Campi Vettoriali - Dipartimento di Scienze Matematiche

Campi Vettoriali
Francesca G. Alessio
1
Si dice campo vettoriale in Rn un’applicazione F : A ⊂ Rn → Rn . Posto F(x) =
(F1 (x), F2 (x), ..., Fn (x)), x ∈ A, le funzioni Fi : A ⊂ Rn → R, i = 1, ..., n, che definiscono
il campo verranno dette componenti del campo vettoriale F.
Possiamo pensare ad un campo vettoriale come ad un’applicazione che ad ogni punto
x ∈ A ⊂ Rn associa un vettore F(x) ∈ Rn che rappresenta la forza che agisce sulla
particella di posizione x ∈ A (con tale interpretazione si usa parlare di campo di forze in
luogo di campo vettoriale).
Come esempio notevole vediamo il campo gravitazionale determinato da una massa puntiforme M posta nell’origine di R3 ed agente su una particella di massa m posta nel punto
P (x, y, z). Detta G la costante di gravitazione universale, tale campo è descritto da
!
y
z
x
F(x, y, z) = −GmM
3 ,
3 ,
3
(x2 + y 2 + z 2 ) 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 2
Come ulteriore esempio, pensiamo a delle particelle in Rn che si muovono lungo delle
traiettorie γ ⊂ Rn : se denotiamo con T (x) il vettore tangente alla traiettoria γ di una
particella nella posizione x ∈ Rn , il campo vettoriale F(x) = T (x) descriverà la velocità
della particella, parleremo quindi di campo di velocità. Ad esempio il campo F(x, y, z) =
ω(−y, x, 0) descriverà la velocità di un solido in rotazione attorno all’asse z:
1
Dipartimento di Scienze Matematiche - Università Politecnica delle Marche
1
Un altro esempio notevole è dato dal gradiente di una funzione derivabile f : A ⊂ Rn → R:
∂f
∂f
∂f
(x),
(x), ...,
(x)
∇f (x) =
∂x1
∂x2
∂xn
Ad esempio, considerata la funzione f (x, y) = x2 − y 2 , abbiamo ∇f (x, y) = (2x, −2y):
Osserviamo che il campo gravitazionale F(x, y, z) risulta essere il gradiente della funzione
U : R3 \ {(0, 0, 0)} → R definita da
GmM
U (x, y, z) = p
x2 + y 2 + z 2
Il campo gravitazionale è un esempio di campo conservativo secondo la seguente definizione.
Si dice che un campo vettoriale F : A ⊂ Rn → Rn è conservativo in A se esiste una
funzione derivabile U : A ⊂ Rn → R tale che ∇U (x) = F(x) per ogni x ∈ A, essendo
∇U : A ⊂ Rn → Rn il gradiente di U :
∇U (x) = (
∂U
∂U
∂U
(x),
(x), ...,
(x)) x ∈ A.
∂x1
∂x2
∂xn
In tal caso la funzione U è detta potenziale del campo vettoriale F in A.
Osserviamo che se F(x) = (F1 (x), F2 (x), ..., Fn (x)) sono le componenti del campo, allora
la condizione ∇U (x) = F(x) per ogni x ∈ A risulta verificata se e solo se
∂U
(x) = Fi (x),
∂xi
per ogni x ∈ A, i = 1, ..., n.
Osserviamo inoltre che se U (x) è un potenziale del campo F(x) in A ⊂ Rn , allora per ogni
k ∈ R, la funzione V (x) = U (x)+k è ancora un potenziale del campo F(x). Viceversa, dal
Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso, abbiamo che se A ⊂ Rn
è un aperto connesso, due potenziali U (x) e V (x) del campo F(x) in A differiscono per
una costante: esiste k ∈ R tale che V (x) = U (x) + k per ogni x ∈ A. Vale quindi
2
Proposizione
Sia F(x) un campo vettoriale conservativo in un aperto connesso A ⊂ Rn e sia U (x) un
suo potenziale in A. Allora tutti e soli i potenziali del campo F(x) in A sono della forma
U (x) + k con k ∈ R.
Lavoro di un campo vettoriale
Dato un campo vettoriale F(x) continuo in A ⊂ Rn (ovvero di componenti continue in A)
e data una curva γ : [a, b] ⊂ R → Rn regolare con supporto contenuto in A, si definisce
lavoro del campo F lungo la curva γ la quantità
Z
F(x) · T(x) ds
γ
essendo T(x) è il versore tangente a γ in x. Denoteremo il lavoro con
Lγ (F).
R
γ
F · ds oppure con
Se ϕ(t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)), t ∈ [a, b], sono le equazioni parametriche della curva γ e
se F(x) = (F1 (x), F2 (x), ..., Fn (x)) sono le componenti del campo, risulta
Z b
Z b
Z
ϕ0 (t)
0
F(ϕ(t)) · ϕ0 (t) dt
kϕ (t)k dt =
F(ϕ(t)) ·
F · ds =
0 (t)k
kϕ
a
a
γ
Z b
=
F1 (ϕ(t))x01 (t) + F2 (ϕ(t))x02 (t) + ... + Fn (ϕ(t))x0n (t) dt
a
Osserviamo che essendo
Z il verso del versore tangente T(x) dipendente dall’orientamento
della curva, il lavoro
F · ds dipende dall’orientamento della curva γ. Precisamente, se
γ
−γ è curva equivalente alla curva γ ma con orientamento opposto, allora
Z
Z
F · ds = − F · ds
−γ
γ
Osserviamo inoltre che dalle proprietà di additività e di linearità dell’integrale curvilineo
si ottengono le seguenti proprietà:
(i) linearità: se F(x) e G(x) sono campi continui in A ⊂ Rn e γ è curva regolare con
supporto contenuto in A, per ogni α, β ∈ R si ha
Z
Z
Z
(αF + βG) · ds = α F · ds + β G · ds
γ
γ
γ
(ii) additività: se F(x) è campo continuo in A ⊂ Rn , γ è curva regolare con supporto
contenuto in A tale che γ = γ1 ∪ γ2 allora
Z
Z
Z
F · ds =
F · ds +
F · ds
γ
γ1
3
γ2
Possiamo infine estendere la definizione di lavoro di un campo continuo F(x) lungo una
curva regolare a tratti γ ponendo
Z
n Z
X
F · ds =
F · ds
γ
i=1
γi
essendo γ = γ1 ∪ γ2 ∪ ... ∪ γn e γi curva regolare per ogni i = 1, ..., n.
Esempi
y
x
• Calcolare il lavoro del campo F (x, y) = (− x2 +y
2 , x2 +y 2 ) lungo la curva γ avente per
sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 percorsa in senso antiorario.
Considerata la parametrizzazione ϕ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π], della curva γ si ha
Z
Z 2π
F · ds =
F(ϕ(t)) · ϕ0 (t) dt
γ
0
2π
Z
Z
2π
(− sin t, cos t) · (− sin t, cos t) dt =
=
0
sin2 t + cos2 t dt = 2π
0
2
• Calcolare il lavoro del campo F(x, y, z) = ( √ y2
x +y 2
2
, √ y2
x +y 2
, z 2 ) lungo l’elica cilin-
drica γ(t) = (cos t, sin t, t), t ∈ [0, 2π]. Osserviamo innanzitutto che Dom F =
{(x, y, z) | x2 + y 2 6= 0} e che il sostegno della curva è contenuto in tale dominio.
Dalla definizione otteniamo
Z 2π
Z 2π
Z
0
(sin2 t, cos2 t, t2 ) · (− sin t, cos t, 1) dt
F(γ(t)) · γ (t) dt =
F · ds =
0
0
γ
Z
=
0
2π
8
− sin3 t + cos3 t + t2 dt = π 3
3
Riguardo al lavoro di un campo conservativo abbiamo il seguente risultato
Teorema sul lavoro di un campo conservativo
Sia F : A ⊂ Rn → Rn campo vettoriale continuo e conservativo sull’aperto A ⊂ Rn . Se γ
è curva regolare a tratti con sostegno contenuto in A di punto iniziale x0 e finale x, allora
Z
F(x) · ds = U (x) − U (x0 )
γ
essendo U un potenziale di F in A.
Dim. Sia γ(t), t ∈ [a, b], una parametrizzazione della curva γ tale che γ(a) = x0 e
γ(b) = x. Allora, dalla definizione
Z
Z b
F · ds =
F(γ(t)) · γ 0 (t) dt
γ
a
4
Poichè il campo F(x) è conservativo ed U (x) è un suo potenziale risulta, F(γ(t)) =
∇U (γ(t)) per ogni t ∈ [a, b]. Inoltre, posto f (t) = U (γ(t)), dal Teorema di derivazione
di una funzione composta abbiamo che f 0 (t) = ∇U (γ(t)) · γ 0 (t) e quindi, dalla formula
fondamentale del calcolo integrale, otteniamo
Z
Z b
Z b
0
F · ds =
∇U (γ(t)) · γ (t) dt =
f 0 (t) dt = f (b) − f (a) = U (γ(b)) − U (γ(a)).
γ
a
a
Dal precedente risultato abbiamo quindi che il lavoro compiuto da un campo conservativo
F lungo una curva γ non dipende dalla curva ma solo dal punto iniziale e finale della
curva. In particolare, si ottiene che il lavoro lungo una curva chiusa risulta nullo.
Ad esempio, il lavoro compiuto dal campo gravitazionale
F(x, y, z) = −GmM (
x
(x2
+
y2
+
3
z2) 2
,
y
(x2
+
y2
+
3
z2) 2
,
z
(x2
3
+ y2 + z2) 2
)
per spostare un corpo da P0 (0, 0, 2) a P (0, 2, 0) lungo una qualunque curva γ regolare a
tratti tale che γ ⊂ R3 \ {(0, 0, 0)} è pari a
Z
1 1
F · ds = U (P ) − U (P0 ) = GmM ( − ) = 0
2 2
γ
essendo U (x, y, z) = √ GmM
2
2
x +y +z 2
un potenziale di F(x, y, z). Si osservi che P e P0 hanno
la stessa distanza dall’origine e che il potenziale dipende solo dalla distanza dall’origine,
quindi il lavoro è nullo.
La condizione che il lavoro non dipenda dalla curva ma solo dal punto iniziale e finale è
condizione non solo necessaria ma anche sufficiente affinchè un campo risulti conservativo
in aperti connessi. Vale difatti il seguente risultato:
Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi
Sia F : A ⊂ Rn → Rn un campo vettoriale continuo sull’aperto connesso A ⊂ Rn . Sono
equivalenti le seguenti affermazioni
(i) F è conservativo in A,
(ii) per ogniR curva γ semplice, chiusa, regolare a tratti con sostegno contenuto in A
risulta γ F(x) · ds = 0,
(iii) per ogni coppia γ1 e γ2 di curve semplici, regolariRa tratti con sostegno
contenuto in
R
A aventi medesimo punto iniziale e finale, si ha γ1 F(x) · ds = γ2 F(x) · ds.
5
Dim. (i) ⇒ (ii) Segue dal Teorema sul lavoro dei campi conservativi: se U (x) è un potenziale di F(x), poichè la curva è chiusa, punto iniziale e finale della curva coincideranno
e quindi
Z
F · ds = U (x0 ) − U (x0 ) = 0
γ
(ii) ⇒ (iii) Considerata la curva γ = γ1 ∪ (−γ2 ), avremo che γ è curva semplice, chiusa,
regolare a tratti con sostegno contenuto in A. Allora da (ii) e dalla proprietà di additività
avremo
Z
Z
Z
Z
Z
0 = F · ds =
F · ds +
F · ds =
F · ds −
F · ds
γ
e dunque
R
γ1
−γ2
γ1
F(x) · ds =
R
γ2
γ1
γ2
F(x) · ds.
(iii) ⇒ (i) Da (iii) abbiamo che il lavoro del campo lungo una qualunque curva γ dipende
solo dal punto iniziale e finale. Fissato x0 ∈ A, poichè A è connesso, per ogni x ∈ A esiste
una curva γx semplice, regolare a tratti con sostegno contenuto in A congiungente x0 con
x 2 . Risulta allora ben definita la funzione U : A ⊂ Rn → R definita da
Z
F · ds
U (x) =
γx
Proviamo che U (x) è un potenziale di F(x) in A, ovvero che per ogni x ∈ A e ogni
i = 1, ..., n risulta
∂U
(x) = Fi (x).
∂xi
Sia x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ A e sia h ∈ R sufficientemente piccolo di modo che xh =
(x1 + h, x2 , ..., xn ) ∈ A. Avremo che
Z
Z
F · ds
F · ds −
U (xh ) − U (x) =
γx
γxh
dove γx è una qualunque curva congiungente x0 con x e γxh = γx ∪ γ0 essendo γ0 la curva
avente per sostegno il segmento congiungente x con xh . Essendo ϕ0 (t) = (x1 +t, x2 , ..., xn ),
t ∈ [0, h] (se h > 0, altrimenti t ∈ [h, 0]), una parametrizzazione della curva γ0 , otteniamo
Z
Z
U (xh ) − U (x) =
F · ds −
γxh
Z
=
Z
F · ds =
γx
Z
F · ds =
γ0
h
F(ϕ0 (t)) · ϕ00 (t) dt
0
h
F1 (x1 + t, x2 , ..., xn ) dt
0
2
per provarlo è sufficiente osservare che, fissato x0 ∈ A, gli insiemi
A1 = {x ∈ A | ∃ γ curva semplice, regolare a tratti con sostegno contenuto in A congiungente x0 con x}
A2 = A \ A1 sono aperti e tali che A1 ∪ A2 = A e A1 ∩ A2 = ∅.
6
Poichè il campo è continuo, dal Teorema della media integrale si ha che esiste th ∈ [0, h]
tale che
Z h
F1 (x1 + t, x2 , ..., xn ) dt = hF1 (x1 + th , x2 , ...., xn )
U (xh ) − U (x) =
0
Infine, essendo th → 0 per h → 0 e F1 (x) funzione continua, ne segue che
U (xh ) − U (x)
1
lim
= lim
h→0
h→0 h
h
Z
h
F1 (x1 + t, x2 , ..., xn ) dt
0
= lim F1 (x1 + th , x2 , ...., xn ) = F1 (x1 , x2 , ..., xn ) = F1 (x)
h→0
∂U
e quindi che ∂x
(x) = F1 (x) per ogni x ∈ A. Analogalmente si prova che
1
per ogni i = 1, ..., n e ogni x ∈ A.
∂U
(x)
∂xi
= Fi (x)
Il precedente risultato ci fornisce delle condizioni per provare che un campo non è consery
x
vativo. Ad esempio, avendo provato che per il campo F(x, y) = (− x2 +y
2 , x2 +y 2 ) il lavoro
lungo la curva semplice, chiusa γ con sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio
1 è non nullo, possiamo concludere che il campo non risulta conservativo sul suo dominio.
Il Teorema di caratterizzazione dei campi vettoriali fornisce nella dimostrazione un metodo per determinare un potenziale in un dominio connesso di un dato campo vettoriale
conservativo. Difatti, se F è campo conservativo nell’aperto connesso A, allora fissato
x0 ∈ A, risulta un potenziale di F in A la funzione
Z
U (x) =
F · ds, x ∈ A,
γx
essendo γx una curva regolare a tratti con supporto in A congiungente x0 con x ∈ A.
Campi vettoriali irrotazionali
Osserviamo che se F(x) = (F1 (x), F2 (x), ..., Fn (x)) è un campo vettoriale conservativo di
classe C 1 in un aperto A ⊂ Rn e U (x) un suo potenziale in A, dalla condizione
∂U
(x) = Fi (x),
∂xi
∀x ∈ A, i = 1, ..., n,
avremo che U (x) risulta di classe C 2 in A e dal Teorema di Schwartz otteniamo che
∂ 2U
∂ 2U
(x) =
(x),
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
7
∀x ∈ A, i, j = 1, ..., n
Dalle precedenti condizioni otteniamo allora che risulta
∂Fj
∂Fi
(x) =
(x),
∂xj
∂xi
(I)
∀x ∈ A, i, j = 1, ..., n.
Un campo vettoriale F(x) = (F1 (x), F2 (x), ..., Fn (x)) di classe C 1 in un aperto A ⊂ Rn
soddisfacente la condizione (I) è detto campo vettoriale irrotazionale in A. Abbiamo
quindi provato che condizione necessaria affinchè un campo vettoriale di classe C 1 in un
aperto A ⊂ Rn risulti conservativo è che sia irrotazionale:
Teorema
Se F(x) è campo vettoriale conservativo e di classe C 1 sull’aperto A ⊂ Rn allora F(x) è
irrotazionale in A.
Nel caso n = 2, la condizione di irrotazionalità (I) di un campo F(x, y) = (F1 (x, y), F2 (x, y)),
(x, y) ∈ A ⊂ R2 , si scrive:
∂F1
∂F2
=
, in A,
∂y
∂x
mentre nel caso n = 3, avremo che un campo F(x, y, z) = (F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z)),
(x, y, z) ∈ A ⊂ R3 , risulta irrotazionale se
∂F2
∂F1
=
,
∂y
∂x
∂F1
∂F3
=
,
∂z
∂x
∂F2
∂F3
=
,
∂z
∂y
in A
Il campo vettoriale
rot F = (
∂F3 ∂F2
−
,
∂y
∂z
∂F1 ∂F3
−
,
∂z
∂x
∂F2 ∂F1
−
)
∂x
∂z
è detto rotore del campo vettoriale F. La condizione di irrotazionalità in questo caso
chiede appunto che rot F = 0 in A (da qui il termine irrotazionale che, con abuso di
terminologia, utilizziamo anche in Rn con n qualunque).
Esempi
• Il campo F(x, y) = (xy, x2 + y 2 ) non è conservativo nel suo dominio non essendo
irrotazionale in quanto:
∂F1
∂F2
(x, y) = x 6=
(x, y) = 2x,
∂y
∂x
mentre risulta irrotazionale il campo F(x, y) = (2xy, x2 + y 2 ) essendo
∂F1
∂F2
(x, y) = 2x =
(x, y)
∂y
∂x
Tale campo risulta essere conservativo, un suo potenziale è difatti U (x, y) = x2 y +
1 3
y .
3
8
y
x
• Il campo F (x, y) = (− x2 +y
2 , x2 +y 2 ) è campo irrotazionale nel suo dominio A =
R2 \ {(0, 0)} poichè
y 2 − x2
∂F1
∂F2
= 2
=
2
∂y
x +y
∂x
R
ma abbiamo provato che tale campo non è conservativo (essendo γ F · ds 6= 0 con
γ circonferenza di centro l’origine e raggio 1). Osserviamo però che tale campo
risulta conservativo nell’aperto A0 = {(x, y) | x 6= 0} essendo U (x, y) = arctan xy
un suo potenziale in tale insieme (il campo risulta inoltre conservativo nell’aperto
A1 = {(x, y) | y 6= 0} con V (x, y) = − arctan xy come potenziale).
2
2
, 2y
, − x z+y
) risulta irrotazionale nel suo dominio A =
• Il campo F(x, y, z) = ( 2x
2
z
z
{(x, y, z) ∈ R3 | z 6= 0} essendo
∂F1
∂F2
=0=
,
∂y
∂x
∂F1
2x
∂F3
=− 2 =
,
∂z
z
∂x
Il campo risulta inoltre conservativo, U (x, y, z) =
∂F2
2y
∂F3
= 2 =
,
∂z
z
∂y
x2 +y 2
z
è difatti un suo potenziale.
y
x
• Il campo F(x, y, z) = (− x2 +y
2 , x2 +y 2 , z) è campo irrotazionale nel suo dominio A =
{(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 6= 0} poichè
∂F1
y 2 − x2
∂F2
= 2
=
,
2
∂y
x +y
∂x
∂F1
∂F3
∂F2
∂F3
=0=
,
=0=
∂z
∂x
∂z
∂y
R
ma non risulta conservativo in A essendo γ F · ds 6= 0 con γ(t) = (cos t, sin t, 0),
t ∈ [0, 2π].
I precedenti esempi mostrano che la condizione di irrotazionalità non è sufficiente affinchè
un campo risulti conservativo. Abbiamo difatti bisogno di un condizione supplementare
sul dominio del campo.
Un aperto connesso A ⊂ Rn è detto semplicemente connesso se ogni curva semplice e
chiusa γ con sostegno contenuto in A si può deformare con continuità in A in un punto
x0 ∈ γ. Precisamente, se γ(t), t ∈ [a, b], è una parametrizzazione della curva γ tale che
γ(a) = γ(b) = x0 , esiste un’applicazione continua Φ : [a, b] × [0, 1] → A tale che
- Φ(t, 0) = γ(t) per ogni t ∈ [a, b],
- Φ(t, 1) = x0 , per ogni t ∈ [a, b],
- per ogni s ∈ [0, 1], Φ(a, s) = Φ(b, s) = x0 .
9
Con i termini della topologia algebrica si dice che Φ è un’omotopia tra γ e x0 ∈ γ e che
la curva γ è omotopa ad un punto.
Ad esempio, sono semplicemente connessi gli aperti convessi di Rn (un aperto A ⊂ Rn è
detto convesso se per ogni x0 , x ∈ A il segmento che li congiunge risulta contenuto in A).
Sono semplicemente connessi gli aperti stellati di Rn (un aperto A ⊂ Rn è detto stellato se
esiste x0 ∈ A tale che per ogni x ∈ A il segmento che congiunge x0 con x risulta contenuto
in A).
In R2 si può provare che un aperto connesso A ⊂ R2 è semplicemente connesso se ogni
curva semplice chiusa e regolare γ ⊂ A risulta frontiera di un sottoinsieme D ⊂ A: γ = ∂D
con D ⊂ A.
Esempi
• L’insieme A = R2 \ {(0, 0)} è connesso ma non è semplicemente connesso, la curva
γ avente per sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 è frontiera del
disco D di centro l’origine e raggio 1 ma D 6⊂ A.
• La corona circolare A = {(x, y) | 1 < x2 + y 2 < 9} è aperto connesso ma non
semplicemente connesso (la curva γ ⊂ A avente per sostegno la circonferenza di
centro l’origine e raggio 2 è frontiera del disco D di centro l’origine e raggio 2 ma
D 6⊂ A).
• L’aperto {(x, y) | y 6= 0} non è semplicemente connesso non essendo connesso.
• Gli aperti R2 , {(x, y) | x2 + y 2 < 4}, {(x, y) | y 6= 0 se x > 0} sono semplicemente
connessi.
In R3 si ha invece che un aperto connesso A ⊂ R3 è semplicemente connesso se ogni curva
semplice, chiusa e regolare γ ⊂ A risulta bordo di una superficie con bordo S con sostegno
contenuto in A: γ = ∂S con S ⊂ A.
Esempi
• L’insieme A = R3 \ {(0, 0, 0)} è semplicemente connesso, ogni curva chiusa γ con
sostegno in A è deformabile con continuità in A in un punto.
• La corona sferica A = {(x, y, z) | 1 < x2 + y 2 + z 2 < 9} è semplicemente connesso.
• Il toro T , ottenuto dalla rotazione attorno
all’asse z di un disco D = {(x, z) | (x −
p
x0 )2 + (z − z0 )2 < r2 } (con 0 < r < x20 + z02 ), non è semplicemente connesso: la
curva γ avente per sostegno la circonferenza del piano z = z0 di centro (0, 0, z0 ) e
raggio x0 non è deformabile con continuità ad un punto in T .
10
• L’insieme A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 6= 0} è connesso ma non è semplicemente
connesso, la curva γ avente per sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio
1 del piano z = 0 non è deformabile con continuità ad un punto in A.
Vale il seguente risultato (della cui prova accenneremo più avanti):
Teorema
Se F(x) è campo vettoriale irrotazionale nell’aperto semplicemente connesso A ⊆ Rn
allora F(x) è conservativo in A.
Negli esempi che seguono, vedremo come stabilire che un dato campo vettoriale risulta conservativo utilizzando il precedente risultato. Vedremo inoltre un metodo per determinare
un potenziale di un dato campo conservativo.
Esempi
• Il campo F(x, y) = (xy 2 , x2 y + y) è conservativo in R2 . Infatti risulta irrotazionale:
∂F1
∂F2
= 2xy =
∂y
∂x
sull’aperto semplicemente connesso R2 . Per determinarne un potenziale, possiamo
procedere nei seguenti modi.
(I) Dal Teorema di caratterizzazione, dato (x, y) ∈ R2 e considerato il segmento γ
di parametrizzazione ϕ(t) = (tx, ty), t ∈ [0, 1], un potenziale è dato da
Z 1
Z
(t3 xy 2 , t3 x2 y + ty) · (x, y) dt
U (x, y) = F (x, y) · ds =
0
γ
Z
=
0
1
1
1
2t3 x2 y 2 + ty 2 dt = x2 y 2 + y 2 + c,
2
2
c ∈ R.
(II) Osserviamo che se U (x, y) è un potenziale di F(x, y) in R2 , allora U (x, y) dovrà
verificare le condizioni
∂U
(x, y) = F1 (x, y) = xy 2
∂x
e
∂U
(x, y) = F2 (x, y) = x2 y + y
∂y
Dalla prima delle due condizioni abbiamo che U (x, y) dovrà essere una primitiva
rispetto ad x della funzione xy 2 e dunque
Z
x2
U (x, y) = xy 2 dx = y 2 + c(y)
2
11
essendo c(y) funzione incognita della sola variabile y. Utilizziamo la seconda condizione per determinare l’incognita c(y):
∂U
(x, y) = x2 y + c0 (y)
∂y
R
2
Ne segue che c0 (y) = y e dunque che c(y) = y dy = y2 + c, c ∈ R. Quindi
x2 y + y =
1
1
U (x, y) = x2 y 2 + y 2 + c,
2
2
c∈R
è il generico potenziale del campo dato.
• Il campo F(x, y, z) = (2xy − z 2 , 2yz + x2 , y 2 − 2xz) è campo conservativo essendo
irrotazionale sull’aperto semplicemente connesso R3 :
∂F1
∂F2
= 2x =
,
∂y
∂x
∂F1
∂F3
= −2z =
,
∂z
∂x
∂F2
∂F3
= 2y =
.
∂z
∂y
Per determinarne un potenziale, osserviamo che un potenziale U (x, y, z) del campo
F(x, y, z) dovrà verificare le condizioni:
∂U
(x, y, z) = F1 (x, y, z) = 2xy − z 2 ,
∂x
∂U
(x, y, z) = F2 (x, y, z) = 2yz + x2 ,
∂y
∂U
(x, y, z) = F3 (x, y, z) = y 2 − 2xz.
∂z
Dalla prima delle tre condizioni abbiamo che U (x, y, z) è una primitiva rispetto ad
x della funzione 2xy − z 2 e dunque
Z
U (x, y, z) = 2xy − z 2 dx = x2 y − z 2 x + c1 (y, z)
essendo c1 (y, z) funzione incognita delle variabili (y, z). Determiniamo tale incognita
utilizzando le restanti due condizioni. Dalla seconda condizione otteniamo
2yz + x2 =
da cui
∂U
∂c1
(x, y, z) = x2 +
(y, z)
∂y
∂y
∂c1
(y, z) = 2yz
∂y
e quindi
Z
c1 (y, z) =
2yz dy = y 2 z + c2 (z)
12
essendo c2 (z) funzione incognita della sola variabile z. Utilizziamo infine la terza
condizione per determinare c2 (z). Avendo trovato che
U (x, y, z) = x2 y − z 2 x + c1 (y, z) = x2 y − z 2 x + y 2 z + c2 (z)
dalla terza condizione si ha
y 2 − 2xz =
∂U
(x, y, z) = −2zx + y 2 + c02 (z)
∂z
da cui c02 (z) = 0 e quindi c2 (z) = c ∈ R. Otteniamo quindi che il generico potenziale
del campo dato è
U (x, y, z) = x2 y − z 2 x + c1 (y, z) = x2 y − z 2 x + y 2 z + c
2
2
• Il campo F(x, y, z) = ( 2x
, 2y
− x z+y
) abbiamo già provato essere irrotazionale sul
2
z
z
3
suo dominio A = {(x, y, z) ∈ R | z 6= 0}. Poichè il dominio A non è semplicemente
connesso (non è difatti connesso) non possiamo concludere che il campo risulta
conservativo in A. Possiamo però concludere che il campo risulta conservativo sulle
due componenti semplicemente connesse
A+ = {(x, y, z) ∈ R3 | z > 0} e A− = {(x, y, z) ∈ R3 | z < 0}.
Determinati allora due potenziali U + (x, y, z) e U − (x, y, z) del campo F rispettivamente in A+ e A− , essendo A+ ∩ A− = ∅, avremo che
(
U + (x, y, z) se(x, y, z) ∈ A+
U (x, y, z) =
U − (x, y, z) se(x, y, z) ∈ A−
risulta un potenziale di F(x, y, z) in tutto il suo dominio e dunque il campo risulta
conservativo in A.
Per determinare i potenziali U ± procediamo come nel precedente esempio. Un
potenziale U (x, y, z) del campo in A± dovrà verificare
2x
∂U
(x, y, z) = F1 (x, y, z) =
,
∂x
z
∂U
2y
(x, y, z) = F2 (x, y, z) = ,
∂y
z
∂U
x2 + y 2
(x, y, z) = F3 (x, y, z) = −
.
∂z
z2
Dalla prima delle tre condizioni abbiamo
Z
2x
x2
U (x, y, z) =
dx =
+ c1 (y, z)
z
z
13
Dalla seconda condizione otteniamo
∂U
∂c1
2y
=
(x, y, z) =
(y, z)
z
∂y
∂y
da cui
∂c1
2y
(y, z) =
∂y
z
e quindi
Z
c1 (y, z) =
2y
y2
dy =
+ c2 (z)
z
z
Utilizziamo la terza condizione per determinare c2 (z). Avendo trovato che
U (x, y, z) =
x2 y 2
+
+ c2 (z)
z
z
dalla terza condizione si ha
−
x2 + y 2
∂U
x2 + y 2
=
(x,
y,
z)
=
−
+ c02 (z)
z2
∂z
z2
da cui c02 (z) = 0 e quindi c2 (z) = c ∈ R. Otteniamo quindi che il generico potenziale
2
2
del campo in A± è U ± (x, y, z) = xz + yz + c± con c± ∈ R e dunque il generico
potenziale del campo dato è
( 2
2
x
+ yz + c+ se(x, y, z) ∈ A+
z
U (x, y, z) = x2 y2
+ z + c− se(x, y, z) ∈ A−
z
con c± ∈ R non necessariamente uguali.
14
Teorema di Green e Teorema della divergenza di Gauss in R2
Vediamo ora un’importante risultato che lega il concetto di integrale curvilineo di un
campo vettoriale con il concetto di integrale doppio.
Teorema di Green
Sia F(x, y) = (F1 (x, y), F2 (x, y)) un campo vettoriale di classe C 1 in un aperto A ⊂ R2 e
sia D un dominio normale regolare in A. Allora, denotata con ∂D+ la curva semplice,
chiusa e regolare a tratti avente per sostegno la frontiera di D positivamente orientata,
risulta
Z
ZZ
∂F2 ∂F1
−
dxdy
F · ds =
∂y
∂D+
D ∂x
Dim. Ci limitiamo a considerare il caso semplice in cui D è un rettangolo D = {(x, y) ∈
R2 | x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]}. La frontiera ∂D+ risulta allora unione delle quattro curve γi
con i = 1, 2, 3, 4 di parametrizzazioni: γ1 (t) = (t, c), t ∈ [a, b], γ2 (t) = (b, t), t ∈ [c, d],
−γ3 (t) = (t, d), t ∈ [a, b], −γ4 (t) = (a, t), t ∈ [c, d]. Allora
Z
Z
Z
Z
Z
F · ds =
F · ds +
F · ds −
F · ds −
F · ds
∂D+
γ1
b
γ2
Z
γ3
Z
γ4
d
Z
b
Z
d
F2 (b, t)dt −
F1 (t, d)dt −
F2 (a, t)dt
a
c
Z d
Z b
=
F2 (b, t) − F2 (a, t) dt −
F1 (t, d) − F2 (t, c) dt
=
F1 (t, c)dt +
a
c
c
a
Dalla formula fondamentale del calcolo integrale e dalle formule di riduzione per gli
integrali doppi si ottiene allora
Z b Z d
Z
Z d Z b
∂F1
∂F2
(x, y)dx)dy −
(
(x, y)dx)dy
F · ds =
(
∂y
a
c
∂D+
c
a ∂x
ZZ
∂F2 ∂F1
=
−
dxdy
∂y
D ∂x
Osserviamo che se γ è curva semplice, chiusa e regolare a tratti con sostegno in un aperto
semplicemente connesso A ⊂ R2 allora γ è frontiera di un dominio D ⊂ A unione di
domini normali regolari Di ⊂ A, i = 1, ..., n. Dalle proprietà di additività degli integrali
curvilinei e doppi e dal precedente risultato si ottiene allora
Z
F · ds =
∂D+
n Z
X
i=1
∂Di+
F · ds =
n ZZ
X
i=1
Di
∂F2 ∂F1
−
dxdy =
∂x
∂y
15
ZZ
D
∂F2 ∂F1
−
dxdy
∂x
∂y
Ne segue quindi che se F è campo vettoriale irrotazionale sull’aperto semplicemente connesso AR allora per ogni curva γ semplice, chiusa e regolare a tratti con sostegno in A
risulta γ F · ds = 0 e dal Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi F risulta
campo vettoriale conservativo in A.
Come conseguenza immediata del precedente risultato abbiamo inoltre le seguenti formule
per il calcolo dell’area di una regione piana.
Corollario
Sia F(x, y) un campo vettoriale di classe C 1 in aperto A ⊂ R2 tale che
∂F2 ∂F1
−
= 1,
∂x
∂y
in A
Allora per ogni dominio regolare D ⊂ A risulta µ(D) =
R
∂D+
F · ds
La condizione precedente è verificata ad esempio dai campi F(x, y) = (0, x), F(x, y) =
(−y, 0) e F(x, y) = 12 (−y, x).
Esempi
• Calcoliamo l’area della regione del piano D delimitata dall’ellisse
Abbiamo
Z
µ(D) =
F · ds
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
∂D+
1
(−y, x).
2
essendo F(x, y) =
Allora, posto γ(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, 2π], risulta
Z
Z 2π
1 2π
0
(−b sin t, a cos t) · (−a sin t, b cos t) dt
µ(D) =
F(γ(θ)) · γ (θ) dθ =
2 0
0
Z
1 2π
=
ab dθ = abπ
2 0
• Calcoliamo l’area della regione del piano D delimitata dal cardioide ρ(θ) = 1+cos θ,
θ ∈ [−π, π]. Abbiamo
Z
F · ds
µ(D) =
∂D+
essendo F(x, y) = 12 (−y, x). Allora, posto γ(θ) = (ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ), θ ∈ [−π, π],
risulta
Z π
µ(D) =
F(γ(θ)) · γ 0 (θ) dθ
−π
Z
Z
1 π 2
1 π
3
=
ρ (θ) dθ =
(1 + cos θ)2 dθ = π
2 −π
2 −π
2
16
Teorema equivalente al Teorema di Green è il seguente
Teorema della divergenza di Gauss in R2
Sia F(x, y) = (F1 (x, y), F2 (x, y)) un campo vettoriale di classe C 1 in un aperto A ⊂ R2 e
sia D un dominio regolare in A. Allora,
Z
ZZ
F · Ne ds =
div F dxdy
∂D+
D
essendo Ne (x, y) il versore normale esterno a ∂D+ nel punto (x, y) ∈ ∂D+ e divF =
∂F1
2
+ ∂F
la divergenza del campo.
∂x
∂y
Dim. Posto G = (−F2 , F1 ), risulta G · T = F · Ne , essendo T(x, y) il versore tangente a
2
1
1
2
∂D+ nel punto (x, y) ∈ ∂D+ e ∂G
− ∂G
= ∂F
+ ∂F
. Dunque, dal Teorema di Green si
∂x
∂y
∂x
∂y
ottiene
Z
Z
Z
ZZ
∂G2 ∂G1
−
dxdy
F · Ne ds =
G · T ds =
G · ds =
∂y
+
∂D+
∂D+
D ∂x
Z∂D
Z
ZZ
∂F1 ∂F2
=
+
dxdy =
div F dxdy
∂y
D ∂x
D
17
Flusso di un campo vettoriale
Sia F(x, y, z) un campo vettoriale continuo in un aperto A ⊂ R3 e sia φ : D ⊂ R2 → R3
una superficie regolare con sostegno S contenuto in A. Si dice flusso del campo vettoriale
F attraverso la superficie S nella direzione del versore normale alla superficie N l’integrale
Z
F · N dσ
S
Dalla definizione di versore normale alla superficie e di integrale di superficie, abbiamo
Z
ZZ
φu (u, v) ∧ φv (u, v)
F · N dσ =
F(φ(u, v)) ·
kφu (u, v) ∧ φv (u, v)k dudv
kφu (u, v) ∧ φv (u, v)k
S
D
ZZ
=
F(φ(u, v)) · (φu (u, v) ∧ φv (u, v)) dudv
D
Osserviamo che l’integrale di flusso non dipende dalla particolare parametrizzazione scelta
della superficie a meno dell’orientamento indotto al versore normale. Difatti cambiando
verso al versore normale, l’integrale cambierà segno.
Osserviamo inoltre che dall’additività dell’integrale doppio, la definizione di flusso di un
campo può essere estesa anche a superfici regolari a tratti (unione finita di superfici
regolari).
Se la superficie regolare S è frontiera di un dominio E ⊂ R3 , si parlerà di flusso entrante o
uscente dalla frontiera S di E a seconda che il versore normale sia orientato verso l’interno
o verso l’esterno del dominio E.
Se pensiamo ad R3 pieno di un fluido che si muove secondo un campo di velocità
F, sia
R
3
S una superficie in R che non costituisca barriera per il fluido. L’integrale S F · N dσ
misurerà la rapidità (massa al secondo) con cui il fluido attraversa la superficie S nella
direzione N.
Esempi
• Calcolare il flusso del campo F(x, y, z) = (x, y, 2z) uscente dalla superficie laterale
S del cilindro di equazione x2 + y 2 = 1, z ∈ [0, 3]. Parametrizzando la superficie
laterale del cilindro utilizzando le coordinate cilindriche φ(u, v) = (cos u, sin u, v),
u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, 3], si ottiene
φu (u, v) ∧ φv (u, v) = (cos u, sin u, 0)
che determina il vettore normale φu ∧ φv ( π2 , 1) = (0, 1, 0) (dunque la parametrizzazione determina l’orientamento richiesto). Allora, posto D = [0, 2π] × [0, 3] si
18
ottiene
Z
ZZ
F · N dσ =
S
F(φ(u, v)) · (φu (u, v) ∧ φv (u, v)) dσ
ZZ D
=
sin2 u + cos2 u dudv = 6π
D
• Calcolare il flusso del campo F(x, y, z) = (y, −x, z) entrante nella superficie S avente per sostegno la sfera di raggio 1 e centro l’origine. Parametrizzando la sfera
utilizzando le coordinate sferiche φ(u, v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos u), u ∈ [0, π],
v ∈ [0, 2π], si ottiene
φu (u, v) ∧ φv (u, v) = (sin2 u cos v, sin2 u sin v, sin u cos u)
che determina il vettore normale (φu ∧ φv )( π2 , π2 ) = (0, 1, 0) orientato verso l’esterno
della sfera (dunque la parametrizzazione determina l’orientamento opposto a quello
richiesto). Allora, posto D = [0, π] × [0, 2π] si ottiene
Z
ZZ
F · N dσ = −
F(φ(u, v)) · (φu (u, v) ∧ φv (u, v)) dσ
S
D
ZZ
sin u cos2 u dudv
=−
ZD π
4
sin u cos2 u du = − π
= −2π
3
0
19
Superfici regolari con bordo e bordo di una superficie
Sia φ : D ⊂ R2 → R3 una superficie definita sul dominio regolare D. Si dice che φ è
superficie regolare con bordo se
• φ è di classe C 1 in D,
• φ è iniettiva in D,
• la matrice jacobiana Jφ ha rango 2 in D, ovvero φu ∧ φv è non nullo in D.
Ad esempio, risulta superficie regolare con bordo la superficie di equazione cartesiana
z = x2 + y 2 con (x, y) ∈ D essendo D il disco di raggio 1 e centro l’origine, avente per
sostegno la porzione di paraboloide S = {(x, y, z) ∈ R3 | z = x2 + y 2 , z ≤ 1}.
Non risulta invece superficie regolare con bordo la superficie di equazioni parametriche
φ(ϕ, θ) = (sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, 1 + cos ϕ) con (ϕ, θ) ∈ D = [0, π] × [0, 2π], avente per
sostegno la sfera di raggio 1 e centro (0, 0, 1). Osserviamo che tale superficie non risulta
regolare con bordo anche sul dominio ristretto D0 = [ π2 , π] × [0, 2π] (il sostegno in questo
caso risulta essere l’emisfera della regione z ≤ 1), risulta invece superficie regolare con
] × [ π2 , 3π
]
bordo se ne consideriamo la restrizione al dominio D1 = [ π4 , 3π
4
2
Sia ora φ : D → R3 superficie regolare con bordo e sia γ : [a, b] → R2 la curva semplice
regolare a tratti avente per sostegno la frontiera ∂D del dominio D. Detto S il sostegno
della superficie, avremo che Γ(t) = φ(γ(t)), t ∈ [a, b] definirà una curva semplice regolare
a tratti con sostegno contenuto in S. Tale curva verrà detta bordo della superficie ed
il suo sostegno verrà denotato con ∂S. L’orientamento di tale curva sarà determinato
dall’orientamento della curva ∂D e dall’orientamento del versore normale alle superficie.
Si dice che il bordo ∂S è positivamente orientato, se un osservatore che percorre il bordo
∂S nel verso determinato da Γ(t) ed è orientata nel verso del versore normale alla superficie
vede alla sua sinistra i punti della superficie S.
Ad esempio, il bordo della superficie regolare sopra considerata, avente per sostegno la
porzione di paraboloide S = {(x, y, z) ∈ R3 | z = x2 + y 2 , z ≤ 1}, risulta essere la
circonferenza ∂S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1, z = 1}. L’orientamento risulta positivo
se pensiamo alla frontiera ∂D orientata in senso antiorario e S parametrizzata con le
coordinata cartesiane: ∂S + = φ(∂D+ ) essendo φ(x, y) = (x, y, x2 +y 2 ) e D = {(x, y) | x2 +
y 2 ≤ 1}.
20
Teorema di Stokes e Teorema della divergenza di Gauss in R3
Il seguente risultato generalizza il Teorema di Green al caso di campi vettoriali in R3
Teorema di Stokes
Sia F(x, y, z) campo vettoriale di classe C 1 nell’aperto A ⊂ R3 e sia S superficie regolare
con bordo con sostegno contenuto in A. Denotato con ∂S + il bordo positivamente orientato
della superficie, risulta
Z
Z
F · ds =
rot F · N dσ,
∂S +
S
essendo N il versore normale alla superficie.
La precedente formula, detta formula di Stokes, esprime il fatto che il lavoro del campo
lungo il bordo di S (la circuitazione del campo attorno a ∂S) è uguale al flusso del rotore
attraverso la superficie S.
Si può provare che se γ è curva semplice, chiusa e regolare a tratti con sostegno in un
aperto semplicemente connesso A ⊆ R3 , allora γ è bordo di una superficie S unione di
superfici regolari con bordo Si ⊂ A, i = 1, ..., n. Dalle proprietà di additività degli integrali
curvilinei e di superficie e dal Teorema di Stokes, ne segue che se F è campo vettoriale
irrotazionale sull’aperto semplicemente connesso
A allora per ogni curva γ semplice, chiusa
R
e regolare a tratti con sostegno in A, risulta γ F·ds = 0. Dal Teorema di caratterizzazione
dei campi conservativi, F risulta campo vettoriale conservativo in A.
Vale inoltre
Teorema della divergenza di Gauss in R3
Sia F(x, y, z) = (F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z)) un campo vettoriale di classe C 1 in un
aperto A ⊂ R3 e sia T un dominio normale regolare in A. Allora,
ZZZ
Z
F · Nu ds =
div F dxdydz
T
∂T
essendo Nu (x, y, z) il versore normale uscente dalla superficie ∂T frontiera del dominio
2
3
1
+ ∂F
+ ∂F
la divergenza del campo.
T nel punto (x, y, z) ∈ ∂T e div F = ∂F
∂x
∂y
∂z
Esempi
• Calcoliamo il flusso del campo F(x, y, z) = (0, yz, x) uscente dalla superficie esterna
della porzione di parabolide T = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ z ≤ 2}. Dal Teorema di
Gauss, essendo div F(x, y, z) = z, risulta
Z
ZZZ
ZZZ
F · Nu dσ =
div F dxdydz =
z dxdydz
∂T
T
T
21
ed integrando per strati, posto Dz = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ z}, otteniamo
Z 2
Z
Z 2 ZZ
8
πz 2 dz = π
z dxdy) dz =
(
F · Nu dσ =
3
0
Dz
0
∂T
• Calcolare il flusso del campo F(x, y, z) = (y, −x, z) entrante nella superficie S avente
per sostegno la sfera di raggio 1 e centro l’origine. Dal Teorema di Gauss, posto
T = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}, avremo S = ∂T e
Z
Z
ZZZ
ZZZ
4
F · N ds = −
F · Nu ds = −
div F dxdydz = −
dxdydz = − π
3
∂T
∂T
T
T
• Calcoliamo il flusso del campo F(x, y, z) = (x, y, 2z) uscente dalla superficie laterale
S della porzione di cilindro di equazione x2 + y 2 = 1, z ∈ [0, 3]. Osserviamo che
posto T = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ 1, z ∈ [0, 3]}, risulta ∂T = S ∪ S0 ∪ S3 , essendo S0
(rispettivamente S3 ) la superficie avente per sostegno il disco di equazione x2 + y 2 =
1, z = 0 (rispettivamente, z = 3). Dal Teorema della divergenza avremo
Z
Z
Z
Z
ZZZ
F · Nu dσ +
F · Nu dσ +
F · Nu dσ =
F · Nu dσ =
div Fdxdydz.
S
S0
S3
∂T
T
RRR
Essendo div F(x, y, z) = 4 risulta
div Fdxdydz = 4µ(T ) = 12π e quindi avremo
T
che il flusso uscente dalla superficie laterale del cilindro sarà dato da
Z
Z
Z
F · Nu dσ = 12π −
F · Nu dσ −
F · Nu dσ.
S
S0
S3
Considerata la parametrizzazione ϕ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 0), ρ ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π],
della superficie S0 , risulta ϕρ ∧ϕθ (ρ, θ) = (0, 0, ρ), vettore parallelo al versore (0, 0, 1)
(dunque l’orientamento non è concorde alla direzione uscente). Avremo allora
Z
ZZ
F(ϕ(ρ, θ)) · ϕρ (ρ, θ) ∧ ϕθ (ρ, θ)dρdθ = 0
F · Nu dσ = −
S0
[0,1]×[0,2π]
Analogalmente, considerata la parametrizzazione ψ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 3), ρ ∈
[0, 1], θ ∈ [0, 2π], della superficie S3 , risulta ψρ ∧ ψθ (ρ, θ) = (0, 0, ρ), vettore parallelo al versore (0, 0, 1) (dunque l’orientamento è concorde alla direzione uscente dal
cilindro). Avremo allora
Z
ZZ
F · Nu dσ =
F(ψ(ρ, θ)) · ψρ (ρ, θ) ∧ ψθ (ρ, θ)dρdθ
S3
[0,1]×[0,2π]
ZZ
=
6ρdρdθ = 6π
[0,1]×[0,2π]
da cui
Z
F · Nu dσ = 12π − 6π = 6π
S
22
Forme differenziali e Campi vettoriali
Si dice forma differenziale in Rn un’applicazione ω : A ⊂ Rn → (Rn )∗ , dove con (Rn )∗ si
è denotato il duale di Rn , ovvero l’insieme delle applicazioni lineari da Rn in R. Denotati
con dxi ∈ (Rn )∗ gli elementi della base duale:
dxi (h) = ei · h = hi ,
∀h = (h1 , h2 , ..., hn ) ∈ Rn ,
per ogni x ∈ A potremo scrivere ω(x) ∈ (Rn )∗ come
ω(x) = a1 (x)dx1 + a2 (x)dx2 + ... + an (x)dxn
e le funzioni ai : A ⊂ Rn → R, i = 1, ..., n verranno dette coefficienti della forma
differenziale ω.
Si osservi che, essendo (Rn )∗ isomorfo a Rn , ad ogni elemento ϕ ∈ (Rn )∗ è associato
un vettore ν ∈ Rn tale che ϕ(h) = ν · h, e viceversa. In particolare, considerata una
forma differenziale ω : A ⊂ Rn → (Rn )∗ , per ogni x ∈ A esiste ν(x) ∈ Rn tale che
ω(x)(h) = ν(x) · h per ogni h ∈ Rn (alle forme dxi della base canonica di (Rn )∗ sono
associati i vettori ei della base canonica di Rn ). In questa prospettiva, i coefficienti della
forma ω(x) non sono altro che le componenti del vettore ν(x).
Ad esempio, la forma differenziale ω(x, y) = x2 dx + xydy è l’applicazione lineare da R2
in R tale che ω(x, y)(h, k) = x2 h + xyk per ogni (h, k) ∈ R2 , a cui è associato il vettore
ν(x, y) = (x2 , xy) per ogni (x, y) ∈ R2 :
ω(x, y)(h, k) = x2 h + xyk = ν(x, y) · (h, k),
∀(h, k) ∈ R2 .
Osserviamo che ad ogni forma differenziale ω : A ⊂ Rn → (Rn )∗ possiamo associare il
campo Fω : A ⊂ Rn → Rn avente per componenti i coefficienti di ω
ω(x) = a1 (x)dx1 + a2 (x)dx2 + ... + an (x)dxn ⇐⇒ Fω (x) = (a1 (x), a2 (x), ..., an (x)).
Si dice che una forma differenziale ω : A ⊂ Rn → (Rn )∗ è esatta se esiste una funzione
U : A ⊂ Rn → R tale che dU (x) = ω(x) per ogni x ∈ A essendo dU : A ⊂ Rn → (Rn )∗ , il
differenziale di U , la forma differenziale:
dU (x) =
∂U
∂U
∂U
(x)dx1 +
(x)dx2 + ... +
(x)dxn ,
∂x1
∂x2
∂xn
x ∈ A.
Ricordiamo infatti che dalla definizione di differenziale, dU (x)(h) = ∇U (x) · h per ogni
h ∈ Rn . In tal caso la funzione U è detta primitiva della forma differenziale ω in A.
Osserviamo che se ω(x) = a1 (x)dx1 +a2 (x)dx2 +...+an (x)dxn , la condizione dU (x) = ω(x)
per ogni x ∈ A risulta verificata se e solo se risulta
∂U
(x) = ai (x),
∂xi
∀x ∈ A, ∀i = 1, ..., n.
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È chiaro allora che se Fω è il campo associato alla forma differenziale ω, avremo che ω
risulta esatta in A se e solo se il campo Fω risulta conservativo in A. Inoltre avremo che
U è una primitiva di ω se e solo se U è un potenziale di Fω :
dU = ω ⇐⇒ ∇U = Fω
Data una forma differenziale ω continua in A ⊂ Rn (ovvero di coefficienti continui in A)
e data una curva γ : [a, b] ⊂ R → Rn di classe C 1 si definisce
Z
Z
ω = ω(x)(T (x))ds
γ
γ
dove T (x) è il versore tangente a γ in x. Se γ(t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)), t ∈ [a, b], sono
le equazioni parametriche della curva e se ω(x) = a1 (x)dx1 + a2 (x)dx2 + ... + an (x)dxn ,
risulta
Z
Z b
Z b
0
ω=
ω(γ(t))(γ (t)) dt =
a1 (γ(t))x01 (t) + a2 (γ(t))x02 (t) + ... + an (γ(t))x0n (t)dt
γ
a
a
Osserviamo che se Fω è il campo associato alla forma differenziale ω, l’integrale lungo γ
della forma ω corrisponde al lavoro del campo Fω lungo γ:
Z
Z
ω = Fω (x) · ds
γ
γ
Valgono allora i seguenti risultati corrispondenti ai Teoremi sul lavoro di un campo
conservativo e sulla caratterizzazione dei campi conservativi
Teorema
Se ω è forma differenziale esatta e continua sull’aperto A ⊂ Rn allora per ogni curva
γ : [a, b] ⊂ R → Rn di classe C 1 risulta
Z
ω = U (γ(b)) − U (γ(a))
γ
essendo U una primitiva di ω in A.
e
Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte
Sia ω forma differenziale continua sull’aperto connesso A ⊂ Rn . Sono equivalenti le
seguenti affermazioni
(i) ω è esatta in A,
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(ii) per ogniR curva γ chiusa, semplice, regolare a tratti con sostegno contenuto in A
risulta γ ω = 0,
(iii) se γ1 e γ2 sono curve semplici, regolari aR tratti con
R sostegno contenuto in A aventi
medesimo punto iniziale e finale, allora γ1 ω = γ2 ω
Una forma differenziale ω(x) = a1 (x)dx1 + a2 (x)dx2 + ... + an (x)dxn di classe C 1 in un
aperto A ⊂ Rn è detta forma differenziale chiusa se risulta
∂aj
∂ai
(x) =
(x),
∂xj
∂xi
∀x ∈ A, i = 1, ..., n.
Osserviamo che se Fω è il campo vettoriale associato alla forma differenziale ω, avremo che
ω risulta forma differenziale chiusa se e solo se il campo vettoriale Fω risulta irrotazionale.
Si ha allora
Teorema
Se ω è forma differenziale esatta di classe C 1 sull’aperto A ⊂ Rn allora ω è chiusa in A.
Inoltre
Teorema
Se ω è forma differenziale chiusa in un aperto semplicemente connesso A ⊂ Rn allora ω
è esatta in A.
Nel caso di forme differenziali del piano R2 , abbiamo le seguenti formule equivalenti al
Teorema di Green e di Gauss
Teorema (Formule di Gauss-Green)
Sia f (x, y) una funzione di classe C 1 in un aperto A ⊂ R2 e sia D un dominio regolare in
A. Allora, denotata con ∂D+ la curva semplice e chiusa avente per sostegno la frontiera
di D positivamente orientata, risulta
Z
ZZ
Z
ZZ
∂f
∂f
(x, y) dxdy e
f (x, y)dx = −
(x, y) dxdy
f (x, y)dy =
∂D+
D ∂y
∂D+
D ∂x
Dalle precedenti formule si ottengono le seguenti formule per il calcolo dell’area di un
dominio regolare D ⊂ A
Z
Z
Z
1
µ(D) =
x dy = −
y dx =
x dy − y dx
2 ∂D+
∂D+
∂D+
Infine, il Teorema di Stokes per una forma differenziale ω in R3 diventa
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Teorema (Formula di Stokes)
Sia ω = a1 dx + a2 dy + a3 dz una forma differenziale di classe C 1 nell’aperto A ⊂ R3 e sia
S una superficie regolare con bordo con sostegno contenuto in A. Denotato con ∂S + il
bordo positivamente orientato della superficie, risulta
Z
Z
∂a3 ∂a2 ∂a1 ∂a3 ∂a2 ∂a1
−
,
−
,
−
) · N dσ,
ω= (
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
∂S +
S ∂y
essendo N il versore normale alla superficie.
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