Activité 2 : Des graphes non orientés 1. Une ligue de football

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Activité 2 : Des graphes non orientés
1. Une ligue de football comporte 4 équipes A, B, C, D : elle organise un week-end d’entraînement.
Le graphe ci-dessous représente les matchs joués par ces 4 équipes.
a_ Un segment qui relie 2 points représente un match joué entre les 2 équipes donc chaque
équipe a joué trois matchs.
b_ Il y a douze arêtes donc douze matchs disputés pendant le week-end.
c_ Graphe des matchs joués le prochain week-end.
Chaque équipe joue deux matchs donc le graphe est symétrique et on peut commencer par
n'importe quelle équipe.
Commençons par tracer les quatre sommets et les arêtes issues de A.
Ici, on a construit AB et AC, comme le graphe est symétrique on obtient un graphe
équivalent (on retrouve le même graphe en changeant le nom des sommets) en construisant AB et
AD ou AC et AD.
Complétons à partir de B. B est de degré 1 ( pour le moment ) donc il faut une deuxième
arête issue de B. On a deux choix BC et BD.
Dans le graphe de droite A, B et C jouent deux matchs donc ne peuvent en jouer d'autres. D
n'en joue aucun donc ce graphe ne convient pas.
Dans le graphe de gauche A et B jouent deux matchs, D et C en jouent un donc il suffit de le
compléter en traçant l'arête CD.
ou
Thierry Vedel
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La solution est un quadrilatère.
Calendrier : A vs B et C vs D
puis A vs C et B vs D
2. Une autre ligue de football comporte 5 équipes donc le graphe est d'ordre 5
a_ Chaque équipe joue quatre matchs donc on est dans le cas du graphe complet d'ordre 5
( c'est un tournoi).
b_ Chaque équipe joue trois matchs donc le graphe est symétrique (s'il existe ).
On commence par A et les arêtes AB, AC et AD.
On continue avec B qui est pour le moment de degré 1. Il faut tracer 2 arêtes. C et D sont
tous les deux de degré 1 et E de degré 0. Donc j'ai 2 choix joindre deux sommets de degré 1 ou un
sommet de degré 1 et un sommet de degré 0.
Examinons le graphe de droite. Complétons C ( ou D), CD ne convient pas car A, B, C et D
jouent 3 matchs et E zéro. Donc il reste CE.
Thierry Vedel
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On complète D, la seul possibilité est DE.
A, B, C et D jouent 3 matchs et E deux donc ce graphe ne convient pas.
Etudions maintenant l'autre cas.
Complétons C, comme D et E sont de degré un qu'on trace CD ou CE donne le même type
de graphe. On trace CD.
A, B et C jouent trois matchs donc la seul possibilité pour compléter ce graphe est de tracer
DE.
A, B, C et D jouent 3 matchs et E deux donc ce graphe ne convient pas.
On n'a pas trouvé de graphe d'ordre 5 dont tous les sommets sont de degré 3. On peut penser
qu'il n'en existe pas mais ce n'est qu'une conjecture.
3_ Avec 7 équipes le graphe a 7 sommets.
a_ Chaque équipe joue 4 matchs donc chaque sommet est de degré 4.
Voici un solution.
On trace l'heptagone, donc chaque sommet est de degré 2. Puis on complète A en traçant AC
Thierry Vedel
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et AF (pour conserver la symétrie et ainsi construire plus facilement la solution.
Pour garder la symétrie, on trace BG et BD.
On complète de même les autres sommets et on obtient :
b_ Chaque équipe joue 5 match donc chaque sommet est de degré 5.
On peut compléter le graphe précédent.
Complétons A par AD . A est de degré 5 et D aussi.
Complétons B par BE. A, B, D et E sont de degré 5.
Complétons C par CF. A, B, C, D, E et F sont de degré 5 et on ne peut plus construire d'arête
issue de G.
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On a déjà été confronté au même problème à la question 2b.
Essayons de démontrer qu'il n'existe pas de graphe d'ordre 7 dont chaque sommet soit de
degré 5.
Partons d'un graphe d'ordre 7 dont chaque sommet soit de degré 4. On sait qu'il en existe au
moins un ( question précédente). Complétons en traçant de nouvelles arêtes, chaque nouvelle arête
fait passer deux sommets du degré 4 au degré 5. En traçant 3 nouvelles arêtes, 6 sommets sont de
degré 5 et un de degré 4. Donc ce cas est impossible.
c_ Chaque équipe joue 3 matchs donc chaque sommet est de degré 3.
Partons d'un graphe d'ordre 7 dont chaque sommet soit de degré 4. Supprimons des arêtes.
Chaque arête supprimée fait passer deux sommets du degré 4 au degré 3. En supprimant 3 arêtes, 6
sommets sont de degré 3 et un de degré 4. Donc ce cas est impossible.
4_ Condition de non-faisabilité avec n équipes et p matchs.
Analysons déjà les cas étudiés.
Nombre
d'équipes
Ordre du
graphe
4
4
5
5
7
7
7
Nombre de
matchs par
équipe
degré de
chaque
sommets
3
2
4
3
4
5
3
Faisabilité
oui
oui
oui
non
oui
non
non
conjecture
conjecture
conjecture
Dans les cas de non faisabilité l'ordre et le degré sont impairs, dans le cas contraire l'un des
deux nombre est pairs.
Revoyons le raisonnement fait au 3, une arête correspond à deux degrés, un pour chaque
sommet extrémité. Donc, si le graphe a n arêtes la somme des degré est 2n.
D'où la règle, si n et p sont impairs, n équipes ne peuvent pas jouer p matchs chacune.
Thierry Vedel
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