Exercice D2 - XMaths

Exercice D2
1°)
1 600
1 500
1 400
1 300
1 200
1 100
1 000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
-2
O
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
2°) a) D'après la calculatrice, les coefficients de la droite d’ajustement affine de y en x obtenue par la
méthode des moindres carrés sont : a = 49 et b = 125
La droite a donc pour équation : y = 49 x + 125
b) Cette droite passe par les points de coordonnées (0 ; 125) et (10 ; 615)
On peut la tracer sur le graphique.
c) L'année 2004 est l'année de rang 22.
Sur la droite, le point d'abscisse 22 a pour ordonnée 1200.
On peut estimer graphiquement que le PIB de la Chine en 2004 sera de 1200 milliards de dollars.
La droite a pour équation y = 49 x + 125
Pour x = 22, on obtient y = 49 x 22 + 125 = 1203
On peut estimer que le PIB de la Chine en 2004 sera de 1203 milliards de dollars.
Le résultat obtenu est inférieur au PIB de 2002, or la tendance observée sur le graphique semble être
une croissance de plus en plus forte. Il semble que cet ajustement ne soit pas très pertinent.
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3°) a) En posant z = ln y on obtient une droite d’ajustement de z en x d’équation : z = 0,08x + 5,46
On en déduit que ln y = 0,08x + 5,46 donc y = e (0,08x + 5,46) = e 0,08x x e5,46
On a e5,46 ≈ 235,10
donc y = 235,10 e 0,08x
b) La fonction x ֏ 235,10 e 0,08x est strictement croissante, en effet sa dérivée 235,10 x 0,08 e 0,08x est
strictement positive.
On peut tracer la courbe en utilisant un tableau de valeurs approchées :
0
235
3
299
6
380
9
483
12
614
15
781
18
992
21
1261
24
1604
c) L'année 2004 est l'année de rang 22.
Sur la courbe, le point d'abscisse 22 a pour ordonnée 1360.
On peut estimer graphiquement que le PIB de la Chine en 2004 sera de 1360 milliards de dollars.
La courbe a pour équation y = 235,10 e 0,08x
Pour x = 22, on obtient y = 235,10 e 0,08 x 22 = 235,10 e 0,08 x 22 = 235,10 e 1,76 ≈ 1367
On peut estimer que le PIB de la Chine en 2004 sera de 1367 milliards de dollars.
4°) Le PIB de la Chine pour 2004 était de 1 650 milliards de dollars (Source internet).
1650 - 1367 ≈ 0,17
On a 1650 - 1203 ≈ 0,27
et
1650
1650
Les erreurs commises en prenant comme PIB les estimations obtenues aux questions 2 et 3 sont
respectivement de 27% et de 17%.
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