LES LOGARITHMES

CHAPITRE XIII
LES LOGARITHMES
Nous sommes ici à un tournant important, annoncé à plusieurs reprises déjà dans les pages
qui précèdent : à notre avis, les Logarithmes font déjà partie des Mathématiques
supérieures et, pourtant, ils se rattachent étroitement à ce que nous avons vu jusqu’ici.
Rien de magique ne s’attache à ces Logarithmes qui ne sont, au départ, qu’une méthode de
calcul capable souvent de simplifier les opérations, mais indispensable dans bien d’autres.
Ce chapitre sera un peu plus long, car nous voulons y faire, au moins, un tour d’horizon
complet.
120. Définition des Logarithmes.
Nous savons (§ 1) que le nombre 1000 peut s’écrire 1000 = 103 et nous dirons
que, dans cette exemple , le chiffre 3, exposant de 10, est le LOGARITHME
de 1000. De même, 2 sera le logarithme de 100, parce que 100 = 102 et 1 sera
le logarithme de 10, car 10 = 101. On écrira ainsi
4 = log 10 000
6 = log 1000 000
et ainsi de suite, en utilisant ici la lettre l minuscule pour l’abréviation « log ».
Voilà donc la définition, et toute la définition, des logarithmes : nous ne
voyons là-dedans rien de compliqué.
De façon plus générale, en partant d’une expression telle, que y = 10m, on
appellera m le logarithme de y ; inversement dans cette même expression, y
sera l’antilogarithme de m ; par exemple 1000 (y) sera l’antilogarithme de
3 (m), et 1 000 000 l’antilogarithme de 6.
Pour des raisons qui nous échappent, on n’emploie pas toujours ce terme
d’antilogarithme, pourtant fort pratique.
121. Systèmes de Logarithmes.
Les trois expressions
1000 = 103
100 = 102
10 = 101
ont en commun le nombre 10, doté de divers exposants. Ce 10 sera la BASE
d’un système de logarithmes, les logarithmes décimaux, ou encore vulgaires.
Cette définition des logarithmes, qui nous éloigne beaucoup de l’enseignement
« scolaire » traditionnel, nous permettrait de mettre sur pied, nous-même,
n’importe quel autre système de logarithmes.
Ainsi, dans un système de logarithmes, dont la base serait 2, nous aurions
encore
8 = 23
4 = 22
et nous dirions encore
2 = log 4
3 = log 8
ou encore, dans un système de logarithmes dont la base serait 3, on aurait :
et
2 = log 9
9 = 32
3
27 = 3
et
3 = log 27
On devrait d’ailleurs écrire, pour plus de précision, ici dans ces nouveaux
systèmes,
3 = log 2 de 8
3 = log 3 de 27
Les indices 2 et 3, qui suivent l’abréviation log, indiquent que la base utilisée
est respectivement 2 ou 3 ; l’absence d’indice correspond aux logarithmes
décimaux.
Ou encore, si la base est ce fameux nombre « e » (§ 103) on obtiendrait les
logarithmes népériens et nous aurions encore
e = 2,718
et
1 = Log 2,718
e2 = 7,387
et
2 = Log 7,387
3
e = 20,07
et
3 = Log 20,07
Pour désigner ces logarithmes népériens, nous proposons un « L » majuscule,
soit « Log », par abréviation.
Nous pourrons préciser maintenant la relation du § 120, par laquelle nous
définissons le logarithmes :
y = am
et
m = log a y
en d’autres termes, m est le logarithme de y dans un système, dont la base serait
a.
122. Relations communes à tous les systèmes.
Le tableau XIII-A
TABLEAU XIII-A
compare quelques
antilogarithme
logarithme
valeurs, que
décimal
base de 2 base de 3 base de e
présentent ces
0
100 = 1
20 = 1
30 = 1
e0 = 1
logarithmes dans
1
101 = 10
21 = 2
31 = 3
e1 = 2,718
2
2
2
divers systèmes,
2
10 = 100
2 =4
3 =9
e2 = 7,387
mais il révèle,
3
103 = 1000
23 = 8
33 = 27 e3 = 20,07
4
4
surtout, deux
4
10 = 10000 2 = 16 34 = 81
e4 = 54,5
propriétés
5
105 = 100000 25 = 32 35 = 243 e5 = 148,13
élémentaires,
Les mêmes logarithmes dans plusieurs systèmes possibles.
communes à tous
les systèmes de logarithmes possibles.
123. Relation de base des logarithmes.
Nous connaissons le principe (§ 60)
am. an = am+ n
qui donnerait, par exemple, avec a = 10, m = 3, n = 2 ;
103. 102 = 103+2 = 105
A chacun de ces termes, nous pourrions encore appliquer la définition générale
des logarithmes (§ 120), ce qui en confirme, d’ailleurs, la solidité ; en effet,
3 = log 1000 ; 2 = log 100
et aussi 3 + 2 = log 100 000. Nous pouvons donc écrire
log 1000 + log 100 = log 100 000
En d’autres termes, on pourra remplacer le logarithme d’un produit par la somme
des logarithmes de chacun des facteurs :
log (yy’) = log y + log y’
Ainsi, la multiplication de 100 par 100, par exemple, donne 10 000, alors qu’en
additionnant leurs logarithmes, soit 2 + 2, on trouve 4, qui est bien le logarithme
de 10 000.
A l’aide du petit tableau XIII-B, qui
TABLEAU XIII-B
représente un extrait – fort simple –
nombre logarithme nombre logarithme
d’une table des logarithmes – fort
0,000
1
. . . .
. . . .
simple, elle aussi – nous pourrons
0,301
1,505
2
32
donner quelques exemples de cette
0,477
1,519
3
33
relation de base.
0,602
1,531
4
34
Premier exemple : multiplication de
0,699
1,544
5
35
2 par 12.
0,778
1,556
6
36
Nous poserons :
0,845
1,568
7
37
log 2 . 12 = log 2 + log 12 et nous
0,903
1,579
8
38
tirerons du tableau XIII-B
0,954
1,591
9
39
log 2 = 0,301, log 12 = 1,079
1,000
1,602
10
40
En additionnant les deux :
1,041
1,612
11
41
log 2 + log 12 = 1,380. Cette
1,079
1,623
12
42
dernière valeur représente le
logarithme du produit recherché. Or,
1,114
1,633
13
43
en face 1,380 (situé dans la 2e
1,146
1,643
14
44
ere
colonne), nous lirons, dans la 1
1,176
1,653
15
45
colonne : 24, qui est bien le produit
1,662
. . . .
. . . .
46
recherché.
1,301
1,672
20
47
Deuxième exemple :
1,322
1,681
21
48
produit de 2 . 3 . 6.
1,342
1,690
22
49
Ici, il faudra même additionner 3
1,361
1,699
23
50
logarithmes. Le même tableau
1,380
24
. . . .
. . . .
XIII-B donne encore
1,398
1,785
25
61
log 2 = 0,301
1,415
1,792
26
62
log 3 = 0,477
1,431
1,799
27
63
log 6 = 0,778
1,447
1,806
28
64
log x = 1,556
1,462
1,813
29
65
La 4e colonne contient ce logarithme Extrait d’une table de logarithmes pour les nombres de 1 à 100.
1,556, à gauche duquel nous lisons
36.
Troisième exemple : produit de 7 par 7.
Comme dans les deux exemples précédents, nous poserons :
log 7 . 7 = log 7 + log 7
log 7 = 0,845
log 7 = 0,845
log x = 1,690
et nous lisons antilog 1,690 = 49.
124. Calcul des puissances.
Dans ce troisième exemple, le produit de 7 par 7 correspond, au fond, à une
élévation au carré du chiffre 7, et pour le résoudre, on s’était borné à
DOUBLER le logarithme de 7.
En d’autres termes et sous une forme plus générale, on pourra dire, qu’élever
un nombre à une puissance n, quelconque, revient à multiplier son logarithme
par n, ce qui s’écrit
log an = n log a
Ainsi, on trouvera, d’emblée, le cube de 3, par exemple
log 33 = 3 log 3 = 3 . 0,477 = 1,431
et nous voyons effectivement que c’est là le logarithme de 27.
De même encore, 26 ( deux puissance 6) se calculerait très simplement :
log 26 = 6 log 2 = 6(0,301) = 1,806
et nous lirons directement le nombre 64 dans notre tableau XIII-B, en face de
1,806.
Les logarithmes rendent donc de très grands services dans les élévations de
puissance.
Grâce à ces logarithmes, on déterminera encore, avec la même aisance, des
exposants fractionnaires, plus complexes (§ 85), tels que dans 93/2.
Il n’y a aucune raison pour ne pas appliquer encore la règle, que nous venons
de trouver, en nous aidant encore du tableau XIII-B :
log 93/2 = 3 log 9 = 3 (0,954) = 1,431
2
e
2
La 4 colonne donne encore le nombre 27, qui est le résultat recherché, car il
s’agissait bien d’élever au cube la racine carrée de 9.
125. Calcul des racines.
Si les logarithmes facilitent les opérations dans les calculs qui précèdent, ils
deviennent proprement INDISPENSABLES dans l’extraction des racines de
rang supérieur (à 3 surtout !).
De toute évidence, le § 61 restera, lui aussi, valable : au lieu de diviser 1
million par 10 000 ( ce qui donnerait 100), on pourra soustraire leurs
logarithmes soit 6 – 4 = 2 et 2 est effectivement le logarithme de 100.
Cette nouvelle propriété aussi pourrait s’écrire :
log y = log y – log y’
y
Appliquons cette nouvelle donnée, à la division 63 : 3. Du logarithme de 63,
soit 1,799, on retranchera le logarithme de 3, soit 0,477, ce qui donne 1,332,
qui est bien le logarithme de 21.
De même, 25 : 5 donnerait :
log 25 : 5 = log 25 – log 5 = 1,398 – 0,699 = 0,699
soit le logarithme de 5 qui est bien le résultat recherché.
Ce dernier calcul revient encore à extraire la racine carrée de 25 et il suffi, pour
cela, de diviser le logarithme de 25 par 2. Nous rejoignons là, le dernier
exemple du paragraphe précédent, et cela confirme aussi notre façon d’écrire
une racine carrée, à l’aide de l’exposant fractionnaire ½ (§ 84). De même, la
racine cubique de 64 se calculerait comme suit :
log 3 64 = 1 log 64 = 1 (1,806) = 0,602
6
3
Cette dernière valeur 0,602 est bien le logarithme de 4, racine cubique de 64.
Et la racine SIXIÈME de 64, que l’on ne peut pratiquement calculer par aucun
moyen arithmétique, s’obtiendrait directement à l’aide des logarithmes
log 6 64 = 1 log 64 = 1 (1,806) = 0,301
6
6
Le tableau XIII-B indique le chiffre 2 comme antilogarithme de 0,301. C’est là,
l’inverse du deuxième exemple du paragraphe précédent, où nous avions bien
calculé 2 puissance 6.
126. La règle à calcul.
Les règles à calcul (ou à calculer) appliquent essentiellement les principe,
encore fort élémentaires, que nous venons de définir. Sur de telles règles, on
n’inscrit pas directement les chiffres 1, 2, 3, 4, etc.,
mais des longueurs, proportionnelles aux
logarithmes de ces chiffres (fig. XIII-1). Une règle à
calcul, longue de 10 cm, par exemple, portera la
division 2 à 3,01 cm, parce que log 2 = 0,301
(tableau XIII-B) ; la division 3 à 4,77 cm, la
division 4 à 6,02 cm et ainsi de suite. Le tableau
XIII-C contient ces distances pour deux règles à
calcul possible.
Multiplier 2 par 3 revient alors d’après le § 123, à
additionner (fig. XIII-2) les longueurs, qui
correspondent, respectivement, au logarithme de 2
et au logarithme de 3, soit 3,01 cm et 4,77 cm =
7,78 cm ; a cette DISTANCE, nous trouverons,
effectivement, la division 6, qui est bien le résultat
recherché.
Pour rendre plus aisées encore de telles
multiplications, on place, face à face, deux règles
identiques, l’une fixe et l’autre constituée par une
réglette mobile.
Inversement – on le comprend sans peine – la
division se réduira à la soustraction de deux de ces
longueurs. Pour diviser 9 par 3, on retranchera (fig.
XIII-3), dans une règle de 10 cm, 4,77 cm de 9,54
cm, et il subsiste une longueur de 4,77 cm, qui
correspond bien à la division N° 3, quotient
recherché. Une élévation au carré revient encore a
additionner 2 longueurs égales d’une règle à calcul
deux fois plus courte, comme celle, par exemple, de
la troisième colonne de notre tableau XIII-C, ou
encore l’échelle B2.
Elever au carré 3, par exemple, revient à additionner
la longueur 2,385 à 2 ,385, soit 4,77 cm, mais la
lecture pourrait être plus directe encore. Cette
longueur correspond à la fois à la division 3 de la
première règle et à la division 9 de la deuxième
règle. A la verticale du 3 (échelle B), on lit, en effet,
9, échelle B2 ; de même, que l’on trouve, à la
verticale du 2 (échelle B), le 4 de l’échelle B2, ou
encore 100 (B2), à la verticale de 10 (B).
127. Mantisses et caractéristiques.
Reprenons deux valeurs de notre tableau XIII-B :
log 2 = 0,301
log 20 = 1,301
Nous trouvons dans la colonne de gauche, en
passant d’une ligne à l’autre, un nombre 10 fois plus
grand, alors que le logarithme (colonne de droite)
augmente d’une unité seulement : la partie
décimale, elle n’a pas changé et reste 301.
L
B3
B2
b2
a
b
Fig. XIII-1. Extrait d’une règle
à calcul très répandue (modèle
Elec-log-log, Graphoplexe,
aussi appelée Rietz dans
d’autres marques).
L’échelle B (nombre de base)
fait partie de la réglette fixe
inférieure alors que la réglette
supérieure porte B3 (cubes) et
(Logarithmes décimaux).
Les échelles b et b2 sur la
réglette mobile correspondent
respectivement à B et B2 ;
l’échelle a porte les inverses de
B, soit par exemple 1/ 8 pour
8, 1 / 6 pour 6 et ainsi de suite.
En plus, détail de quelques
divisions.
Fig. XIII-2. Position des
réglettes pour la multiplication
de 2 par 3.
Fig. XIII-3. Position des
réglettes pour la division de 9
par 3
Ce même tableau XIII-B montre
TABLEAU XIII-C
aussi le logarithmes, inférieurs à
Longueur de la règle
Division
l’unité pour les nombres ne
10 cm
5 cm
comprenant que le chiffre des
1
0
0
unités et des logarithmes, compris
2
3,01 cm
1,5 cm
entre 1 et 2, pour des nombres
3
4,77
cm
2,385
cm
comportant des dizaines. Tout cela
4
6,02 cm
3,01 cm
est fort logique et découle
5
6,99
cm
3,50 cm
directement de notre définition des
6
7,78 cm
3,89 cm
logarithmes (§ 120).
7
8,45 cm
4,23 cm
Ainsi, tout logarithme se compose
8
9,03
cm
4,52 cm
de deux parties :
9
9,54 cm
4,77 cm
La CARACTÉRISTIQUE,
10
10
cm
5 cm
qui précède la virgule et qui
11
10,41 cm
5,2 cm
indique combien le nombre
12
10,79
cm
5,4 cm
contient de chiffres ( la
Dimensions
géométriques
de
deux
modèles
de
règles à calcul.
caractéristique 1 correspond
à 2 chiffres, 3 à 4 chiffres, etc.).
La MANTISSE, qui suit la virgule et qui ne tient compte que de la
valeur du nombre, soit 301, pour 2 ; peu importe, pour cette mantisse,
que 2 soit contenu dans 20 ou dans 200 000. C’est cette seule valeur,
que contiennent les tables normales de logarithmes, et les règles à
calcul (échelle L, fig. XIII-1).
A la verticale du 2 (échelle B) nous lisons bien, dans l’échelle L un peu plus de
3, ou encore 0,300 ; de même, à la verticale du 5 (échelle B), près de 0,700
(échelle L) ; dans ce dernier cas, le tableau XIII-B donne 0,699 ! La précision
de la lecture dépend de la dimension même de la règle.
Cette remarque étend notablement le tableau XIII-B, puisqu’il nous fournit
même le logarithme de 4 700, par exemple. Ce nombre comporte 4 chiffres et
sa caractéristique sera donc 3 ; la mantisse sera la même que pour 47, soit
0,672, et cela donne
log 4700 = 3,672
Inversement le logarithme 2,544 se décomposera en une caractéristique 2,
indice d’un nombre de 3 chiffres, et une mantisse 0,544 ; le tableau XIII-B
porte 1,544 pour 35 ; nous aurons donc, ici,
antilog 2,544 = 350
128. Echelle logarithmique.
Les règles graduées normales, telles qu’on les utilises pour le dessin, utilisent
une échelle linéaire : la même distance sépare les divisions 2 et 3, ou encore 8
et 9. En utilisant les divisions du tableau XIII-C, par contre, on obtiendrait une
échelle logarithmique (fig. XIII-4), aux propriétés les plus intéressantes.
1
distances
2
0,3 cm
3
0,47 cm
4
5
0,6 cm
6
7
8 9 10
0,7 cm
0,84 cm 0,95 cm
0,77 cm
0,9 cm
Fig. XIII-4. Exemple d’une échelle logarithmique.
Supposons, que nous ayons à étudier les variations de la fonction y = ax, pour
une très grande étendue de valeurs, attribuées à la variable indépendante. Si
nous réservons à chaque buées à la variable indépendante. Si nous réservons à
chaque unité de x, par exemple, 5 mm (fig. XIII-5), nous pourrons facilement
tracer la variation jusqu’à x = 40 environ, mais au-delà ? Pour x = 100, déjà,
notre feuille de papier devrait avoir une largeur de 50 centimètres et pour
x = 10 000, il nous faudrait un rouleau de 50 mètres !
y +∞
y +∞
x+∞
x+∞
3 5 10
30 50 300 1000 5000
100 500 3000 10000
Fig. XIII-5. Une même fonction, représentée sur échelle linéaire et sur échelle logarithmique: pour
une même longueur, on place près de 10 000 fois plus de valeurs de x.
Si, par contre, nous portons en abscisse non pas x directement, mais son
logarithme, nous obtiendrons la fonction y = a log x et nous pourrons
embrasser, d’un même coup d’œil, une étendue de valeurs de x allant de 0 à
10000 et même plus loin.
De part leur définition même, les logarithmes réservent une même longueur à
des intervalles allant de
0 à 1, 1 à 10, 10 à 100, 100 à 1000, 1000 à 10000, etc.
La courbe obtenue (fig. XIII-5) pourra ne plus avoir la même forme, disons
géométrique, mais elle nous permettra d’observer tout aussi bien le sens
général et les accidents (minimum, maximum, inversion, inflexion, etc.) de la
variation.
D’ailleurs, pour qu’une fonction linéaire redonne une droite (chapitre XVIII) il
suffira de prévoir la même échelle logarithmique pour l’ordonnée aussi bien
que pour l’abscisse.
Et c’est là peut-être, que les logarithmes cessent d’être un simple artifice de
calcul : par leurs lois sensorielles, Fechner et Weber ont montré que notre ouïe,
en particulier, réagissait suivant une loi logarithmique, et nullement linéaire ! Il
faut mettre en ligne 100 fois (102) plus d’énergie pour donner à notre oreille
l’impression de 2 (logarithme de 100) fois plus de bruit.