Chapitre 3.11a – Les collisions élastiques frontales

Chapitre 3.11a – Les collisions élastiques frontales
Les lois de conservation dans une collision élastique
en une dimension
Chaque loi physique nous apporte une équation qui peut être utilisée pour
résoudre un problème. Dans le cas d’une collision à une dimension, le
principe de conservation de la quantité de mouvement nous apporte une
équation ce qui nous permet de résoudre un problème à un inconnu. Si la
collision est élastique, nous pouvons utiliser la conservation de l’énergie
cinétique et résoudre un problème à deux inconnus.
Le pendule de Newton
est un bon exemple de
collision élastique
frontale.
Situation 1 : Une collision élastique frontale.
x
Un bloc de 3 kg qui se déplace à 2 m/s vers la
2 m/s
droite subit une collision élastique frontale avec
3 kg
10 m/s
A
B 6 kg
Avant
un bloc de 6 kg qui se déplace de 10 m/s vers la
?
?
gauche. On désire déterminer les vitesses des
A
blocs immédiatement après la collision
B
Après
Développons l’équation de la a conservation de la quantité de mouvement selon l’axe x :
∑p
xf
= ∑ pxi
⇒
p xA f + p xB f = p xA i + p xB i
(Développer éq.)
⇒
m A v xA f + m B v xB f = m A v xA i + mB v xB i
( p x = mv x )
⇒
(3)v xA f + (6)v xB f
(Remplacer num.)
⇒
3v xA f + 6v xB f = −54
= (3)(2 ) + (6 )(− 10 )
(1)
(Simplifier)
Développons l’équation de la conservation de l’énergie cinétique :
K f = Ki
⇒
KA
⇒
1
1
1
1
2
2
2
2
m A v xA f + m B v xB f = mA v xA i + mB v xB i
2
2
2
2
(K =
⇒
(3)v xA f 2 + (6)v xB f 2 = (3)(2)2 + (6)(10)2
(Remplacer num.)
⇒
3v xA f + 6v xB f = 612
f
+ KB
2
f
(Développer éq.)
= KA i + KB i
2
(2)
1 2
mv )
2
(Calcul)
Nous avons deux équations et deux inconnus :
3v xA f + 6v xB f = −54
2
2
3v xA f + 6v xB f = 612
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(1)
(2)
Page 1
À partir de (1), isolons v xA f et développons son expression au carré :
3v xA f + 6v xB f = −54 ⇒
3v xA f = −54 − 6v xB f
(Isoler v xA f )
⇒
v xA f = −(18 + 2v xB f
(Diviser par 3)
⇒
v xA f 2 = (18 + 2v xB f
⇒
v xAf 2 = 324 + 72v xB f + 4v xB f
)
)
2
(Mettre au carré)
2
(3)
(Développer le carré)
On remplace (3) dans (2) :
2
2
3v xA f + 6v xB f = 612 ⇒
(
2
3 324 + 72v xB f + 4v xB f
) + 6v
2
2
xB f
= 612
2
⇒
324 + 72v xB f + 4v xB f + 2v xB f = 204
⇒
6v xB f + 72v xB f + 120 = 0
2
2
(Remplacer v xA f )
(Diviser par 3)
(Éq. égale à zéro)
Nous avons un polynôme du 2ième degré à résoudre :
v xB f =
− b ± b 2 − 4ac
2a
(72)2 − 4(6)(120)
2(6 )
− (72 ) ±
⇒
v xB f =
⇒
v xB f =
− 72 ± 48
12
⇒
v xB f =
{ −10,
⇒
v xB f = −2 m/s
−2
}
( v xB f = −10 , effet fantôme)
(Collision entre A et B)
Ainsi, nous avons après la collision avec l’équation (1) :
3v xA f + 6v xB f = −54
− 54 − 6v xB f
⇒
v xA f =
⇒
v xA f =
⇒
v xA f = −14 m/s
3
− 54 − 6(− 2 )
3
(Isoler v xA f )
(Remplacer valeurs num.)
(Évaluer v xA f )
Nous avons donc évaluer notre deux vitesses finales à l’aide de nos deux lois de
conservation :
v xA f = −14 m/s
et
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
v
v xB f = −2 m/s
Page 2
La collision élastique à une dimension sur un objet immobile
Considérons une particule A se déplaçant
initialement à une vitesse vxA i selon l’axe x vers
une particule B initialement immobile. Si l’on
considère une collision élastique entre A et B, les
vitesses finales de nos deux particules après la
collision seront déterminées par les équations
suivantes :
 1 − mB/A
v xA f = 
 1 + mB/A
tel que
où

v xA i

et
mB/A = mB / mA
x
vxBi = 0
vxA i
A
B
Illustration des vitesses des deux
particulesavant le contact.
v xB f =
2
v xA i
1 + m B/A
et
v xB i = 0
v xA f : Vitesse finale de la particule A selon l’axe x (m/s)
v xB f : Vitesse finale de la particule B selon l’axe x (m/s)
v xA i : Vitesse initiale de la particule A selon l’axe x (m/s)
m A : Masse de la particule A (kg)
m B : Masse de la particule B (kg)
Situation 1
mA = mB
Situation 2
Données
Conclusion
m B/A = 1
v xB f = v xA i
Le bloc A s’immobilise
et le bloc B avance à la
vitesse initiale qu’avait
le bloc A.
Données
Conclusion
v xA f = 0
m B/A = 0
mA >> mB
v xA f = v xA i
v xB f = 2v xA i
Situation 3
mA << mB
Le bloc A continue à
vitesse constante et le
bloc B se déplace avec
une vitesse deux fois
plus grande que celle du
bloc A.
Données
Conclusion
m B/A = ∞
Le bloc A rebondit avec
la même vitesse, mais
dans le sens opposé et
le bloc B demeure
immobile.
v xA f = −v xA i
v xB f = 0
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Exemple
Une collision frontale au
billard entre deux boules.
Exemple
Frapper un clou avec un
marteau.
Exemple
Frapper une enclume avec un
marteau.
Page 3
Preuve :
Considérons deux particules A et B qui entrent en collision élastique lorsque ceux-ci se
déplacent selon l’axe x. Développons l’équation de la a conservation de la quantité de
mouvement selon l’axe x :
∑p
xf
= ∑ pxi
⇒
p xA f + p xB f = p xA i + p xB i
(Développer éq.)
⇒
m A v xA f + m B v xB f = m A v xA i + mB v xB i
( p x = mv x )
⇒
m A v xA f + m B v xB f = mA v xA i
( v xB i = 0 )
⇒
v xA f +
mB
v xB f = v xA i
mA
(Diviser par mA )
⇒
v xA f + m B/A v xB f = v xA i
( m B/A = mB / m A )
⇒
v xA f = v xA i − m B/A v xB f
(1)
(Isoler v xA f )
Développons l’équation de la conservation de l’énergie cinétique :
K f = Ki
⇒
KA f + KB
⇒
1
1
1
1
2
2
2
2
m A v xA f + m B v xB f = mA v xA i + mB v xB i
2
2
2
2
(K =
⇒
1
1
1
2
2
2
m A v xA f + mB v xB f = m A v xA i
2
2
2
( v xB i = 0 )
⇒
m A v xA f + mB v xB f = m A v xA i
⇒
v xA f +
⇒
v xA f + m B/A v xB f = v xA i
f
2
2
(Développer éq.)
= KA i + KB i
2
2
(Multiplier par 2)
mB
2
2
v xB f = v xA i
mA
2
2
2
1 2
mv )
2
(Diviser par mA )
(2)
( m B/A = mB / m A )
Remplaçons l’équation (1) dans l’équation (2) afin d’obtenir une expression pour v xB f :
2
2
v xA f + m B/A v xB f = v xA i
(De (2))
⇒
(v
xA i
⇒
(v
xA i
⇒
− 2mB/A v xA i v xB f + m B/A v xB f + m B/A v xB f = 0
(Simplifier vxA i )
⇒
− 2v xA i + m B/A v xB f + v xB f = 0
(Diviser par m B/A v xB f )
− mB/A v xB f
2
)
2
2
2
+ m B/A v xB f = v xA i
2
− 2mB/A v xA i v xB f + m B/A v xB f
2
2
2
2
)+ m
(Remplacer (1))
2
B/A
v xB f = v xA i
2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
2
(Développer le carré)
2
Page 4
Continuons la simplification afin d’isoler v xB f :
− 2v xA i + m B/A v xB f + v xB f = 0
(Ligne précédente)
⇒
m B/A v xB f + v xB f = 2v xA i
(Isoler 2v xA i )
⇒
v xB f (1 + mB/A ) = 2v xA i
(Factoriser v xB f )
⇒
v xB f =
2
v xA i
1 + m B/A
■ (1)
(3)
(Isoler v xB f )
On remplacer (3) dans (1) afin d’obtenir une expression pour v xA f :
v xA i = v xA f + m B/A v xB f
(De (1))
⇒


2
v xA i = v xA f + mB/A 
v xA i 
 1 + mB/A

(Remplacer (3))
⇒
v xA i −
⇒

2mB/A
1 −
 1 + mB/A
⇒
 1 + mB/A − 2mB/A

1 + mB/A

⇒
 1 − mB/A
v xA f = 
 1 + mB/A
2mB/A
v xA i = v xA f
1 + mB/A
(Isoler v xA f )

v xA i = v xA f

(Factoriser v xA i )

v xA i = v xA f


v xA i

(Dénomi. commun)
■ (2)
(Simplifier termes m B/A )
Exercice
3.11.1 Une collision élastique en une dimension. Un bloc de 3 kg qui se déplace à
4 m/s vers la gauche subit une collision élastique frontale avec un bloc de 5 kg
immobile. Calculez les vitesses des blocs immédiatement après la collision (module et
orientation).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
Solution
3.11.1 Une collision élastique en une dimension.
Information initiale : (l’axe x est positif vers la gauche)
v
v
v A i = −4 i m/s
KA i =
1
1
2
2
m A v A i = (3)(4 ) = 24 J
2
2
v
v
v
v
p A i = m A v A i = (3) − 4 i = −12 i kg ⋅ m/s
(
v
v B i = 0 m/s
v
p B i = 0 kg ⋅ m/s
KB i = 0 J
Avec nos deux lois de la conservation :
v
v
v
v
⇒
p A f + pB
∑ p f = ∑ pi
K f = Ki
f
= −12
v
v
= p A i + pB i
f
v
= − 12 i + (0 )
⇒
v
v
m A v A f + mB v B
⇒
(3)v A f i + (5)v B f i
⇒
3v A f + 5v B
⇒
KA f + KB
⇒
1
mAvA
2
⇒
1
(3)v A
2
⇒
1,5v A
v
2
f
2
f
2
f
⇒
vA
f
⇒
vA
f
⇒
(v )
⇒
(
f
v
Remplaçons (1) dans (2) et isolons v A
3v A f + 5v B
)
=
= −12
(1)
= KA f + KB
+
1
mB vB
2
+
1
(5)v B
2
+ 2,5v B
f
2
f
2
f
2
f
f
= (24 ) + (0 )
= (24 ) + (0 )
= 24
(2)
:
3
12 + 5v B
(Isoler v A f )
f
(Factoriser le négatif)
2
=
3
2
 12 + 5v B f 

= −


3


144 + 120v B f + 25v B
9
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
f
(Collision frontale)
f
A f
vA
f
v
= −12 i
− 12 − 5v B
=−
2
f
)
(Mettre au carré)
2
f
(Développer le numérateur)
Page 6
Remplaçons l’expression de v A
1,5v A
2
f
+ 2,5v B
2
f
= 24
Évaluons la vitesse v A
3v A f + 5v B
f
= −12
f
2
f
dans l’équation (2) :
⇒
 144 + 120v + 25v
B f
B
1,5

9

⇒
3
144 + 120v B
18
⇒
3 144 + 120v B
f
⇒
432 + 360v B
+ 75v B
⇒
360v B
f
+ 120v B
⇒
3 + vB
f
=0
⇒
vB
f
= −3 m/s
⇒
v
vB
f
v
= −3 i m/s
(
(
f
2
+ 25v B
f
+ 25v B
2
f
2
f
f
2
f
2
f

 + 2,5v
B


) + 2,5v
) + 45v
+ 45v B
2
B f
2
B f
2
f
2
f
= 24
= 24
= 432
= 432
=0
avec l’équation (1) :
⇒
3v A f + 5(− 3) = −12
⇒
3v A
⇒
vA
⇒
v
vA
f
=3
f
= 1 m/s
f
v
= 1 i m/s
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 7