L`étude des pertes énergétiques sur une montagne russe

L'étude des pertes énergétiques
sur une montagne russe
Lâché à plusieurs dizaines de mètres du sol, le train d'une montagne russe prend de la vitesse
et peut atteindre la centaine de kilomètres par heure ! Mais comment expliquer qu'en fin de
parcours, le train ai perdu autant de vitesse ?
Cette étude a été réalisé dans le cadre du TIPE (Travail d'initiative personnelle et encadrée) qui est
une sorte d'exposé à présenter lors des concours aux grandes écoles. Le thème était « Les Surfaces » et mon
sujet était « Les pertes énergétiques dues aux surfaces sur un train de montagnes russes ». Cette étude a été
présenté en juillet 2010 et j'ai décidé de la partager avec vous maintenant parce que je pense que ça peut
vous intéresser, j'ai ajouter des explications et des détails que j'avais évoqué à l'oral seulement.
Afin de mieux comprendre les phénomènes qui ralentissent le train, je vais m'intéresser à un
cas en particulier: Goliath à Walibi World aux Pays-Bas.
Le Choix du Sujet d'étude:
Goliath à Walibi World est une montagne russe de type « Megacoaster » du fabricant Intamin AG
(Suisse) dessinée par Ing.-Büro Stengel GmbH (Allemagne). Je l'ai choisi car l'attraction présente un
fonctionnement simple, c'est à dire que le train est hissé en haut du parcours à l'aide d'un câble et est ensuite
laissé entre les mains de la gravité. Le parcours de Goliath fait 1200m de long mais mon étude s'intéressera
principalement aux 140m suivant la montée par câble car elle présente de grandes variations de vitesse,
altitude et inclinaison par rapport à l'horizontale tout en étant en ligne droite (par d'inclinaison par rapport à
la verticale).
Ci-dessous une photo annotée avec les principales informations liées à cette première section du
parcours:
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
1) Choix du modèle:
Avant tout, il faut déterminer quels sont les phénomènes qui influencent la vitesse du train le long du
parcours.
→ Frottements Solides: dus au contact entre les Roues et les Rails et au niveau des Roulements à billes des
essieux des roues.
Schéma explicatif du phénomène de frottement solide:
Il s'agit donc d'une force qui s'oppose au mouvement de la roue et qui est due à la déformation solide
de la roue et/ou du rail (même chose au niveau des roulements à bille avec les billes et la surface de
roulement).
Dans notre cas:
–
–
Poli-uréthane (roue) sur Acier (rail) → Déformation quasi nulle
Roulements à billes (essieux) → Déformation quasi nulle
→ On néglige donc ces frottements.
→ Frottements Fluides: dus au contact du train avec l'air, en effet l'air est constitué de particules et ses
particules s'écoulent le long du train, mais cet écoulement ralenti le train. Pour déterminer quelle est la nature
du ralentissement du au fluide, on calcul un nombre sans dimension lié au système étudié:
–
Nombre de Reynolds:
Re=
forces d ' inertie
v⋅l
=
forces de viscosité 
v: vitesse / l: largeur de la section frontale / υ: viscosité dynamique
Ce nombre représente l'influence des forces d'inertie (masse) par rapport à l'influence des forces de viscosité
(difficulté d'écoulement des particules du fluide). Par exemple, si votre objet n'est pas très lourd et se déplace
lentement dans l'huile, sa force d'inertie sera faible (ne va pas vite et n'est pas lourd) alors que sa force de
viscosité sera forte (l'huile s'écoule difficilement car plus visqueux), on aura donc un nombre de Reynolds
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
faible.
Mais à quoi va nous servir ce nombre de Reynolds ?
Deux cas de figures sont possibles:
–
Si Re < 1000: Alors l'écoulement est dit laminaire et la force de frottement qui en résulte est
donnée par la formule suivante:
f =−n⋅⋅v
α: coefficient de frottement, n: densité de l'air, v: vitesse
On a donc une force proportionnelle à la vitesse du véhicule, et si on représente l'allure de l'écoulement:
→ Pas de Turbulences
–
Si Re > 1000: Alors l'écoulement est dit turbulent et la force de frottement qui en résulte est
donnée par la formule suivante:
f = −⋅S⋅Cx⋅v⋅
v
2
ρ: masse volumique de l'air, Cx: Coefficient de traînée (explications plus tard), S: surface de la section
frontale.
Le train passe suffisamment vite pour que les particules ne parviennent pas à s'écouler simplement: une fois
le train passé, une dépression se créer derrière le wagon se qui a pour effet d'attirer les particules alentours qui
vont ainsi créer des turbulences. Ce phénomène va attirer le wagon vers l'arrière et le ralentir. Cet effet
s'ajoute à l'effet de ralentissement du au simple contact avec l'air. La force n'est plus proportionnelle à la
vitesse, mais à son carré ! Un schéma pour résumer tout ça:
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
→ Turbulences
Dans notre cas, j'ai calculé le nombre de Reynolds pour notre système:
−1
5
−1
5
vitesse∈[ 20 km⋅h ;105 km⋅h ]⇒ Re∈[ 2,7⋅10 ;16,7⋅10 ]
Notre étude est donc largement dans le cas turbulent, nous allons donc prendre en compte la seconde
formule.
→ Mise en mouvement des roues: On s'intéresse à un dernier phénomène moins intuitif, il s'agit de l'énergie
dépenser à mettre en mouvement les roues. En effet, les roues ont une masse répartie sur un disque et afin de
les mettre en rotation il faut dépenser une certaine énergie. Voici rapidement les étapes de calculs qui
permettent de déterminer une « masse équivalente » qui sera légèrement différente de la masse
gravitationnelle du train. Le rapport entre les deux masses apparaitra ensuite dans l'écriture du produit
fondamental de la dynamique.
Théorème du moment cinétique à la roue en son centre:
J roue d 2 s
⋅ 2 =−R t , sol roue
2
r
dt
Théorème de la résultante cinétique au chariot:
M équivalente=M gravité 4⋅
J roue
r
2
2
M gravité
d s
=
⋅g⋅sin 
2
M
dt
équivalente
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
Comment déterminer les effets à conserver ?
→ Modélisation à l'aide du logiciel Mathlab avec 1 chariot lâché sur le début de Goliath:
Graphique représentant la vitesse du train le long du début du parcours en fonction des phénomènes pris en compte.
En premier lieu, on peut analyser la courbe, on voit que le train accélère dans la descente puis ralentit dans la
montée, rien de choquant donc. Si on se penche plus précisément sur notre comparaison, on voit que l'effet le
plus marquant est le frottement fluide, on va donc parfaire notre modèle en ne prenant en compte que cet
effet.
•
Modèle final:
Afin d'avoir un modèle réaliste et précis, je vais modélisé le train par 8 chariots à abscisses curvilignes
(distance parcourue depuis le début) indépendantes qui seront reliés par des ressort de grande constante de
raideur (méthode la plus simple pour modéliser ce genre de liaison). Les frottements fluides seront par
ailleurs appliqués uniquement au dernier wagon, en effet, les turbulences apparaissent à l'arrière des wagons et
le dernier est le seul qui a de l'espace libre derrière lui.
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
Ci dessous, un schéma récapitulatif des notations suivi des équations que je vais utiliser pour ma modélisation:
Théorème de la résultante cinétique projeté selon
2

T
à chaque wagon:
d s
m⋅ 2 1 =m⋅g⋅cos  1 k⋅ s 2 −s 1
dt
i∈ 〚 2 ; 7〚
2
d s
m⋅ 2 i =m⋅g⋅cosi −k⋅ s i1−2⋅s i−s i−1 
dt
2
 
d s
⋅S⋅Cx ds8
m⋅ 2 8 =m⋅g⋅cos  8 k⋅ s 7− s 8−
⋅
2
dt
dt
2
→ Résolution par la méthode d'Euler à l'aide du logiciel MatLab.
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
A gauche: les vitesses des différents wagons. On voit qu'elles suivent la tendance du wagon seul sauf que les
liaisons amènent les vitesses à osciller autour de cette tendance.
A droite: les positions des différents wagons. On voit que les wagons se suivent effectivement et on ne
remarque pas du tout l'influence de l'oscillation de la vitesse des wagons (il s'agissait d'une oscillation
d'ajustement difficilement possible à ressentir dans le train par exemple).
2) Validation du modèle:
Afin de s'assurer de la fiabilité du modèle établit juste avant, je vais utiliser deux méthodes de vérification:
•
Modèle No Limit Coaster
No Limit Coaster est un logiciel de simulation de montagnes russes très précis, j'ai donc recréé Goliath à
l'aide de ce logiciel en essayant d'être le plus fidèle possible (en me basant sur des photos et des données
techniques trouvées sur internet). Ci dessous une image comparative de la simulation et de l'attraction réelle:
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
La récupération de la vitesse à l'aide du logiciel No Limit n'est pas évidente, mais mes mesures donnent le
résultats suivant:
Les deux courbes se ressemblent mais cette méthode de comparaison n'est pas suffisamment fiable: la
recréation n'est pas parfaite et l'acquisition des valeurs de la vitesse n'est pas facile avec ce logiciel. Je vais donc
m'intéresser à la seconde méthode:
•
Mesures sur places à Walibi World aux Pays Bas:
Afin de recueillir la vitesse du train sur le parcours de Goliath, il va falloir surmonter les contraintes
liées à ce système complexe. La méthode conventionnelle pour mesurer la vitesse sur une montagne russe est
un capteur optique placé le long d'une roue et qui compte le nombre de passage d'une ou plusieurs marques
colorées en déduisant ainsi la vitesse du train. Malheureusement, pour faire ce genre de mesure il faut du
matériel et l'autorisation du parc (ce que l'on n'a pas eut...).
Il a donc fallut se rabattre sur d'autres méthodes moins pratiques: Mesure à l'aide d'un anémomètre
(mesure la vitesse du vent), en théorie la vitesse du vent (ou plutôt la vitesse d'écoulement du fluide le long du
train) est égale à celle du train, si il n'y a pas de mouvement du fluide... sauf que le jour de nos mesures, le
vent n'était pas nul. De plus, les turbulences entrainent des vitesses de vent très variables et complétement
aberrantes (la vitesse passant à 0 km/h en bas de la descente...). Nos résultats sont donc inexploitables.
Notre autre solution est la prise d'une vidéo de l'extérieur de l'attraction et la déduction de la vitesse à
l'aide d'un logiciel spécialisé (Latis Pro) et d'un repère mobile lié au train.
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
Graphique comparant les résultats expérimentaux et le modèle:
On peut ainsi valider notre modèle même si la première partie de la descente ne suit pas exactement la même
tendance (on avait le même résultat avec No Limit... cela vient peut-être d'une erreur dans l'acquisition des
inclinaison du rail).
3) Exploitation du modèle:
On va enfin pouvoir utiliser ce modèle pour mieux comprendre et mieux chiffrer le frottement fluide.
•
Détermination du Cx:
Dans la formule du frottement fluide, une constante mystérieuse apparaît, il s'agit du coefficient de traînée ou
Cx. Il s'agit d'un coefficient très complexe qui dépend de la géométrie de l'objet étudié et du nombre de
Reynolds (donc de la vitesse) et malheureusement aucune formule ne permet de le retrouver. Plus le Cx est
grand, plus l'objet est sensible au frottement fluide (c'est directement proportionnel). Par exemple, sur les
voitures moderne (bien pensée sur le plan aérodynamique), le Cx peut descendre en dessous de 1 à vitesse
normale d'utilisation (entre 30 et 150 km/h).
Je vais donc utiliser le modèle et les mesures expérimentales pour déterminer le Cx du train.
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
→ Réseau de courbes de vitesse avec Cx variant:
En comparant l'allure générale des courbe on obtient une valeur approximative du Cx:
→ Cx = 15
La valeur trouvée est grande mais pas aberrante, en effet la majeure partie du contact entre le train et
l'air est composée de visiteurs aux formes variées et surtout pas très aérodynamiques...
Maintenant que nous connaissons toutes les données utiles, nous allons pouvoir chiffrer les pertes
énergétiques du système.
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
•
Pertes énergétiques:
Afin de se rendre compte de l'importance de ces pertes, nous allons nous placer dans le pire cas, lorsque la
vitesse est maximales:
→ Puissance dissipée par les frottements fluides
Cx⋅S⋅
P frottements fluides =f⋅v=−v3⋅
2
−1
P frottements fluides=−646 kJ⋅s kW 
→ Énergie Cinétique du train (c'est à dire l'énergie emmagasiné par le train qui arrive en bas de la descente)
1
Ec= ⋅m⋅v 2 =4 158 kJ
2
> perte théorique de l'énergie cinétique en 6,43 s: pas très réaliste, en effet lorsque le
train perd de l'énergie, il ralentit, il perd donc moins d'énergie et mettra plus de temps à tout perdre...
→ Concrètement:
Même train lancé à 108 km/h sur un rail non incliné:
Vitesse du train le long du rail en fonction du temps
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
Instant
Distance parcourue
Vitesse du train
0s
0m
108 km/h
90 s
1050 m
20 km/h
1050m c'est à peu près la longueur du parcours de Goliath (hors station et lift). En réalité le train met un peu
moins de temps et termine sa course à une vitesse plus élevée mais on a bien identifié la cause principale de la
perte de vitesse du train.
•
Limites du modèle:
Comme tout modèle, mon modèle présente quelques faiblesses:
Quel crédit apporter aux liaisons par ressort ?
Quelques limites liées au Cx:
–
Le train est un solide déformable et son Cx (qui dépend de la géométrie du train) varie.
–
Le train est particulièrement long, il subit donc aussi des frottements sur ses parois latérales.
–
Le train roule a des vitesses très variables, or le Cx dépend du nombre de Reynolds et donc de la
vitesse.
–
Crise de traînée: le lien entre la vitesse et le Cx est loin d'être simple, dans le cas d'un cylindre, on
observe une chute très net du Cx entre 10^5 et 10^6 avec une remonté. Cette crise est due à un
phénomène très complexe qui pourrait très bien se produire dans notre cas aussi (d'autant plus
que l'on travail à des valeur de nombre de Reynolds proches de 10^6).
Courbe de Cx = f(Re) = g(v) pour un cylindre (surface frontale):
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.
–
Définition du Cx: on a considéré la surface frontale mais que faire de la surface latérale ? Et
comment définir précisément la surface frontale ?
–
Dépressions/Turbulences entre les wagons: on l'a vu lorsqu'on a fait les mesures, il y a des
dépressions très fortes entre les wagons, elles doivent bien participer au ralentissement du train.
Conclusion:
Le modèle offre une bonne approximation de la vitesse du train et permet de mettre clairement en
évidence l'importance des surfaces dans les pertes énergétiques d'un train de montagnes russes.
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.