les triangles

Chapitre : Les triangles
I Angles et triangles
a) Triangles quelconques
Propriété des angles d’un triangle : La somme des mesures des angles d’un triangle fait 180°.
A
♀
A
60°
40°
♀
A+♀
B+♀
C = 180°
C
B
On a : ♀
A = 180 – ( 60 + 40 ) = 180 – 100 = 80°
b) Triangles particuliers
Propriété de triangle isocèle : Dire qu’un triangle est isocèle revient à dire qu’il a deux angles de même
mesure.
A
48°
B
B
ABC est un triangle isocèle en A
C
[BC] est la base
C
On a : ♀
B =♀
C = ( 180 – 48 ) : 2 = 132 : 2 = 66°
Propriété du triangle équilatéral : Dire qu’un triangle est équilatéral revient à dire que chacun de ses angles
mesure 60°.
A
60°
ABC est un triangle équilatéral
60°
B
60°
C
II Triangle et longueur
Propriété des côtés d’un triangle : Pour pouvoir construire un triangle, il faut que la somme de ses deux plus
petits côtés soit supérieure ou égale au côté le plus grand.
Exemples : Est-il possible de construire les triangles dont les côtés mesurent :
• 7 cm ; 13 cm ; 8 cm : on peut le construire car 7 + 8 > 13
• 42 cm ; 23 cm ; 18 cm : on ne peut pas le construire car 23 + 18 < 42
• 15 cm ; 6 cm ; 21 cm : on peut le construire car 15 + 6 = 21
C
triangle plat
B
A
A
AC + CB > AB
C
B
AC + CB = AB
AC + CB ≥ AB
Notation : Le symbole "≥" se lit et signifie "supérieur ou égal à"
Remarque 1 : Autrement dit, l’inégalité triangulaire signifie que "la ligne droite est le plus court chemin".
Remarque 2 : AC + CB ≥ AB s’appelle "l’inégalité triangulaire".
III Triangle et cercle
Propriété et définition : Les médiatrices d’un triangle se coupent en même point appelé le centre du cercle
circonscrit de ce triangle.
A
C
O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
C est le cercle circonscrit du triangle ABC.
O
B
C
Vocabulaire : Lorsque plusieurs droites (au moins 3) se coupent en même point, on dit qu’elles sont concourantes.
IV Les médianes
Définition : Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe un sommet et par le milieu du côté opposé.
A
(AI) est la médiane issue de A du triangle ABC
B
I
C
Exercice 1 : Trouve les mesures des angles des triangles suivants :
a ) ABC est isocèle en A et ♀
A = 40° b ) EFG est isocèle en E et ♀
F = 40°
c ) HIJ est isocèle en I et ♀
I = 42°
Exercice 2 : Construis des triangles ABC dans chacun des cas suivants :
a) AB = 3 cm BC = 4 cm b) AB = 5 cm BC = 6 cm c) AB = 3 cm BC = 3 cm
CA = 5 cm
CA = 2 cm
CA = 7 cm
Peut-on toujours construire un triangle ? Quand est-il possible de le construire ?
d) AB = 2 cm BC = 3 cm
CA = 5 cm
Exercices pour préparer le contrôle (besoin du rapporteur)
A de chacun des triangles ABC suivants :
Exercice 1 : Calcule la mesure de l’angle ♀
♀
♀
♀
figure 1
a ) B = 48° et C = 72° b ) C = 65° et ABC est isocèle en A
B
c)♀
B = 46° et ♀
C = 94° d ) ♀
B = 108° et ABC est isocèle en B.
A
e ) ABC est équilatéral. f ) ♀
C = 61° et ABC est rectangle en B.
Exercice 2 : Calcule les mesures des angles et le périmètre du
champ ABCDE de la figure 1.
120 m
Exercices du livre : Exercice 23 P 178
Exercices 1 b ) ; 4 ; 10 P 176
+ trace le cercle circonscrit du triangle fait en 1 b ) P 176
+ trace les médianes du triangle fait en 4 P 176
26°
C
115 m
26°
70°
30°
E
226 m
D
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Réponses aux exercices de préparation au contrôle
Exercice 1 :
a)♀
A = 180 – ( 48 + 72 ) = 60°
b)♀
A = 180 – 2 × 65 = 50°
c)♀
A = 180 – ( 46 + 94 ) = 40°
d)♀
A = ( 180 – 108 ) : 2 = 36°
e)♀
A = 60° car ABC est équilatéral
f)♀
A = 180 – ( 90 + 61 ) = 29°
Exercice 2 : Calcule des mesures d’angles :
☺
Dans le triangle ABE on a : ♀
A = 180 – 2 × 26 = 128°
AED = 26 + 30 = 56°
Dans le triangle EBD on a : ☺
EBD = 180 – ( 30 + 70 ) = 80°
Les angles du triangle BCD font 60° car ce triangle est équilatéral
☺
☺
ABC = 26 + 80 + 60 = 166°
EDC = 70 + 60 = 130°
Calcul du périmètre :
Le triangle ABE est isocèle en A car ses angles en B et E ont la même mesure. Donc AB = AE = 120 m
BC = CD = 115 m
Les périmètre est : 2 × 120 + 2 × 115 + 226 = 696 m
Exercice 32 P 178 :
a ) constructible car 1,5 + 2,5 > 3
b ) constructible car 17,5 + 8,6 > 23,2
c ) non constructible car 68 + 22 < 91