Examen blanc assurance et gestion des risques

Examen blanc assurance et gestion des risques
Mickaël Clévenot
17 mars 2014
1
Questions de cours pour tous
Question 1) Il sera demandé aux étudiants de rappeler l’un des axiomes de la
méthodologie développée par Von Neumann et Morgenstern.
Question 2) En quoi la théorie de l’assurance constitue-t-elle une discipline hybride ?
Question 3) Ordinalité vs. Cardinalité ?
Question 4) Pourquoi seules les transformations affines positives permettent de
conserver la cardinalité des fonctions d’utilité ?
Question 5) Définition littéraire, équation et représentation graphique du comportement d’un agent risquophile, neutre au risque ou risquophobe ?
Question 6) Responsabilité civile et pénale dans le cadre de l’assurance ?
Question 7) Qu’est-ce qu’un bien assurable ?
Question 8) Définition du contrat d’assurance ?
Question 9) Principe indemnitaire, principe forfaitaire ?
Question 10) Quelles sont les trois règles qui permettent à l’assurance de fonctionner normalement et d’être rentable ?
Question 11) Quels sont les différents types d’assurance ?
Question 12) De quoi dépend le risque ?
Question 13) La notion de concavité en assurance ?
Question 14) La notion de prime de risque en assurance ?
Question 15) La notion d’équivalent certain en assurance ?
Question 16) Implications d’une assurance complète sur l’assuré et l’assurance ?
Question 17) Implication de la notion de co-assurance sur l’assuré et l’assurance ?
Question 18) Implication de la notion d’auto-assurance et d’auto-protection ?
Question 19) Implication de la notion de prévention en assurance ?
Question 20) Aléas moral/risque adverse, conséquences sur l’activité d’assurance ?
Question 21) Méthodologie de Markowitz appliquée à l’assurance ?
Question 22) A quoi sert le coefficient de sécurité en assurance ?
Question 23) Sensibilité, équation, et implication pour l’assurance ?
Question 24) Caractéristiques de l’assurance vie ?
Question 25) Pourquoi et comment l’assureur sélectionne les risques ?
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Exercices pour juristes et économistes
Exercice 1 : La construction d’une fonction d’utilité
Une compagnie d’assurance souhaite lancer un nouveau produit de placement.
Pour l’établir au mieux elle a besoin de connaitre la fonction d’utilité des clients
susceptibles de réaliser ce type de placement. Elle adresse à un client représentatif
un questionnaire pour connaı̂tre son attitude face au risque. Ce client dispose de
200 000 euros, s’il place cet argent auprès de l’assurance, il peut perdre tout son
argent, ou gagner 600 000.
Placement risqué (unité : euros)
États du monde Probabilité d’occurrence Gains (+) ou Pertes(-)
E1
0.15
0
E2
0.25
200 000
E3
0.35
350 000
E4
0.25
500 000
Premièrement vous rappellerez l’axiome de continuité et expliquerez comment il
intervient dans la définition de la fonction d’utilité de Von Neumann Morgenstern.
(2 points)
A partir de ces gains ou pertes, il est demandé à l’agent de définir les probabilités associées à ces différentes loteries pour lesquelles il accepterais de placer son
argent. Autrement dit, pour quelle association de loterie, il serait indifférent entre
accepter la loterie de loterie pondérée ou accepter un certain montant d’argent. Pour
cela, l’assurance demande les probabilités associées aux loteries pour des montants
intermédiaires afin de pouvoir construire une courbe d’utilité en univers incertain.
L’agent précise que pour :
–
–
–
–
la
la
la
la
première loterie π = 0.53
seconde loterie π = 0.30
troisième loterie π = 0.09
quatrième loterie π = 0.02
A partir de ces informations vous tracerez la fonction Von-Neumann Morgenstern
de l’agent à l’aide du repère ci-dessous. Vous présenterez les calculs et commenterez
la forme de la courbe d’utilité.
(2 points)
2
Figure 1 – Les différentes loteries
Exercice 2 : Calcul et définition de l’équivalent certain
Rappelez la définition de l’équivalent certain(Formule et explication).
(2 points)
Exercice 3 : Prix de vente et prix d’achat du risque
Prix de vente
Un agent possède une richesse de 10 000 euros ainsi qu’un billet de loterie qui peut
rapporter 2 000 euros avec une probabilité de 1/2. A quel prix sera-t-il prêt à se
séparer de son billet de loterie si sa fonction d’utilité est de la forme suivante :
p
U = Ln(W ) ou, U = W 2 ou encore, U = (W )
3
Figure 2 – Repère
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
−200 −150 −100 −50
0
50
100
150
4
200
250
300
350
400
450
500
550
600
Prix d’achat du risque :
Le billet vaut 10 euros, la richesse initiale de l’agent est de 10 000. La probabilité
de gagner est de 1/10000, le gain est de 80 000 euros. La fonction d’utilité de l’agent
est de la forme U = Ln(W ). Est-ce que l’agent achète la loterie ?
Exercice 4 : Définition et application de la prime de risque
Définissez la prime de risque et donnez en la représentation formelle.
(1,5 points)
Si on a la loterie suivante : L(2000, 0; 12 , 21 ), avec un niveau de richesse initiale de
10 000, déterminer la prime de risque en fonction des 3 fonctions d’utilité U (W ) =
Ln(W ), U (W ) = W 2 , U (W ) = W 1/2 .
(3 points)
Exercice 5 Application du coefficient de ruine
Rappeler la définition du coefficient de ruine générale et en effectif limité. En
quoi, il permet d’expliquer l’importance des fonds propres réglementaires ? Si l’assurance dispose de 100 000 de fonds propres, qu’elle compte 150 000 assurés, avec
un taux de chargement de 10% montant moyenne des sinistres de 200 euros et pour
un écart-type de 1000 euros. Quel sera le coefficient de sécurité ? Quelle sera la probabilité de ruine dont vous rappellerez la formule. Si on souhaite avoir un risque de
défaut équivalant à 1 % qu’elle devrait être le niveau du coefficient de sécurité ? Par
conséquent quel devrait être le montant des fonds propres de l’assurance ? Quels
autres moyens pourrait mobiliser l’assurance pour accroı̂tre sa sécurité sans augmenter ses immobilisation ?
(3 points)
5
2.1
Exercice 6 Assurance Vie non résolu
2.2
Exercice 7 calcul des espérances et variances en fonction
des types d’assurance
2.3
Exercice 8 Calculs de la sensibilité, duration
3
Exercices uniquement pour les économistes
3.1
Calculs des primes optimales en assurances complète et
incomplète
3.2
Prime de risque à la Arrow Pratt
4
Correction
Figure 3 – Correction fonction VN-M
E2 Définition de l’équivalent certain. L’équivalent certain est le montant
w∗ sûr et certain qui procure la même utilité que la richesse finale risquée (c-à-d la
richesse initiale w0 et la loterie x̃ )
En équation cela donne :
u(w∗ ) = Eu(w˜f ) = Eu(w0 + x̃)
(1)
La richesse initiale vaut : w0 = 10000
La loterie x̃ = L(2000, 0; 1/2, 1/2) On veut que l’utilité procurer par le montant de
6
l’équivalent certain soit égale à l’utilité procure par le montant de richesse procurée
par la richesse finale aléatoire.
u(w∗ ) = Eu(w˜f ) = Eu(w0 + x̃) Ln(w∗ ) = 1/2 ·Ln(10000+2000)+ 1/2Ln(10000) = 9.3
⇒ w∗ = e9.3 = 10954, 45
E3 Prix de vente et d’achat du risque
Le prix de vente de la loterie pv est obtenu par la différence entre le montant de
l’équivalent certain w∗ et le montant de la richesse initiale w0 . Renoncer à la loterie
revient à se priver de (w∗ − w0 ). On la vue dans l’exercice précédant la valeur de
l’équivalent certain est de 10954,45 la richesse initiale de 10 000, donc le prix de
vente du billet est de 954.45 euros.
Dans le cas d’une fonction d’utilité puissance 2, il est nécessaire de recalculer le
montant de l’équivalent certain.
u(w∗ ) = 1/2 · (10000 + 2000)2 + 1/2 · (10000)2 = 122000000
⇒ w∗ =
√
122000000 = 11045, 36
Le prix de vente de la loterie vaut donc (w∗ − w0 ) : 11045, 36 − 10000 = 1045, 36
Dans le cas d’une fonction d’utilité racine carrée, il est nécessaire de recalculer
le montant de l’équivalent certain.
u(w∗ ) = 1/2 · (10000 + 2000)(1/2) + 1/2 · (10000)(1/2) = 104, 77
⇒ w∗ = 104, 772 = 10977, 22
Le prix de vente de la loterie vaut donc (w∗ − w0 ) : 10977, 22 − 10000 = 977, 22
Le prix d’achat des loteries :
L’agent achètera le billet si et seulement si l’utilité procurée par le montant de
l’équivalent certain est supérieur ou égal à l’utilité procurer par sa richesse initiale.
Le billet vaut 10 euros, sa richesse initiale est de 10 000 et la probabilité de gagner
est de 1/10000 le gain est de 80 000 euros.
L’équivalent certain vaudra :
u(w∗ ) = Eu(w̃f ) = Eu(w0 + x̃)
u(w∗ ) = (1/10000) · Ln(10000 − 10 + 80000) + (1 − 1/10000) · Ln(10000 − 10) = 10095, 31
u(w∗ ) = (1/10000) · Ln(89990) + (1 − 1/10000) · Ln(9990) = 9992, 19euros
Comme l’équivalent certain est inférieur à sa richesse initiale, il n’achètera pas le
billet.
7
Prime de risque
La prime correspond un montant qu’est prêt à payer un agent adverse au risque pour
limiter ce risque. La prime de risque indique la quantité de risque qu’un individu
perçoit dans la loterie x̃ . Il s’agit donc de la différence entre l’espérance de la loterie
et le prix de vente de la loterie.
La prime de risque est le montant qui une fois retirer à la richesse finale certaine
donnera la même utilité que la richesse finale aléatoire. Cette prime correspond donc
au risque perçu sur une loterie pour un agent. La prime correspond à la différence
entre l’espérance de gain de la loterie et le prix de vente de la loterie.
U (x̄ − P ) = Eu(U (x̃)) ⇔ Π(w0 , x̃) = E(x̃) − Pv (w0 , x̃)
Pv1 = 1045.36 ; Pv2 = 954.45 ; Pv3 = 977.36
E(x̃) = 1/2 ∗ 2000 + 1/2 ∗ 0 = 1000
Prime1 = 1000 - 954.45 = 45.55
Prime2 = 1000 - 1045,36 = - 45.36
Prime3 = 1000 - 977.36 = 22.64
On peut se rendre compte qu’il y a agent risquophile dont la fonction d’utilité x2 est
concave. Sa prime de risque est donc négative. Pour les primes 1 et 3, les fonctions
sont concaves, et les agents sont risquophobes, les primes de risques positives.
On peut rappeler que l’assurance dans le cadre de ce cours est supposée être neutre
au risque. On peut considérer que les marchés financiers constituent un marché du
risque sans lesquels la fonction d’assurance aurait plus de difficulté à être réalisée
car ils jouent le rôle de contrepartie avec une attitude au risque spécifique. Ils sont
risquophiles.
Exo5 Formule générale et formule avec effectif réduit :
β = K+λ·P
σ
√
β = K+n·λ·P
calcul de β et de la probabilité de ruine.
σ· n
β=
Le risque de défaut =
100000+150000·0.1·200
√
1000· 150000
= 8.00
1
β2
1/82 = 1.5%
Il faut que β12 = 0.01 Pour cela il assez évident qu’il faut β = 10. Cela implique la
√
résolution de cette équation : K+150000·0.1·200
= 10
1000· 150000
√
K = 10 · (1000 · 150000) − (150000 · 0.1 · 200) ⇒ 872983.346
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