Lycée Saint Sernin ~ Toulouse. 1er Février 2016 CORRECTION du

Lycée Saint Sernin ~ Toulouse. 1er Février 2016
CORRECTION du Devoir de Mathématiques Commun à toutes les classes de seconde
Exercice 1
Fonctions et lectures graphiques (A rédiger directement sur cette feuille) 4,5 points
La courbe ci-dessous représente une fonction f définie sur [–5 ; 5].
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
Par
a)
b)
c)
d)
e)
lecture graphique, compléter :
L'image de 3 par f est 2
Les antécédents éventuels de 3,5 : 2.
f(1) = 2,5 ; f(0) = 1 et f(-1) = 0
Les solutions de l'équation f(x) = 1 sont -3 ; 0 et 3,5
L‘ensemble solution de l'inéquation f(x) ≥ 2 est l’intervalle [0,5 ; 3]
f) Compléter le tableau des variations de f :
x
-5
Variations
-3
1
-1
g) Compléter le tableau de signes de f(x) :
2
3,5
5
x
-5
Signe de
-4,5
-
0
-1
+
0
4,5
+
0
5
-
f(x)
de f
-1
0
-1
Exercice 2 Fonctions – calculs et calculatrice (6 points) (A rédiger sur votre copie sauf questions 5, 6 et 7)
On considère la fonction f définie sur [-2 ;2] par f(x) = (3x + 1)² - 5(3x+1).
1) f(x) = (3x + 1)(3x + 1 -5) = (3x + 1)(3x – 4)
2) f(x) = 9x² + 6x + 1 – 15x – 5= 9x² - 9x - 4
3) En utilisant la forme la mieux adaptée de f(x), répondre aux questions suivantes sans utiliser la calculatrice (si
ce n’est pour vérifier vos calculs) :
a) Calculer l’image de
4
4
. On utilise la forme factorisée car la deuxième facteur (3x-4) s’annule d’où f( )=0
3
3
b) Résoudre f(x) = 0. On utilise la forme factorisée pour avoir un produit nul
(3x + 1)(3x – 4) = 0 soit x= -1/3 ou x = 4/3
4) Le point A de coordonnées (-0,3 ; -0,5) appartient t-il à la courbe Cf ? Justifier votre réponse par un calcul.
f(-0,3) = -0,49≠-0,5 donc le point A de coordonnées (-0,3 ; -0,50) n’appartient pas à la courbe Cf
5) A l’aide de la table de votre calculatrice, compléter le tableau de valeurs ci-dessous : (valeurs à 0,01 près)
x
-2
- 1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
f(x)
50
29,75
14
2,75
-4
-6,25
-4
2,75
14
6) Faire apparaître sur l’écran de votre calculatrice la courbe Cf.
Quelles sont les valeurs de Ymin et Ymax que vous pouvez choisir afin de voir « correctement » cette courbe (tous
les points du tableau précédent doivent être vus et la courbe doit occuper presque tout l’écran) ?
Ymin = -7
Ymax = 50 par exemple
7) A partir de l’écran de votre calculatrice, combien de solutions l’équation f(x) = 20 semble-elle avoir ? 1
Donner la valeur arrondie à 0,01 près de cette (ou ces) solution(s) : -1,21
Exercice 3 : Algorithme 2 points (A rédiger sur votre copie)
On considère l’algorithme suivant :
1) Si la valeur de x saisie est 3, qu’affiche cet algorithme ?
variables :
(3+1)²+2 = 4² + 2 = 16 +2 = 18
x, a, b et c sont des réels.
Début :
2) Plus généralement, x désignant un réel quelconque, exprimer c en
Saisir x
fonction de x. (x+1)²+2
a prend la valeur x +1
3)
Si l’algorithme affiche 18, quelles sont les valeurs de x que l’on a
b prend la valeur a²
saisies au départ ? Justifier. On cherche à résoudre (x+1)²+2 = 18
c prend la valeur b +2
(x+1)²
- 16 = 0 soit (x+1-4)(x+1+4) = 0 soit (x-3)(x+5)= 0
afficher c
On a donc saisi 3 ou -5
Fin
Exercice 4 : Géométrie plane 3,5 points (A rédiger sur votre copie sauf la figure)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
On considère les points A(3;5), B(5;0), C(−1;−1) et D(−3;4)
1) Placer les points sur le repère ci-dessous. Voir figure
2) Le quadrilatère ABCD est–il un parallélogramme ? Justifiez
votre réponse par un calcul.
Soit I le milieu de [AC]

x + xC

x = A
x =
 I
 I
2
⇔

 y = yA + yC
y =
 I
 I
2
Soit J le milieu [BD]
3−1
2 ⇔ xI = 1

5 −1
 yI = 2
2

xB + xD

5 −3
x =
xJ =
 J
2
2 ⇔ xJ = 1 Donc I =J
⇔


 y = yB + yD
y = 0 + 4
 yJ = 2
J
J

2

2
Le quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur
milieu I, c’est donc un parallélogramme.
Remarque : on peut aussi utiliser les vecteurs
3) Le quadrilatère ABCD est–il un losange ? Justifiez votre
réponse par un calcul.
Calculons les longueurs de deux cotés consécutifs :
AB = (xB − xA )² + (yB − yA )² = (5 − 3)² + (0 − 5)² = 4 + 25 = 29 et BC = ( −1 − 5)² + ( −1 − 0)² = 36 + 1 = 37
AB ≠ BC Donc ABCD n’est pas un losange.
4)
a) Placer le point E tel que BACE soit un parallélogramme. Voir figure
b) Calculer les coordonnées de E.
BACE soit un parallélogramme donc [AE] et [BC] ont le même milieu, notons-le K.



x + xE
3 + xE
xB + xC

5 −1
xK = A
2=


xK =
xK =

x
=
2


 4 = 3 + xE
1 = xE
2
2 ⇔ K
2
2
⇔
⇔
⇔
⇔
donc 


 y = yB + yC
y = 0 − 1
 y = yA + yE
−0,5 = 5 + yE
 yK = −0,5
 −1 = 5 + yE
 −6 = yE
K
K
 K




2
2

2

2
Exercice 5 :
Interpréter des résultats statistiques (A rédiger sur votre copie) 3 points
Scores d’Eddy :
x = 103
médiane =95
Q1=86
Q3=108.
Scores de Fabien :
x = 100
médiane =100
Q1=95
Q3=105.
1. Eddy est plus régulier que Fabien. FAUX
L’écart interquartile étant de 22 pour Eddy et de 10 pour Fabien, il semble que Fabien soit plus régulier qu’Eddy.
2. Fabien a plus souvent dépassé les 100 points qu’Eddy. VRAI
Pour Fabien, puisque médiane =100, dans 50% des parties son score a été supérieur (au sens large) à 100 ;
Pour Eddy, puisque médiane =95, dans moins de 50% des parties son score a été supérieur à 100 ;
Donc Fabien a plus souvent dépassé les 100 points d’Eddy.
3. Il est possible que le meilleur score de Fabien soit plus élevé que celui d’Eddy. VRAI
Au moins 25% des scores pour Eddy sont supérieurs à 108 et au moins 25% des scores pour Fabien sont
supérieurs à 105, donc tout est possible pour la valeur maximale.
Exercice 6 : Calculer des paramètres statistiques (A rédiger directement sur cette feuille) 2 points
Dans un village, on a réparti les foyers selon le nombre d’enfants.
Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :
Nombre d’enfants
0
1
2
3
4
5
6
Nombre de foyers
50
27
40
23
15
4
1
Répondre aux questions à l’aide de votre calculatrice(sans justifications) arrondir si nécessaire à 0,01près
1. Le nombre médian d’enfants par foyer est : 2
2. Le nombre moyen d’enfants par foyer est : 1,64
Exercice 7 : Géométrie dans l’espace 4 points
1) Répondre directement sur cette feuille par OUI ou NON
4 fois 0,75 par ligne 0 si une réponse fausse ou manquante par ligne
I est un point du plan
(ABF)
OUI
(ACH)
NON
(HGF)
NON
Les droites (IJ) et (HC) sont
coplanaires
OUI
parallèles
OUI
sécantes
NON
Les droites (IJ) et (GC) sont
coplanaires
NON parallèles
NON
sécantes
NON
NON
sécants au
NON
La droite (IJ) et le plan (GCD) sont parallèles
OUI
sécants en un
point de (DG)
point C
2) Représenter en bleu sur le dessin l’intersection de la droite (FK) et du plan (ABC). (On laissera les tracés de
construction au crayon à papier.)
Exercice Bonus :
Les assemblages suivants sont constitués de
« cœurs ». Combien y a t-il de cœurs à
l’étape 4 ? à l’étape 1000 ? à l’étape n ?
Toute démarche clairement exposée sera
valorisée.
Etape 1
Etape 2
Etape 3
♥ ♥
♥ ♥ ♥
♥
♥
♥
♥ ♥ ♥
♥
♥
♥ ♥
♥
♥
♥ ♥
Nous remarquons que :
à l’étape 1, il y a 1 ligne de 2 cœurs
à l’étape 2, il y a 2 lignes de 3 cœurs
à l’étape 3, il y a 3 lignes de 4 cœurs
Nous pouvons conjecturer qu’à l’étape 4, nous allons obtenir 4 lignes de 5 cœurs, c’est à dire 20 cœurs.
Conclusion : Il y a 20 cœurs à l’étape 4.
De même à l’étape 1000, nous pouvons conjecturer qu’il y aura 1000 lignes de 1001 cœurs
Donc pour calculer le nombre de cœurs il suffit de faire 1000×1001 =1001000
Conclusion : Il y a 1 001 000 cœurs à l’étape 1000.
De même à l’étape n (pour n entier naturel non nul), il y aura n lignes de n+1 cœurs.
Conclusion : Le nombre de cœurs à l’étape n sera de n×(n +1).
♥