Mesure et gestion des risques d`assurance

Mesure et gestion des risques
d’assurance
d’
Analyse critique des futurs référentiels prudentiel
et d’information
d information financière
Congrès annuel de l’Institut des Actuaires
26 juin 2008
Pierre THEROND
[email protected]
th
d@ i t
i f
http://www.pierretherond.fr
C t t
Contexte
L’environnement
de
l’assurance
en
Europe
p
se
transforme
radicalement.
Les nouveaux standards prudentiels et d
d’information
information financière ont
pour objectif de conduire les assureurs à mieux identifier, analyser et
gérer les risques auxquels ils sont soumis.
Le travail effectué a pour objectif d’analyser ces changements,
d’identifier leurs limites et d’anticiper leurs conséquences sur la
gestion effective d’une société d’assurance.
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O
Organisation
i ti de
d la
l thèse
thè
Partie 1 : Nouvelles approches
pp
comptable,
p
prudentielle
p
et
financière des risques en assurance
Chapitre 1 : Traitement spécifique du risque : aspects théoriques
Chapitre 2 : Traitement spécifique du risque : aspects pratiques
Chapitre 3 : Incidence sur la gestion technique d’un assureur
Partie 2 : Modélisations avancées en assurance
Chapitre 4 : Limites opérationnelles : la prise en compte des extrêmes
Chapitre 5 : Prise en compte de la dépendance
Chapitre 6 : Techniques de simulation
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S
Sommaire
i
1. Nouveaux référentiels prudentiel et
d’information
d
information financière
2. Incidence sur la gestion technique
3. Limites conceptuelles
4. Limites opérationnelles du modèle interne
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1 Nouveaux
1.
N
référentiels
éfé
ti l
1. Présentation
MCEV
Valorisation économique
(transactions)
Information financière
Valeur de la compagnie
Information Rentabilité des affaires
fournie
en portefeuille (et des
affaires nouvelles)
Objectifs
Niveau
d'application
Valorisation
des
engagements
d'assurance
Valorisation
des risques
Actualisation
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Social puis consolidé
Solvabilité 2
IFRS phase 2
Contrôle prudentiel
Information financière
Provisions techniques
Exigence de fonds
propres
Provisions techniques,
techniques
Capitaux propres
(variation des éléments
d'actifs et de passifs)
Social puis consolidé
Consolidé
Current Exit Value :
montant qui serait exigé
Espérance complétée de
en contrepartie du
la valeur de l'ensemble Espérance + marge pour
transfert de
des options et des
risque
l'engagement sur un
marché (espérance +
garanties financières
marge pour risque +
marge pour service)
marge pour risque
explicite (CoC ou VaR) au marge pour risque, au
Risques valorisés à
niveau du portefeuille
niveau du portefeuille,
travers les cash-flows
+
qui correspond à une
futurs et les options &
capital de solvabilité
prime de risque
garanties
(SCR) qui doit contrôler normalement disponible
le risque global de la
sur les marchés
compagnie
Taux sans risque
Taux sans risque
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Taux sans risque
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1 Nouveaux
1.
N
référentiels
éfé
ti l
2. Traitement du risque
q
Traitement différencié par nature du risque :
‰ Risques financiers : valeur de marché ou du portefeuille de
couverture.
‰ Risques non-financiers : Best Estimate + marge pour risque
explicite.
li it
Divergences ?
‰ Notion de marge pour risque
‰ Hypothèses entity
entity-specific
specific
‰ Primes futures
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Sommaire
i
1. Nouveaux référentiels prudentiel et
d’information
d
information financière
2. Incidence sur la gestion technique
3. Limites conceptuelles
4. Limites opérationnelles du modèle interne
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2 IIncidence
2.
id
sur la
l gestion
ti
technique
t h i
1. Modélisation de la société d’assurance
‰ Assureur non-vie à 2 branches (sinistralité log-normale et
dépendance modélisée par une copule de Franck)
‰ Portefeuille financier à composer parmi un actif sans risque et un
actif dont le cours suit le modèle de Merton (1976) :
‰ L0 le niveau des provisions pour sinistres en 0 ;
‰ E0 le niveau des fonds propres en 0.
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2 IIncidence
2.
id
sur la
l gestion
ti
technique
t h i
2. Critère d’allocation optimale
p
d’actif
‰ Provision « économique » :
‰ Fonds propres « économiques » :
‰ Maximisation du rendement des fonds propres investis :
‰ Sous ll’hypothèse
hypothèse d
d’indépendance
indépendance entre rendements financiers et
sinistralité :
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2 IIncidence
2.
id
sur la
l gestion
ti
technique
t h i
3. Cadre p
prudentiel Solvabilité 1
‰ L’exigence minimale de fonds propres (EMS) est indépendante
de la composition du portefeuille d’actifs.
‰ Le critère devient :
‰ Existence d
d’une
une unique solution non-triviale
non triviale si et seulement si :
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2 IIncidence
2.
id
sur la
l gestion
ti
technique
t h i
3. Cadre p
prudentiel Solvabilité 1
Probabilité de ruine en
fonction de ω
Provision « économique »
en fonction de ω
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2 IIncidence
2.
id
sur la
l gestion
ti
technique
t h i
4. Cadre p
prudentiel Solvabilité 2
L’exigence minimale de fonds propres (SCR) dépend de la
composition du portefeuille d’actifs :
⎡
S1 + S2 ⎤
⎪⎧
⎪⎫
inf ⎨ E0 ≥ 0 Pr ⎢ ω1 A1 + (1 − ω1 ) A2 ≤
⎥ ≤ 0, 5% ⎬
E0 + L0 ⎦
⎪⎩
⎪⎭
⎣
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2 IIncidence
2.
id
sur la
l gestion
ti
technique
t h i
4. Cadre p
prudentiel Solvabilité 2
L’allocation optimale maximise :
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Sommaire
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1. Nouveaux référentiels prudentiel et
d’information
d
information financière
2. Incidence sur la gestion technique
3. Limites conceptuelles
4. Limites opérationnelles du modèle interne
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3 Li
3.
Limites
it conceptuelles
t ll
Les p
principales
p
limites conceptuelles
p
des nouveaux référentiels
prudentiels et d’informations financières proviennent de l’utilisation des
méthodes de valorisation issues de la finance de marché aux contrats
d’assurance :
d’
‰ absence de prix observables ;
‰ comportement des assurés (rachat, primes futures, conversion en
rente, etc.) ;
‰ comportement
t
t de
d l’assureur
l’
(dé i i
(décisions
d gestion)
de
ti ) ;
‰ valorisation vs gestion du risque.
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3 Li
3.
Limites
it conceptuelles
t ll
1. Futures décisions de gestion
g
La valorisation de contrats à long terme nécessite de modéliser les
futures décisions de gestion de l’assureur. Notamment :
‰ gestion des actifs financiers (allocations stratégiques, réalisations
des plus-ou-moins values latentes),
‰ gestion de la PB (dotation et incorporation).
En pratique, deux sociétés identiques mais qui anticipent une gestion
différente vont donner deux valeurs différentes à leurs engagements.
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3.
Limites
it conceptuelles
t ll
1. Futures décisions de gestion
g
Exemple : gestion d’actifs d’un contrat d’épargne en euros
Distribution empirique de la revalorisation l'épargne au terme
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3.
Limites
it conceptuelles
t ll
2. Valorisation vs gestion
g
Exemple : contrat d’épargne en euros
Densité empirique de la valeur actuelle des prestations futures
Sans couverture
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Avec couverture
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Sommaire
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1. Nouveaux référentiels prudentiel et
d’information
d
information financière
2. Incidence sur la gestion technique
3. Limites conceptuelles
4. Limites opérationnelles du modèle interne
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4.
Limites
it opérationnelles
é ti
ll du
d modèle
dèl interne
i t
La calcul du capital
p
de solvabilité ((SCR)) n’est p
pas simple
p :
‰ l’assureur n’observe pas directement la variable d’intérêt (le
résultat),
‰ le quantile à estimer est d’un ordre très élevé (99,5 %).
En pratique, le SCR pourra être déterminé à partir :
‰ d
d’une
une formule standard (cf.
(cf QIS 3),
3) ou
‰ d’un modèle interne.
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4.
Limites
it opérationnelles
é ti
ll du
d modèle
dèl interne
i t
La modélisation directe du résultat de la compagnie
p g
n’est p
pas p
possible:
‰ nombre de données disponibles restreint,
‰ absence d’observations dans la queue de distribution,
‰ observations pas nécessairement homogènes.
Il ss’avère
avère donc nécessaire de bâtir un modèle interne sur :
‰ la modélisation des variables de base qui induisent un risque sur
la solvabilité de l’assureur : sinistralité,, rendement financier,, etc.
‰ la modélisation de leurs interactions ;
‰ les techniques de Monte Carlo qui permette de simuler des
réalisations.
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4.
Limites
it opérationnelles
é ti
ll du
d modèle
dèl interne
i t
1. Typologie
yp
g des risques
q
opérationnels
p
La mise en place d’un modèle interne expose l’assureur aux risques :
‰ de modèle des variables de base et de leurs interactions. Les
modèles usuels (d’actif comme de passif) tendent à sous-estimer
les queues de distribution ;
‰ d’estimation
d’ ti ti des
d paramètres
èt
d variables
des
i bl de
d base
b
;
‰ de simulation.
Par ailleurs, que l’on travaille sur des données réellement observées
ou simulées, l’estimation d’un quantile extrême fait apparaître un
nouveau risque d’estimation.
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it opérationnelles
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ll du
d modèle
dèl interne
i t
1. Typologie
yp
g des risques
q
opérationnels
p
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Limites
it opérationnelles
é ti
ll du
d modèle
dèl interne
i t
2. Estimation d’un q
quantile élevé
Plusieurs approches sont envisageables :
‰ estimation empirique naturelle : Xk,n estimateur naturel du
quantile d’ordre 1 – (k – 1) / n ;
‰ méthodes bootstrap
p ((classique,
q ,p
percentile,, BCa,, etc.)) ;
‰ théorie des valeurs extrêmes.
La dernière approche donne les meilleurs résultats.
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Limites
it opérationnelles
é ti
ll du
d modèle
dèl interne
i t
2. Estimation d’un q
quantile élevé
La théorie des valeurs extrêmes propose principalement deux
approches :
‰ méthodes semi-paramétrique : estimateurs de Pickands (1975) et
de Hill (1975) (théorème taubérien)
‰ ajustement Pareto Généralisé (théorème de Pickands-Balkemade Haari).
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it opérationnelles
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d modèle
dèl interne
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2. Estimation d’un q
quantile élevé
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Limites
it opérationnelles
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ll du
d modèle
dèl interne
i t
3. Robustesse du SCR
Considérons un modèle interne simplifié (inspiré de Deelstra et
Janssen (1998)) dans lequel :
‰ les prestations sont distribués selon une loi log-normale et sont
payées en fin d’année ;
‰ le rendement financier des actifs est gaussien.
‰ prestations et rendement financier sont supposés indépendants.
Notons a0 le montant de l’actif
l actif initial dont doit disposer l’assureur
l assureur pour
être solvable en fin d’année avec une probabilité de 1 – α.
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it opérationnelles
é ti
ll du
d modèle
dèl interne
i t
3. Robustesse du SCR
On peut déterminer la sensibilité du SCR aux paramètres des modèles
d base
de
b
:
Une erreur de 1% sur s conduit à une erreur de
sur a0.
Avec une VaR à 99,5 %, lorsque
l’erreur sur le paramètre est
amplifié d’un facteur 1,82.
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it opérationnelles
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ll du
d modèle
dèl interne
i t
3. Robustesse du SCR
Le recours aux techniques de simulation peut engendrer des erreurs
du fait (cf. Planchet et T. (2005c)) :
‰ des fluctuations d’échantillonnage liées au nombre limité de
tirages ;
‰ d’éventuels
d’é
t l biais
bi i de
d discrétisation
di éti ti ;
‰ des approximations utilisées pour inverser les fonctions de
répartition ;
‰ d’éventuels biais induits par un choix mal approprié du
générateur
de
nombres
aléatoires
(qualité
intrinsèque,
dépendance terme à terme, etc.)
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it opérationnelles
é ti
ll du
d modèle
dèl interne
i t
3. Robustesse du SCR
⇒ L’adéquation
L’ dé
i
d
des
modèles
dèl
d base
de
b
aux observations
b
i
d i être
doit
ê
testée sur les queues de distribution
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it opérationnelles
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ll du
d modèle
dèl interne
i t
3. Robustesse du SCR
Ajustement normal du
rendement journalier du
titre TOTAL
Les tests (Jarque-Béra
(Jarque Béra,
Lilliefors) ne rejettent pas
l’ajustement global.
Le modèle gaussien sousestime de 7,5 % le quantile
d’ordre 0,5 %.
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it opérationnelles
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ll du
d modèle
dèl interne
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3. Robustesse du SCR
Le modèle de base doit mieux représenter les queues de distribution :
‰ approche non-paramétrique difficilement intelligible ;
‰ nécessité de trouver un modèle paramétrique qui, sur la base du
même matériel statistique,
q , représente
p
mieux les observations.
Dans notre exemple, une version mono-périodique du modèle de
Merton (1976) remplit cet objectif.
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ll du
d modèle
dèl interne
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3. Robustesse du SCR
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4.
Limites
it opérationnelles
é ti
ll du
d modèle
dèl interne
i t
Conclusion
‰ Le critère retenu (VaR à 99,5 % à horizon 1 an) est peu robuste.
‰ Nombreux risques inhérents à la construction et ll’utilisation
utilisation d
d’un
un
modèle interne.
‰ Nécessité de mettre en p
place un p
processus de validation des
modèles internes rigoureux qui, pour autant, ne décourage pas
les assureurs.
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C
Conclusion
l i générale
é é l
Perspectives
p
de recherche :
‰ Queues de distributions de variables de base ;
‰ Dépendance des phénomènes extrêmes ;
‰ Comportement des assurés ;
‰ Futures
F t
dé i i
décisions
d gestion
de
ti ;
‰ Quantification des risques opérationnels.
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P bli ti
Publications
lié
liées à lla thèse
thè
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Planchet F., Thérond P.E. (2006) Pilotage technique d’un régime de rentes
viagères,
g
Paris : Economica.
Planchet F., Thérond P.E. (2007b) « Allocation d’actifs selon le critère de
maximisation des fonds propres économiques en assurance non-vie :
présentation et mise en oeuvre dans la réglementation
p
g
française
ç
et
dans un référentiel de type Solvabilité 2 », Bulletin Français d’Actuariat
7 (13), 10-38.
Planchet F.,
F Thérond P.E.,
P E Jacquemin J.
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Thérond P.E., Planchet F. (2007) « Provisions techniques et capital de
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d'une
une compagnie d
d'assurance
assurance : méthodologie d
d'utilisation
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Bibli
Bibliographie
hi principale
i i l
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management and risk theory », Applied Stochastic Models and
Data Analysis 14, 295-307.
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Events for Insurance and Finance,
Finance Springer Verlag,
Verlag Berlin.
Berlin
Frantz C., Chenut X., Walhin J.F. (2003) « Pricing and capital
allocation for unit-linked life insurance contracts with minimum
death guarantee », Proceedings of the 13th AFIR Colloquium,
Maastricht.
Merton R.C. ((1976)) « Option
p
pricing
p
g when underlying
y g stock returns are
discontinuous », Journal of Financial Economics 3, 125-44.
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