Corrigé, bac S, mathématiques

Corrigé, bac S, mathématiques
jeudi 21 juin 2012
Exercice 1
4 points
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ;~ı ; ~).
On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle [−3 ; 2].
On dispose des informations suivantes :
• f (0) = −1.
• La dérivée f 0 de la fonction f admet la courbe représentative C 0 ci-dessous.
~
O
~ı
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Pour tout réel x de l’intervalle [−3 ; −1], f 0 (x) 6 0.
VRAI, la courbe de f 0 se trouve en dessous de l’axe des abscisses sur cet intervalle.
2. La fonction f est croissante sur l’intervalle [−1 ; 2].
VRAI, la courbe de f 0 se trouve au dessus de l’axe des abscisses sur cet intervalle, f 0 x) > 0 sur [−1 ; 2]
la fonction f est ainsi croissante sur [−1 ; 2].
3. Pour tout réel x de l’intervalle [−3 ; 2], f (x) > −1.
FAUX. Si l’on fait un tableau de variations, on voit que le minimum est atteint pour x = −1 et, du fait
que la fonction f est croissante sur [−1 ; 2], on a −1 < 0 =⇒ f (−1) < f (0) = −1.
x
−3
f 0 (x)
−1
−
0
2
+
0
.
.
f (x)
f (−1)
−1
4. Soit C la courbe représentative de la fonction f .
La tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1 ; 0).
VRAI. Par lecture sur le graphique, on voit que f 0 (0) = 1. On calcule l’équation de la tangente au point
d’abscisse 0 : y − (−1) = 1(x − 0) ⇐⇒ y = x − 1. Elle passe par le point de coordonnées (1 ; 0).
1
Exercice no 2
5 points
Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue
est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40% des dossiers reçus
sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue
duquel 70% d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur
des ressources humaines qui recrutera 25% des candidats rencontrés.
1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat ;
On considère les événements suivants :
D : « Le candidat est retenu sur dossier »,
E1 : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien »,
E2 : « Le candidat est recruté ».
a) Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
0, 25
0, 7
E1
0, 75
D
0, 4
.
E2
E2
0, 3
E1
0, 6
D
b) Probabilité de l’événement E1 :
p(E1 ) = p(E1 ∩ D) + p(E1 ∩ D) = p(E1 ∩ D) = p D (E1 ) × p(D) = 0, 7 × 0, 4 = 0, 28
| {z }
=0
c) On note F l’événement « Le candidat n’est pas recruté ». Probabilité de l’événement F :
p(F) = p(D) + p(E1 ∩ D) + p(E2 ∩ E1 )
= p(D) + p D (E1 ) × p(D) + p E1 (E2 ) × p(E1 )
= 0, 6 + 0, 3 × 0, 4 + 0, 75 × 0, 28 = 0, 93
Donc, la probabilité que le candidat soit recruté est égal à 0, 07.
2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites
indépendamment les unes des autres. on admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est
égal à 0, 07.
On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.
a) Chaque événement est indépendant des autres. Il n’y a que deux issues et on répète chaque
événement cinq fois.
La probabilité du succès est p = 0, 07, le nombre d’événement est n = 5. Nous sommes bien en
présence d’une loi binomiale de paramètre n = 5 et p = 0, 07.
2
b) Probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés :
à !
5
p(X = 2) =
(0, 07)2 × (0, 97)3 = 10 × (0, 07)2 × (0, 97)3 ' 0, 039
2
3. On considère ici une loi binomiale de paramètre n et p = 0, 07.
Nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0, 999 :
à !
n
p(X > 1) = 1 − p(X = 0) > 0, 999 ⇐⇒ 1 −
(0, 07)0 (0, 97)n > 0, 999 ⇐⇒ 1 − 0, 93n > 0, 999
0
(croissance de la fonction ln) ⇐⇒ 0, 001 > 0, 93n ⇐⇒ ln(0, 001) > n ln(0, 93)
(ln(0, 93) < 0) ⇐⇒ 95.187 '
ln(0, 001)
6n
ln(0, 93)
On prendra donc n = 96.
Exercice no 3
6 points
Partie A
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par :
f (x) =
³ x ´
1
+ ln
x +1
x +1
1. Limite de la fonction f en +∞ :
1
1
x
=1
= 0 et lim
= lim
x→+∞ x + 1
x→+∞ x + 1
x→+∞ 1
+1
x
lim f (x) = 0, car lim
x→+∞
2. Pour tout réel x de l’intervalle [1 ; +∞[ :
1
f 0 (x) = −
1
1
1
1
(x + 1)2
+
=−
+
=
>0
2
(x + 1)2
(x
+
1)
x(x
+
1)
x(x
+ 1)2
x
x +1
La dérivée est positive sur [1 ; +∞[, la fonction f y est donc croissante :
Tableau de variations de la fonction f :
x
f 0 (x)
f (x)
+∞
1
+
1
2
0
+ ln 12
f (1) = 12 + ln 21 ' −0, 193
3. La fonction f est négative sur l’intervalle [1 ; +∞[, car majorée par 0.
3
Partie B
Soit (u n ) la suite définie pour tout entier strictement positif par :
1
1 1
+ + · · · + − ln n
2 3
n
un = 1 +
1. La valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n = 3 est :
u = 1+
1 1 11
+ =
2 3
6
2. Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur u n lorsque l’utilisateur entre
la valeur de n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
VARIABLES
i EST_DU_TYPE NOMBRE
n EST_DU_TYPE NOMBRE
u EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
u PREND_LA_VALEUR 0
POUR i ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
u PREND_LA_VALEUR u+1/i
FIN_POUR
u PREND_LA_VALEUR u-log(n)
AFFICHER "u: "
AFFICHER u
FIN_ALGORITHME
3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10−3 .
n
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
1500
2000
un
0, 697
0, 674
0, 658
0, 647
0, 638
0, 632
0, 626
0, 582
0, 578
0, 578
0, 577
Conjectures :
• La suite semble être décroissante.
• Elle semble converger vers 0, 5 ? 0, 57 ?
Partie C
1. Pour tout entier strictement positif n, n > 1
1
1
1
1
1
n
u n+1 −u n = 1+· · ·+ +
−ln(n+1)−1−· · ·− +ln n =
−ln(n+1)+ln n =
+ln
= f (n)
n n +1
n
n +1
n +1
n +1
où f est la fonction définie dans la partie A.
Nous avons vu que, pour n > 1, f (n) = u n+1 − u n < 0 ; la suite est donc décroissante.
2.
a) Soit k un entier strictement positif
Inégalité :
1
1
1
1 1
1 1
6 6 ⇐⇒ − 6 0 ⇐⇒ − > 0
k +1 x
k
x k
k x
¶
Z k+1 µ
Z k+1
1 1
(par intégration) ⇐⇒
−
dx >
0 dx = 0
k x
k
k
k 6 x 6 k + 1 ⇐⇒
4
¶
· ¸k+1
Z k+1
Z k+1
Z k+1
1
1
1
1
1
1
dx > 0 =⇒
−
dx −
dx > 0 ⇐⇒
x
= >
dx
k x
k
x
k k
k
x
k
k
k
k+1 µ 1
Z
k
Ainsi :
k+1
Z
k
1
1
dx = [ln x]kk+1 = ln(k + 1) − ln k 6
x
k
(1)
b)
ln 2 − ln 1 6 1
1
ln 3 − ln 2 6
2
1
ln 4 − ln 3 6
3
··· 6 ···
1
ln(n + 1) − ln n 6
n
1 1
1
+ +···+
2 3
n
1 1
1
ln(n + 1) − ln n 6 1 + + + · · · + − ln n = u n
2 3
n
ln(n + 1) = ln(n + 1) − ln 1 6 1 +
c) La fonction ln étant croissante, ln(n + 1) > ln n ⇐⇒ ln(n + 1) − ln n > 0
Ainsi, pour tout entier strictement positif n, u n > 0.
3. La suite (u n ) étant décroissante et minorée par 0, est convergente.
Exercice no 4
5 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O ; ~
u;~
v ).
On appelle f l’application qui à tout point M d’affixe z, différente de −1, fait correspondre le point M0
1
.
d’affixe
z +1
1
1
1 1
1. Soient A, B et C les points d’affixes respectives z A = − , z B = − + i et z C = − − i.
2
2
2 2
a) Voir en fin.
b)
z A0 =
1
1
=2 ;
− +1
2
1
z B0 =
1
=
− +i+1
2
2 4
− i ;
5 5
z C0 =
1
1
1
= 1+i
− − i
2 2
c) Les points A0 , B0 et C0 ne sont pas alignés :
z B0 − z A0 =
2 4
8 4
− i−2 = − − i ;
5 5
5 5
z C0 − z A0 = 1 + i − 2 = −1 + i
−−→ −−→
Les vecteurs A0 B0 et A0 C0 ne sont pas colinéaires, (il y a un nombre impair de signes moins). Les
trois points ne sont pas alignés.
2. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z fait correspondre le point M1 d’affixe
z + 1.
¡ ¢
a) g est une translation de vecteur ~
u 10 .
b) Voir plus loin.
5
c) La droite D1 est la médiatrice du segment dont les deux extrémités sont O(0, 0) et (1, 0).
Tout point M d’affixe z de la droite D1 est donc à égale distance de ces deux points, d’où la relation |z − 1| = |z − 0| = |z|.
1
3. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, associe le point M2 d’affixe .
z
a) Nous avons, pour tout point M d’affixe z du plan :
g
h
M −→ M1 −→ M2
g
h
z −→ z 1 = z + 1 −→ z 2 =
1
1
=
= z0
z1 z + 1
Donc : h(A1 ) = A0 , h(B1 ) = B0 et h(C1 ) = C0 .
b) Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :
¯
¯ ¯
¯
¯z −1¯ ¯
|z − 1|
1 ¯¯
¯
¯
¯
|z − 1| = |z| ⇐⇒
= 1 ⇐⇒ ¯
= 1− ¯ = 1
|z|
z ¯ ¯
z
c) L’image par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C de centre le point I d’affixe 1 et le rayon
1.
4. Donc, comme le montre la question 3. a), l’image par l’application f de la droite D.
y
B
A
−1
B1
1
0
C0
A0
A1
0
1
C1
C
−1
B0
6
2
x