Exposé - Des Mathématiques à Nantes

Projecteurs spectraux et quasimodes des
opérateurs non-autoadjoints
Joe Viola
Laboratoire de Mathématiques Jean Leray
Université de Nantes
[email protected]
8 avr 2014
Outline
Introduction
L’opérateur oscillateur harmonique tourné
Croissance faible
Quasimodes
Conclusion et perspectives
Une des conséquences les plus utiles de la théorie spectrale
est la possibilité de analyser un opérateur par sa
décomposition spectrale. Par exemple, on pose
A : D(A) ⊂ H → H
un opérateur compact, ou fermé et à résolvante compacte, sur
un espace de Hilbert sépérable. Aujourd’hui, on parle surtout
sur les opérateurs différentiels sur L2 (Rn ) avec n = 1.
Si A est un opérateur normal, il existe un base orthonormé des
vecteurs propres (ej )j∈N correspondant aux valeurs propres
(λj )j∈N (peut-être répétées). Les vecteurs propres donnent
projecteurs naturels
Πj u = hu, ej iej
desquels on déduit p. ex. le calcul fonctionel :
X
f (A)u =
f (λj )Πj u.
j∈N
Si A n’est pas normal mais reste compact (ou sa résolvante
l’est) la théorie spectrale est toujours gouvernée par les valeurs
et vecteurs propres :
Spec A = {λj : j ∈ N}
et chaque valeur propre correspond à un espace de vecteurs
propres généralisés de dimension finie.
On peut même définir les projecteurs spectraux pour chaque
valeur propre (forcement isolée) :
Z
1
(z − A)−1 u dz.
Πj u =
2πi |z−λj |=εj
En revanche, il y a quelques problèmes qui font barrage à
l’usage des données spectrales pour analyser un opérateur
non-autoadjoint.
I
Les blocs de Jordan peuvent paraître et compliquer l’action
de l’opérateur.
I
Les projecteurs peuvent ne pas être orthogonaux, même
aux normes croissantes.
P
Donc la developpement u = Πj u peut ne pas être
convergente.
I
I
Le spectre peut même être vide !
I
Le spectre peut être très instable par rapport aux
incertitudes de l’opérateur.
Un exemple simple mais surprennant est l’opérateur d’Airy
imaginaire sur L2 (R) :
A=−
d2
+ ix.
dx2
On peut démontrer que
D(A) = {u ∈ L2 (R) : u00 , xu ∈ L2 (R)}
et donc la résolvante de A est compacte.
S’il existait une valeur propre λ de A et une fonction u ∈ D(A)
telle que (A − λ)u = 0, on aurait
(A − (λ + ic))u(x − c) = 0,
Alors λ ne serait pas isolée et donc
Spec A = ∅.
c ∈ R.
Ces difficultés nous amène à faire distinction entre des
propriétés possedées par vecteurs propres des opérateurs
non-normals.1 Soit (un )n∈N une suite de vecteurs dans un
espace de Hilbert H.
On dit que (un ) est un ensemble complet minimal si
Vect(un ) = H et (un ) est minimale par rapport à cette propriété.
Une condition équivalente est l’existence d’une suite (vn )n∈N
telle que
hun , vm i = δn,m .
On dit que (un ) est un base si de plus, comme une série
convergente,
X
u=
hu, vn iun .
n∈N
D’après le théorème de Banach-Steinhaus, cela n’est possible
que quand les sommes partielles font une suite d’opérateurs
bornés uniformement.
1
Voir [Sect. 3.3, Davies 2007]
Outline
Introduction
L’opérateur oscillateur harmonique tourné
Croissance faible
Quasimodes
Conclusion et perspectives
Définition
Comparons les traitements de l’oscillateur harmonique tourné
(appelé celui "de Davies")
Pθ = −
d2
+ e2iθ x2 ,
dx2
|θ| < π/2
comme opérateur sur L2 (R) muni de domaine
D(Pθ ) = {u ∈ L2 (R) : x2 u, u00 ∈ L2 (R)}.
L’opérateur Pθ n’est normal que si θ = 0.
L’oscillateur harmonique
Le cas θ = 0 donne l’opérateur autoadjoint celebré, l’oscillateur
harmonique
d2
P0 = − 2 + x2 ,
dx
dont le spectre est
Spec P0 = {1 + 2k : k ∈ N}
et qui a les vecteurs propres (orthonormés), les fonctions
d’Hermite :
1
d
2
hk (x) = p
(x − )k e−x /2 .
√
dx
2k k! π
Concentration
Les
√fonctions
√ d’Hermite (hk ) sont concentrées sur l’intervalle
[− 1 + 2k, 1 + 2k], d’après la developpement asymptotique
Plancherel-Rotach.
Pour tirer une intuition sur cette concentration, regardons une
suite des courbes après un changement d’échelle :
√
h̃k (x) = (2k + 1)1/4 hk ( 2k + 1x).
Comportement des fonctions d’Hermite
Comportement des fonctions d’Hermite
Comportement des fonctions d’Hermite
Comportement des fonctions d’Hermite
Comportement des fonctions d’Hermite
Comportement des fonctions d’Hermite
Comportement des fonctions d’Hermite
Comportement des fonctions d’Hermite
Comportement des fonctions d’Hermite
Valeurs et fonctions propres
Pour n’importe quel θ vérifiant |θ| < π/2 on a
Spec Pθ = {eiθ (1 + 2k) : k ∈ N}
et
ker(Pθ − eiθ (1 + 2k)) = Vect(hk (eiθ x)).
(Voir un résultat bien plus général dans [Sjöstrand 1974].)
L’approche de [Davies et Kuijlaars, 2004]
Davies (qui a démarré l’etude des oscillateurs tournés au bout
des années 90) et Kuijlaars ont utilisé la rélation
Πk u(x) = hu, hk (e−iθ ·)ihk (eiθ x)
et le fait conséquent
kΠk k = khk (eiθ ·)kkhk (e−iθ ·)k
pour découvrir la comportement pour k grand des normes de
projecteurs spectraux.
La démonstration repose sur les asymptotiques connues pour
les fonctions d’Hermite.
Résultat
Theorem (Davies, Kuijlaars 2004)
Soit Πk le projecteur spectral associé à Pθ (sur L2 (R)) à la
valeur propre λk = 1 + 2k. Donc
1
kΠk k = 2<(f (r(θ)eiθ/2 )),
k→∞ k
lim
où r(θ) =
√
2 cos θ et
f (z) = log(z +
p
p
z2 − 1) − z z2 − 1.
On peut améliorer le résultat un peu avec les asymptotiques
plus précises des fonctions d’Hermite :
1
kΠk k = p
2πk| sin θ|
1 + | sin θ|
cos θ
k+1/2
(1 + o(1)).
Voir [Krejčiřík, Siegl, Tater, V. 2014], basé sur [Bagarello, 2010].
Valeurs propres simples et normes des vecteurs
propres
On peut également analyser la norme d’un projecteur spectral
pour une valeur propre (algébriquement) simple avec la norme
des vecteurs propres correspondant.
Autrement dit, si λ est une valeur propre simple d’un opérateur
P (à résolvante compacte sur un espace de Hilbert, disons) il
existe deux vecteurs u, u∗ tels que
ker(P − λ) = Vect u,
ker(P∗ − λ̄) = Vect u∗ .
Alors pour Πλ le projecteur spectral associé à λ, on a
kΠλ k =
kukku∗ k
.
hu, u∗ i
Analyse de R. Henry pour une famille d’oscillateurs
En [Henry 2013, Henry 2013] on regarde les valeurs propres
des oscillateurs anharmoniques complexes
Pm,θ = −
d2
+ eiθ |x|m ,
dx2
m ∈ {1} ∪ 2N∗
(et de l’oscillateur cubique complexe) comme solutions BKW à
une équation semiclassique : p. ex., pour m ∈ 2N∗ ,
d2
m
−h 2 + |x| − 1 ψh = 0, h → 0+
dx
c
1
=⇒ ψh (z) = m
exp − S(z) (1+o(1)),
h
(z − 1)1/4
2
z = reiθ , r → ∞.
Au-dessus, S(z) est l’intégrale d’action dans le plan complexe :
Z z
√
S(z) =
xm − 1 dx.
1
Résultats de l’analyse BKW
On a donc les facteurs exponentiels décrivant la croissance des
normes de projecteurs spectraux, ainsi qu’une développement
asymptotique pour le reste.
Theorem (Henry 2013)
Soit m ∈ 2N ∗ et 0 < |θ| < (1+m/2)π
. On pose λk la k-ième valeur
m
propre de Pm,θ et Πk le projecteur spectral associé. Alors
kPk k ∼ k
−1/2 cm (θ)k
e
∞
X
aj k−j .
j=0
Le facteur cm (θ) vient d’une intégrale d’action (comme S(z)) qui
nous donne un sens géométrique de la fonction compliquée qui
paraît dans la formule de Davies et Kuijlaars.
Espaces de Bargmann-Fock
On peut traiter les projecteurs spectraux des oscillateurs
harmoniques tournés, ainsi que beaucoup d’autres opératerurs
quadratiques, dans les espaces de Bargmann-Fock. Bref, on
constate que le rôle de (hk (eiθ ·), hk (e−iθ ·)) est équivalent à celui
joué par (zk , Ck zk ) dans certains espaces ponderés de fonctions
holomorphes. Comme consequence,
1
(cos θ)k+1/2
kΠk k =
2π
Z
2π
(1 − sin θ cos 2t)−k−1 dt
0
et on peut en déduire une developpement asymptotique
d’après la méthode de Laplace. Voir [V. 2013].
Outline
Introduction
L’opérateur oscillateur harmonique tourné
Croissance faible
Quasimodes
Conclusion et perspectives
Définition de l’oscillateur harmonique décalé
Un opérateur naturel ”entre” l’oscillateur harmonique tourné et
l’oscillateur harmonique autoadjoint est l’oscillateur harmonique
décalé :
d2
Pa = − 2 + (x + ia)2
dx
régardé comme opérateur sur L2 (R).
Parce que
d2
<Pa = − 2 + x2 − a2 ,
dx
=Pa = 2iax,
on peut démontrer que =Pa est ”1/2-subordonée à <Pa ”,
c’est-à-dire
k=Pa uk ≤ Ckuk1/2 k(<Pa + C)uk1/2 ,
∀u ∈ D(<Pa ) ⊂ L2 (R).
Les vecteurs propres
À partir de cette propriété de subordination, on sait que
D(Pa ) = D(<Pa )
et l’opérateur Pa a une résolvante compacte etc. De plus, on
peut vérifier que
fk (x) = hk (x + ia)
gk (x) = hk (x − ia)
font des ensembles complets des vecteurs propres pour Pa et
P∗a .
Décalage complexe
La transformée de Fourier nous donne une équivalence entre
décalage et multiplication par des fonctions exponentielles (à
l’argument imaginaire). Pour les fonctions d’Hermite, cela reste
vrai pour les décalages complexes.
De plus, l’invariance de l’oscillateur harmonique sous la
transformée de Fourier donne également une invariance (à une
puissance de i près) aux fonctions d’Hermite.
Donc
Ffk (ξ) = e−aξ Fhk (ξ)
= (−i)k e−aξ hk (ξ).
Asymptotiques
Theorem (Mityagin, Siegl, V. 2013)
Soit Πk le projecteur spectrale pour l’opérateur
Pa = −
d2
+ (x + ia)2
dx2
sur L2 (R) à la valeur propre λ = 1 + 2k. Donc
kΠk k =
√ p
exp 23/2 |a| k (1 + O(k−1/2 )),
2(2k)1/4 |a|π
1
et comme consequence
1
lim √ log kΠk k = 23/2 |a|.
k→∞
k
k→∞
N’import quel ordre de croissance inférieur à
exponentielle
On peut suivre la même recette pour trouver en effet tous
ordres de croissance entre 1 et exp(k/C).
Nous avons pris un oscillateur anharmonique
L=−
d2
+ |x|β ,
dx2
β>2
et nous avons consideré les perturbations
B = B(p) = p00 (x) − (p0 (x))2 + 2p0 (x)
d
.
dx
Rélation pour les fonctions propres
La perturbation est choisie afin d’avoir
(L + B − λ)ep(x) u(x) = 0
lorsque
(L − λ)u(x) = 0
et on peut créer les croissances variées en choissisant les p(x)
de croissances différentes. (On prend la perturbation toujours
majorée par L pour garder la propriété de subordination !)
Outline
Introduction
L’opérateur oscillateur harmonique tourné
Croissance faible
Quasimodes
Conclusion et perspectives
Equations de Schrödinger et solutions BKW
On des outils les plus importants pour l’analyse des fonctions
propres aux opérateurs de type Schrödinger est la
developpement BKW. On considère l’extension aux potentiels
non-réels.2
Soit
d2
P = −h2 2 + V(x) − E.
dx
un opérateur semiclassique (c’est-à-dire, consideré lorsque
h → 0+ ) et E une énergie admissible au sens qu’il existe x0 tel
que
=V 0 (x0 ) 6= 0, V(x0 ) − E > 0.
2
Pour l’étude récent, voir [Davies, 1999], [Zworski, 2001], [Dencker,
Sjöstrand, Zworski, 2004]
On pose une solution (ansatz) de forme
u(x; h) = eiϕ(x)/h a(x; h),
N(h)
a(x, h) =
X
aj (x).
j=0
La motivation vient de la forme de l’équation réduite :
e−iϕ/h Peiϕ/h a = ((ϕ0 )2 + V − E)a
− 2ihϕ0 a0 − ihϕ00 a − h2 a00 .
Choix de ϕ et aj
On choisit ϕ(x) pour avoir
(ϕ0 (x))2 + V(x) − E = 0.
Avec
1
i
ϕ0 (x)a0j (x) + ϕ00 (x)aj (x) = a00j−1 (x),
2
2
on calcule que
e−iϕ/h Peiϕ/h a(x; h) = −hN(h)+2 a00N(h) .
Estimations essentielles
Les équations pour aj peut étre resolues de façon élémentaire
et, en supposant V(x) est holomorphe, on peut montrer que
|aj (x)| ≤ Cj+1 jj .
On choisit donc N(h) = 1/(Ceh) pour avoir une série
(localement) uniformement convergente.
Pour introduire une fonction de troncature χ à support près de
x0 , il faut assurer que
eiϕ/h 1,
sur supp χ0 .
En choissisant le signe de ϕ0 (x0 ), on a la borne supérieure
e−1/(Ch) grâce à la partie imaginaire de V.
“Scaling”
Pour un opérateur non-semiclassique comme celui de Davies,
Pθ = −
d2
+ e2iθ x2 ,
dx2
on peut utiliser un argument de “scaling” pour démontrer que
pour chaque φ ∈]0, 2θ[ on a
k(Pθ − reiφ )−1 k ≥
1 r/C
e ,
C
r → ∞.
Croissance intérmédiaires
On peut modifier la démonstration pour traiter une perturbation
subordonée.
Theorem (Krejčiřík, Siegl, Tater, V. 2014)
Soit
d2
+ (x + i)2
dx2
et soit ε > 0 fixé. Donc il existe une constante C > 0 telle que
quand <z > C et
√
|=z| ≤ 2(1 − ε) <z,
P=−
on a
k(P − z)−1 k ≥
1 √<z/C
e
.
C
Justification de changement d’ordre
La raison principale pour la croissance plus lente est la
décroissance plus faible de la phase ϕ(x). En fait, sur supp χ0 ,
on n’a que
√
=ϕ(x) ∼ h1/2 =⇒ eiϕ(x)/h ∼ e−1/
h
.
On voit que les propriétés de la résolvante vont avec celles des
projecteurs spectraux.
Bien sûr, on attend que certaines perturbations peuvent donner
les croissances intérmédiaires jusqu’à exponentielle !
Publicité : Chebfun
Dans [Krejčiřík, Siegl, Tater, V. 2014] on utilise Chebfun,
http://www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/
pour faire des ”éxperiences” avec des solutions BKW. C’est
possible grâce à la combinasion des formules explicites pour
ϕ, a et le logiciel bien adapté à étudier le calcul avec des
fonctions continues / lisses par morceaux.
Commencons avec une quasimode BKW à
2
2 d
2
−h 2 + ix − z u ≈ 0,
dx
z = 1/2 + i,
h = 2−5 .
Quasimode pour oscillateur harmonique tourné
u(x;h)
(P−z)u(x;h)
−4
1.5
4
x 10
3
1
2
1
0.5
0
0
−1
−2
−0.5
−3
−1
0
0.5
1
1.5
2
−4
0
0.5
1
1.5
2
Paramètres pour l’oscillateur harmonique décalé
On peut faire la même chose avec le quasimode très oscillante
pour l’oscillateur harmonique décalé :
2
2 d
2
1/2
−h 2 + x + 2ih x − h − z u ≈ 0,
dx
√
z ≈ 2 + 2i h, h = 2−8 .
Quasimode pour oscillateur harmonique décalé
u(x;h)
6
1
4
0.5
2
0
0
−0.5
−2
−1
−4
−1.5
0
0.5
1
(P−z)u(x;h)
−3
1.5
1.5
2
x 10
−6
0
0.5
1
1.5
2
Des advantages
On peut rapidement voir
I
les effets de la fonction de troncature,
I
la choix de N = N(h) optimale,
I
les régions où =ϕ est petite ou grande
I
etc.
Connexion quasimode-résolvante
Un travail récent [Bordeaux-Montrieux 2013] donne une
développement asymptotique de la norme de la résolvante
pour quelques opérateurs pseudodifferentiels dans dimension
1. Elle tient la forme
1
−1
−1/2
`(z) (1 + o(1))
k(P − z) k ∼ C(P)h
exp
h
pour certains z ∈ C. Comme toujours, `(z) représente une
intégrale d’action.
La stragégie, en grandes lignes, est à utiliser un problème de
Grushin pour démontrer que la contribution principale est celle
entre quasimodes pour P et P∗ , qui est donnée par l’intégrale.
Voir aussi les travaux de Hager ; Hager, Sjöstrand ; Sjöstrand ;
Vogel.
Outline
Introduction
L’opérateur oscillateur harmonique tourné
Croissance faible
Quasimodes
Conclusion et perspectives
Ce que l’on sait déjà
I
En général, les opérateurs non-autoadjoints ont l’air d’avoir
les projecteurs spectraux à norme croissante rapidement.
I
On peut les expliciter dans plusieurs cas speciaux,
notamment en dimension 1.
I
On peut voir une connexion entre les projecteurs, la
résolvante et l’intégrale d’action qui vient de l’analyse
BKW.
Le reste
I
Les liens résolvante – projecteur ne sont pas clairs !
I
Dans dimension > 1, on ne comprend que quelques
opérateurs de forme speciale.
I
Notamment, il y a des opérateurs qui ont des blocs de
Jordan qui casse la rélation entre la norme de la
résolvante et la norme des projecteurs spectraux.
I
(Et beaucoup d’autres !)
Merci de votre attention!