TD1

M1
2014–2015
Algèbre commutative
TD no 1
Dans tous les exercices qui suivent, la lettre K désigne un corps et on note K̄ une clôture
algébrique de K.
1
Sur les anneaux
Exercice 1
Démontrer les assertions suivantes :
a) I ⊆ (I : J), (I : J)J ⊆ I ;
b) ((I : J1 ) : J2 ) = (I : J1 J2 ) = ((I : J2 ) : J1 ) ;
T
T
c) ( i Ii : J) = i (Ii : J) ;
P
T
d) (I : i Ji ) = i (I : Ji ).
Exercice 2
Soient A, B deux anneaux et φ : A → B un morphisme d’anneaux. Pour I un idéal de A, on
note I e l’idéal de B engendé par φ(I). Pour J un idéal de B, on note J c := φ−1 (J) qui est un
idéal de A. Vérifier les assertions suivantes :
a) I ⊆ I ec , J ⊇ J ce ;
b) I e = I ece , J c = J cec ;
c) (I1 : I2 )e ⊆ (I1e : I2e ), (J1 : J2 )c ⊆ (J1c : J2c ) ;
√
√
√
√
d) ( I)e ⊆ I e , ( J)c = J c .
Exercice 3
Soient I, J deux idéaux de A. Démontrer les assertions suivantes :
√
√
√
√
I ·J = I ∩J = I ∩ J;
p√
√
b)
I = I;
√
√
√
c) I + J ⊆ I + J ;
√
d) si p est un idéal premier, alors p = p ;
√
√
T
T
e) si (pi )16i6n sont n idéaux premiers de A tels que I ⊂ i pi ⊂ I, alors I = i pi .
a)
Exercice 4
Soit φ : A → B un morphisme d’anneaux avec I = φ−1 (0) le noyau de φ.
1/8
a) Si p est un idéal premier de B, alors φ−1 (p) est un idéal premier de A.
b) Si φ est surjectif et p est un idéal premier de A contenant I, alors φ(p) est un idéal premier
de B.
c) Si φ est surjectif, en déduire qu’il y a une bijection entre les idéaux premiers de A contenant
I et les idéaux premiers de B.
2
Anneaux de polynômes
Exercice 5
Montrer que toute suite croissante d’idéaux de K[X] est stationnaire.
Exercice 6
(i) Un idéal I de K[X] est dit premier s’il est différent de K[X] et vérifie la condition suivante :
si P, Q sont deux polynômes de K[X] n’appartient pas à I alors le produit P Q n’est pas
non plus dans I.
Déterminer les idéaux premiers de K[X].
(ii) Un idéal I de K[X] est dit maximal s’il n’existe aucun idéal J de K[X] tel que I ( J ( K[X].
Déterminer les idéaux maximaux de K[X].
Exercice 7
On note K[[X]] l’anneau des séries formelles à coefficients dans K, c’est-à-dire des series de la
forme :
∞
X
ai X i
avec ai ∈ K.
i=0
(i) Déterminer les éléments inversibles de K[[X]].
(ii) Déterminer les idéaux de K[[X]] et en déduire que K[[X]] est un anneau principal.
Exercice 8
Soit A un anneau.
(i) Montrer que A[X] est intègre si et seulement si A est intègre.
(ii) Montrer que A[X] est principal si et seulement si A est un corps.
Exercice 9
Soient A un anneau et I un idéal de A. On note I[X] l’ensemble des polynômes de A[X] dont
tous les coefficients sont dans I.
(i) Vérifier que I[X] est un idéal de A[X].
(ii) Montrer que I[X] est un idéal premier si et seulement si I est un idéal premier.
2/8
(iii) Montrer que I[X] n’est jamais un idéal maximal.
Exercice 10
Soit f = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ A[X].
a) Montrer que f est nilpotent si et seulement si tous les ai sont nilpotents. En déduire que
Nil(A[X]) = Nil(A)[X].
b)∗ Montrer que f est inversible dans A[X] si et seulement si a0 est inversible dans A et
a1 , . . . , an sont nilpotents. En déduire que JacNil(A[X]) = Nil(A[X]). (Indication : si
f ∈ JacNil(A[X]), alors 1 − Xf est inversible dans A[X]).
c) Montrer que f est diviseur de zéro si et seulement s’il existe a ∈ A, a =
6 0 tel que af = 0.
(Indication : si f g = 0 avec g de degré minimal, montrer que pour tout k, ak g = 0.)
Exercice 11
Soit A un anneau factoriel.
(i) Montrer qu’étant donné x et y dans A non tous les deux nuls, il existe un plus grand (au
sens de la divisibilité) diviseur commun de x et y.
(ii) Montrer que deux plus grands diviseurs comme ci-dessus se déduisent l’un de l’autre par
multiplication par un élément inversible de A.
Dans la suite, on note pgcd(x, y) un plus grand diviseur commun de a et b. On définit le
contenu d’un polynôme P ∈ A[X] comme le pgcd de tous ses coefficients. On le note cont(P ).
(iii) Montrer que cont(P Q) = cont(P ) · cont(Q) pour tous polynômes P et Q dans A[X].
(iv) Montrer que A[X] est factoriel. (On pourra introduire le corps des fractions de A.)
(v) En déduire que l’anneau des polynômes en n variables sur un corps K est un anneau factoriel.
Exercice 12
1. Combien y a-t-il de monômes de degré total d en n variables ?
2. Combien y a-t-il de monômes de degré total 6 d en n variables ?
Exercice 13
Soit I l’ensemble des polynômes de K[X, Y ] qui sont combinaisons linéaires de monômes de
degré total > d.
1. Montrer que I est un idéal de K[X, Y ].
2. Montrer que I est engendré par la famille des monômes de degré total d. Quel est le cardinal
de cette famille ?
3. Montrer que I n’est engendré par aucune famille de cardinal 6 d.
4. Généraliser les résultats précédents à K[X1 , . . . , Xn ].
3/8
Exercice 14
1. Montrer que l’idéal principal (X) de K[X, Y ] est premier mais pas maximal.
2. Montrer que l’idéal de K[X, Y ] engendré par X et Y est maximal.
3
Sur les idéaux et les quotients
Exercice 15
Soient A un anneau et I un idéal de A.
1. Montrer que I est radical si et seulement si A/I est réduit.
2. Montrer que I est premier si et seulement si A/I est intègre.
3. Montrer que I est maximal si et seulement si A/I est un corps.
4. En déduire que :
I maximal ⇒ I premier ⇒ I radical.
Exercice 16
Montrer que l’intersection de deux idéaux radicaux est un idéal radical.
4
Sur l’interprétation géométrique des idéaux
Exercice 17
Soient a, b et c trois nombres réels fixés tels que (a, b) 6= (0, 0). On considère les polynômes
f = X 2 + Y 2 − 1 ∈ R[X, Y ] et g = aX + bY + c ∈ R[X, Y ]. On note I = hf, gi ⊂ R[X, Y ].
1. Dessiner V (hf i) et V (hgi).
2. Montrer que :
– si a2 + b2 > c2 , alors R[X, Y ]/I ' R2 ;
– si a2 + b2 = c2 , alors R[X, Y ]/I ' R[ε]/ε2 ;
– si a2 + b2 < c2 , alors R[X, Y ]/I ' C.
3. Interpréter géométriquement le résultat ci-dessus.
Exercice 18
Soit K un corps algébriquement clos. Soit I un idéal radical de K[X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ].
On pose J = I ∩ K[Y1 , . . . , Ym ].
1. Montrer que J est un idéal radical de K[Y1 , . . . , Ym ].
2. Montrer que V (J) est l’adhérence Zariski de la projection de V (I) sur les coordonnées
Y1 , . . . , Ym .
4/8
Exercice 19
Soit K un corps algébriquement clos. Soient I et J deux idéaux radicaux de K[X1 , . . . , Xn ].
On note (I : J) l’ensemble des f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] tels que f J ⊂ I.
1. Montrer que (I : J) est un idéal radical de K[X1 , . . . , Xn ].
2. Montrer que V ((I : J)) est l’adhérence Zariski de V (I)\V (J).
5
Sur les anneaux produits
Exercice 20
Soient A et B deux anneaux.
1. Montrer que les idéaux maximaux de A × B sont de la forme mA × B ou A × mB où mA
(resp. mB ) désigne un idéal maximal de A (resp. de B).
2. Montrer que {Spm A, Spm B} forme une partition de Spm(A × B) par deux ensembles qui
sont à la fois ouverts et fermés.
Exercice 21
Soit A un anneau. Soit e ∈ A un élément idempotent (i.e. vérifiant e2 = e).
1. Montrer que (1 − e) est également idempotent.
2. Montrer que les idéaux eA et (1 − e)A sont également des sous-anneaux de A d’élément
neutre e et 1 − e respectivement.
3. Montrer que l’application eA × (1 − e)A → A, (x, y) 7→ x + y est un isomorphisme d’anneaux.
4. Interpréter géométriquement le résultat de la question précédente. (On pourra s’aider de
l’exercice précédent.)
6
Sur les morphismes finis
Exercice 22
Soit K un corps algébriquement clos. Soit A une K-algèbre que l’on suppose de dimension
finie sur K (comme espace vectoriel).
1. Montrer que les idéaux maximaux de A sont exactement les noyaux des morphismes
d’anneaux A → K.
2. En déduire qu’un idéal maximal de A est un hyperplan de A.
On note (x1 , . . . , xd ) une base de A sur K et on appelle Z l’ensemble des d-uplets (α1 , . . . , αd ) ∈
K d pour lesquels α1 x1 + · · · + αd xd n’est pas inversible dans A.
3. Montrer que Z est un fermé Zariski de K d défini par une équation polynômiale de degré d.
(On pourra introduire la matrice de la multiplication par xi .)
4. Montrer que Z contient tous les idéaux maximaux de A.
5/8
5. Montrer que A a au plus d idéaux maximaux.
6. Étendre le résultat de la question précédente sans supposer que K est pas algébriquement
clos.
Exercice 23
Soient K un corps et f : A → B un morphisme entre K-algèbres. On suppose que f est fini,
c’est-à-dire que B vu comme A-module via f est de type fini. En utilisant l’exercice précédent,
montrer que l’application induite Spm(B) → Spm(A) est à fibres finies.
Exercice 24
Interpréter géométriquement les morphismes de K-algèbres suivants et dire, pour chacun
d’eux, s’il est fini ou non.
1. le morphisme d’inclusion K[X] → K[X, Y ] ;
2. le morphisme de projection K[X, Y ] → K[X] qui envoie X sur X et Y sur 0 ;
3. le morphisme K[X] → K[X, Y ]/(Y 2 − X 3 − X) qui envoie X sur X ;
4. si I est un idéal de K[X] avec X = (X1 , . . . , Xn ), le morphisme K[X] → K[X]/I ;
5. si I et J sont deux idéaux de K[X] avec I ⊂ J, le morphisme K[X]/I → K[X]/J ;
6. l’unique morphisme de K-algèbres K[ε]/ε2 → K.
Exercice 25
Soient A et B deux K-algèbres et f : A → B un morphisme de K-algèbres.
1. Montrer que l’image réciproque d’un idéal premier de B est un idéal premier de A.
2. On suppose que A et B sont de type fini comme K-algèbres. Montrer que l’image réciproque
d’un idéal maximal de B est un idéal maximal de A.
Exercice 26
Soient A et B deux K-algèbres et f : A → B un morphisme fini de K-algèbres. Montrer que,
pour tout élement t ∈ B, il existe un polynôme unitaire Pt à coefficients dans A tel que Pt (t) = 0.
Exercice 27
Soit K un corps algébriquement clos. Soit A une K-algèbre que l’on suppose de dimension
finie sur K (comme espace vectoriel).
1. Montrer que les idéaux maximaux de A sont exactement les noyaux des morphismes
d’anneaux A → K.
2. En déduire qu’un idéal maximal de A est un hyperplan de A.
On note (x1 , . . . , xd ) une base de A sur K et on appelle Z l’ensemble des d-uplets (α1 , . . . , αd ) ∈
K d pour lesquels α1 x1 + · · · + αd xd n’est pas inversible dans A.
3. Montrer que Z est un fermé Zariski de K d défini par une équation polynômiale de degré d.
(On pourra introduire la matrice de la multiplication par xi .)
6/8
4. Montrer que Z contient tous les idéaux maximaux de A.
5. Montrer que A a au plus d idéaux maximaux.
6. Étendre le résultat de la question précédente sans supposer que K est algébriquement clos.
Exercice 28
Soient A et B deux K-algèbres et f : A → B un morphisme fini de K-algèbres. Montrer que
l’application Spm(B) → Spm(A) induite par f est à fibres finies.
Exercice 29
Soit K un corps. On note K(X) le corps des fractions rationnelles en X ; c’est le corps des
fractions de K[X].
1
1. Montrer que la famille des X−α
, pour α variant dans K, est une famille libre sur K.
2. En déduire une démonstration alternative du lemme de Zariski lorsque K est indénombrable.
Dans tous les exercices qui suivent, la lettre A (resp. K) désigne un anneau (resp. un corps)
et la lettre S désigne une partie multiplicative de A.
7
Localisation
Exercice 30
1. On suppose que S contient un élément nilpotent. Montrer que A[S −1 ] est l’anneau nul.
2. Interpréter géométriquement le résultat de la question précédente.
Exercice 31
On suppose, dans cet exercice, que A est intègre et on note Frac (A) le corps des fractions de
A.
1. Pour toute partie multiplicative S de A, montrer qu’il existe un unique morphisme de
A-algèbres fS : A[S −1 ] → Frac (A) et montrer que fS est injectif.
2. Si S et T sont deux parties multiplicatives de A, montrer que S ∩ T est encore une partie
multiplicative de A et que :
A[S −1 ] ∩ A[T −1 ] = A[(S ∩ T )−1 ]
l’intersection étant prise dans Frac (A).
Exercice 32
1. Soient B un anneau en f : A → B un morphisme d’anneaux tel que ϕ(s) est inversible dans
B pour tout s ∈ S. Montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneaux g : A[S −1 ] → B
tel que f = g ◦ ι où ι est le morphisme A → A[S −1 ] qui envoie x sur x1 .
7/8
2. Soit T une partie multiplicative de A contenant S. Construire un morphisme de A-algèbres
A[S −1 ] → A[T −1 ].
Exercice 33
1. Soient B et C deux anneaux munis de morphismes A → B → C. Soit M un A-module.
Montrer que :
C ⊗B (B ⊗A M ) ' C ⊗A M
comme C-modules.
On considère à partie une partie multiplicative T de A contenant S, ainsi qu’un A-module M .
2. Montrer que l’image de T dans A[S −1 ] (par le morphisme canonique A → A[S −1 ]) est une
partie multiplicative de A[S −1 ].
3. Montrer que :
M [S −1 ][T −1 ] ' M [T −1 ]
comme A[S −1 ]-modules.
Exercice 34
Soient M et N deux A-modules.
1. Soit B une A-algèbre. Montrer que :
(B ⊗A M ) ⊗B (B ⊗A N ) ' B ⊗A (M ⊗A N )
comme B-modules.
2. En déduire que :
(M ⊗A N )[S −1 ] ' M [S −1 ] ⊗A[S −1 ] N [S −1 ]
comme A[S −1 ]-modules.
Exercice 35
Soit m un idéal maximal de A. On note Am l’ensemble des suites (xn )n>1 telles que, pour tout
entier n, on ait, xn ∈ A/mn et xn+1 mod mn = xn .
1. Montrer que l’addition et la multiplication composante par composante définissent une
structure d’anneaux
2. Montrer que l’application f : A → Am qui à x ∈ A associe la suite des xn = x mod mn est
un morphisme d’anneaux (et fait ainsi de Am une A-algèbre).
3. Montrer qu’un élément x = (xn )n>1 est inversible dans Am si et seulement si x1 est non
nul (dans A/m).
4. Déterminer les idéaux de Am et, parmi eux, déterminer ceux qui sont premiers et ceux qui
sont maximaux.
5. En notant S = A\m, construire un morphisme de A-algèbres A[S −1 ] → Am .
6. Que vaut Am dans le cas où A = K[X] et m est l’idéal maximal engendré par X ?
7. Interpréter géométriquement les constructions précédentes.
8/8