Feuille 5

GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE ET ESPACES DE MODULES FEUILLE D’EXERCICES 5
ANDREAS HÖRING
1.) Fibrés vectoriels stables sur Pn
On travaille sur un corps k algébriquement clos.
(a) Montrer que pour un faisceau cohérent sans torsion sur Pn , la notion de
µ-(semi)stabilité ne dépend pas de la polarisation.
Montrer que ceci est faux pour une variété projective lisse X arbitraire (indication : on pourra choisir X = P1 × P1 ).
(b) Montrer qu’un faisceau localement libre F sur P1 est stable si et seulement
si F est de rang un. Donner et démontrer l’énoncé analogue pour la semistabilité.
(c) Soit F → OPdn un sous-faisceau de rang r tel que OPdn /F est sans torsion.
Montrer que si c1 (F) = 0, alors F est isomorphe à OP⊕r
n .
Indication : le point crucial est de montrer
que
F
est
un sous-fibré. Commencer
Vr d
par montrer que l’application det F →
OPn est de rang un en tout point. L’inclusion F → OPdn définit une application rationelle de Pn vers une Grassmannienne
G(r, d). Utiliser le plongement de Plücker pour montrer que cette application est
régulière.
(d) Montrer que le fibré tangent de Pn est stable.
Indication : considérer la suite d’Euler tordue
0 → ΩPn (1) → OPn+1
→ OPn (1) → 0
n
Si F est un sous-faisceau de ΩPn (1) tel que ΩPn (1)/F est sans torsion, noter que
c1 (F) = d avec d ≤ 0. Exclure le cas d = 0 en utilisant la question précédente.
2.) Lemme de Cartier
Soit G = Spec S un groupe algébrique affine qui agit sur un schéma affine
X = Spec V . Notons X × G → X l’action de groupe et V → V ⊗ S le morphisme
dual de k-algèbres. On appelle représentation duale la représentation induite par
V → V ⊗ S. Montrer que V est une union de sous-espaces vectoriels G-invariants
de dimension finie sur k.
3.) Diviseurs de P1
On travaille sur un corps k algébriquement clos. Fixons un entier d et considérons
l’espace projectif X := P(H 0 (P1 , OP1 (d))) paramétrant les diviseurs effectifs de
degréP
d sur P1 . Le groupe SL(2) agit sur P1 et donc sur X. Soit D ∈ X, notons
D = i ai Pi avec Pi ∈ P1 des points fermés et ai ∈ N.
Montrer que D ∈ X est un point semistable pour l’action de SL(2) si et seulement
si ai ≤ d2 pour tout i. Montrer que D est stable si et seulement si on a l’inégalité
stricte.
Date: 12 février 2008.
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