GELE2511 Chapitre 3 : Série de Fourier

GELE2511 Chapitre 3 :
Série de Fourier
Gabriel Cormier, Ph.D.
Université de Moncton
Hiver 2013
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2511 Chapitre 3
Hiver 2013
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Introduction
Contenu
Contenu
Analyse sinusoı̈dale
Série de Fourier
Coefficients
Symétrie
Formes alternatives
Spectre
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2511 Chapitre 3
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Introduction
Introduction
Ce chapitre présente une nouvelle méthode d’analyse de signaux et de
circuits : la série de Fourier.
On verra qu’on peut décomposer n’importe quel signal périodique en
une somme de sinusoı̈des.
Cette décomposition du signal permet d’analyser le contenu
fréquentiel d’un signal et déterminer son spectre.
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Série de Fourier
Série de Fourier
On peut démontrer que les sinusoı̈des sont les signaux les plus faciles
à utiliser lors de l’analyse de circuits ou de systèmes.
Les sinusoı̈des permettent de rapidement calculer la réponse d’un
système en régime permanent, sans calculer la réponse transitoire.
Si l’entrée à un système est une sinusoı̈de, la sortie sera aussi une
sinusoı̈de, de même fréquence (l’amplitude et la phase peuvent
changer).
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Série de Fourier
Série de Fourier
Les sinusoı̈des sont les seuls signaux périodiques à posséder cette
propriété.
Pour les autres sources périodiques (ex : triangulaire), il faut trouver
une autre méthode d’analyse.
La série de Fourier permet de prendre n’importe quel signal
périodique, et le décomposer en une somme de sinusoı̈des.
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Série de Fourier
Série de Fourier
Le mathématicien Jean-Batiste Fourier découvrit qu’on pouvait
décomposer n’importe quel signal périodique en une somme de
sinusoı̈des.
Pour une fonction périodique f (t), sa série de Fourier est :
Série de Fourier
f (t) = av +
∞
X
an cos(nω0 t) + bn sin(nω0 t)
n=1
où av , an et bn sont les coefficients de la série de Fourier, et ω0 est la
fréquence fondamentale.
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Série de Fourier
Série de Fourier
Les fréquences qui sont des multiples de ω0 sont appelés des
harmoniques.
Ex : 2ω0 est la deuxième harmonique,
Ex : 5ω0 est la cinquième harmonique.
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Série de Fourier
Coefficients de la série de Fourier
Les coefficients sont calculés selon :
Z
1
av =
f (t)dt
(valeur moyenne)
T T
Z
2
an =
f (t) cos(nω0 t)dt
T T
Z
2
bn =
f (t) sin(nω0 t)dt
T T
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Série de Fourier
Exemple
v(t)
Vm
Calculer la série de Fourier du
signal périodique suivant.
0
T
2T
t
L’équation de v(t) entre 0 et T est :
v(t) =
Vm
t
T
L’équation pour av est :
1
av =
T
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Z
T
Vm
Vm
t dt =
T
2
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Série de Fourier
Exemple (2)
On calcule an :
2
an =
T
Z
Vm
t cos(nω0 t) dt
T T
T
1
2Vm
t
sin(nω0 t) = 2
cos(nω0 t) +
2
2
T
nω0
n ω0
0
2Vm
1
= 2
(cos(2πn) − 1) = 0 pour tout n
T
n2 ω02
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Série de Fourier
Exemple (3)
On calcule bn :
Z
Vm
t sin(nω0 t) dt
T T
T
2Vm
t
1
= 2
sin(nω0 t) +
cos(nω0 t) T
nω0
n2 ω02
0
2Vm
T
Vm
= 2 0−
(cos(2πn) − 1) = −
T
nω0
nπ
2
bn =
T
La série de Fourier de v(t) est :
∞
v(t) =
Vm Vm X 1
−
sin(nω0 t)
2
π
n
n=1
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Série de Fourier
Exemple (4)
Reconstruction du signal (si T = 1s) :
Original
n=7
1
1
0.5
0.5
0
0
0
0.5
1
1.5
n = 15
2
1
1
0.5
0.5
0
0
0
0.5
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1
1.5
2
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0
0.5
0
0.5
1
1.5
n = 51
1
1.5
2
2
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Série de Fourier
Reconstruction du signal
On voit bien, selon la figure précédente, que plus le nombre
d’harmoniques utilisées est élevé, plus le signal original est reconstruit
fidèlement.
Cependant, lorsqu’il y a une discontinuité, il y a un pic qui apparaı̂t
dans le signal reconstruit : on appelle ceci l’effet Gibbs.
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Symétrie
Calcul des coefficients
Le calcul des coefficients de la série de Fourier est, généralement,
assez long.
N’importe quoi qui simplifie la tâche est bénéfique.
Selon le type de symétrie dans le signal, on peut grandement
simplifier le calcul des coefficients.
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Symétrie
Symétrie paire
Pour des fonctions paires, on peut démontrer que les coefficients de la
série de Fourier sont :
Z
2
av =
f (t)dt
T T /2
Z
4
f (t) cos(nω0 t)dt
an =
T T /2
bn = 0
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Symétrie
Symétrie impaire
Pour des fonctions impaires, on peut démontrer que les coefficients de la
série de Fourier sont :
av = 0
an = 0
Z
4
bn =
f (t) sin(nω0 t)dt
T T /2
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Symétrie
Symétrie demi-onde
Pour des fonctions ayant la symétrie demi-onde, on peut démontrer que les
coefficients de la série de Fourier sont :
av = 0
an = 0 pour n pair
Z
4
an =
f (t) cos(nω0 t)dt
T T /2
bn = 0 pour n pair
Z
4
bn =
f (t) sin(nω0 t)dt
T T /2
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pour n impair
pour n impair
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Symétrie
Symétrie quart-d’onde
Une fonction ayant la symétrie quart d’onde peut être rendue paire ou
impaire en faisant un choix approprié de t = 0.
Selon le cas où on rend la fonction paire ou impaire, les coefficients
seront différents.
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Symétrie
Symétrie quart-d’onde
Si on rend la fonction paire, on peut démontrer que les coefficients de la
série de Fourier sont :
av = 0
an = 0 pour n pair
Z
8
an =
f (t) cos(nω0 t)dt
T T /4
pour n impair
bn = 0
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Symétrie
Symétrie quart-d’onde
Si on rend la fonction impaire, on peut démontrer que les coefficients de la
série de Fourier sont :
av = 0
an = 0
bn = 0 pour n pair
Z
8
bn =
f (t) sin(nω0 t)dt
T T /4
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pour n impair
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Symétrie
Exemple
i(t)
Im
Calculer la série de Fourier du
signal périodique suivant.
t
−Im
On vérifie la symétrie : la fonction est impaire, avec de la symétrie
demi-onde et quart d’onde. On aura donc seulement besoin de calculer bn .
Dans l’intervalle d’un quart de période,
i(t) =
Gabriel Cormier (UdeM)
4Im
t
T
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Symétrie
Exemple (2)
On calcule bn :
8
bn =
T
Z
T /4
4Im
t sin(nω0 t)dt
T
sin(nω0 t) t cos(nω0 t)
−
nω0
n2 ω02
8Im
nπ
= 2 2 sin
n est impair
n π
2
32Im
=
T2
T /4
0
La série de Fourier est :
i(t) =
Gabriel Cormier (UdeM)
8Im
π2
∞
X
n=1,3,5,...
nπ 1
sin
sin(nω0 t)
n2
2
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Symétrie
Exemple (3)
Reconstruction du signal (si T = 1s) :
n=3
1
0.5
0.5
i(t)
i(t)
Original
1
0
−0.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
Fréquence (rad/s)
n=7
−1
2
1
1
0.5
0.5
i(t)
i(t)
−1
0
0
−0.5
−1
0
0.5
1
1.5
Fréquence (rad/s)
n = 11
2
0
0.5
1
1.5
Fréquence (rad/s)
2
0
−0.5
0
Gabriel Cormier (UdeM)
0.5
1
1.5
Fréquence (rad/s)
2
−1
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Formes alternatives
Formes alternatives
Il existe 2 autres façons d’exprimer la série de Fourier : sous forme
polaire, ou forme exponentielle.
La forme polaire permet de mieux identifier l’amplitude et la phase
des composantes d’un signal.
La forme exponentielle est souvent plus simple pour les calculs
mathématiques. C’est la forme la plus utilisée en traitement de signal.
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Formes alternatives
Forme polaire
Forme polaire :
f (t) = av +
∞
X
|An | cos(nω0 t + θn )
n=1
où
p
a2n + b2n
−1 −bn
θn = tan
an
|An | =
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Formes alternatives
Forme exponentielle
Forme exponentielle :
∞
X
f (t) =
Cn ejnω0 t
n=−∞
où
1
Cn =
T
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Z
f (t)e−jnω0 t dt
T
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Formes alternatives
Relations entre les formes
À partir de la forme exponentielle, la forme polaire est :
C0 +
∞
X
2|Cn | cos(nω0 t + θn )
n=1
et la forme trigonométrique est :
A0 +
∞
X
An cos(nω0 t) + Bn sin(nω0 t)
n=1
où
2Cn = An − jBn ,
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C0 = A0
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Spectres
Spectre
Une fonction périodique est complètement définie par ses coefficients
de Fourier et sa période. Si on connaı̂t av , an , bn et ω0 , on peut
construire f (t).
Si on connaı̂t an et bn , on connaı̂t aussi l’amplitude An et la phase θn
de chaque harmonique.
La forme exponentielle de la série de Fourier permet d’obtenir
directement l’amplitude et la phase des harmoniques.
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Spectres
Spectre
On peut représenter graphiquement une fonction périodique en termes
de l’amplitude et la phase de chaque fréquence présente dans le signal.
On appelle ceci le spectre de la fonction. Ce graphe permet de
visualiser quelles fréquences ont une amplitude importante ; dans
certains cas, la majorité du signal est contenue dans quelques
harmoniques.
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Spectres
Exemple
v(t)
Donner le spectre de la fonction
suivante si Vm = 5V et τ = T /5.
Vm
0
−τ /2 τ /2
t
T
On utilise la forme exponentielle.
1
Cn =
T
Z
Vm
=
T
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τ /2
Vm e−jnω0 t dt
−τ /2
e−jnω0 t
−jnω0 t
τ /2
nω τ 2Vm
0
=
sin
nω0 T
2
−τ /2
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Spectres
Exemple (2)
On peut écrire sous une autre forme :
Vm τ sin(nω0 τ /2)
sin(nπ/5)
=
T
nω0 τ /2
nπ/5
= sinc(nπ/5)
Cn =
en remplaçant par les valeurs du problème.
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Spectres
Exemple (3)
Le spectre d’amplitude :
|Cn |
1
0.5
0
−10
−8
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−6
−4
−2
0
n
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2
4
6
8
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Spectres
Exemple (4)
Le spectre de phase :
θn (degrés)
180
120
60
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
n
2
4
6
8
10
Puisque Cn est réel (dans ce cas-ci), la phase est seulement 0◦ ou 180◦ .
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Valeur RMS
Valeur RMS
La valeur RMS d’un signal peut être calculée à partir de la série de
Fourier. On remplace la fonction f (t) par sa série de Fourier :
v
u
∞ X
u
An 2
2
t
√
Frms = av +
2
n=1
Par contre, il est généralement plus simple de calculer la valeur RMS
à partir de la fonction, plutôt que la série de Fourier.
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Conclusion
Conclusion
Les points clés de ce chapitre sont :
Calcul de la série de Fourier d’une fonction périodique.
Utilisation de la symétrie pour simplifier le calcul.
Calcul du spectre d’un signal périodique.
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