouvoir appréhender les notions utilisées dans le
cadre de la géométrie différentielle et l’étude des variétés.
Les applications permettent d’illustrer les différentes notions vues en cours en proposant des
exercices. Ces travaux dirigés effectués en groupes plus réduits permettent aux élèves de vérifier leur
compréhension des notions du cours et leur assimilation. Une partie de l’application est consacrée au
contrôle continu sous la forme d’une interrogation écrite sur les sujets travaillés pendant la séance.
DEROULE PEDAGOGIQUE (nombre de cours, d’applications, visite…)
9 cours de 1h30
3 applications de 2h30
EVALUATION (type, durée,…)
Une note de synthèse basée principalement sur les notes d’application.
Une composition d’une durée de 3 heures
Version Octobre 2012
SUPPORT DE COURS - BIBLIOGRAPHIE
Un polycopié de cours
« Leçons sur la Géométrie des espaces de Riemann » E. CARTAN, Éditions Gauthier-Villars.
« Systèmes différentiels et systèmes extérieurs » E. CARTAN, Éditions Hermann.
« Eléments de calcul tensoriels » A. LICHNEROWICZ, Éditions Armand Colin.
« Géométrie différentielle et systèmes extérieurs » Y. CHOQUET-BRUHAT, Éditions Dunod.
« Compléments de mathématiques » A. ANGOT, Éditions Masson.
« Leçons de géométrie » M. POSTNIKOV, Éditions MIR.
« Applications of tensor analysis » A.J.MC CONNELL, Dover publications inc.
« Algèbre multilinéaire et géométrie différentielle » G. LEGRAND, Editions Masson.
« Géométrie contemporaine » B. DOUBROVINE S. NOVIKOV A. FOMENKO, Éditions MIR.
« Géométrie différentielle » J. LELONG-FERRAND, Éditions Masson.
« Tensor, differential forms and variational principles » D. LOVELOCK H. RUND, ÉditionsJohn Wiley &
sons.
« Le Géométricon » J.P. PETIT
s’ajoute à cette bibliographie la possibilité de consulter sur internet les nombreux sites mathématiques
traitant des sujets du cours.
Version Octobre 2012