conduction thermique. - Laboratoire d`étude des Transferts en

Transcription

I
Transfert Thermique
Aucun sujet n’a des rapports plus étendus avec les progrès de l’industrie et ceux des
sciences naturelles ; car l’action de la chaleur est toujours présente, elle pénètre tous
les corps et les espaces, elle influe sur les procédés des arts, et concourt à tous les
phénomènes de l’univers »
Joseph Fourier, « Théorie Analytique de la Chaleur », 1822
I-
INTRODUCTION ................................................................................................................. 3
1.
Consommation énergétique ........................................................................................ 3
2.
La RT2000 ..................................................................................................................... 4
3.
Objectifs du cours........................................................................................................ 5
II-
QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE .................................................................... 5
1.
Les grandeurs thermiques .......................................................................................... 5
1.1.
Introduction ............................................................................................................. 5
1.2.
La température........................................................................................................ 6
1.3.
Bases thermodynamiques....................................................................................... 6
1.4.
Chaleur sensible ..................................................................................................... 7
1.5.
Chaleur latente........................................................................................................ 7
2.
Les modes de transmission de la chaleur ................................................................. 7
2.1.
Conduction .............................................................................................................. 8
2.2. Convection.................................................................................................................. 8
2.3.
Rayonnement.......................................................................................................... 8
III-
CONDUCTION THERMIQUE.............................................................................................. 9
1.
REGIME PERMANENT : ............................................................................................... 9
1.1.
Loi de Fourier : ........................................................................................................ 9
1.2.
Conductivité thermique des matériaux .................................................................... 9
1.3.
Généralisation à 3D .............................................................................................. 11
2.
REGIME TRANSITOIRE :............................................................................................ 13
2.1.
Bilan énergétique : ................................................................................................ 13
2.2.
Diffusivité thermique :............................................................................................ 14
3.
ANALOGIE ELECTRIQUE : ........................................................................................ 12
3.1.
Résistance thermique :.......................................................................................... 12
3.2.
Capacité thermique : ............................................................................................. 13
3.3.
Symboles : ............................................................................................................ 13
Cohard 02
Cours Transfert Thermique
1/29
I
IV-
CONVECTION THERMIQUE ............................................................................................ 14
1.
Introduction ................................................................................................................ 14
2.
Convection naturelle.................................................................................................. 15
2.1.
Analyse dimensionnelle......................................................................................... 15
2.2.
Forme modifiée de la loi de Fourier - le nombre de Nusselt :................................ 17
2.3.
Convection en espace limité (confiné)................................................................... 20
3.
Convection forcée ...................................................................................................... 20
3.1.
Analyse dimensionnelle......................................................................................... 20
3.2.
Ecoulement forcé interne ...................................................................................... 21
3.3.
Ecoulement forcé externe ..................................................................................... 21
V-
TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT ......................................................... 23
1.
Généralités.................................................................................................................. 23
1.1.
Rayonnement électromagnétique ......................................................................... 23
2.
Quelques définitions :................................................................................................ 23
2.1.
Notion d'angle solide : ........................................................................................... 23
2.2.
Energie rayonnante Q ........................................................................................... 24
2.3.
Flux énergétique Φ :.............................................................................................. 24
2.4.
Intensité énergétique Ι :......................................................................................... 24
2.5.
Radiance E :.......................................................................................................... 24
2.6.
Notion de spectre .................................................................................................. 24
3.
Interaction rayonnement – matière........................................................................... 25
4.
Rayonnement électromagnétique et température ................................................... 27
4.1.
Corps noir :............................................................................................................ 27
5.
Lois fondamentales du rayonnement ....................................................................... 27
5.1.
Loi de Planck :....................................................................................................... 28
5.2.
Loi de Stefan-Boltzmann : ..................................................................................... 28
5.3.
Loi de Wien : ......................................................................................................... 28
6.
Transferts par rayonnement entre surface .............................................................. 28
Entre corps noirs :..................................................................................................... 29
6.2.
Si une seule des surfaces est noire : .................................................................... 29
6.3.
Entre corps gris : ................................................................................................... 29
6.1.
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I
I-
INTRODUCTION
1.
Consommation énergétique
A la question « pourquoi étudier la
thermique en génie civil » vous répondrez
certainement « pour savoir comment chauffer ou
refroidir un bâtiment » ce qui est plutôt du
ressort du génie climatique. Toutefois si on
prend un peu de recul sur le problème du
chauffage et que l’on regarde l’aspect
consommation d’énergie au niveau national, on
remarque que notre petit confort coûte pour la
France la bagatelle de 24 Milliard d’euro (160
Milliards de franc courant) pour un total
consommé de 258 Millions de tonne équivalent
pétrole en l’an 2000. prêt de 40% de cette
consommation est brûlée par le secteur
résidentiel et tertiaire, c’est à dire pour le
chauffage et la climatisation de notre habitât.
Dans un contexte ou l’énergie a un coût
financier mais aussi environnemental important,
la réduction de cette consommation est un enjeu
primordiale pour la France et de manière
générale pour tous les états. Tout les secteurs
sont évidemment concernés (transports,
industrie, habitât, …). En particulier, pour le
secteur résidentiel et tertiaire il est bon de se
pencher sur tous les éléments des bâtiments
qui, mieux conçus, pourraient amener des
réductions de consommation.
Consommation énergétique nationale par secteur
Facture énergétique par énergie
consomation par énergie pour le secteur résidentiel
tertiaire
120,00
100,00
80,00
bois
électricité (tep)
60,00
charbon (tep)
pétrole (tep)
40,00
D’autre part le prix du pétrole est très
gaz (tep)
fluctuant (du simple au double sur les dix
20,00
dernières années) et induit des variations du
0,00
1973 1979 1985 1990 1995 1998 1999 2000
même ordre pour la facture globale. On
comprend donc au vue de ces graphiques, la
tendance du remplacement des énergies fossiles (pétrole, charbon) par l’électricité dans le
secteur résidentiel.
Les préoccupation énergétique de la France ne sont pas nouvelle. Les premières
réactions ont fait suite au 1er choc pétrolier de 1972 avec les fameux slogans « chasse au
Gaspi », « on a pas de pétrole mais on a des idées », … mais aussi avec la mise en place d’un
programme nucléaire pour l’indépendance énergétique et la mise en place de réglementation
pour faire des économies d’énergie.
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I
Après la mise en place entre
1974 et 1988 de différents labels
et méthodes de calcul, un premier
bilan est effectué et une première
harmonisation
de
la
réglementation est proposée :
c’est
la
RT89.
Cette
réglementation porte directement
sur la consommation par la mise
en place d’un coefficient C. Pour
chaque
bâtiment
neuf,
ce
coefficient doit être inférieur a un coefficient de référence Cref. Cela a eu des conséquences
importantes sur les matériaux d’isolation et sur les installations de chauffage. Cette nouvelle
réglementation a permis pour le secteur résidentiel et tertiaire de faire progresser de manière
substantielle les économies d’énergie (voir graphe ci-contre).
2.
La RT2000
Aujourd’hui, une nouvelle étape est franchie avec une refonte de la réglementation, la
RT2000, qui doit répondre a de nouveaux enjeux :
!
Le premier de ces enjeux est international. Les Accords de Rio et de Kyoto fixent des
objectifs de limitation des émissions de gaz à effet de serre. La France a notamment décidé de
réduire la consommation d’énergie des bâtiments qui contribue, pour plus du quart, à la
production des gaz à effet de serre (gaz carbonique). Le programme national de lutte contre le
changement climatique (arrêté par le Premier Ministre en janvier 2000) prévoit de renforcer tous
les cinq ans les exigences de la réglementation thermique des bâtiments neufs à compter de
juin 2001.
!
Le deuxième enjeu est social. Toutes les solutions proposées dans le cadre de la
RT2000 doivent satisfaire des exigences minimales de manière à ce que chacun puisse trouver
un logement correspondant à ses capacités financières. le ministère de l’Equipement, des
Transports et du Logement reste attentif à la maîtrise du coût global des logements, charges
financières et d’exploitation comprises. Les préoccupations actuelles d’économie d’énergie
intègrent elles aussi cet aspect
!
Le troisième enjeu est la compétitivité des entreprise Française sur le marché
européens. Depuis la réglementation thermique de 1988, les travaux de normalisation
européenne ont profondément modifié les méthodes de caractérisation des produits et de leurs
performances. La nouvelle réglementation anticipe les normes en préparation. De plus, avec
l’ouverture des frontières à la libre circulation des produits et des services, il devient impératif de
se préoccuper de la compétitivité de l’ingénierie, des techniques et des produits français sur les
marchés à l’exportation. Enfin la RT2000 qui propose des solutions clef en main permet
parallèlement et encourage le développement de nouvelle technologie.
!
Le quatrième enjeu est la simplification pour favoriser l’application de la
réglementation et l’innovation. La simplification de la réglementation concourt à sa bonne
application par les professionnels. La mise en place de solutions techniques simples à mettre
en oeuvre par les constructeurs et plus souples à utiliser par les industriels illustre cette volonté.
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I
3.
Objectifs du cours
Si la RT2000 permet de mettre en place des solutions technologiques sans connaître ni
les calculs imposés par la réglementation ni les processus physique sous jacents à ces
méthodes de calcul, l’ingénieur Génie civil se doit d’en connaître un peu plus long qu’un
installateur. D’autre part la réglementation impose des objectifs de consommation ce qui
implique de travailler a tous les niveaux du bâtiment, depuis sa structure, en passant par tous
les éléments du second œuvre (habillage des parois, ouvertures, isolation, …) jusque,
évidemment aux installations mise en œuvre.
Ce cours propose de présenter les différents processus d’échange thermique entre un
batiment et son extérieur. Il permettra d’appréhender en 3ème année le calcul des coefficients de
la RT2000 avec un regard critique.
Après quelques définitions et rappels sur les grandeurs physiques caractéristiques des
échanges thermiques, les trois processus d’échangent seront abordé. Le premier de ces
processus est la conduction thermique, le deuxième la convection et enfin le rayonnement.
Chacun de ces processus sera illustré par des exemples concrets liés aux métiers du génie
civil.
II-
Quelques définitions de thermique
1.
Les grandeurs thermiques
1.1. Introduction
Il fallut un temps incroyablement long dans l’histoire de la science pour établir une
distinction entre les concepts de chaleur et de température, mais une fois cette distinction faite,
des progrès rapides en furent le résultat.
Les premières tentatives de mise en théorie de la chaleur la décrivent comme une
substance, comme la masse par exemple.
! « La théorie calorique: un fluide invisible, indestructible et sans masse qui migre d’un
corps chaud vers un corps plus froid. » Joseph Black 1728-1799
! •«un fluide très subtil, très élastique, qui environne de toutes parts la planète que nous
habitons, qui pénètre avec plus ou moins de facilité les corps qui la composent, et qui
tend lorsqu'il est libre, à se mettre en équilibre dans tous » Antoine Lavoisier 17431794
Cette conception a permis d’expliquer avec succès les phénomènes de transfert de
chaleur d’un corps à l’autre, et plus généralement de conservation de la chaleur dans des
systèmes isolés. En effet, de même que la masse d’un système isolé reste invariable, même si
une transformation chimique s’y produit, la chaleur se conserve, même si elle s’écoule d’un
corps à l’autre.
Cependant, ce concept n’explique pas la création spontanée de chaleur par frottement. Il a
fallu attendre Joule, dans les années 1850, pour que la chaleur soit considérée à juste titre
comme une forme particulière d’énergie. Son unité internationale est le Joule (J). L'ancienne
unité, la calorie (1 cal = 4.1855 J = quantité de chaleur nécessaire pour élever 1 g d'eau de 1°C)
est cependant une unité encore très utilisée pour exprimer une quantité de chaleur.
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I
Pour une quantité de matière donnée, l’apport d’une quantité de chaleur (énergie) induit
un changement de sa température ou un changement d’état de la matière. La distinction
entre ces deux phénomènes permet de distinguer deux formes de chaleur, la chaleur sensible
et la chaleur latente. La température quant à elle est une grandeur physique qui caractérise un
niveau d’énergie de la matière. Ces différentes notions sont explicitées ci-après.
1.2.
La température
La température est la traduction à l’échelle macroscopique d’un état énergétique de la
matière à l’échelle microscopique, à savoir :
! pour les solides : c’est l’état de vibration des atomes à l’intérieur d’un réseau cristallin
ou de mouvement d’électrons pour les matériaux qui ont la faculté d’échanger des
électrons (les métaux par exemple) ;
! pour les fluides : c’est l’état d’agitation des molécules. La température s’exprime en
degrés Kelvin (K) ou Celsius (°C).
Ne pouvant accéder directement aux phénomènes qui sont à l’origine de la chaleur, on
décrit donc l’état thermique d’un corps, sa température, à l’aide de manifestations extérieures
que l’on peut constater et mesurer. Le plus souvent il s’agit de la dilatation d’un élément mis en
équilibre thermique avec le milieu à étudier (thermomètre).
1.3.
Bases thermodynamiques
La thermique est une branche de la thermodynamique, science qui décrit les échanges
d'énergie entre différents constituants d'un système. La thermodynamique repose sur deux
propositions fondamentales. L’une, appelée premier principe, exprime une propriété de
conservation de l’énergie, considérée sous toute ses formes, au cours de la transformation d’un
système isolé.
Le premier principe s’énonce de la manière suivante:
∆U = Q + W
où ∆U, variation de l’énergie totale du système, est la somme de l’énergie calorifique Q
apportée au système et du travail fourni au milieu extérieur W. Ces trois grandeurs étant des
énergies, elles s'expriment en Joule (J). W et Q sont positives lorsque le système reçoit de
l'énergie du milieu extérieur (et inversement).
Le premier principe peut être formulé de la façon suivante : lors d'une transformation, la
somme des énergies mécaniques et calorifiques est égale à la variation d'énergie interne du
système. Pour un cycle fermé, W + Q = 0. Cela correspond à la notion naturelle que la quantité
globale d'énergie est toujours conservée.
Figure 1. Expérience
de Joule
(équivalence énergie
mécanique-énergie
calorifique)
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I
Le premier principe de la thermodynamique a été magnifiquement illustré par Joule avec
son expérience originale de détermination de l’équivalence énergie mécanique-énergie
calorifique.
Dans cet appareil, les poids qui descendent le long des règles divisées font tourner des
palettes immergées dans de l’eau. L’énergie potentielle des poids est ainsi transformée en
énergie cinétique des parties mobiles qui dissipe essentiellement au niveau des palettes en
élevant la température de l’eau. Si l’on néglige la dissipation dans l’air (frottement des poids
dans l’atmosphère), cette expérience permet une détermination de la chaleur spécifique de
l’eau, ou plus généralement des liquides. En effet, ∆U est alors ici égale à zéro, et le calcul du
travail mécanique W permet de déterminer Q. Il est alors possible d’obtenir le coefficient de
proportionnalité entre l’élévation ∆T de la température du liquide (pour une masse donnée) et
l’énergie calorifique Q apportée au système. Ce coefficient de proportionnalité est la chaleur
spécifique (ou capacité calorifique) cp.
1.4.
Chaleur sensible
Lorsque un corps qui reçoit ou cède de la chaleur s'échauffe ou se refroidit sans changer
d'état, on parle alors de chaleur sensible. La variation de température T que va subir un corps
de masse m est reliée à la quantité de chaleur Q par le coefficient de proportionnalité cp
(chaleur spécifique, ou capacité calorifique).
Par définition, la chaleur spécifique cp correspond à la quantité de chaleur qu'il faut fournir
à un matériau de masse donnée pour que sa température s'élève d'un degré. C'est-à-dire :
cp = 1/m . dQ/dT
La quantité de chaleur échangée entre deux corps respectivement au température T1 et T2
(T1>T2) s’exprime par :
Q1→2 = m.cp.(T1 – T2)
1.5.
Chaleur latente
On parle de chaleur latente lorsque le corps qui reçoit ou cède de la chaleur l'utilise pour
changer d'état, sans que sa température ne varie.
la quantité de chaleur qu'il faut fournir à un matériau de masse m donnée pour que, à
température constante, celui-ci change d'état (solide -> liquide; liquide -> gaz) est donnée par :
Q = m.L où L est le coefficient de chaleur Latente
On parle alors de "transformation isotherme" car la température du système reste
constante pendant tout le processus d'échange de chaleur.
2.
Les modes de transmission de la chaleur
Ces différents modes ne sont en général pas dissociés et peuvent intervenir ensemble
dans un processus de transfert thermique.
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2.1.
T2
T1
Conduction
La conduction: échange de chaleur entre deux points d'un
solide ou encore d'un liquide (ou d'un gaz) immobile et opaque.
L’énergie de vibration (ou d’agitation) se transmet d’atome à
atome (de molécule à molécule). C’est un transfert lent.
Q
T1> T2
Exemple : propagation de la chaleur dans une paroi entre un intérieur de bâtiment
chauffé et l’extérieur.
2.2.
Convection
La convection est un transfert de chaleur dans la
matière avec mouvement macroscopique de la matière.
Ce type de transfert n’intervient que pour les liquides et
les gaz (C’est le fluide en mouvement qui transporte de la
chaleur). On distingue deux types de convection :
! la convection forcée : le mouvement du milieu est
engendré par un dispositif externe (le vent, un
ventilateur, …)
Exemple : refroidissement d’un bâtiment sous l’effet
du vent.
T∞ < TS
Mouvement de fluide
forcé ou induit par ∆T
Q
TS
! la convection naturelle : le mouvement du fluide est engendré par les variations de
densité causées par les variations de température au sein du fluide. C’est un mode de
transfert rapide en général.
Exemple : mouvement de la vapeur au-dessus d’une tasse de café, principe du
convecteur.
2.3.
Rayonnement
Le rayonnement: échange de
chaleur entre deux parois séparées par un
T1
T2
milieu transparent ou semi-transparent. Les
matériaux ont la propriété d’absorber ou
d’émettre des photons (ou des quantités
d’énergie). L’énergie emportée par le photon est
prélevée sur l’état d’énergie du corps et
réciproquement l’énergie d’un photon absorbé
est souvent transformée en chaleur. Cette
propriété d’émission dépend donc de la
température du milieu. Il s’agit d’un transfert à distance quasi-instantané sans nécessité de
support matériel.
Q
Exemple : réchauffement d’un mur par le rayonnement solaire le jour, et chaleur émise par
le mur la nuit.
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III-
Conduction thermique
La conduction est une transmission de la chaleur dans la matière par vibration
moléculaire. Elle concerne surtout les solides, mais aussi les liquides et les gaz pour lesquels
elle est souvent négligeable par rapport à la convection ou au rayonnement.
Notre appréciation de l’importance de la conduction thermique commence avec la
sensation bien connue que des matériaux différents, un morceau de métal par exemple, nous
parait froid au toucher alors que d’autres, comme le bois ou le plastique, nous apparaissent
tièdes. La raison de cela est qu’un métal conduit (et emporte) la chaleur du corps plus
rapidement que le bois.
Deux lois régissent les transferts thermiques selon que l’on se place en régime
permanent (Loi de Fourier) avec la notion de conductivité thermique, ou en régime transitoire,
ce dernier mettant en oeuvre le concept de diffusivité thermique.
1.
REGIME PERMANENT :
Dans ce régime, la température est constante en fonction du temps en tout point de
l'espace considéré.
1.1.
Loi de Fourier :
La loi de Fourier a été établie expérimentalement par Joseph Fourier en 1822. Elle
exprime la proportionnalité entre le flux de chaleur à travers une surface par unité de temps et
l’élévation de la température de part et d’autre de cette surface.
On détermine expérimentalement que, dans une direction Ox donnée, la puissance
calorifique P1→2 (ou "flux de chaleur") qui traverse un volume, défini par une section S et une
longueur L, établit entre les deux extrémités une différence de température telle que :
P1→2 = dQ1→2 /dt = - λ.S/L . (T2 - T1)
T1
Le coefficient de proportionnalité λ, exprimé en
W.m .K-1 est appelé conductivité thermique,. Il s'agit ici
en toute rigueur de la conductivitéé thermique λx .
T2
S
-1
Si le milieu est isotrope, λx = λy = λz = λ. La valeur
de λ est fonction du milieu et dépend généralement de la
température.
P1→2
En notation différentielle et en considérant que les axes sont orientés du chaud vers le
froid, cette expression devient :
dP/dS = - λ dT/dx, en 1D
1.2.
Conductivité thermique des matériaux
Les coefficients de conductivité sont des propriétés physiques intrinsèques des matériaux.
Pour les matériaux du bâtiment, la détermination de λ est complexe car elle dépend :
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gaz
! du matériau : exemple ordres de
matériaux amorphes isolants
liquides
solutions
poudre
grandeur de conductivités thermiques pour
divers types de milieux (ci-contre).
! de son passé : exemple conductivité
du PVC est liée à son passé.
mat. réfractaires
cristal
métaux
! de la température :
exemples
mousse de polyuréthane et béton (cidessous).
métau
10-3
10-2
10-1
101
1
102
103
λ (W.m-1.K -1)
! de sa densité : exemples liège et polystyrène.
! de l’humidité : exemple influence de l’humidité
sur les matériaux minéraux (brique, béton).
Cependant pour simplifier les calculs (voir plus loin équation de la chaleur), la
réglementation impose de prendre des valeurs normalisées de λ, correspondant à la moyenne
de λ dans l’intervalle de température correspondant au problème étudié.
L’air (20°C) : λ = 0,026
L’eau (20°C) : λ = 0,59
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W/m°C
W/m°C
Le cuivre
: λ = 370
Huile moteur : λ = 0,145
W/m°C
W/m°C
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I
λ
(W.m-1.K -1)
Matériaux
Matériaux
Isolant plastique
Isolant divers
• Polystyrène expansé
- Moulé
0.046
Qualité Q1
0.043
Qualité Q2
0.040
Qualité Q3
0.038
Qualité Q4 et Q5
0.037 à 0.043
- Autre fabrication
0.031 à 0.036
• Polystyrène extrudé
• Mousse rigide de PVC
0.031
Qualité Q2
0.034
Qualité Q3
• Mousse rigide polyuréthanne
0.031
Qualité Q1 et Q2
0.034
Qualité Q3 et Q4
0.050
• Mousse rigide formo-phénolique
• Isolant fabriqué à partir d’autres
0.065
matières plastiques alvéolaires
• verre cellulaire
• panneau de fibre de bois
• panneau de perlite expansé +
cellulose
1.3.
0.050
0.060 à 0.067
0.060
Les matériaux de structure
• Granit et pierre lourde
• Pierre calcaire
• Béton plein
- caverneux
- léger pouzzolane
- léger d’argile expansé
- léger de perlite
• verre
• acier
• Aluminium
• zinc
• plomb
• bois feuillu mi-lourd
• bois feuillu léger
• bois résineux
Isolant en laine minérale manufacturée
• laine de verre
classe VA
classe VB
classe VC
classe VD
classe VE
• laine de roche
classe RA
classe RB
• autre laines minérales
λ
(W.m-1.K -1)
0.034 à 0.047
0.035 à 0.051
0.036 à 0.056
0.043 à 0.054
0.037 à 0.039
3.00
1.40
1.75
1.40
0.52
1.05
0.31
1.10
52
230
110
36
0.23
0.12
0.15
Les matériaux de parement
• Enduit ciment
plâtre
• Plâtre
• Panneau de particules de bois
• Panneau de contreplaqué ou latté
• Liège comprimé
• Amiante ciment
0.038 à 0.047
0.039 à 0.041
0.065
1.15
0.35
0.50
0.14
0.12
0.10
0.95
Généralisation à 3D
Pour un matériau isotrope, la loi de Fourier s’exprime comme suit :
→
→
→
dP/dS = - λ .grad(T) = - λ . ∇(T)
Pour un matériau anisotrope, la conductivité thermique n’est plus un scalaire mais un
tenseur λ et relation précédente se généralise comme suit :
→
→
dP/dS = - λ .grad(T)
On peut montrer
que λ , tenseur d’ordre deux, est symétrique et ses composantes
positives. Il existe donc des directions principales et un repère principal dans lequel λ n’a que
trois composantes positives : trois conductibilités principales.
Exemple : matériau composite feuilleté.
En exprimant ces équations pour un volume élémentaire, on obtient l'équation dite "de
Poisson" :
→
dP/dV = - λ ∇2(T)
→
En régime permanent, dP/dV = 0, et ∇2(T) = 0. C'est l'équation de Laplace. Si le volume
→
possède une source de chaleur interne q alors ∇2(T) + q = 0
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I
2.
ANALOGIE ELECTRIQUE :
2.1.
Résistance thermique :
La loi de Fourier peut être considérée comme complètement analogue à la loi d'Ohm :
Thermique
électricité
Loi d’Ohm
Loi de Fourier
∆T = - (L/λS).P #
∆V = R.I
#
conductivité thermique
conductivité électrique
λ(T)
σ(T)
#
température
T
V
potentiel électrique
#
puissance thermique
P
I
intensité de courant
#
Résistance électrique
Résistance thermique
R
L/λS
Ceci permet de schématiser le problème d’échanges thermiques par le circuit électrique
ci-dessous :
Pour déterminer une résistance thermique totale, comme en électricité, on sait que :
! en série, deux résistances thermiques
s'ajoutent,
! en parallèle, les inverses des
résistances thermiques s'ajoutent.
Exemples : conductivité des matériaux
hétérogènes granulaires composés d’une
matrice. échauffement différentiel d’un treillis
métallique quand on suppose que les tiges ne
sont pas refroidies latéralement.
Ces lois d'association permettent
de traiter les cas où l'on a affaire à une
conduction
thermique
dans
des
matériaux composites ou pour des
successions de différents matériaux
(mur béton + crépis + enduit intérieur).
Résistance de contact : le contact entre deux
solides
n’est
uniforme
qu’à
une
échelle
macroscopique. A un niveau plus local, par exemple à
l’échelle des rugosités le contact est discontinu. Cette
discontinuité de conductivité thermique au niveau de la
section 2 engendre une discontinuité dans le profil de
température : T2A – T2B. On peut modéliser le
phénomène ci-dessous en introduisant une résistance
de contact RC définie par la relation suivante :
RC = 1/ hC
Cohard 02
12/29
I
ou hC est le coefficient d’échange thermique entre les solides A et B, le flux de chaleur
étant transmis par conduction dans l’air piégé dans les interstices de la section 2 et par
rayonnement.
hC est une donnée issue d’expérience, mais on peut aussi le modéliser plus finement si
on a une idée de la valeur de la surface de contact SC et de L l’épaisseur du contact entre les
solides A et B.
2.2.
Capacité thermique :
On considère un petit morceau d'un matériau très bon conducteur thermique, de masse m
et de chaleur spécifique cp, initialement à température ambiante Tamb. On place ce morceau en
contact avec une source chaude à température T supérieure à Tamb. A l'équilibre, lorsque la
température du matériau a atteint T, il a alors emmagasiné une quantité de chaleur :
Q = m. cp.(T- Tamb).
On peut alors définir, par analogie avec l'électricité, une capacité thermique C = m. cp qui
correspond à la quantité de chaleur emmagasinée "sous une certaine différence de
température" (ddt).
2.3.
Symboles :
On utilise les mêmes symboles qu'en électricité, à savoir :
Résistance thermique
Capacité thermique
Masse thermique (Tamb)
3.
REGIME TRANSITOIRE :
Dans ce régime, soit la température n'a pas atteint une valeur d'équilibre, soit elle varie
périodiquement dans le temps.
3.1.
Bilan énergétique :
Pour plus de clarté, nous supposerons ici qu'il n'y a pas de source de chaleur à l'intérieur
du volume considéré (sinon, il faut en tenir compte dans le bilan).
La chaleur spécifique nous permet d'écrire que la quantité de chaleur qui traverse un
volume V dans une direction Ox donnée en 1 seconde est égale à m.cp.dT/dt. On sait que
m=ρv.V où ρv est la masse volumique.
Par conséquent, à partir de l'équation de Poisson, on a :
→
λ ∇2(T) = ρv. cp.dT/dt
Cohard 02
13/29
I
3.2.
Diffusivité thermique :
→
On a donc : λ ρv. cp). ∇2(T) = dT/dt
On pose D = λ/(ρv.cp), diffusivité thermique du matériau, exprimée en m2s-1. Plus le
matériau est ordonné, plus D est grande. L'ordre de grandeur de D est de 1 à 0,1 cm2s-1 pour
des cristaux et de 10-2.à 10-4 cm2s-1 pour des liquides, des alliages ou des solides amorphes.
Lors d'une réponse impulsionnelle, le temps mis par le matériau pour atteindre l'équilibre
thermique dépend de la valeur de D. Ainsi, pour un objet d'épaisseur e, l'équilibre est atteint à
10 % près en un temps τ = e2/D.
La conduction thermique en régime variable n'est pas toujours abordable avec des outils
analytiques classiques : il existe pour cela des abaques et des logiciels appropriés.
Toutefois pour résoudre ce type de problème des méthodes analytiques basées sur les
transformations intégrales peuvent être utilisées ; à savoir :
! la transformation de Laplace pour les problèmes de valeurs initiales, i.e. d’évolution
temporelle de T,
! la transformation de Fourier utilisée de préférence soit pour les problèmes de valeurs
aux limites, soit pour des problèmes périodiques quant à leur évolution temporelle,
! dans le cas où l’on a affaire à un problème 1D sans source interne, on peut résoudre
l’équation de la chaleur par la méthode de séparation des variables,
! on peut aussi rechercher des solutions auto-similaires, non traité dans ce cours.
IV-
Convection thermique
1.
Introduction
On envisage uniquement des transferts entre solides et fluides (et non des transferts entre
fluides). On dit qu'il y a convection lorsqu’il y a déplacement de la matière. Ce phénomène est
très complexe car il concerne aussi bien les gaz que les liquides dans des situations qui
peuvent être très différentes. Dans un écoulement de fluide en contact avec une paroi solide,
il existe le long de la paroi, une mince couche de fluide qui s'écoule très lentement car le
fluide est comme accroché aux aspérités de la paroi; on admet qu'il n'y a pas d'échange de
matière et que dans cette région la chaleur ne peut se transmettre que par conduction. Au
sein du fluide, la chaleur se transmet par mélange des particules de fluide, provoquant ainsi
une égalisation rapide de la température; on parle ainsi de température de mélange du fluide Tf.
Si le mouvement des molécules provient de la différence de masse volumique du fluide en
différents points à cause des transferts de chaleur: c'est la convection naturelle (la
distribution de température engendre son propre mouvement en créant des forces
d’Archimède). Ce mouvement peut être accentué par un mécanisme (pompe, ventilateur,
vent…): c'est la convection forcée.
La convection entre une surface et un fluide est en fait un problème de conduction dans
un milieu en mouvement. Les équations à mettre en œuvre sont celles de la mécanique des
fluides et celles de la conduction.
Cohard 02
14/29
I
Toutefois, les problèmes de convection thermique sont trop difficiles pour admettre des
solutions
mathématiques
rigoureuses.
En
mvt
convection naturelle ou en convection forcée, on
du fluide
Couche
utilise une forme modifiée et empirique de la loi de
fluide
Fourier.
mince Paroi solide
Tp
P = h.(Tp – Tf)
[W/m²]
où h représente le coefficient d’échange
thermique par convection ou simplement le
« coefficient de convection » [W /m².K]
P
Fluide Tf
En fait, le problème est repoussé car il
s’avère que h n’est pas constant et que sa
détermination n’est pas aisée. On a exprimé le
coefficient h globalement pour l’ensemble de la surface, il s’agit donc d’une valeur moyenne
pour le système. En fait h varie localement. D’autre part on montre que h varie en fonction :
! de la nature du fluide,
! des températures en présence (h croît avec T),
! de la vitesse de circulation du fluide au voisinage de la plaque (h croît avec la vitesse),
! de l’orientation de la surface (verticale, horizontale, etc.),
! des dimensions de la surface.
L’étude expérimentale de toutes ces possibilités n’est pas envisageable. On peut donc
procéder au cas par cas et essayer un échangeur, un corps de chauffe, etc., pour obtenir de cet
appareil un coefficient d’échange valable mais uniquement pour un cas. Heureusement, il existe
un outil en physique, l’analyse dimensionnelle, qui permet de mettre en évidence que l’on
peut regrouper les paramètres qui influent sur un phénomène. Les groupes ainsi formés
constituent un nombre de variable beaucoup plus réduit. Pour la convection, nous allons étudier
la composition de ces groupes, qui auront la particularité d’être adimensionnels.
Les coefficients de convection de l'air varient largement selon les conditions, en particulier
selon son humidité et sa vitesse d'écoulement. Alors que le coefficient de convection naturelle
peut varier de 5 à 25 W/(m²°C), le coefficient de convection forcée peut varier entre 10 et 200
W/(m²°C).
Dans l'eau, le coefficient de convection naturelle est de l'ordre de 20 à 100 W/(m² °C). En
eau agitée, h sera compris entre 50 et 10 000 W/(m²°C), entre 3 000 et 100 000 W/(m²°C) dans
de l'eau en ébullition.
Le coefficient de convection relatif à la vapeur d'eau en condensation est de l'ordre de 5
000 à 100 000 W/(m²°C). Toutefois la présence d'air mélangé à la vapeur peut réduire
sensiblement la valeur de h (de 10 000 W/(m²°C) lors d'une stérilisation en vapeur pure, à 1300
W/(m²°C) en mélange air 50% / vapeur 50%).
2.
Convection naturelle
2.1. Analyse dimensionnelle
Le principe de cette méthode consiste à décrire un phénomène en fonction d’un certain
nombre de grandeurs (n), parmi lesquelles certaines (k) sont indépendantes ou fondamentales,
les autres ayant leurs variations liées aux variations des premières.
Théorème de Vaschy-Buckingham :
Cohard 02
15/29
I
Si l’on étudie une fonction implicite du type : f (p,q,r,…) = 0
comportant n variables p,q,r,… l’analyse dimensionnelle démontre qu’il est possible de
l’exprimer sous la forme :
F (P,Q,R,…) = 0
P,Q,R,… étant des groupements de variable de la forme pα.qβ.rγ. … Ces groupements
doivent être adimensionnels, c’est à dire sans unité. Le nombre de ces groupements n’est pas
quelconque, il est égal à la différence entre le nombre de variables (n) et le nombre de
grandeurs fondamentales (k) intervenant dans ces variables.
Dans le cas de la convection naturelle, Si une molécule du fluide
est en contact avec la paroi, elle se réchauffe (ou se refroidi). il y a donc
une dilatation locale du fluide et ainsi, la densité locale du fluide
diminuant, la molécule s'élève (poussée d'Archimède) et est remplacée
aussitôt par une autre molécule voisine : c'est un mouvement naturel. Il
s'effectue à l'intérieur d'une couche d'épaisseur donnée parallèle à la
paroi, dite "couche limite". Les variables définissant le mouvement
naturel sont donc (n = 9):
! ρ:masse volumique [kg/m3],
! Cp:
chaleur spécifique du fluide
[J/kg.K],
! µ:viscosité dynamique du fluide [kg/m.s],
! λ:conductivité thermique du fluide [W/m.K],
! β:
coefficient de dilatation du fluide [K-1],
! D:
dimension caractéristique de la surface d'échange [m],
! ∆T:
différence de température entre le mur et le fluide
[K],
2
! g:
accélération de la pesanteur
[m/s ],
! h:
coefficient d’échange
[W/m².K].
T z
m
m
Tp > T
Recherchons les grandeurs fondamentales utilisées. De manière explicite, on voit
apparaître masse, longueur, temps et température. Les quatre grandeurs fondamentales sont
utilisées (k = 4). On les ferait apparaître dans l’expression de l’énergie et de la puissance :
[ kg ][ m] ²
[ kg ][ m] ²
[J ] =
[W ] =
3
[ s] ²
[s]
On peut à priori envisager 5 groupes (= n – k) sans dimension du type :
ρ a .Cp b .µ c .λ d .β e .D f .∆T j .g k .hl = P
L’équation aux dimensions d’un groupement s’écrit alors :
 kg 
 m3 
a
 m² 
.
 s ² × K 
b
 kg 
.
 m × s 
c
 kg × m 
. 3
 s × K 
d
e
f
j m
1
.   .[ m ] .[ K ] .  
K 
 s² 
k
l
 kg 
=0
. 3
 s × K 
Ces groupement étant sans dimension, on peut écrire 4 équations reliants les exposants
a,b ,c, …qui traduisent l’indépendance en [m], [s], [kg], [k] de ces groupement. On peut fixer
judiscieusement 5 de ces valeurs, les quatre autres sont déduites des équations précédentes.
On retrouve alors le nombre de Reynolds Re, le nombre de Nusselt Nu, le nombre de Prandtl
Pr et le nombre de Grashof Gr et le nombre de Stanton St.
Le problème de la convection dépend donc de ces 5 nombres adimensionnels.
nombres adimensionnels :
Cohard 02
16/29
I
Nombre de REYNOLDS :
Rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité,
ρ×V × D
Re =
caractérise l'écoulement dans une canalisation.
µ
ρ
: masse volumique du fluide
[kg/m ],
v
: vitesse moyenne du fluide
[m/s],
D
: plus petite dimension géométrique du problème, diamètre Dh pour une
canalisation en [m], largeur L pour une plaque,
µ
: viscosité dynamique du fluide [Pa.s].
Dh
: diamètre hydraulique, Dh = 4.S / P
(Surface, Périmètre)
! Tube rectangulaire
Dh = 4.a.b / 2.( a + b ) = 2.a.b / ( a + b )
! Espace annulaire
Dh = 4 [ π . ( D2² - D1² ) / 4 ] / ( π . D1 + π . D2 ) = D2 - D1
! Espace entre deux plans Dh = 2.b
3
Nombre de NUSSELT : Rapport de la quantité de chaleur échangée par convection à la
quantité de chaleur échangée par conduction.
Nu = h × D
λ
h
λ
: coefficient d'échange convectif en [W/m².K],
: conductivité thermique du fluide en [W/m.K].
Nombre de PRANDTL : Caractérise la distribution des vitesses par rapport à la
µ × Cp
Pr =
distribution des températures, c’est une caractéristique du fluide.
λ
Cp
: capacité thermique massique du fluide en [J/kg.K].
Nombre de STANTON ou de MARGOULIS :
de chaleur de référence par convection.
Rapport du flux de chaleur à un flux
h
St = Ma =
= Nu
ρ × V × Cp
Re×Pr
Nombre de GRASHOF :
(remplace Re)
β
∆T
Caractérise l'écoulement en convection naturelle
g × β × ρ ² × D 3 × ∆T
Gr =
µ²
: dilatabilité du fluide en [K-1] ,
: différence de température entre fluide et paroi : ∆T = Tparoi – Tfluide.
Nombre de Rayleigh : Caractérise l'écoulement en convection naturelle (remplace Re)
g × β × D 3 × ∆T
Ra = Pr.Gr =
α ×υ
α = λ / (ρ x Cp)
: diffusivité thermique [m²/s] ,
ν = µ /ρ
: viscosité cinématique du fluide [m²/s].
2.2.
Forme modifiée de la loi de Fourier - le nombre de Nusselt :
L’analyse dimensionnelle a permis de définir 5 nombre sans dimension pour caractériser
le phénomène de la convection. L’analyse expérimentale permet d’établir en fonction de ces
nombres l’expression des différentes grandeurs physiques et des flux. Aussi, la loi de Fourier
modifiée qui exprime le flux de chaleur s’écrit maintenant :
P = λ.Nu.S.DT/d
Cohard 02
17/29
I
où S est une surface traversée par le fluide, d une dimension "caractéristique" de l'objet (la
hauteur h d'un radiateur par exemple), λ la conductibilité thermique du fluide et Nu le nombre
de Nusselt.. Physiquement, ce nombre représente le rapport entre le transport de chaleur en
régime convectif et le transport de chaleur en l’absence de mouvement du fluide (régime
conducteur pur).
L'expression générale du « Nusselt » est :
Nu x = A × Ra x
où Ra est le nombre de Rayleigh, avec :
g × β × x 3 × ∆T
Ra x =
α ×υ
1/ 4
.
Dans le nombre de Rayleigh interviennent 6 termes : la constante de gravitation g, la
dimension caractéristique x du système, l'écart de température ∆T et le coefficient de dilatation
thermique à pression constante β d'une part, la diffusivité thermique α = k/(ρ.cp) et la viscosité
cinématique ν = η/ρ d’autre part. Ce nombre exprime la compétition entre les effets de la
poussée d’Archimède (termes g, ∆T et β), qui est « le moteur » de la convection, et de la
dissipation (terme ν et α) qui est le « frein » des mouvements convectifs. La dissipation au sein
du liquide (transformation de l’énergie convective en chaleur) augmente avec la viscosité et la
diffusivité thermique et tend en effet à aplanir les gradients thermiques responsables de la
poussée d’Archimède.
x
Cas d’une paroi solide verticale :
Pour une plaque verticale à la
température constante Tp supérieure à la
température
ambiante
Tair
du
fluide
environnant. La couche limite comporte une
zone laminaire puis une zone turbulente, la
transition entre les deux zones est quantifiée
par la valeur du nombre de Rayleigh local
Rax fonction de la coordonnée longitudinale x :
Couche limite
Zone turbulente
Raxc = 109
Dans la partie laminaire (Rax < 109), le
nombre de Nusselt Nu x intégré entre 0 et x
vaut :
1/ 4
Nu x = A × Ra x
avec A fonction du nombre de Prandtl :
Zone de transition
xc
Zone laminaire
Tair
Tp > Tair
Pr
0,01
0,1
1
10
100
A
0,24
0,37
0,53
0,62
0,65
Dans la zone turbulente (Rax > 109), le nombre de Nusselt Nu x est donné par :
2/5
Nu x =
1/15
0,0248×(Rax ) ×(Pr)
2/5
2/3

1+0,494×
(
Pr) 


Exemples : Evaluation du flux de chaleur transféré dans l’air par un radiateur constitué par
une plaque plane verticale, déperdition de chaleur par un mur, une vitre, ….
Cohard 02
18/29
I
Cas d’une plaque horizontale chaude :
Pour le cas de la plaque horizontale plusieurs cas doivent être envisagé selon l’origine de
la source de chaleur (plaque chaude, froide, en haut, en bas)
TS
T∞ < TS
T∞ > TS
TS
Convection au dessus
d’une plaque chaude
Ex : plancher
Convection en dessous
d’une plaque froide
Ex : sous le toit.
Nu = 0,54 Ra1/4
Nu = 0,15 Ra1/3
TS
T∞ > TS
T∞ < TS
TS
Convection au dessus
d’une plaque froide
Convection en dessous
d’une plaque chaude
Nu = 0,27 Ra1/4
Nu = 0,07 Ra1/4
si Ra est tel que 3.105 < Ra < 3.1010
si Ra est tel que 3.1010 < Ra < 1.1013
Cas des plaque inclinée :
On peut étendre le cas de la paroi verticale au plaque inclinée en
remplaçant g par g.cosθ dans l’expression du nombre de Rayleigh.
Cas du cylindre horizontal :
Si le cylindre est isotherme, alors le nombre de Nusselt moyen est
estimé par la relation :
1/ 6

0,387 Ra x
Nu x = 0,60 +
9 / 16

1 + (0,559 / Pr )
[
Cohard 02

8 / 27 

2
]
19/29
I
2.3. Convection en espace
limité (confiné)
turbulence dure
100
10
1
10
3
10
5
10
7
seuil de
seuil
convection d'instationnarité
Ra - 40000
6
Ra - 10
Les conditions de convection en
espace libre ne sont pas toujours réalisées. L’effet
des parois voisines peut souvent être négligé, c’est
l’hypothèse réalisée dans les exemples précédents.
Si deux surfaces sont assez proches, la
température du fluide varie de façon continue d’une
surface à l’autre. Si Ra < 2.103 alors :
P = λ.S.DT/d,
on est en conduction pure, on peut négliger la
convection. Si Ra > 2.103 alors
P = λ’.S.DT/d,
avec λ' = λ.Nu coefficient équivalent que l'on
calcule par:
Nu = 0,18 * (Ra)1/4
avec les caractéristiques de l'interstice
calculées à (T1 + T2)/2.
3.
turbulence douce
1000
convection
stationnaire
Comme on vient de le voir, la
dépendance du Nusselt en fonction du
Rayleigh est complexe, en dernier lieu
la courbe ci-contre résume pour de
nombreuses
situations
cette
dépendance. Elle permet d’obtenir le
nombre de Nusselt après calcul du
nombre de Rayleigh pour des
géométrie de type boite.
conduction
pure
10000
10
9
10
11
10
13
10
15
Ra
T2
Convection
espace limité
en
Convection libre
T2
T1
Convection forcée
T1
3.1. Analyse dimensionnelle
Dans le cas de la convection forcée, le mouvement du fluide est imposé par une force
extérieure, l’étude hydraulique est alors dissociée du problème thermique. On montre
l’existence d’une couche limite laminaire dans laquelle la température varie linéairement, et où
les transferts de chaleur se font essentiellement par conduction. Hors de la couche limite c’est
par mélange que se répartit la chaleur dans l’ensemble du fluide, et est donc lié à la masse
volumique et à la chaleur massique. Les variables mises en jeux sont donc(n = 7):
! ρ:
masse volumique [kg/m3],
! Cp:
chaleur spécifique du fluide
[J/kg.K],
! µ:
viscosité dynamique du fluide [kg/m.s],
! λ:
conductivité thermique du fluide [W/m.K],
! D:
dimension permettant de calculer la surface d'échange
[m],
! h:
coefficient d’échange
[W/m².K],
! V:
vitesse moyenne du fluide [m /s].
Cohard 02
20/29
I
Le théorème de Vaschy Buckingam nous permet de mettre en évidence 3 (= n – k)
nombres sans dimension.
On retrouve le nombre de Nusselt Nu, de Prandtl Pr et le nombre de Reynolds Re.
3.2.
Ecoulement forcé interne
Régime laminaire ( Re < 2000 )
Pour x / Dh grand ou A > 0,05 alors :
Nu=3,65
( )
Nu x = 1,077 × A −1 / 3 avec A= x × 1
Dh Re Dh ×Pr
Valeur moyenne pour toute la longueur L de la canalisation : Nu = 2,34 × A −1 / 3
Pour x / Dh petit ou A < 0,05 alors :
Régime turbulent ( Re > 2000 )
Nu = 0,023 × Re 0,8 × Pr 0, 4
gaz Pour L / D > 60 et 10 000 < Re < 120 000
liquide
Nu = 0.021 × Re
104 < Re < 5.106 et 0,6 < Pr < 2500
Nu = 0.021 × Re
Pour L / D < 60 ( tube court )
0.8
× Pr
0.43
0.8
× Pr
0.43
× Pr
0.43
×  Pr fluide 
 Pr paroi 
0.43
 Pr paroi 
0.43
0.8
3.3.
0.43
( )
0,7

×1+ D
L


Pour un tube en serpentin (∆ : pas du serpentin)
Nu = 0.021 × Re
 Pr paroi 
(
× 1+3,5×D
∆
)
Ecoulement forcé externe
Ecoulement autour d’un tube
! Faible Reynolds dans l’air ( 0,02 < Re < 140 )
Nu = (A + B.Ren).(Tf/Ttube)a
0,02 < Re < 44
0,45
0,24
0,56
-0,17
n
A
B
a
44 < Re < 140
0,51
0
0,48
-0,17
! Régime laminaire ( 1 < Re < 1 000 )
(
Nu = 0,43 + 0,5 × Re
0,5
)× Pr
0 , 38
 Pr fluide
×
 Pr
 paroi




0 , 25
! Régime turbulent ( 1 000 < Re < 2.105 )
Nu = 0,25 × Re × Pr
0, 6
Cohard 02
0 , 38
 Pr fluide
×
 Pr
 paroi




0 , 25
21/29
I
Pour les liquides, Nu , Re, Pr sont calculés avec les constantes physiques à la
température du fluide, Prfluide et Prparoi respectivement aux températures du fluide et de la paroi.
Pour les gaz, on omet les rapports Pr fluide et on calcule Nu , Re, Pr avec la température (Tp +
Prparoi
Tf)/2.
Ecoulement autour des surfaces cylindrique de section non circulaire
Nu = B.Ren
Re
n
B
d
5. 103 - 105
0,588
0,222
d
5. 103 - 105
0,675
0,092
d
4. 103 – 1,5
104
0,731
0,205
U
U
U
Ecoulement autour d’un faisceau de tubes
Pour le 1er rang
Pour le 2ème rang
(
Nu = 0,6 × (0,41 × Re
Nu = 0,9 × (0,23 × Re
Nu = 0,7 × (0,41 × Re
Nu = 0,6 × 0,23 × Re 0, 65 × Pr 0,33
0,6
0,6
Au-delà du 3ème rang Nu = 0,23 × Re
0 , 65
× Pr
Nu = 0,41 × Re × Pr
0, 6
aligné
× Pr
0 , 65
0 , 33
× Pr
)
)
)
0 , 33
× Pr 0,33
)
0 , 33
0 , 33
si faisceau aligné,
si faisceau quinconcé,
si faisceau quinconcé,
si faisceau quinconcé.
quinconcé
Ecoulement sur une surface plane
!
Régime laminaire
Pour les gaz
Cohard 02
( Re ≤ 3.105 )
Nu = 0,288 × Re x
0,5
22/29
I
( Re ≤ 5.106 )
Pour les liquides
Nu = 0,330 × Re x × Pr 0,33
0,5
! Régime turbulent ( 1 000 < Re < 100 000 )
( Re > 3.105 )
( Re > 5.106 )
Pour les gaz
Pour les liquides
V-
Nu = 0,0259 × Re x
4/5
Nu = 0,0290 × Re x
4/5
× Pr 0,33
Transfert thermique par rayonnement
1.
Généralités
1.1. Rayonnement électromagnétique
Contrairement aux deux autres modes d’échanges d’énergies que sont la conduction ou la
convection, le rayonnement ne nécessite pas l’existence d’un support matériel. Il se propage
dans le vide, comme dans tout type de milieu. Si ce milieu est homogène, il se propage en ligne
droite.
2.
Quelques définitions :
2.1.
Notion d'angle solide :
De la même façon que l'on définit un angle élémentaire dθ tel que ∫dθ = 2π pour un cercle,
on définit l'angle solide élémentaire dΩ tel que ∫dΩ = 4π pour une sphère. Il est exprimé en
stéradian (sr). Par analogie avec l'angle θ, l'angle solide Ω représente donc l'étendue spatiale
d'un objet vu d'un point donné distant de r (figure 4.2). On a dΩ = dS/r2.
2
y
3
z
dL
“ar
r
0
r
dq
x
x
dS
“calotte”
dW
0
y
Figure 4.2 - analogie angle / angle solide
De manière générale les grandeurs caractérisant le rayonnement pourront être :
! des grandeurs hémisphériques : grandeurs relatives à un rayonnement dans toutes
les directions de l’espace dans lequel un élément de surface peut recevoir ou émettre
un rayonnement ;
! des grandeurs directionnelles : grandeurs relatives à un rayonnement dans une
direction donnée.
Un corps sera dit isotrope si l’énergie qu’il rayonne est la même dans toutes les directions
de l’espace (rayonnement parfaitement diffus).
Cohard 02
23/29
I
2.2.
Energie rayonnante Q
L’énergie totale Q, exprimée en [J], émise par rayonnement par un corps est donc la
somme de l’énergie émise dans chaque longueur d’onde λ i. On peut donc écrire la relation
suivante, où ni est le nombre total de photons émis pour cette longueur d’onde:
Q = Σi ni.Q(λi)
2.3.
Flux énergétique Φ :
Le flux énergétique Φ est la puissance rayonnée par le corps dans tout l'espace, exprimé
en W. On a donc Φ = dQ/dt.
2.4.
Intensité énergétique Ι :
C'est le flux énergétique émis dans une direction (portion) donnée de l’espace :
Ι = dΦ/dΩ [W.sr-1]
2.5.
Radiance E :
C'est le flux émis dans un demi-espace par unité de surface de la source. On parle aussi
de "luminance", "émittance énergétique" ou "pouvoir émissif total".
E = 1/S . ∫Ι.dΩ = 1/S . ∫dΦ [Wm-2]
Lorsque l'on parle de radiance monochromatique, on considère E pour λ donnée (notée
dans ce cas Eλ).
1 1014
Eλ
2.6.
Notion de spectre
8 1013
De manière générale, un corps émet sur toute un
gamme de longueur d’onde. On parle alors de spectre
électromagnétique dont la courbe représente l’énergie
émise par un corps Eλ en fonction de la longueur d’onde.
6 1013
4 1013
2 1013
0
0 5.0 10-7 1.0 10-6 1.5 10-6 2.0 10-6 2.5 10-6 3.0 10-6
longueur d'onde (m)
Cohard 02
24/29
I
définition des ondes électromagnétiques
Thermique
Téléphones portables
n
Eλi
3.
Interaction rayonnement – matière
Le comportement de la matière vis à vis du rayonnement
est une fonction de la longueur d'onde.
Supposons un corps quelconque soumis à un rayonnement
incident monochromatique d'intensité Ι. Une partie de ce
rayonnement est ainsi réfléchie, une autre transmise et une
dernière absorbée (figure ci-contre). On définit ainsi :
! le coefficient de réflexion
ρ(λ) = Ιλr / Ι,
! le coefficient de transmission τ(λ) = Ιλt / Ι,
! le coefficient d'absorption
α(λ) = Ιλa / Ι.
Cohard 02
Ιλi
θi
θr
Ιλ r
Iλ a
Ιλ t
25/29
I
(on a évidemment: ρ + τ + α = 1)
Il est rappeler sur le graphe si dessus que le matériaux émet un rayonnement
indépendamment du rayonnement reçu.
Exemple : caractéristique optique du verre
τ(λ) = incidence normale
Verre ordinaire
e=3 mm
0,75
Verre spécial
catathermique
0,5
0,25
1
2
3
4
5
λ (µm)
Caractéristique en incidence normale vis-à vis du
rayonnement solaire (0,4 < λ <0,8 µm)
Nature du verre
épaisseur
ρ
τ
α
Verre blanc «planilux»
Verre teinté «parasol»
Bronze
Corail
Gris
Vert
Verre traité en surface
Antélio
Parélio clair
Parélio gris
3 mm
6 mm
10 mm
0,08
0,08
0,08
0,91
0,89
0,88
0,01
0,03
0,04
6 mm
6 mm
6 mm
6 mm
0,05
0,07
0,05
0,07
0,50
0,71
0,44
0,74
0,45
0,22
0,51
0,19
6 mm
6 mm
6 mm
0,34
0,34
0,32
0,44
0,47
0,28
0,22
0,19
0,40
Enfin, les rayonnements réfléchis et transmis
peuvent varier en fonction de la direction. La
direction θr = θi est appelé direction spéculaire.
Cohard 02
26/29
I
4.
Rayonnement électromagnétique et température
Tout corps porté à une température T (° K) non nulle émet de l'énergie sous forme de
rayonnement photonique. Réciproquement, un corps soumis à un rayonnement extérieur peut
en absorber une partie qui se transforme en chaleur et élève sa température.
4.1.
Corps noir :
Un corps noir est un corps qui absorbe tout le rayonnement qui lui parvient, quelque soit
la longueur d'onde λ. Ceci signifie donc ici que α = 1 et ρ = τ = 0.
Par opposition au corps noir, les corps dont α est différent de 1 sont dits "gris".
3.2. Emissivité :
Un corps est caractérisé par une émissivité ε définie par le rapport du rayonnement
absorbé sur celui reçu.
ε = Φa / Φ
Par conséquent, pour un corps noir, ε = 1.
Un corps en équilibre thermique absorbe, pour chaque longueur d'onde λ, autant d'énergie
rayonnante qu'il peut en émettre (ε = α) : c’est la loi de Kirchoff qui sert en pratique à la mesure
de ε.
5.
Lois fondamentales du rayonnement
La recherche d’une loi caractérisant le rayonnement émis par un corps noir porté à une
température T est à l’origine historique du développement de la théorie quantique et de
l’interprétation du rayonnement en terme de photons.
La formule correcte fut trouvée dans les dernières semaines du XIXème siècle par Max
Planck. Elle repose sur le caractère discret (niveaux d’énergie) de la répartition de l’énergie
dans la matière. Le rayonnement d’un corps étant lié à l’énergie des particules qui le
constituent, tout passage d'une particule d'un niveau à un autre se traduit par l'émission d'un
photon de fréquence fi et d'énergie élémentaire données par la relation d'équivalence :
avec h = 6,6263.10-34 [J.s] (Constante de PLANCK)
Q(λi) = h.fi [J]
où l'indice (λi) signifie que l'énergie élémentaire Q est celle d'un seul photon émis à la
fréquence fi = c/λi .
! λ : longueur d’onde : distance parcourue par l’onde pendant une pulsation,
! c : vitesse de propagation de l’onde. Elle est maximale dans le vide : c = 2,9979.108
[m/s]. Elle dépend du milieu traversé et de son indice de réfraction n :
c = c0/n, et
λ = λ0/n
Ces sauts d’énergie sont liés à l'agitation thermique des particules constituant le corps, et
donc à sa température.
Cohard 02
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I
5.1.
Loi de Planck :
Elle s’écrit : E λ =
2.π .h.c 2 .λ−5
3,746.10 −16.λ−5
=
 h.c 
 1,4387.10 − 2 
exp
 − 1
 − 1 exp
 k .λ .T 
λ
T


Cette loi peut être traduite qualitativement de la façon suivante : l’énergie émise par un
corps noir dans un intervalle centré autour d’une longueur d’onde λ augmente très rapidement
avec la longueur d’onde, atteint un maximum puis retombe très vite encore. Cette distribution
de l’énergie en fonction de λ ne dépend pas de la nature de la matière avec laquelle interagit le
rayonnement mais uniquement de sa température.
Un exemple de courbe de Eλ en fonction de λ à T fixée
est donné ci-contre. Il correspond au rayonnement solaire.
Les traits en pointillés délimitent le domaine du visible : belle
illustration de l'adaptation naturelle de l'oeil humain!
5.2.
Loi de Stefan-Boltzmann :
La radiance E correspond à l’aire de la courbe E(λ)
donnée par la loi de Planck. La radiance est ainsi l’énergie
totale émise par un corps à une température T sur tout le
spectre de longueur d’onde. Elle s’écrit :
E = ε.σ.T4
Où σ = 5,675.10-8 W.m-2.°K-4 est une constante déterminée grâce à la thermodynamique
statistique.
On remarquera sur la figure précédente, que le corps noir est le corps qui, porté à une
température T donnée, émet le rayonnement maximal.
T (K)
λmax
(µm)
L'abcisse du maximum de la courbe de Eλ en fonction de λ est
donnée par :
λmax . T = 2.89. 10-3
300
9,66
500
5,80
750
3,86
On voit que λmax est inversement proportionnelle à la température
absolue. Le tableau ci-contre donne les valeurs de λmax pour quelques
températures.
1000
2,90
2000
0,97
5780
0,50
5.3.
6.
Cohard 02
Loi de Wien :
Transferts par rayonnement entre surface
28/29
I
Le rôle du rayonnement dans les transferts de chaleur entre surfaces est d'autant plus
important que l'écart de température entre elles est grand. Nous nous plaçons, dans cette
partie, à l'équilibre thermique.
6.1.
Entre corps noirs :
Soient deux surfaces planes de corps noirs en regard, de
températures respectives T1 et T2.
Φ1
Φ2
La surface (1) émet Φ1 = σ.S.T14 et absorbe Φ2 = σ.S.T24. La
puissance cédée par (1) à (2) est donc :
Φ1→2 = σ.S.(T14 - T24).
La réciproque s'applique à la surface (2).
6.2.
T1 > T2
T2
Si une seule des surfaces est noire :
La surface (1) émet toujours Φ1 = σ.S.T14. La surface (2) absorbe ε.Φ1 et réfléchit (1 ε).Φ1. Elle émet en plus Φ2 = σ.ε.S.T24. La puissance cédée par (1) à (2) est donc :
Φ1→2 = ε.Φ1 - Φ2 = ε.σ.S.(T14 - T24).
6.3.
Entre corps gris :
C'est un processus cumulatif. La surface (1)
émet Φ1 = ε1.σ.S.T14. La surface (2) absorbe ε2.Φ1
et réfléchit (1 - ε2).Φ1. Par conséquent, la surface
(1) absorbe alors ε1.(1 - ε2).Φ1 et elle réfléchit :
(1-ε1).(1-ε2).Φ1, etc. La réciproque s'applique
à la surface (2).
On obtient des séries en ε1 et ε2 (identités
remarquables) et on aboutit ainsi à la puissance
cédée par (1) à (2):
(ε1.ε2 )/(ε2 + ε2 - ε1.ε2) . σ.S.(T14 - T24).
Cohard 02
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conduction thermique. - Laboratoire d`étude des Transferts en

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