Physique du laser Notes de cours

physique
année scolaire 2014/2015
Physique du laser
Notes
de cours
mardi 10 mars 2015
L'oscillateur à pont de Wien
expérience de cours
Le système peut osciller pourvu que le gain de l'amplicateur soit G = 3. L'oscillateur démarre dès que le
gain dépasse les pertes. La saturation du gain (phénomène non linéaire) assure un fonctionnement stable
de l'oscillateur.
à installer mardi 10 mars 2015 en salle L111.
Figure 1 L'oscillateur à pont de Wien
I-
Les interactions entre la lumière et la matière
1. Position du problème
Système à deux niveaux
s'y retrouver
On s'intéressera à un système à deux niveaux d'énergie (E1 et E2 > E1 ), non dégénérés (c'est-à-dire
que le système est dans un seul état possible pour chacun de ces deux niveaux).
On notera N1 la population du niveau d'énergie E1 et N2 la population de celui d'énergie E2 .
La population totale N = N1 + N2 est constante.
spé PC
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année scolaire 2014/2015
Facteur de Boltzmann
s'y retrouver
À l'équilibre thermique à la température T (en kelvin), le rapport des populations des deux niveaux est
donné par le facteur de Boltzmann :
~ ω0
h ν0
E2 −E1
N1
= e kB T = e kB T = e kB T
N2
avec donc E2 − E1 = ~ ω0 = h ν0 et la constante de Boltzmann kB = 1, 38 × 10−23 J · K−1 et ~ =
1, 05 × 10−34 J · s est la constante de Planck réduite.
Loi de Planck
=
s'y retrouver
L'énergie est le produit de trois termes :
• l'énergie d'un photon h ν = ~ ω (en J) ;
• la densité d'états à la pulsation ω :
h
2π
(en m−3 · s) ;
• le nombre moyen de photons dans un état de pulsation ω :
ω2
π 2 c3
1
~ω
e kB T −1
(sans unités).
La densité spectrale du rayonnement (des photons) est donnée par la loi de Planck du corps noir dans
le cas de l'équilibre thermique :
uem (ω) =
~ ω3
π 2 c3
~ω
e kB T − 1
R∞
la densité d'énergie étant eem = ω=0 uem (ω) dω .
On pourra aussi utiliser la relation
uem (ω) = ϕ (ω) eem
R∞
où ϕ (ω) est le spectre du rayonnement : ω=0 ϕ (ω) dω = 1.
2. Le processus d'émission spontanée
Diagramme énergétique de l'émission spontanée
animation
La gure 2 représente le processus d'émission spontanée.
système dans un état excité
E2
E1
Figure 2 Diagramme énergétique de l'émission spontanée
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Émission spontanée
dénition
Lors de l'émission spontanée, le système passe du niveau d'énergie supérieure (E2 ), au niveau d'énergie
inférieure (E1 ) en émettant un photon d'énergie h ν0 = ~ ω0 = E2 − E1 .
La probabilité de l'émission spontanée est proportionnelle à la population du niveau d'énergie E2 :
dN1
dt
=−
spo
dN2
dt
= A21 N2
spo
avec A21 , le coecient d'Einstein relatif à l'émission spontanée.
Processus d'émission spontanée et cinétique d'ordre 1
s'y retrouver
On retrouve le même type de cinétique dite d'ordre 1 en radioactivité ou encore en chimie.
1 Élargissement du spectre d'émission spontanée
exercice
B Montrer que le coecient d'Einstein relatif à l'émission spontanée fait apparaître un temps caractéristique τ .
B Éstimer alors l'élargissement δν du spectre d'émission spontanée.
B Citer d'autres causes d'élargissement du spectre.
B τ = A121 .
B δντ ≈ 1, d'où δν ≈ A21 .
B Élargissement du spectre par eet doppler (pour les gaz), par choc (dit lorentzien pour la matière conden-
sée)...
3. Le processus d'absorption
Diagramme de l'absorption de photon
animation
La gure 3 représente le processus d'absorption de photon.
E2
système dans un état de basse énergie
E1
Figure 3 Diagramme de l'absorption de photon
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Absorption de photon
dénition
Lors de l'absorption d'un photon, le système passe du niveau d'énergie inférieure (E1 ) au niveau d'énergie supérieure (E2 ) en absorbant un photon d'énergie proche de h ν0 = ~ ω0 = E2 − E1 .
La probabilité de l'absorption d'un photon est proportionnelle à la population du niveau d'énergie E1 ,
mais aussi à la densité spectrale uem (ω0 ) en ω0 :
dN2
dt
=−
abs
dN1
dt
= B12 uem (ω0 ) N1 = B12 ϕ (ω0 ) eem N1
abs
avec B12 , le coecient d'Einstein relatif à l'absorption.
4. Le processus d'émission stimulée (ou émission induite)
Diagramme de l'émission stimulée
animation
La gure 4 représente le processus d'émission stimulée, c'est-à-dire induite par un photon.
système dans un état excité
E2
E1
Figure 4 Diagramme de l'émission stimulée
Émission stimulée
dénition
Lors de l'émission stimulée, le système passe du niveau d'énergie supérieure (E2 ), au niveau d'énergie
inférieure (E1 ) en émettant un photon d'énergie h ν = ~ ω , comme dans le cas de l'émission spontanée.
Cependant, cette émission est stimulée par l'arrivée d'un photon d'énergie proche de h ν0 = ~ ω0 =
E2 − E1 . Aussi, au terme de l'émission stimulée existent deux photons dit "jumeaux" car ayant les
mêmes caractéristiques.
La probabilité de l'émission stimulée est proportionnelle à la population du niveau d'énergie E2 , mais
aussi à la densité spectrale des photons uem (ω0 ) en ω0 :
dN1
dt
=−
sti
dN2
dt
= B21 uem (ω0 ) N2 = B21 ϕ (ω0 ) eem N2
sti
avec B21 , le coecient d'Einstein relatif à l'émission stimulée.
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5. Bilans de population
2 Relations entre coecients d'Einstein
exercice
B Écrire les lois d'évolutions des deux populations N1 et N2 .
B Réécrire ces relations dans le cas stationnaire et à l'équilibre thermique.
B En déduire les relations entre les coecients d'Einstein grâce à la loi de Planck du corps noir.
B On trouve
dN1
dt
=−
dN2
dt
= uem (ω0 ) (B21 N2 − B12 N1 ) + A21 N2
B Dans le cas stationnaire
uem (ω0 ) (B21 N2 − B12 N1 ) + A21 N2 = 0
et à l'équilibre thermique
E2 −E1
~ ω0
h ν0
N1
= e kB T = e kB T = e kB T
N2
B D'où
E2 −E1 uem (ω0 ) B21 − B12 e kB T + A21 = 0 ⇒ uem (ω0 ) =
A21
B21
B12
B21 e
E2 −E1
kB T
−1
On en déduit les relations entre les coecients d'Einstein :
B12 = B21 = B =
π 2 c3
A21
~ ω03
3 Comparaison des la probabilités de l'émission spontanée et de l'émission
stimulée
exercice
B Déterminer une condition sur ω0 et T pour que la probabilité de l'émission spontanée soit plus grande
que celle de l'émission stimulée.
B Est-ce le cas pour le Soleil ?
B À température ambiante, pour quel domaine de longueur d'onde la probabilité de l'émission spontanée
est-elle plus grande que celle de l'émission stimulée ?
B Pour que la probabilité de l'émission spontanée soit plus grande que celle de l'émission stimulée, il faut
que :
A21 N2 > B21 uem (ω0 ) N2 ⇔ A21 >
~ ω0
π 2 c3
A21 uem (ω0 ) ⇔ e kB T − 1 > 1
3
~ ω0
soit encore ~ ω0 > kB T .
B Pour le Soleil, ω0 ≈ 1016 rad · s−1 et T ≈ 5000 K, ce qui donne
qui domine.
B Cherchons λ tel que
~
~ ω0
kB T
≈
10−18
10−20
> 1 : c'est l'émission spontanée
hc
6, 6 × 10−34 × 3 × 108
2π c
> kB T ⇔ λ <
=
= 13 × 10−5 m
λ
kB T
1, 3 × 10−23 × 300
soit dans l'infra rouge : dans le visible, c'est l'émission spontanée qui domine.
II-
Les principes du LASER
1. L'amplication LASER
Causes d'amplication et d'absorption de la lumière
schéma
La gure 5 représente les particules matérielles du milieu qui, lors de l'incidence d'un photon (en bleu),
émettent de la lumière par émission stimulée (en vert), absorbent ou diusent la lumière par émission
spontanée (en rouge).
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•
•
Figure 5 Causes d'amplication et d'absorption de la lumière
4 Bilan de puissance dans un milieu amplicateur
exercice
On note I (z, t) l'intensité lumineuse (norme du vecteur de Poynting) d'une onde plane qui se propage
à la vitesse c suivant ~uz , avec une densité d'énergie eem (z, t).
B Exprimer eem (z, t) en fonction de I (z, t).
B Faire un bilan d'énergie électromagnétique pour un système de section S compris entre les abscisses
z et z + dz .
B Relier les pertes et les gains énergétiques de l'onde par unité de volume aux coecients d'Einstein, au
spectre du rayonnement (ϕ (ω)), à l'intensité lumineuse I (z, t) et aux populations par unité de volume
n1 et n2 des deux niveaux d'énergie E1 et E2 .
B Montrer que le bilan peut se réécrire
1 ∂I
∂I
+
= γ (ω) I − P
∂z
c ∂t
On exprimera le gain par unité de longueur γ (ω).
B I (z, t) = c eem (z, t) ⇒ eem (z, t) = I(z,t)
c .
B Dans le système de section S compris entre les abscisses z et z + dz ,
• à l'instant t, l'énergie électromagnétique est Eem (t) = eem (z, t) S dz ,
• à l'instant t + dt, l'énergie électromagnétique est Eem (t + dt) = eem (z, t + dt) S dz
Soit
dEem
∂eem (z, t)
=
S dz
dt
∂t
Le bilan peut s'écrire
∂I (z, t)
dEem
= +I (z, t) S − I (z + dz, t) S + C S dz − A S dz = −
dz S + C S dz − A S dz
dt
∂z
où C et A sont les création et annihilation par unité de volume. On peut donc écrire :
1 ∂I (z, t)
∂I (z, t)
=−
+C −A
c ∂t
∂z
B Les pertes (annihilation) sont dues à l'absorption et à l'émission spontanée (entre autres !) :
A = A21 N2 + B12 uem (ω0 ) n1 = A21 N2 + B12 ϕ (ω0 ) eem n1 = A21 N2 + B12 ϕ (ω0 )
I (z, t)
n1
c
Les gains (création) sont dûs à l'émission stimulée :
C = B21 uem (ω0 ) n2 = B21 ϕ (ω0 ) eem n2 = B21 ϕ (ω0 )
B Le bilan peut se réécrire
I (z, t)
n2
c
∂I
1 ∂I
+
= γ (ω0 ) I − P
∂z
c ∂t
avec le gain par unité de longueur γ (ω0 ) =
B ϕ(ω0 )
c
(n2 − n1 ).
Surface de contrôle pour un bilan d'énergie de l'onde électromagnétique schéma
La gure 6 représente le système entre z et z + dz pour le bilan d'énergie de l'onde électromagnétique.
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S
z
z + dz
Figure 6 Surface de contrôle pour un bilan d'énergie de l'onde électromagnétique
2. Le pompage optique et l'inversion de population
5 Évolution de l'intensité lumineuse au cours de la propagation dans un milieu
exercice
On admet que l'intensité lumineuse I (z, t) (norme du vecteur de Poynting), d'une onde plane qui se
propage à la vitesse c suivant ~uz dans un milieu matériel à deux niveaux d'énergie E1 et E2 de populations
par unité de volume n1 et n2 , suit la loi :
1 ∂I
∂I
+
= γ (ω0 ) I − P
∂z
c ∂t
avec le gain par unité de longueur γ (ω0 ) = k (n2 − n1 ), où k > 0.
B Intégrer cette équation diérentielle en absence de perte (P = 0) et en régime permanent.
E2 −E1
N1
= e kB T ), on
B Montrer que, du fait de l'équilibre thermique imposé par le facteur de Boltzmann ( N
2
trouve la loi de Beer-Lambert.
B Que faut-il si on veut qu'il y ait amplication plutôt qu'absorption de l'onde ?
B L'équation diérentielle en absence de perte (P = 0) et en régime permanent devient
dI
dI
= γ (ω0 ) I = k (n2 − n1 ) I ⇒
= k (n2 − n1 ) dz
dz
I
qui s'intègre en
I(z) = I0 ek(n2 −n1 ) z
B On retrouve la loi de Beer Lambert à l'équilibre thermique (n1 > n2 ) :
I(z) = I0 e−α z
B Mais s'il existe un moyen de maintenir n2 > n1 , on a I(z) croissant : il y a amplication de l'onde incidente.
Nécessité de l'inversion de population pour l'amplication
à retenir
Dans le cas de l'inversion de population, le niveau de plus haute énergie est plus peuplé que le niveau
de basse énergie (n2 > n1 ).
Il y a alors amplication de l'onde incidente qui augmente de façon exponentielle : c'est l'eet LASER.
Le milieu sera alors dit actif ou amplicateur (plutôt qu'absorbant), car l'émission stimulée devient
prédominante.
Pompage
s'y retrouver
Le pompage permet de réaliser l'inversion de population en peuplant le niveau d'énergie E2 plus que le
niveau d'énergie E1 qui doit pour cela se dépeupler très rapidement vers un état d'énergie plus basse.
Ce pompage peut être réalisé de diérentes façons :
• grâce à de l'énergie apportée de façon lumineuse (par des ashs par exemple). Ce "pompage optique"
a valu le prix Nobel à Alfred Kastler en 1966.
• grâce à de l'énergie apportée de façon électrique (par des décharges par exemple). Ce pompage est
par exemple utilisé dans le laser hélium-néon.
• grâce à toute autre méthode (passage du courant électrique dans les diodes lasers par exemple).
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Le pompage optique dans le cas du laser hélium -néon
schéma
La gure 7 représente les niveaux d'énergie (simpliés) de l'hélium et du néon pour la transition à 633 nm.
21 S
transferts par collisions
pompage par
décharges
électriques
E2 (3s)
E1 (3p)
désexcitation rapide
néon
hélium
Figure 7 Le pompage optique dans le cas du laser hélium -néon
3. La cavité LASER et le bouclage
Intérêt de la cavité LASER
s'y retrouver
Comme dans le domaine optique le phénomène d'émission spontanée est important, il va falloir que
l'onde électromagnétique traverse le milieu amplicateur à de nombreuses reprises pour être ampliée.
Schéma de l'oscillateur LASER
schéma
La gure 8 représente le schéma de principe d'un oscillateur optique.
cavité
milieu amplicateur
pompage
miroir
parfait
miroir
quasi parfait
photons
émis
Figure 8 Schéma de l'oscillateur LASER
6 Modes possibles de la cavité LASER
théorème
La cavité LASER de longueur ` impose par les conditions aux limites une résonance pour les ondes de
longueur d'onde λ et de fréquences ν telles que
`=n
λ
c
où n ∈ N ⇔ ν = n où n ∈ N
2
2`
⇒
Les modes propres de la cavité LASER de longueur ` ont pour fréquences
νn = n
Deux modes sont donc éloignés de ∆ν =
c
2`
c
où n ∈ N
2`
(c'est l'intervalle spectral libre de la cavité).
Les modes oscillants du LASER
schéma
La gure 9 représente les modes d'un laser. Seuls les modes pour lesquels le gain est supérieur au pertes
peuvent commencer à osciller (en régime permanent, les gains égalent alors les pertes pour ces modes).
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gains
νn−1
νn
pertes
νn+1
ν
gains > pertes
Figure 9 Les modes oscillants du LASER
Schéma de l'oscillateur de Wien en électronique
schéma
La gure 10 représente le schéma de principe d'un oscillateur électronique, comme celui de Wien.
G(ω)
amplicateur
H(ω)
ltre résonnant
Figure 10 Schéma de l'oscillateur de Wien en électronique
Analogie avec l'oscillateur de Wien en électronique
tableau
Le tableau 1 présente l'analogie entre les systèmes optique (LASER) et électronique (oscillateur de Wien
par exemple). L'objectif d'un oscillateur autonome est de fabriquer un signal sinusoïdal stable de fréquence
xée et d'amplitude assez importante à partir d'un signal non sinusoïdal d'amplitude très faible (bruit).
oscillateur
amplicateur
ltre
bouclage
apport d'énergie
oscillateur électronique
amplicateur non inverseur à AO
ltre passe bande (de Wien par exemple)
bouclage par rétroaction
alimentation de l'AO
LASER
milieu amplicateur (émission stimulée)
ltre Fabry Pérot (cavité)
réexion sur les miroirs
pompage
Table 1 analogie entre les oscillateurs optique et électronique
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III-
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L'optique LASER
1. Le faisceau du LASER
Amplitude de la vibration lumineuse
s'y retrouver
On admet que, sous certaines conditions, l'amplitude scalaire de la vibration lumineuse émise par un
laser est du type (dit "gaussien fondamental") :
à (r, z, t) = Ã0 f (r, z) e−i (ω t−ϕ(z))
en coordonnées cylindriques (r, θ, z).
Il ne s'agit pas d'une onde plane progressive monochromatique mais d'une onde qui se propage principalement suivant les z croissants, et qui est limitée dans l'espace, suivant la distance r à l'axe Oz .
L'amplitude est
f (r, z) =
r2
w0 − w(z)
2
e
w(z)
Waist et longueur de Rayleigh du faisceau gaussien
dénition
Le faisceau gaussien d'un laser est caractérisé par :
• sa taille minimale (ou "waist") notée w0 ,
• sa longueur de Rayleigh notée zR .
La taille du faisceau à l'abscisse z est
s
w(z) = w0
1+
z
zR
2
Faisceau gaussien d'un laser
schéma
La gure 11 représente l'évolution de l'extension du faisceau d'un laser au cours de sa propagation.
extension du faisceau laser
w0
zR
θ
z
faisceau conique
onde sphérique
faisceau cylindrique
onde plane
faisceau conique
onde sphérique
Figure 11 Faisceau gaussien d'un laser
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7 Comportements du faisceau à courte et longue distance
La limite de diraction due à l'ouverture w0 donne θ =
D'autre part, si z zR ,
w(z) ≈ w0
théorème
λ
π w0 .
z
w(z)
w0
⇒θ=
=
zR
z
zR
A courte distance, au contraire, w(z) ≈ w0 . ⇒
On retiendra que :
• pour |z| < zR , l'onde laser est quasi plane limitée, et le faisceau cylindrique de largeur w0 ,
• pour |z| zR , l'onde laser est quasi sphérique limitée (de centre O), et le faisceau conique d'ouver0
ture angulaire θ = π λw0 = w
zR .
8 Évolution de l'éclairement dans un plan transverse à la propagation exercice
B En admettant que l'amplitude scalaire de la vibration lumineuse émise par un laser est :
à (r, z, t) = Ã0
r2
w0 − w(z)
2
e
e−i (ω t−ϕ(z))
w(z)
déterminer l'évolution de l'éclairement I (r, z) dans un plan transverse z à la propagation.
B Comme I = k |Ã (r, z, t) |2 , on trouve
I (r, z, t) = I0
r2
w0 − w(z)
2
e
w(z)
2
= I0
w0
w(z)
2
e
r2
−2 w(z)
2
= I0
1+
w0
1
2 e
−2 r 2
2 !
z
1+
zR
z
zR
2. Transformation du faisceau d'un LASER par une lentille convergente
Focalisation du faisceau gaussien d'un laser
schéma
La gure 12 représente l'évolution de l'extension du faisceau d'un laser focalisé grâce à une lentille convergente.
0
zR
w0
θ0
w00
F'
Figure 12 Focalisation du faisceau gaussien d'un laser
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9 Extension de la tache de focalisation d'un laser
théorème
Un faisceau laser de caractéristiques w0 et zR incident sur une lentille convergente de focale f 0 est
0
transformé en faisceau laser de caractéristiques w00 et zR
.
0
λ f0
w0
w0
λ
0
0
0
0
Le schéma montre que θ = f 0 . Or d'autre part, θ = π λw0 = w
0 . Aussi, f 0 = π w 0 , soit w0 = π w .
zR
0
0
0
Comme l'ouverture de la lentille est w0 < f 0 , on trouve w00 > λ. ⇒
La tache de focalisation d'un laser est au moins de l'ordre de la longueur d'onde : w00 > λ.
Évolution des capacités de stockage des disques optiques
tableau
Le tableau 2 présente l'évolution des longueurs d'ondes et des capacités de stockage des disques optiques.
disque optique
CD
DVD
blu-Ray
année
1982
1997
2006
λ
780 nm
650 nm
405 nm
couleur
IR
rouge
bleu
capacité
0, 8 Go
8 Go
100 Go
Table 2 évolution des disques optiques
Conjugaison et faisceau gaussien d'un laser
schéma
La gure 13 représente l'évolution de l'extension du faisceau d'un laser pour lequel une lentille convergente
opère une conjugaison des deux "waists".
w0
zR
θ0
θ
0
−zR
w00
A
A'
Figure 13 Conjugaison et faisceau gaussien d'un laser
10 Réduction de la divergence du faisceau d'un LASER grâce à un un élargisseur de faisceau.
exercice
On s'intéresse à un faisceau laser de longueur d'onde λ, de waist w0 .
B Déterminer son angle de divergence θ à longue distance.
Le faisceau encore cylindrique est incident sur une lentille convergente L1 de focale f10 .
B Déterminer alors l'angle θ0 du faisceau après la lentille L1 .
Le faisceau divergent du laser susamment loin de L1 est incident sur une lentille convergente L2 de
focale f20 .
B Déterminer le waist w0 ” du faisceau émergent de L2 .
f0
B Montrer qu'un choix astucieux de f20 permet de conférer au faisceau laser émergent de L2 un angle
1
de divergence à longue distance θ” θ.
B L'angle de divergence à longue distance est θ =
B Après la lentille L1 , θ0 = wf 00 .
λ
π w0 .
1
B Le faisceau est incident sur la lentille L2 avec l'angle θ0 =
w0
w0 ”
0
f10 qui est aussi θ = f20 .
λ
π w0 ” . Or les précédentes relations
B L' angle de divergence à longue distance après L2 est θ” =
w0
w0 ”
0
f10 = θ = f20 . Aussi,
λ
f0 λ
θ” =
= 10
θ ⇔ f10 f20
π w0 ”
f2 π w0
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ont montré que
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Élargisseur de faisceau d'un laser
schéma
La gure 14 représente un télescope formé de deux lentilles convergentes permet d'élargir le faisceau d'un
laser.
L2
L1
w0
w0 ”
θ0
F2
w00
F10
Figure 14 Élargisseur de faisceau d'un laser
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Technique
à maîtriser
jeudi 12 mars 2015
I-
Les capacités exigibles
1. Le LASER et l'émission stimulée
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Distinguer les propriétés d'un photon émis par émission spontanée ou stimulée.
Associer l'émission spontanée à la durée de vie d'un niveau excité. Utiliser les coecients d'Einstein
dans le seul cas d'un système à deux niveaux non dégénérés.
Justier la nécessité d'une inversion de population.
Exprimer la condition d'oscillation.
Associer la puissance émise à la limitation du gain par une non-linéarité.
2. Le faisceau du LASER
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Relier l'ouverture angulaire λ/a et le rayon minimal a.
Utiliser l'expression fournie du prol radial d'intensité en fonction de la distance axiale.
Construire l'allure d'un faisceau de prol gaussien à partir de l'enveloppe d'un faisceau cylindrique de
rayon a et d'un faisceau conique centré sur l'orice de sortie du laser, et de demi-ouverture angulaire
λ/a.
Exploiter la convergence angulaire du faisceau issue de l'optique géométrique, la loi du retour inverse,
et le lien entre l'ouverture angulaire λ/a et le rayon minimal a pour obtenir la dimension et la position
de la section minimale.
Montrer que le rayon minimal est de l'ordre de λ.
Utiliser un élargisseur de faisceau pour réduire l'ouverture angulaire.
II-
Méthodes
1. Le LASER et l'émission stimulée
A) Faire un bilan énergétique pour les photons
méthode
Pour un petit élément de volume de section S et de longueur dz , pendant dt, l'énergie électromagnétique
varie de
dEem
= +Ie S − Is S + C S dz − A S dz
dt
où Ie est l'intensité entrant et Is l'intensité sortant. La création (C ) par unité de volume est due à
l'émission stimulée. Les pertes (annihilation A) sont dues à l'absorption et à l'émission spontanée (entre
autres !) :
B) Déterminer les modes de la cavité
méthode
Il sut d'écrire les conditions aux limites sur les miroirs de la cavité de longueur ` pour trouver qu'il y
a résonance pour les ondes de longueur d'onde λ et de fréquences ν telles que
`=n
spé PC
λ
c
où n ∈ N ⇔ ν = n où n ∈ N
2
2`
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2. Le faisceau du LASER
C) Trouver les caractéristiques du faisceau d'un LASER
méthode
• pour |z| < zR , l'onde laser est quasi plane limitée, et le faisceau cylindrique de largeur w0 ,
• pour |z| zR , l'onde laser est quasi sphérique limitée (de centre O), et le faisceau conique d'ouverture
0
angulaire θ = π λw0 = w
zR .
D) Déterminer l'eet d'une lentille convergente sur le faisceau d'un LASER
méthode
Il sut de positionner le centre de l'onde conique du LASER au point de convergence prévu par l'optique
géométrique. Cela donne une première relation sur l'angle de divergence du faisceau conique.
Il y a d'autre part continuité de l'ouverture du faisceau de part et d'autre de la lentille. Cela donne
l'autre relation qui permet de déterminer la totalité des caractéristiques du faisceau LASER.
III-
Exercices
1. Le LASER et l'émission stimulée
1.1) Étude d'un LASER à 3 niveaux
N3
Γ3
WP
N2
A21
B21
B12
N1
1)
Les équations d'évolution de chacun des niveaux sont les suivantes :



2)
Le schéma des niveaux et des transitions d'un laser à 3 niveaux est donné
ci-contre.
On note u (ω) la densité énergétique
donnée par la loi de Planck.
1) Écrire les équations d'évolution de
chacun des niveaux.
On pose N = N3 + N1 + N2 = cste et
N2 = N1 + ∆N .
2) Exprimer ∆N en fonction de N3
en régime stationnaire.
3) En déduire une condition pour l'inversion de population.
dN3
dt = +Wp N1 − Γ3 N3
dN1
=
−W
N
+
A21 N2 + B21 u (ω) N2 − B12 u (ω) N1
p 1
dt
dN2
=
Γ
N
−
A
3 3
21 N2 − B21 u (ω) N2 + B12 u (ω) N1
dt
En régime stationnaire :


Wp N1 = Γ3 N3
Wp N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2

Γ3 N3 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2
La seconde équation se réécrit :
Wp N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N1 + B21 u (ω) N1 + A21 ∆N + B21 u (ω) ∆N
⇒
(A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Wp + B12 u (ω) − A21 − B21 u (ω)) N1 = (Wp − A21 ) N1
car B12 = B21 . D'autre part, la première relation donne :
Wp N1 = Γ3 N3 ⇒ (A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Wp − A21 ) N1 =
spé PC
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A21
Γ3 N3
1−
Wp
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Aussi, on a :
∆N =
3)
A21
1−
Wp
Γ3
N3
(A21 + B21 u (ω))
Une condition pour l'inversion de population est donc
∆N > 0 ⇒
A21
1−
Wp
>0
soit
Wp > A21
(la pompe doit être plus rapide que l'émission spontanée).
1.2) Étude d'un autre LASER à 3 niveaux
Le schéma des niveaux et des transitions d'un laser à 3 niveaux est donné
ci-contre.
On note u (ω) la densité énergétique
donnée par la loi de Planck.
1) Écrire les équations d'évolution de
chacun des niveaux.
On pose N = N0 + N1 + N2 = cste et
N2 = N1 + ∆N .
2) Exprimer ∆N en fonction de N0
en régime stationnaire.
3) En déduire une condition pour l'inversion de population.
N2
A21
B21
B12
WP
N1
Γ1
N0
1)
Les équations d'évolution de chacun des niveaux sont les suivantes :



2)
dN1
dt
dN2
dt
dN0
dt
= −Wp N0 + Γ1 N1
= −Γ1 N1 + A21 N2 + B21 u (ω) N2 − B12 u (ω) N1
= +Wp N0 − A21 N2 − B21 u (ω) N2 + B12 u (ω) N1
En régime stationnaire :


Wp N0 = Γ1 N1
Γ1 N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2

Wp N0 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2
La seconde équation se réécrit :
Γ1 N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N1 + B21 u (ω) N1 + A21 ∆N + B21 u (ω) ∆N
⇒
(A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Γ1 + B12 u (ω) − A21 − B21 u (ω)) N1 = (Γ1 − A21 ) N1
car B12 = B21 . D'autre part, la première relation donne :
Wp N0 = Γ1 N1 ⇒ (A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Γ1 − A21 ) N1 =
Aussi, on a :
∆N =
3)
A21
1−
Γ1
W p N0
A21
N0
1−
Wp
Γ1
(A21 + B21 u (ω))
Une condition pour l'inversion de population est donc
∆N > 0 ⇒
1−
A21
Γ1
>0
soit
Γ1 > A21
(la vidange du niveau 1 vers le niveau 0 doit se faire très rapidement, plus que celle du niveau 2 vers le niveau
1 : le niveau 2 est "métastable").
spé PC
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1.3) Étude d'un LASER à 4 niveaux
N3
Le schéma des niveaux et des transitions d'un laser à 4 niveaux est donné
ci-contre.
On note u (ω) la densité énergétique
donnée par la loi de Planck.
1) Écrire les équations d'évolution de
chacun des niveaux.
On pose N = N0 +N1 +N2 +N3 = cste
et N2 = N1 + ∆N .
2) Exprimer ∆N en fonction de N0
en régime stationnaire.
3) En déduire une condition pour l'inversion de population.
Γ3
N2
WP
A21
B21
B12
N1
Γ1
N0
1)
Les équations d'évolution de chacun des niveaux sont les suivantes :







2)
dN1
dt
dN2
dt
dN0
dt
= −Wp N0 + Γ1 N1
= −Γ1 N1 + A21 N2 + B21 u (ω) N2 − B12 u (ω) N1
= +Γ3 N3 − A21 N2 − B21 u (ω) N2 + B12 u (ω) N1
dN3
dt = +Wp N0 − Γ3 N3
En régime stationnaire :




Wp N0 = Γ1 N1
Γ1 N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2
 Γ3 N3 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2


Wp N0 = Γ3 N3
La seconde équation se réécrit :
Γ1 N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N1 + B21 u (ω) N1 + A21 ∆N + B21 u (ω) ∆N
⇒
(A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Γ1 + B12 u (ω) − A21 − B21 u (ω)) N1 = (Γ1 − A21 ) N1
car B12 = B21 . D'autre part, la première relation donne :
Wp N0 = Γ1 N1 ⇒ (A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Γ1 − A21 ) N1 =
Aussi, on a :
∆N =
3)
1−
A21
Γ1
W p N0
A21
N0
Wp
1−
Γ1
(A21 + B21 u (ω))
Une condition pour l'inversion de population est donc
∆N > 0 ⇒
1−
A21
Γ1
>0
soit
Γ1 > A21
(la vidange du niveau 1 vers le niveau 0 doit se faire très rapidement, plus que celle du niveau 2 vers le niveau
1 : le niveau 2 est "métastable").
1.4) Ecart en fréquence entre deux modes
spé PC
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1) Donner l'écart en fréquence entre deux modes longitudinaux dans une cavité linéaire dont la longueur
optique est L = 300mm.
L'écart entre deux modes longitudinaux consécutifs est c/2L avec c = 3 × 108 m s−1 . Ici, cet écart vaut
500 MHz.
1.5) Laser à impulsion synchronisé en phase
Un laser dont les modes sont synchronisés en phase est un laser à impulsion, chaque impulsion faisant un
aller et retour dans la cavité LASER.
1) Quelle est la fréquence de répétition des impulsions d'un laser dont les modes sont synchronisés en phase
et dont la cavité est de longueur optique égale à L = 1 m ?
1) L'écart temporel entre deux impulsions issues d'un laser linéaire à modes synchronisés en phase est
de 2L/c. La fréquence est donc c/2L = 150 MHz.
1.6) Répartition des populations entre deux niveaux à l'équilibre thermique
On rappelle qu'à l'équilibre thermique à la température T (en kelvin), le rapport des populations des deux
niveaux est donné par le facteur de Boltzmann :
~ ω0
h ν0
E2 −E1
N1
= e kB T = e kB T = e kB T
N2
avec la constante de Boltzmann kB = 1, 38 × 10−23 J · K−1 .
On considère un niveau énergétique situé à une énergie égale à 200 cm−1 du niveau fondamental. Il n'y a
pas d'autre niveau à proximité.
1) Donner la fraction de population qui se trouve dans ce niveau par rapport à la population du niveau
fondamental, pour une température de 300 K.
1)
On applique la formule :
E2 −E1
h ν0
hc
hcσ
N1
= e kB T = e kB T = e λ kB T = e kB T
N2
d'où
−34 ×3×108 ×200×102
N2
− 6,62×10
− hcσ
1,38×10−23 ×300
= e kB T = e
= e−0,96 = 0, 38
N1
38% de la population du niveau fondamental se trouve dans le niveau considéré.
1.7) Ecart en longueur d'onde entre deux modes
On dispose d'un laser Hélium-Néon, de longueur optique de cavité égale à 20 cm et émettant à 632,8 nm.
1) Quel est l'écart en fréquence entre deux modes longitudinaux consécutifs ?
2) En déduire l'écart en longueur d'onde.
1)
2)
L'écart en fréquence entre deux modes est de ∆ν =
∆ν
Comme ∆λ
λ = ν , on trouve
∆λ =
c
2L
= 750 MHz.
∆ν λ
∆ν λ2
λ2
=
=
= 1 pm
ν
c
2L
1.8) Nombre de modes d'un LASER HeNe
spé PC
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Le milieu amplicateur d'un laser hélium néon émet un rayonnement à à 633 nm. Ce milieu possède une
bande spectrale d'amplication de δν = 1, 275 GHz (on suppose que le prol spectral est rectangulaire pour
simplier). La cavité linéaire du laser a une longueur de 30 cm.
1) Estimer le nombre de modes du laser.
1)
Deux modes sont éloignés de
∆ν =
c
3 × 108
=
= 0, 5 GHz
2L
2 × 0, 30
Le nombre de modes est égal à la bande spectrale divisée par l'intervalle entre deux modes longitudinaux : .
N=
δν
1, 275
=
= 2, 55
∆ν
0, 5
δν = 1, 275 GHz
δν = 1, 275 GHz
gains
gains
pertes
∆ν = 0, 5 GHz
νn−1
νn
νn+1
ν
gains > pertes
Remarque : le nombre de modes pouvant osciller sera généralement de 2 mais il est possible que 3 modes
oscillent si un mode est parfaitement au centre de la transition.
CO2
Le milieu amplicateur d'un laser au CO2 émet un rayonnement à à 10, 6 µm. Ce milieu possède une bande
spectrale d'amplication de δν = 0, 5 GHz (on suppose que le prol spectral est rectangulaire pour simplier).
La cavité linéaire du laser a une longueur ` = 1, 0 m.
1.9) Démarrage d'un LASER au
Montrer que le laser a peu de chance d'osciller.
On positionne un des miroirs de la cavité du laser sur une cale piezo électrique qui permet de faire varier `
de δ`.
2) Estimer le déplacement maximal δ` pour être sûr qu'un mode tombe dans la bande d'amplication.
1)
1)
Deux modes sont éloignés de
∆ν =
c
3 × 108
=
= 1, 5 GHz
2`
2×1
Le nombre de modes est égal à la bande spectrale divisée par l'intervalle entre deux modes longitudinaux : .
δν
0, 5
=
= 0, 33
∆ν
1, 5
N=
Si on ne fait rien, le laser a peu de chance d'osciller.
2) Dans le pire des cas, la bande spectrale d'amplication du CO2 est située exactement au milieu de
deux modes. Dans ce cas, l'écart de fréquence qui sépare l'extrémité de la bande spectrale du mode le plus
proche est :
∆ν
δν
−
2
2
Or la fréquence d'un mode peut s'exprimer sous la forme νn = n 2c` où n ∈ N (en général très grand). Si on
bouge la cavité de δ`, la fréquence bouge de dν avec :
dν =
dν
δ`
=
ν
`
On veut donc
δ` =
spé PC
∆ν
δν
−
2
2
`
=
ν
∆ν
δν
−
2
2
`λ
=
c
1, 5 × 109
0, 5 × 109
−
2
2
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1 × 10, 6 × 10−6
= 17, 6 µm
3 × 108
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1.10) Puissance maximale d'un laser Yb :YAG
Un cristal d'ytterbium (Yb :YAG) est inséré dans une cavité laser. Il subit un pompage optique à 940 nm
de puissance 1 W. La longueur d'onde d'émission de l'ytterbium est de 1030 nm.
1) Quelle est la puissance lumineuse maximale de ce laser ?
1) En supposant que tous les photons de pompe sont absorbés par le cristal, et utilisés pour l'eet laser,
le nombre de photons émis par unité de temps Ne est égal au nombre de photons absorbés par unité de
temps par pompage optique Na :
Ne = Na =
Pa
Pa
Pe
λa
940
=
λa =
λ e ⇒ Pe =
Pa =
× 1 = 0, 91 W
hν
hc
hc
λe
1030
2. Le faisceau du LASER
2.11) Divergences du faisceau d'une diode LASER GaAs
La cavité optique d'une diode laser GaAs a à peu près les dimensions suivantes :
• suivant Oz : 1 rmmm ;
• suivant Ox : 1 rmµm ;
• suivant Oy : 100 rmµm.
Elle émet un rayonnement dans l'infra-rouge à 870 nm.
1) Estimer la divergence de son faisceau, assimilé à un faisceau gaussien
1.a) suivant la direction Ox
1.b) et suivant la direction Oy .
1)
La divergence du faisceau est due à la diraction : θ = π λw0 , soit :
780×10−9
−3
1.a) suivant la direction Ox : θx =
rad = 14◦ ,
π×1×10−6 = 248 × 10
−9
780×10
−5
1.b) et suivant la direction Oy : θy =
rad = 0, 14◦ .
π×100×10−6 = 248 × 10
2.12) Caractéristiques des faisceaux d'un LASER Nd :YAG
On s'intéresse au laser Nd :Yag, de longueur d'onde λ = 1064 nm.
1) Déterminer la divergence θ à longue distance et la longueur de Rayleigh zR d'un tel laser
1.a) lorsque son faisceau est focalisé assez ecacement , avec un waist w0 = 10 µm,
1.b) lorsque son faisceau est assez collimaté , avec un waist w0 = 1 mm.
1)
0
Comme θ = π λw0 = w
zR
◦
1.a) lorsque w0 = 10 µm, θ = 1, 8 et zR = 314 µm,
◦
1.b) lorsque w0 = 1 mm, θ = 0, 018 et zR = 3, 14 m.
2.13) Focalisation d'un LASER
On cherche à focaliser un faisceau laser collimaté, issu d'un laser He-Ne (longueur d'onde 633 nm), de taille
1 mm, situé à une position z = 0 de telle façon que la longueur de Rayleigh du faisceau focalisé soit égale à 30
mm.
1)
Quelle distance focale doit posséder la lentille qu'il faut utiliser ?
1) Les données sont : λ = 633 nm, avant la lentille le waist est w0 = 1 mm, après la lentille, on veut que
0
la longueur de Rayleigh soit zR
= 30 mm.
Le faisceau conique converge au foyer, avec un angle
θ0 =
spé PC
w0
λ
w0
=
= 00
0
0
f
π w0
zR
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aussi le waist après la lentille est w002 =
w0 0
=
f = 0 zR
w0
0
r
0
λ zR
π ,
π 0
0 zR w0 =
λ zR
d'où
r
0
π zR
w0 =
λ
r
π × 30 × 10−3
× 1 × 10−3 = 39 cm
633 × 10−9
2.14) Conjugaison de deux faisceaux LASER
Un faisceau laser, issu d'un laser He-Ne (de longueur d'onde 633 nm), a une taille 1 mm située à une distance
d (grande devant sa longueur de Rayleigh) d'une lentille de focale f 0 = d3 .
0
0
1) Quelle est la distance d entre la lentille et la taille w0 du faisceau après la lentille ?
0
2) Quelle est la nouvelle taille w0 du faisceau après la lentille ?
La distance d0 entre la lentille et la taille w00 du faisceau après la lentille est donnée par la relation de
conjugaison :
1)
1
1
1
1
1
1
−
= 0 ⇒ 0−
= 0
f
d
−d
f
OA0
OA
d'où
1
1
1
3 1
2
= 0− = − =
d0
f
d
d d
d
donc d0 = d2 .
2) Les données sont : λ = 633 nm, avant la lentille le waist est w0 = 1 mm. L'angle du faisceau conique
avant la lentille est
θ=
h
λ
=
d
π w0
où h est la hauteur éclairée sur la lentille. et l'angle du faisceau conique après la lentille est
θ0 =
donc
h
λ
=
d0
π w00
w00
1
d0
=
=
w0
d
2
Aussi la nouvelle taille du faisceau après la lentille est w00 = 0, 5 mm.
2.15) Épurateur de faisceau LASER
Soit un faisceau laser gaussien peu divergent de rayon w0 .
On admet que l'amplitude scalaire de la vibration lumineuse émise par un laser est :
r2
w0 − w(z)
2
à (r, z, t) = Ã0
e
e−i (ω t−ϕ(z)) avec w(z) = w0
w(z)
s
1+
z
zR
2
en coordonnées cylindriques (r, θ, z).
1) Déterminer l'évolution de l'éclairement I (r, z) dans un plan transverse z à la propagation.
2) De façon à "épurer" le faisceau du laser, on positionne un diaphragme circulaire de rayon a, centré en
z = 0.
2.a) Quelle est la proportion de l'énergie transmis à travers le diaphragme circulaire en fonction de a ?
3 w0
w0
2.b) Applications numériques : a =
2 , a = 4 , a = w0 et a = 2 w0 .
1)
Comme I = k |Ã (r, z, t) |2 , on trouve
I (r, z, t) = I0
2)
spé PC
r2
w0 − w(z)
2
e
w(z)
2
= I0
w0
w(z)
2
2
e
r
−2 w(z)
2
= I0
1+
w0
1
2 e
−2 r 2
2 !
z
1+
zR
z
zR
Diaphragme en z = 0.
page n◦ 21
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2.a)
2
I (r, z = 0, t) = I0 e
−2 r 2
w0
L'énergie totale est donc
2
Z Z
Etot = I0
e
−2 r 2
w0
Z
2
∞
Z
2π
2
e
d S = I0
r=0
−2 r 2
w0
Z
∞
dr r dtheta = 2π I0
θ=0
2
re
−2 r 2
w0
dr
r=0
tandis que l'énergie qui passe à travers le diaphragme est
Z
a
E(a) = 2π I0
2
re
−2 r 2
w0
dr
r=0
Pour calculer l'intégrale, on peut faire le changement de variable suivant : t = r2 ⇒ dt = 2 r dr, soit
Z
a2
−2t
2
e w0 dt = π I0
E(a) = π I0
t=0
w02 −2t
2
e w0
−2
a2
=
t=0
Aussi, la fraction est
−2 a
E(a)
2
= 1 − e w0
Etot
2.b)
spé PC
AN :
w
E (a= 20 )
Etot
= 0, 39,
3w
E (a= 4 0 )
Etot
= 0, 67,
2
E(a=w0 )
Etot
page n◦ 22
−2 a2
π I0 w02
2
1 − e w0
2
= 0, 86, et
E(a=2 w0 )
Etot
= 0, 999
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Résolution
de
problème
vendredi 13 mars 2015
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
L'expérience laser-lune Extraits de l'expérience laser-lune (disponible en ligne : culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/laserdistance-terre-lune.xml)
par Marie-Christine Artru. - Centre de recherche d'astrophysique de Lyon, ENS Lyon
Déterminer la distance terre-lune et ses variations grâce à un laser
L'expérience laser-lune de l'Observatoire
de La Côte d'Azur (OCA) a pour but la détermination précise de la distance terre-lune et de ses
variations.
Le principe est la mesure de la durée d'allerretour d'une impulsion laser émise du sol terrestre
vers un réecteur lunaire, soit τ = 2, 56 s entre
l'émission d'une impulsion et la réception du signal de retour correspondant. Actuellement, la distance terre-lune est déterminée au centimètre près,
la précision atteinte sur la mesure de τ étant de
δτ ≈ 100 ps.
Dans le cas du laser-lune la longueur d'onde est
λ = 532 nm (laser YAG-Nd doublé). Le diamètre
du faisceau à la sortie du laser est de 1, 2 cm. Le laser émet une centaine d'impulsions en 10 s. Chaque
impulsion du laser émet une énergie E = 0, 3 J sur
une durée de 0, 3 µs (puissance-crête de 1 MW !).
Le réecteur lunaire est un panneau composé d'une mosaïque d'éléments catadioptriques,
de type coins de cube . La proportion moyenne
des photons détectés après réexion sur la lune est
inférieure à 1 sur 1019 .
à droite : réecteur déposé sur la Lune par les
astronautes de la mission Appolo XV. C'est le plus grand des réecteurs déposés sur la lune (dimensions 1 m x
0,6 m).
Source : NASA, Appolo XV Map and Image Library, image n◦ AS15-85-11468
Enoncé
Quel est le nombre de photons qui arrivent pour chaque impulsion sur le réecteur posé sur la Lune ?
spé PC
page n◦ 23
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Correction
Ce qui suit est adapté de la page web culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/laser-distance-terrelune.xml
Pour une impulsion, le nombre de photons émis par le laser est
Nemis =
Eλ
E
=
= 0, 8 × 1018
hν
hc
C'est la géométrie du faisceau laser et sa perturbation par la turbulence atmosphérique qui cause la perte
de rayonnement entre l'émission de l'impulsion laser et la réception du signal rééchi.
Bien que très directif, un faisceau laser n'est jamais strictement parallèle. Les lasers fournissent en général
des faisceaux gaussiens , l'amplitude sur la section de sortie diminuant exponentiellement en fonction du
carré de la distance à l'axe. Le faisceau du laser admet un petit angle d'ouverture θ qui est dû au phénomène
de diraction et dont la valeur est inversement proportionnelle à la dimension transversale du faisceau. La
petitesse de l'angle θ caractérise la cohérence spatiale du faisceau. On a la relation usuelle θ ≈ λd où d est
le diamètre du faisceau. Ici,
θ≈
λ
532 × 10−9
≈ 5 × 10−5 rad
≈
d
1, 2 × 10−2
soit θ ≈ 10 arcsec. Le faisceau laser passe par l'optique du télescope pour être dirigé vers la lune, ce qui
élargit le faisceau laser et réduit son angle de divergence d'un facteur 5 environ. La prise en compte de l'eet
de la turbulence, variable selon la qualité du ciel, détériore la cohérence et augmente la divergence d'un angle
de l'ordre de 1 à 2 arcsec. En dénitive la divergence eective du faisceau laser envoyé vers la lune est de 4
arcsec environ.
D est égale à la distance terre-lune :
D=c
τ
2, 56
= 3 × 108 ×
≈ 4 × 108 m
2
2
Le faisceau laser atteint la lune avec une section de diamètre
L1 = D θ ≈ 7 km
En fait, l'éclairement de la tache circulaire sur le sol lunaire a une structure irrégulière de type speckle ,
due à la traversée de l'atmosphère terrestre.
La surface du réecteur est S = 1 × 0, 6 = 0, 6 m2 . On évalue donc que la fraction de la lumière laser
arrivant sur le réecteur est dans le rapport des deux surfaces. Elle est donc égale à SL21 ≈ 1, 6 × 10−8 .
π
4
Aussi, le nombre de photons qui arrivent en une seconde sur le réecteur posé sur la Lune est
Narrives = Nemis
On a
S
L2
π 41
=
Eλ S
≈ 1010
h c π L21
4
Nemis
1018
=≈ 10 = 108
Narrives
10
ce qui est cohérent avec le fait qu'après un aller retour "la proportion moyenne des photons détectés après
réexion sur la lune est inférieure à 1 sur 1019 ".
Travaux
pratiques
vendredi 13 mars 2015
La moitié de la classe fait un TP d'optique sur la polarisation des ondes électromagnétiques.
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physique
année scolaire 2014/2015
Approche
documentaire
vendredi 13 mars 2015
Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Peyrussie Anne-Claire et Plumyene Nicolas feront un exposé.
Un rayon bleu pour des disques plus denses
Comment augmenter la capacité des disques à lecture optique ? En réduisant la
longueur d'onde du laser et en améliorant les composants optiques.
Jean-Michel COURTY et Édouard KIERLIK
Idées de physique
c
◦
Pour la Science - n
387 - Janvier 2010
Seul le laser permet d'enregistrer et de lire, par des procèdes optiques, de hautes densités d'information,
stockée sur les disques compacts (CD) les DVD et maintenant les nouveaux disques Blu-Ray. An d'augmenter
la densité de stockage, on doit focaliser le faisceau lumineux sur des régions de plus en plus petites Comment ?
D'abord en diminuant la longueur d'onde de la lumière utilisée : de l'infrarouge pour les CD, on est passe à une
lumière rouge pour le DVD, puis bleue pour le Blu-Ray, couleurs qui correspondent à des longueurs d'onde plus
courtes. Mais c'est loin de sure : il faut aussi réaliser des optiques de haute qualité et aronter la diraction,
c'est-à-dire la divergence naturelle de tout faisceau lumineux.
Sur les disques numériques, on code l'information de façon binaire (des 0 et des 1 ) sur une piste
d'alvéoles par une série de zones rééchissantes ou non. Les réexions ou non-réexions d'un faisceau lumineux
sur cette piste traduisent l'information inscrite. Plus la tache produite sur le disque par le faisceau lumineux est
petite, plus on peut diminuer la taille des alvéoles, donc augmenter la densité d'information stockée, on atteint
aujourd'hui près de 23 gigaoctets pour un disque Blu-Ray, grâce a une tache lumineuse d'un demi-micromètre
(un demi-millionième de mètre) de diamètre.
Petite tache de laser
An d'obtenir un tel résultat, il faut que la source lumineuse soit aussi de petite taille, parce qu'une lentille
convergente qui focalise un faisceau reproduit dans son plan focal une image de la source. Mais plus la source
est petite, moins elle est brillante. Peut-on trouver un bon compromis entre taille et intensité ? La solution est
fournie par le laser, réalisé pour la première fois par l'Américain Théodore Maiman.
Au c÷ur du laser se trouve un milieu amplicateur de lumière constitué d'atomes excités, par exemple
grâce à des décharges électriques. Lorsqu'un grain de lumière (un photon) frappe l'un de ces atomes, il induit
l'émission d'un second photon identique en tous points au premier.
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En rebondissant entre deux miroirs places de part et d'autre du milieu amplicateur, les photons se multiplient à chaque traversée et l'intensité de la lumière s'accroît. Les miroirs qui forment la cavité laser sont
particuliers Tout d'abord, au moins l'un des deux est courbe, an que la lumière ne s'échappe pas par les côtés
et reste connée autour de l'axe optique. En suite, l'un des miroirs transmet une petite partie de la lumière
qu'il reçoit, laissant émerger un faisceau lumineux, le rayon laser (voir la gure 1).
A la sortie du faisceau, son intensité est maximale au centre et décroît lorsqu'on s'écarte de son axe. Quelle
est sa forme ? On peut l'assimilera ce que l'on obtiendra il en illuminant perpendiculairement un trou circulaire
Dans un premier temps, le faisceau a une forme cylindrique, de section constante mais plus loin de l'ouverture, il
devient conique, comme s'il était issu du centre du trou. C'est une manifestation du phénomène de diraction :
en franchissant un obstacle, la propagation de la lumière se modie et n'est plus rectiligne.
Avec un trou circulaire, l'angle de divergence du faisceau est proche du rapport entre la longueur d'onde de la
lumière et le diamètre du trou. Avant de devenir conique, le faisceau reste cylindrique jusqu'à ce que l'ouverture
du cône soit comparable au diamètre du faisceau. Par exemple, un pointeur à laser rouge de 0,7 micromètre
de longueur d'onde et de deux millimètres de diamètre a une divergence de 0,4 milliradian - cette divergence
devient sensible à partir de deux mètres environ.
Pour diminuer la divergence, il faut un faisceau large. C'est critique lorsqu'on vise la Lune avec un laser !
La mission Apollo Xl a déposé à la surface de notre satellite des catadioptres qui rééchissent la lumière dans
la direction d'émission : si on éclaire depuis la Terre ces catadioptres, la lumière nous revient et la durée de
l'aller-retour renseigne sur la distance Terre- Lune (voir la gure 2).
Mais si le faisceau diverge trop, l'énergie se disperse dans l'espace et on ne capte plus rien. En utilisant
un télescope, on dilate le rayon vert d'un laser, à 500 nanomètres de longueur d'onde, en un faisceau de 15
centimètres de diamètre. Son angle de divergence est de trois microradians (l'angle sous lequel on voit un objet
de trois millimètres à une distance de un kilomètre). Les eets de la diraction se manifestent à partir de 25
kilomètres. C'est peu à l'échelle des 400 000 kilomètres de la distance Terre-Lune. À cette distance, le faisceau
crée, en théorie, une tache de plus de un kilomètre (sept en réalité, à cause des perturbations atmosphériques).
Cela n'a pas que des inconvénients : on peut alors éclairer les catadioptres sans trop les chercher !
Focaliser au mieux
Comment focaliser le faisceau laser qui, à sa sortie, est cylindrique ? En utilisant une lentille, qui le transforme
en un faisceau conique convergent. On peut montrer (et même deviner, en vertu du principe du retour inverse
de la lumière) que la taille de la tache focale est égale au rapport entre la longueur d'onde lumineuse et l'angle
du cône formé, ou, plus exactement, pour les grands angles, le sinus de cet angle, nommé ouverture numérique
du faisceau. Le sinus étant inférieur ou égal à un, la tache est toujours plus grande que la longueur d'onde.
Pour les CD, la lumière infrarouge de 785 nanomètres de longueur d'onde est focalisée avec une lentille
d'ouverture numérique 0,45 et forme une tache de 1,56 micromètre. La densité d'information correspondante
est de 0,65 gigaoctet pour un disque de 12 centimètres de diamètre.
En jouant sur les deux paramètres (longueur d'onde et
ouverture numérique), on peut
augmenter la densité d'information. Ainsi, on a utilisé des
longueurs d'onde plus courtes
en passant au rouge à 650 nanomètres des DVD, puis au
bleu à 405 nanomètres des BluRay (voir la gure 3).
Cette réduction d'un facteur deux des longueurs d'onde
diminue la surface de la
tache d'un facteur quatre.
Avec l'amélioration de l'optique pour augmenter l'ouverture numérique jusqu'à 0,85
on gagne encore un facteur
deux. Les progrès du codage
numérique et des dispositifs de
détection achèvent d'expliquer
les performances des Blu-Ray.
Par ailleurs, une ouverture numérique élevée a pour conséquence de diminuer la distance sur laquelle le
faisceau reste cylindrique. Cela permet d'utiliser des disques à double couche où l'information est inscrite soit
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à la surface du disque, soit sur une couche intérieure : lorsque le faisceau lit la couche interne, il est encore très
large au niveau de la surface ; il couvre de nombreuses alvéoles dont l'eet se moyenne et il est donc peu sensible
à ce qui est écrit en surface.
En outre, la qualité optique du faisceau (sa bonne convergence) doit être meilleure. Pour le CD, on peut
protéger l'information par une couche de vinyle transparent. Pour le Blu-Ray, les aberrations optiques produites
par la traversée de l'interface air-vinyle empêcheraient l'obtention d'une tache focale de diamètre minimal. Pour
cette raison, l'inscription est eectuée à la surface du disque : il n'y a plus de couche de protection et le disque
est protégé par une boîte, comme l'étaient les anciennes disquettes de micro-ordinateur.
Enoncé
On s'intéresse au pointeur à laser rouge dont parle le texte.
Estimer son "waist" et sa longueur de Rayleigh.
1.b) Tracer l'allure du faisceau gaussien d'un tel laser. On fera apparaître sur le schéma le "waist", la
longueur de Rayleigh et l'angle de divergence à grande distance.
2) On s'intéresse au laser qui illumine la Lune dont parle le texte.
2.a) Tracer le schéma du télescope qui permet d'élargir le faisceau. On fera apparaître les distances
focales des deux lentilles convergentes ainsi que les "waists" avant et après le télescope.
2.b) Estimer un ordre de grandeur pour le "waist" et la longueur de Rayleigh après le télescope.
2.c) Vérier, en utilisant ces valeurs, que sur la Lune, "le faisceau crée, en théorie, une tache de plus de
un kilomètre".
3) Focalisation du faisceau d'un laser.
3.a) Tracer le schéma du faisceau du laser focalisé grâce à une lentille convergente. On fera apparaître la
distance focale de la lentille convergente, l'angle du cône formé ainsi que les "waists" avant et après la lentille.
3.b) En se plaçant dans l'approximation de Gauss, exprimer l'ouverture numérique dénie dans le texte
et en déduire que la tache de focalisation du laser est au moins de l'ordre de la longueur d'onde.
1)
1.a)
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Correction
Pointeur à laser rouge dont parle le texte.
Il est écrit qu'il a
1)
1.a)
• "0,7 micromètre de longueur d'onde" (λ = 700 nm) ;
• "deux millimètres de diamètre" (soit w0 = 1 mm) ;
• "une divergence qui devient sensible à partir de deux mètres environ" (ce qui donne zR ≈ 2 m) ;
• "une divergence de 0,4 milliradian" (θ = 4 × 10−4 rad).
−9
700×10
−4
Cette dernière indication donne θ = π λw0 soit w0 = πλθ = π×4×10
m, qui est du même ordre de
−4 = 6 × 10
grandeur que w0 = 1 mm.
w0
1×10−3
0
Mais cela donne aussi θ = w
zR , soit zR = θ = 4×10−4 = 2, 5 m, qui est du même ordre de grandeur que
zR ≈ 2 m).
1.b) L'allure du faisceau gaussien d'un tel laser est la suivante :
extension du faisceau laser
w0
zR
θ
z
faisceau conique
onde sphérique
2)
faisceau cylindrique
onde plane
faisceau conique
onde sphérique
On s'intéresse au laser qui illumine la Lune dont parle le texte.
Le schéma du télescope qui permet d'élargir le faisceau est le suivant :
2.a)
L2
L1
w0 ”
θ0
F2
w0
w00
F10
f10
f20
2.b) λ = 500 nm, le "waist" est w0 ” ≈ 7, 5 cm et la longueur de Rayleigh zR ” ≈ 25 km, ce que l'on
peut vérier avec le fait que θ” = 3 × 10−6 rad.
500×10−9
En eet, cette dernière indication donne θ” = π wλ0 ” soit w0 ” = πλ”θ” = π×3×10
−6 = 0, 05 m, qui est du même
ordre de grandeur que w0 ” = 15 cm.
w0 ”
15×10−2
0”
Mais cela donne aussi θ” = w
zR ” , soit zR ” = θ” = 3×10−6 = 50 km, qui est du même ordre de grandeur que
zR ” ≈ 25 km).
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2.c)
Comme θ” =
d
DT L
où d est la taille de la tache sur la Lune et DT L = 4 × 105 km, on trouve
d = θ” DT L = 3 × 10−6 × 4 × 105 = 1 km
3)
Focalisation du faisceau d'un laser.
Le schéma du faisceau du laser focalisé grâce à une lentille convergente est le suivant :
3.a)
0
zR
w0
θ0
w00
F'
On voit sur le schéma que tanθ0 = wf 00 ≈ θ0 dans l'approximation de Gauss. On peut assimiler
l'ouverture numérique à θ0 . D'autre part, on sait que θ0 = π λw0 . Aussi,
3.b)
0
w00 ≈ λ
w0
>λ
π f0
Devoir
surveillé
samedi 14 mars 2015
Un DS commun aura lieu samedi 14 mars 2015, il portera sur l'électromagnétisme en régimes variables
(ARQS et ondes).
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