Théorie et pratique des champs électromagnétiques

Chapitre IV
Théorie et pratique des champs électromagnétiques
IV.1 Equations de Maxwell
Les bases de l’électrométrie sont fondées sur l’étude des lois de propagation des ondes
électromagnétiques dans un milieu hétérogène terrestre. Les équations de Maxwell constituent
la base de cette théorie :
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
;
(IV.2)
⃗
;
(IV.3)
⃗⃗
(IV.4)
où ⃗⃗ et ⃗ sont les vecteurs du champ magnétique ; ⃗ et ⃗⃗ sont les vecteurs du champ
électrique, q- la densité des charges électriques, - la densité des courants de conductivité,
est la densité du courant total.
et q sont liés par la relation :
Pour une surface S dans l’espace limitée par un contour L (fig. IV.1), on a
d’après (IV.2) :
⃗
⃗ ⃗
∬
∬
∬⃗ ⃗
⃗
où ⃗ est un vecteur normal à S et unitaire.
Fig IV.1 Schéma du principe physique
déplacement.
de la deuxième équation de Maxwell
Fig IV.2 Schéma des courants de
Selon le théorème de Stockes, l’intégrale de la partie gauche de (IV.6) peut être
transformée en intégrale curviligne sous forme :
∬
⃗ ⃗
∮⃗ ⃗
En remplaçant (IV.7) dans (IV.6), on obtient :
∮⃗ ⃗
où est un vecteur unitaire tangent à L
∬⃗ ⃗
Si le contour L est un conducteur mince, la circulation du champ électrique ⃗ par L est
la f.e.m dans cet élément, alors :
∮⃗
mais comme,
∬⃗ ⃗
où Φ est le flux magnétique à travers le contour.
En remplaçant (IV.9) et (IV.10) dans (IV.8), on trouve la f.e.m dans le contour
conducteur fermé sous la forme :
c'est-à-dire que, nous avons obtenu la loi de l’induction électromagnétique.
Calculons rot ⃗ à travers la surface S selon (IV.1) et fig (IV.1).
⃗
⃗ ⃗
∬
∬ ⃗
∬
∬ ⃗
⃗
Selon le théorème de Stockes, on a :
∫⃗
où Itot est le courant total à travers la surface
La relation (IV.12) est l’expression mathématique de la loi du courant total.
Selon (IV.11) :
⃗
∬ ⃗
∬
⃗
La première partie de (IV.13) exprime le courant conducteur I traversant le contour L,
alors que la deuxième donne le courant de déplacement. Le courant de déplacement peut être
étudié dans un circuit avec condensateurs (fig.IV.2) parcouru par un courant alternatif. Si le
circuit est entouré par un contour fermé L, on cherchera la circulation du vecteur du champ
magnétique ⃗⃗ comme suit. Selon la loi du courant total, ce dernièr est égal au flux de la
densité du courant à travers la surface S1 traversée par un conducteur électrique et la surface
S2 passant entre deux armatures d’un condensateur (fig. IV.2) :
∮⃗
∬
⃗
∬
⃗
Le courant de déplacement entre les armatures a une densité :
⃗
Ainsi, la densité du courant total
déplacement :
est la somme des densités du courant de conduction et de
La première équation de Maxwell (IV.11) montre que le courant de déplacement
engendre le champ magnétique. Rappelons que le courant de conduction est le mouvement
des charges, alors que le courant de déplacement est la variation de la vitesse du champ ⃗ .
Ces deux processus créent le champ magnétique. Les charges électriques selon la quatrième
équation de Maxwell sont les sources du champ électrique ⃗ . Cette équation est l’expression
mathématique de la loi de Coulomb :
⃗
⃗
où , est un vecteur unitaire.
Voyons maintenant le sens physique de l’équation de continuité du courant électrique
(IV.5). Pour cela, intégrons (IV.5) pour un certain volume D, limité par une surface S.
L’intégration de (IV.5) selon le théorème de Gauss-Ostrogradsky est :
∬
∭
La force du courant électrique est alors :
∬
La partie droite de (IV.17) est la variation de la charge électrique Q dans le volume V
par unité de temps :
∭
En remplaçant (IV.18a, b) dans (IV.17), on obtient :
La relation (IV.19) exprime la loi de conservation de la charge électrique.
La quatrième équation de Maxwell sera complétée par les relations entre les vecteurs
⃗ ,⃗ , ⃗ , ⃗ :
⃗
⃗
⃗
⃗
où et sont respectivement les perméabilités électrique et magnétique du milieu. La densité
du courant est proportionnelle au vecteur ⃗ :
⃗
où est la conductibilité du milieu.
La relation (IV.21) s’appelle la loi d’Ohm sous forme différentielle. L’inverse de
( ) s’appelle la résistivité ρ du milieu :
On peut facilement montrer que de (IV.21), on trouve la loi d’Ohm :
U =RI,
(IV.22)
où U- est la chute de tension entre les extrémités du conducteur cylindrique, I- l’intensité du
courant, R- la résistance du conducteur :
R = ρl/S.
(IV.23)
Ici l et S sont respectivement la longueur et la section transversale du conducteur, ρ – sa
résistivité électrique.
Si nous avons un conducteur cylindrique se trouvant dans un champ électrique
homogène E et selon (IV.21), on obtiendra :
∭
∭
où j et E sont les longueurs des vecteurs et ⃗ respectivement. En tenant compte que E et j
sont constants dans le conducteur, l’égalité (IV.24) devient :
jSl = ESl.
L’intensité du courant est :
jS = I,
(IV.25)
La chute de tension U est :
En remplaçant (IV.26) et (IV.25) dans (IV.24) et en tenant compte de (IV.23), on obtient la loi
d’Ohm (IV.22) :
Remarquons que dans les équations (IV.1)-(IV.4), on ne tient pas compte de la manière
d’excitation du courant. Les courants et les charges peuvent être produits par des forces
électromagnétiques et par des forces telles que mécaniques, chimiques et bien d’autres. Les
courants et les charges qui créent le champ électromagnétique mais qui ne dépendent pas de
lui sont appelés courants et charges externes.
En tenant compte des courants et charges externes, les équations de Maxwell
s’écrivent :
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
où et
sont respectivement les densités des courants et des charges externes, liées entre
elles par l’équation de continuité :
Les équations (IV.27c) et (IV.27d) sont les corollaires des équations (IV.27a) et
(IV.27b) et des équations de continuité (IV.5) et (IV.28).
IV.2 Conditions aux limites pour les vecteurs du champ électromagnétique
Entre les couches de la terre, les paramètres
sont variables. Alors des formules
(IV.20), (IV.21), les vecteurs de certains champs s’avèrent variables. Les conditions aux
limites sont indispensables donc pour l’étude de l’induction magnétique dans la terre.
Supposons qu’une surface partage deux milieux (i) et (i + 1) dans lesquels les
paramètres sont presque constants ou variables. Soit ⃗ la normale à la surface S. Alors, on
aura les relations suivantes :
1. Pour les composantes normales du champ :
où est la densité superficielle de la charge électrique à la frontière de S.
Par conséquent, la composante normale du champ magnétique ⃗ est continue pendant la
transition à travers la limite de séparation du milieu, alors que la composante normale du
champ électrique ⃗ est marquée par une coupure équivalente à la densité superficielle de la
charge électrique.
2. Pour les composantes tangentielles du champ ;
⃗ )]
[⃗ ( ⃗
où est la densité superficielle du courant électrique ;
⃗ )]
[⃗ ( ⃗
avec
pour les surfaces d’un conducteur idéal. Alors, pour un milieu réel (IV.31),
(IV.32), on peut écrire :
où l’indice indique la composante tangentielle à S.
A l’aide des relations (IV.29) - (IV.34) et les équations (IV.20), (IV.21), on peut
obtenir les conditions aux limites pour les composantes normale et tangentielle des vecteurs
⃗ , ⃗ , ⃗ et ⃗ .
IV.3 Champs dans un milieu homogène
Considérons comment simplifier les équations de Maxwell (IV.1) – (IV.4) pour un
⃗, ⃗
milieu homogène et isotrope (
En tenant compte que ⃗
⃗,
⃗ , on trouve :
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
En électrométrie, on écrit séparément l’équation du champ magnétique et l’équation du
champ électrique. C’est pourquoi l’on introduit l’opérateur "rot" dans (IV.35a).
⃗
⃗
⃗
de la même manière, on obtient pour (IV.35b) :
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
En introduisant la forme vectorielle dans l’équation de Maxwell (IV.37d) :
⃗
⃗
⃗
l’équation (IV.36) devient alors :
⃗
⃗
⃗
et l’équation (IV.37) devient à l’aide de (IV.35c) :
⃗
⃗
⃗
IV.4 Equation d’un champ monochromatique
On considère généralement en électrométrie la variation du champ en fonction du temps
selon la loi du sinus ou cosinus. Ce champ est alors monochromatique. Le champ
électromagnétique peut être considéré comme une superposition de champs
⃗ varie
monochromatiques ⃗⃗ . Supposons dans ce cas que chaque composante ⃗ ⃗
suivant la loi du cosinus :
⃗
(
)
où
sont les amplitudes et les phases respectives.
En utilisant la formule d’Euler, on peut transformer l’expression (IV.40) :
d’où
En tenant compte de (IV.42) et (IV.40), on peut écrire :
⃗
[(
Posons le vecteur complexe ⃗ sous la forme :
̌
⃗
alors (IV.43) devient :
⃗
⃗
*̌
Par analogie, on obtient :
⃗̌
⃗̌
⃗⃗⃗
)
+
]
⃗⃗⃗
⃗̌
̌
où
des vecteurs correspondants ⃗ ⃗ ⃗ et du scalaire .
d’où :
⃗
⃗
( ⃗̌
)
⃗
( ⃗̌
)
sont les amplitudes et les phases
( ⃗̌
)
(̌
)
En remplaçant (IV.44) et (IV.45) dans (IV.1) – (IV.4) et en utilisant le symbole "Re"
exprimant la partie réelle des nombres complexes, on obtient alors :
̌
⃗
(
)
( ⃗̌
)
( ⃗̌
)
⃗̌
(
⃗̌
(
⃗̌
(
En tenant compte de :
( ⃗̌
)
)
(̌
)
̌
⃗
)
⃗̌
⃗̌
)
, on obtient :
⃗̌
⃗̌
⃗̌
En simplifiant (IV.47) par
⃗̌
, on peut avoir :
̌
⃗
⃗̌
⃗̌
⃗)
( ̌
̌
⃗̌
( ⃗̌ )
̌
⃗
̌
IV.5 Principaux modèles du champ électromagnétique
Les principaux modèles utilisés en électrométrie sont les modèles : ondulatoire, quasi
stationnaire et stationnaire.
 Modèle ondulatoire
Ce modèle est utilisé lorsqu’on étudie la propagation des ondes dans le vide. Pour
, les équations (IV.38) et (IV.39) deviennent :
⃗
⃗
⃗
⃗
Les équations (IV.49) et (IV.50) sont les équations d’ondes.
 Modèle quasi stationnaire
On considère souvent en électrométrie le champ électromagnétique qui varie très
faiblement avec le temps. A cet effet, on peut négliger les dérivées secondes de (IV.38) et
(IV.39) et on aura :
⃗
⃗
⃗
⃗
Les équations (IV.51) et (IV.52) s’appellent équations de diffusion qui décrivent le
modèle quasi stationnaire du champ électromagnétique.
Le modèle quasi stationnaire prend effet quand le courant de déplacement est négligé
dans la première équation de Maxwell, (c’est-à-dire que l’induction magnéto-électrique est
négligée). Donc :
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗

⃗
Modèle stationnaire
C’est un champ qui ne dépend pas du temps. Alors, de (IV.1) – (IV.4), on aura :
⃗
⃗
⃗
⃗
Dans le cas d’un milieu homogène, (IV.38) et (IV.39) deviennent :
⃗
⃗
Donc le champ stationnaire satisfait l’équation de Laplace.
IV.6 Champ électromagnétique stationnaire
Les équations du champ électromagnétique stationnaire (IV.54) tenant compte de
(IV.20), (IV.21) peuvent s’écrire sous la forme :
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
IV.7 Modèle du champ électrostatique ; potentiel électrostatique
En électrostatique, on a selon (IV.56) :
⃗
⃗
⃗
et aussi ;
⃗
⃗
(IV.58)
e
où U le potentiel électrique.
Soient deux points A et B. Si l’on réunit ces deux points par une ligne L AB, la tension du
champ électrostatique ⃗ le long de LAB sera alors :
(⃗ )
∫⃗
En remplaçant (IV.58) dans (IV.59), on a :
∫⃗
∫
∫
∫
La circulation du champ électrostatique
∮⃗
Selon (IV.59), l’intensité de ⃗ le long de
déplacement d’une charge unitaire de A à B
est égale au travail des forces W de
∫⃗
Si A se trouve à l’infini
et on aura selon (IV.61) :
⃗
∫
(IV.62)
Le vecteur ⃗ est dirigé suivant la normale à la surface. L’équation des surfaces
équipotentielles est alors :
La différentielle de (IV.63) donne :
Les différentielles dx, dy, dz sont les composantes du vecteur déplacement ⃗⃗⃗⃗ le long
duquel on cherche la variation de Ue .
Les dérivées partielles
donnent les composantes du vecteur
gradient :
⃗
et selon (IV.64) et (IV.65), on obtient :
⃗ ⃗⃗⃗⃗
Par conséquent les vecteurs E et ⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux
Donc, l’ensemble des courbes orthogonales aux surfaces équipotentielles forme la
famille les lignes vectorielles du champ électrique ⃗ .
En remplaçant (IV.58) dans (IV.57c), on trouve l’expression du champ électrique ⃗ à
travers le potentiel électrostatique :
⃗
e
D’où, et selon (IV.57b), U satisfait l’équation :
Quand le milieu est homogène (
l’équation de Poisson
, le potentiel électrique est la solution de
Aux points du milieu indépendants des charges, (IV.68) se transforme en équation de Laplace
IV.8 Conditions aux limites pour le potentiel électrique
En prenant les mêmes considérations du §IV.2
Selon (IV.30) et (IV.34), on a :
Selon (IV.58) et (IV.66), la condition (IV.70) s’écrit :
(
)
(
)
(
)
(
)
Selon (IV.62), on doit avoir :
et
Les conditions aux limites (IV.70) sur la surface du conducteur s’écrivent sous forme :
Pour le potentiel, on a :
IV.9 Calcul du champ électrique de charges réparties
L’équation de Poisson (IV.68) est résolue quand les charges sont réparties dans un
volume V homogène et isotrope de constante diélectrique . Soit une charge ponctuelle Q
située à l’origine des coordonnées. Selon (IV.71), la composante radiale de à une distance r
de la charge est :
Le potentiel au point B de rayon , est selon (IV.62) :
(⃗ )
∫
∫
∫ ( )
Donc, les surfaces équipotentielles d’un champ d’une charge ponctuelle est la famille de
sphères concentriques. Les lignes vectorielles de ⃗ coïncident avec les rayons issus de
l’origine des coordonnées. Si la charge Q est située à une distance de l’origine alors :
⃗⃗ |
|
(⃗ )
Soit le cas de charges ponctuelles réparties dans un volume V dans l’espace.
Considérons alors un élément de volume dv de charge dQ.
La relation :
s’appelle la densité volumique d’une charge électrique répartie dans V.
Si dUe
est crée par une charge située à un point ⃗ :
⃗⃗⃗ |
|
(⃗⃗ )
En intégrant (IV.80) et en tenant compte de (IV.79), on obtient pour une source
volumique chargée :
(⃗⃗ )
∭
|
⃗⃗ |
La formule (IV.81) donne la solution de l’équation de Poisson (IV.68).
IV.10 Analogie entre les champs d’un courant continu et le champ
électrostatique
Soient l’équation du champ électrique continu (IV.56) et l’équation de continuité (IV.5),
pour le cas
:
⃗
⃗
Pour q = 0, (IV.57) devient :
⃗
⃗
⃗
⃗
Donc, on peut conclure que ces systèmes d’équations sont analogiques, et par conséquent :
⃗
Cette analogie permet d’appliquer les mêmes méthodes pour la résolution des
problèmes d’électrostatique et du courant continu. Donc, on peut écrire :
⃗
U doit satisfaire l’équation de Laplace :
Par analogie à (IV.62), on peut avoir :
∫ ⃗ ⃗⃗⃗
A la frontière de deux conducteurs de différentes conductivités électriques
a les conditions aux limites suivantes pour le potentiel électrique :
, on
(
)
(
)
Ces relations ont été obtenues de (IV.73) en changeant
en absence de charges
électriques c’est-à-dire
.
A titre d’exemple, soit un courant électrique I crée par une source ponctuelle dans un
milieu homogène et isotrope tel que
. Si la charge située à l’origine des coordonnées est
entourée d’une sphère Sr de rayon r (fig. IV.3), on aura :
∬
⃗⃗⃗⃗
∬
Etant donné la symétrie sphérique crée par la source ponctuelle (fig.IV.3), on a :
Par conséquent :
∬
D’où
Fig IV.3 Schéma du courant électrique d’une source ponctuelle
dans un milieu homogène et isotrope.
Selon la loi d’Ohm (IV.21) sous forme différentielle :
On a :
La formule (IV.91) permet de trouver le potentiel d’une source ponctuelle au point B, de
rayon vecteur ⃗⃗ (fig.IV.3). En remplaçant (IV.91) dans (IV.87), et en intégrant par rapport au
rayon
, on obtient :
(⃗⃗ )
∫
∫
Les conditions aux limites pour le vecteur ⃗ en absence de charges superficielles selon
(IV.30) et (IV.34) sont :
Les conditions aux limites permettent d’avoir alors :
c'est-à-dire :
Donc, les composantes normales des densités de courant dans le milieu et au niveau des
électrodes sont égales entre elles, alors que la composante tangentielle
est pratiquement
absente sur la surface de l’électrode.
Donc, en cas d’une même géométrie des électrodes (problème du courant) ou de
conducteurs (problème d’électrostatique), on peut dresser l’analogie suivante :
Problème
Problème
du courant dans un milieu conducteur
d’électrostatique
: densité du courant
: conductibilité
I : courant total de l’électrode
⃗ : champ électrique
: perméabilité diélectrique
Q : charge totale du conducteur
Cette analogie permet d’utiliser l’électrostatique pour résoudre les problèmes de la
théorie du courant électrique continu.
IV.11 Champ magnétique des courants électriques continus. Loi de BiotSavart
L’équation du champ magnétique des courants électriques continus selon (IV.56)
s’écrivent :
rot ⃗⃗ = ,
(IV.95a)
div ⃗ = 0,
(IV.95b)
⃗
⃗⃗
(IV.95c)
Il faut ajouter à ces équations, l’équation de continuité pour la densité du courant
électrique :
div = 0,
(IV.96)
de (IV.95b), on a :
⃗
⃗
où ⃗ est le vecteur du potentiel magnétique.
Si le milieu est homogène et isotrope (
, et en remplaçant (IV.97) dans
(IV.95a), on obtiendra :
rot rot ⃗ =
On utilise dans la théorie du champ magnétique constant la relation de jauge de
Coulomb :
div ⃗
En introduisant l’égalité :
l’équation (IV.98) devient :
⃗⃗⃗
Cette équation s’appelle équation vectorielle de Poisson. Dans le vide, on a :
Ainsi, le problème du champ magnétique continu basé sur sa détermination par la
répartition des courants électriques conduit à la résolution de l’équation vectorielle de Poisson
(IV.100) pour le potentiel magnétique. Pour résoudre ce problème, utilisons les vecteurs
unitaires orthonormés {⃗ ⃗ ⃗ }, et décomposons les vecteurs ⃗ et suivant cette base :
⃗
⃗
⃗
⃗
En remplaçant (IV.102) dans (IV.100), on obtient le système d’équations scalaires de
Poisson :
où :
α = x, y, z.
En faisant les remplacements
(IV.81), on obtient :
et en les introduisant dans
(⃗⃗ )
∭
⃗|
|
En remplaçant (IV.104) dans (IV.102), on obtient :
⃗ (⃗⃗ )
∭
⃗⃗ |
|
La formule (IV.105) est la solution de l’équation vectorielle de Poisson (IV.100). En
utilisant (IV.97), on obtient :
⃗ (⃗⃗ )
⃗ (⃗⃗ )
∭
⃗⃗ |
|
où le rotationnel montre que la différentielle est calculée par rapport à r′, donc :
⃗ (⃗⃗ )
Sachant que :
∭
*
|
⃗
⃗⃗ |
+
⃗
⃗
et
⃗⃗⃗ |
|
alors :
*
|
Nous avons rot′
⃗⃗ |
+
⃗⃗ |
|
|
⃗⃗ |
et :
*
|
⃗⃗ |
+
|
Alors, (IV.107) devient :
⃗ (⃗⃗ )
∭
(
⃗⃗ |
⃗⃗ )
⃗⃗ |
|
La formule (IV.111) est la forme générale de la loi de Biot-Savart. Pour un courant
⃗
linéaire de
le long d’un conducteur cylindrique mince et infini, allongé le long d’une
ligne L, on a :
⃗ (⃗⃗ )
⃗⃗ ) ⃗
⃗⃗ ) ⃗⃗⃗
(
(
⃗⃗ (⃗⃗ )
∫
∫
∫
⃗⃗ |
⃗⃗ |
|
|
où I0 – est le courant dans le conducteur cylindrique de section transversale
,
⃗ . L’élément choisi crée dans le champ magnétique :
∫
⃗ (⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗ )
(
|
⃗⃗⃗ |
IV.12 Champ électromagnétique quasi-stationnaire
Les équations du champ électromagnétique quasi-stationnaire selon (IV.53) sont :
⃗
⃗
⃗
⃗
b)
IV.12.1 Equations des champs monochromatiques quasi-stationnaires
Supposant que la dépendance du champ électromagnétique du temps est exprimée par le
multiple
, alors on obtient :
⃗
⃗
⃗
⃗
Dans le système (IV.115) ⃗ et ⃗⃗ sont liés, mais dans certains cas pratiques, on fait
appel à des équations où ⃗ et ⃗⃗ sont isolés. Pour cela, on utilise les formules suivantes :
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗ .
(IV.116)
En remplaçant (IV.115) dans (IV.116), on obtient :
⃗
⃗
⃗
⃗
En considérant (IV.99) et les équations :
⃗
⃗
de (IV.115), on obtient :
⃗
⃗
⃗
⃗
Soit la notation :
Alors l’équation (IV.119) s’écrit :
⃗
⃗
⃗
⃗
L’équation (IV.121) s’appelle équation de Helmholtz.
Le paramètre est déterminé par :
√√
√
s’appelle le nombre d’ondes du milieu, avec :
√
[
√
En général, on prend les cas suivants :
]
√
c'est-à-dire :
√
√
(IV.124)
Posons :
√
Alors :
(IV.125)
En tenant compte que
[
où f est la fréquence en Hz, T- la période en s et
] et en supposant que
, on a alors :
√
Donc,
est mesurée en mètre, et
en .
IV.12.2 Ondes électromagnétiques planes dans un milieu homogène
Soient les champs harmoniques dans le temps ⃗⃗ et ⃗ se propageant dans un milieu
homogène et isotrope et ayant les propriétés suivantes :
1- Les champs ⃗⃗ et ⃗ sont constants à travers un plan horizontal quelconque
⃗
⃗⃗
2- Le champ disparaît avec l’augmentation de z :
⃗
⃗⃗
En tenant compte de (IV.128), on a :
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
D’où
⃗
⃗
⃗
⃗
Donc, les équations (IV.131) pour ⃗⃗ et ⃗ deviennent :
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
Les solutions de (IV.131) sont :
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗ - sont des constantes qu’il faut déterminer. Alors, on a :
où ⃗⃗
(
)
(
(
)
)
(
)
Etant donné que :
(
et que
)
pour
⃗⃗
Décomposons ⃗⃗ et ⃗ suivant
⃗⃗
)
, alors on pose.
⃗
⃗⃗
On obtient enfin :
(
⃗
⃗
, on peut avoir pour le champ magnétique :
ou
Analogiquement, on a :
De (IV.135a) et (IV.135b), on a :
En considérant (IV.118) et (IV.130), on peut avoir :
En remplaçant (IV.135) dans (IV.137) et sachant que
, on obtient :
Nous avons alors les composantes du champ magnétique sous la forme :
(
)
(
)
avec :
où
| |
En remplaçant (IV.139) et (IV.133a) dans (IV.138), on obtient :
[
]
{
{
(
(
(
)
)
)
(
[ (
)
}
)]}
(
)
Ici
(
)
L’amplitude du champ
est la phase du champ.
Selon (IV.142), l’équation de la phase du front d’ondes est :
D’où
La vitesse de phase est :
(
)
avec
, où T - est la période. Selon (IV.127) on a :
√
Par conséquent :
√
Avec en Ohm.m, T en ∆ et v en m/s.
La distance parcourue par la phase du front pendant une période est la longueur d’onde
électromagnétique.
Selon (IV.144) on a :
√
La longueur d’onde est liée la profondeur de pénétration du champ dans la terre notée
. Alors :
En remplaçant (IV.141) dans (IV.147), on obtient :
(
D’où
ou en tenant compte de (IV.146) :
)
√
√
est exprimé en mètre.
exprime la profondeur dans laquelle l’onde est atténuée e fois.
IV.12.3 Potentiels électrodynamiques
Une autre méthode de simplification du système d’équations (IV.115) pour un milieu
homogène et isotrope est basée sur l’introduction des potentiels électrodynamiques. La
formule (IV.118) peut s’écrire :
⃗⃗
⃗
où ⃗ est le potentiel électrodynamique vectoriel.
En remplaçant (IV.150) dans (IV.115b), on a :
⃗
(⃗
)
Si U est le potentiel électrodynamique scalaire, on aura :
⃗
⃗
d’où
⃗
⃗
La première équation de Maxwell (IV.115a) devient alors :
⃗
⃗
.
ou en tenant compte de (IV.99), on a :
(
)
Si
Cette condition s’appelle jauge de Lorentz. Donc la relation (IV.152) se transforme en
équation de Helmholtz :
En remplaçant (IV.151) dans (IV.118), on obtient :
IV.12.4 Champ quasi-stationnaire d’un dipôle dans un milieu homogène
Soit un dipôle alimenté par un courant alternatif
où
= amplitude du
courant dans le dipôle. Les paramètres du milieu
sont constants. Il faut chercher le
⃗
⃗⃗
champ électromagnétique
de la source dipôle dans l’espace. Considérons au début que la
fréquence
. Selon la loi de Biot-Savart (IV.113) le champ magnétique d’un dipôle
magnétique au point de rayon est :
⃗⃗
[⃗
]
Fig IV.4 Onde sphérique électromagnétique
où ⃗ est le moment du courant dans le dipôle,
Le vecteur potentiel ⃗ du champ magnétique ⃗⃗
⃗
peut s’écrire sous forme :
⃗
On a alors :
[
]
[
]
D’où
⃗
( ⃗)
[⃗
⃗
⃗⃗
]
Quand
et en tenant compte de (IV.150), (IV.151) et (IV.153), on peut écrire :
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
Cette équation s’écrit en coordonnées sphériques comme suit (fig.IV.4) :
⃗
⃗
⃗
⃗
(
)
(
)
Donc, la dérivée par rapport à
)
donne dans (IV.161) :
⃗
⃗
(
)
La partie gauche de (IV.162) peut s’écrire :
⃗
*
*
(
)+
⃗
⃗
( ⃗)
+
Par conséquent, (IV.162) est équivalente à l’équation :
( ⃗)
⃗
La solution générale de (IV.163) est :
sont des vecteurs constants. A l’infini on a
et on obtient alors :
⃗
Afin de trouver le vecteur constant on utilise
, alors selon (IV.158), on aura :
où
d’où
⃗
En remplaçant (IV.167) dans (IV.165), on obtient :
⃗
(
)⃗
La formule (IV.168) détermine le vecteur potentiel du champ électromagnétique d’un
dipôle alternatif dans un milieu homogène et isotrope illimité. Afin de trouver les
⃗⃗ , il faut remplacer (IV.168) dans (IV.160) :
composantes ⃗
⃗⃗
⃗
(
⃗
⃗)
(
⃗)
Pour calculer le rotationnel dans (IV.169a), on utilise (IV.159) :
(
)
Pour la divergence dans (IV.169b), on utilise :
⃗ ]
⃗
[
D’où
(
⃗
)
Et encore :
(
)
(
)
En remplaçant (IV.172) dans (IV.170) et (IV.172) et en tenant compte de (IV.169), on
obtient :
⃗
[
⃗
⃗
]
(
⃗
)
Les calculs donnent :
(
⃗
)
(
(⃗
) ⃗
⃗
)
⃗
En remplaçant (IV.175) dans (IV.174) et en tenant compte de (IV.120), on obtient :
⃗
⃗
(⃗
)
Les formules (IV.173) et (IV.176) sont les solutions du problème de calcul du champ
électromagnétique d’un dipôle électrique alternatif.
IV.12.5 Ondes électromagnétiques sphériques
Remarquons que le vecteur potentiel ⃗ (IV.168) a une symétrie sphérique, c'est-à-dire
que sa grandeur dépend de la distance r au dipôle, et sa direction coïncide avec la direction du
moment du courant ⃗ du dipôle.
Le champ magnétique ⃗⃗ est orthogonal au vecteur ⃗ et au rayon . Il est dirigé vers la
ligne d’intersection du plan T et du plan N, passant par le point M et orthogonal au moment ⃗
du courant dans le dipôle (fig IV.4).
Etudions l’orientation du vecteur ⃗ du champ électrique. Pour cela, décomposons le
moment du courant ⃗ dans le dipôle en deux composantes : radiale ⃗ et tangentielle ⃗
parallèles au plan T.
⃗
⃗
⃗
où
⃗
(⃗
)
⃗
⃗
⃗
⃗
(⃗
)
En remplaçant (IV.177) et (IV.178a) dans (IV.176), on a :
⃗
⃗
où
⃗
⃗
⃗
est la composante tangentielle du champ électrique située sur le planT.
⃗
⃗
est la composante radiale :
⃗
⃗
Il faut noter que la composante ⃗ est toujours orthogonale au vecteur du champ
magnétique ⃗⃗ . Donc, selon (IV.178b), on a :
[⃗
]⃗
[⃗
] {⃗
} [⃗
]⃗ [ ⃗
]
⃗
⃗
d’où, selon (IV.173) et (IV.180a), on a :
⃗⃗
⃗
(
)
(
(
)
(
)
[ (
)]
)
Ici
(
)
l’amplitude du vecteur potentiel
sa phase selon (IV.155) l’équation de la phase est :
d’où
(IV.184)
Si le temps augmente, r selon (IV.184) augmentera aussi et le front s’élargira avec une
vitesse de phase égale à :
√
Ce qui signifie que la vitesse de l’onde électromagnétique sphérique est identique à la
vitesse de propagation de l’onde plane (IV.144 et IV.145).
|
|
| |
√
√
Suivant la distance , on peut avoir trois zones :
1) Zone proche pour laquelle :
| |
2) Zone intermédiaire pour laquelle :
| |
3) Zone éloignée pour laquelle :
|
Dans la zone proche, |
|
|
deviennent :
⃗⃗
⃗⃗
[⃗
⃗
]
⃗
⃗
⃗
Donc, dans la zone proche (
, le champ électromagnétique du dipôle alimenté en
courant alternatif est équivalent au champ électrique continu d’un dipôle.
Dans la zone éloignée pour laquelle k r  1 (c’est-à-dire r   ), on peut avoir :
⃗⃗
⃗⃗
[
⃗
⃗
]
⃗
⃗
Les expressions (IV.188) montrent que pour une zone éloignée, la composante radiale
du champ électrique s’attenue rapidement. L’onde électromagnétique sphérique se compose
alors de deux vecteurs orthogonaux du champ électrique et magnétique oscillant
tangentiellement par rapport à n’importe quel rayon radial du plan.