Elasticité anisotrope

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Code_Aster
Titre : Elasticité anisotrope
Responsable : Jean-Michel PROIX
Version
default
Date : 08/03/2010 Page : 1/15
Clé : R4.01.02
Révision : 2881
Manuel de Référence
Fascicule R4.01 : Matériaux composites
Document : R4.01.02
Elasticité anisotrope
Résumé
Ce document traite de l’élasticité anisotrope , utilisée pour les modélisations de milieux continus 3D et
2D (C_PLAN, D_PLAN, AXIS), ou les couches des coques composites.
Le milieu élastique peut être anisotrope suivant les 3 directions (on parle l’élasticité orthotrope), ou bien dans
isotrope dans deux directions (on parle d’élasticité isotrope transverse).
Manuel de référence
Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)
Fascicule r4.01 : Matériaux composites
Code_Aster
Version
default
Date : 08/03/2010 Page : 2/15
Clé : R4.01.02
Révision : 2881
Table des matières
1 Introduction........................................................................................................................... 3
2 Topologie des matrices de Hooke......................................................................................... 3
2.1 L’orthotropie................................................................................................................... 3
2.2 Isotropie transverse........................................................................................................ 4
2.3 Isotropie ......................................................................................................................... 4
3 Matrice de Hooke et de souplesse........................................................................................ 4
3.1 Notations........................................................................................................................ 4
3.2 Cas 3 D.......................................................................................................................... 6
3.2.1 0rthotropie............................................................................................................. 6
3.2.1.1 Matrice de souplesse................................................................................ 6
3.2.1.2 Matrice de Hooke...................................................................................... 6
3.2.2 Isotropie transverse............................................................................................... 7
3.2.2.1 Matrice de souplesse................................................................................ 7
3.2.2.2 Matrice de Hooke...................................................................................... 8
3.2.3 Élasticité cubique.................................................................................................. 9
3.2.4 Isotropie ................................................................................................................ 10
3.2.4.1 Matrice de souplesse en fonction de E et  .............................................. 10
3.2.4.2 Matrice de Hooke en fonction de E et  ................................................... 10
3.2.4.3 Matrice de souplesse en fonction des coefficients de Lamé  et  .......... 11
3.2.4.4 Matrice de Hooke en fonction des coefficients de Lamé  et  ................ 11
3.3 Cas 2 D orthotrope en déformations planes et axisymétrique........................................ 11
3.3.1 Matrice de souplesse............................................................................................. 11
3.3.2 Matrice de Hooke.................................................................................................. 12
3.4 Cas 2 D orthotrope en contraintes planes...................................................................... 12
3.4.1 Matrice de souplesse............................................................................................. 12
3.4.2 Matrice de Hooke.................................................................................................. 12
4 Utilisation dans Code_Aster ................................................................................................. 13
5 Bibliographie......................................................................................................................... 14
6 Description des versions du document................................................................................. 14
Version
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Code_Aster
1
Date : 08/03/2010 Page : 3/15
Clé : R4.01.02
Révision : 2881
Introduction
L’objectif de ce document est de donner l’expression des matrices de souplesse et de Hooke pour des
matériaux élastiques orthotrope, isotrope transverse et isotrope dans les cas 3D, 2D-contraintes,
2D-déformations planes et axisymétrie.
Nous parlons de « matrices » de Hooke car, par souci de simplification, nous n’avons pas adopté la
notation d’un tenseur d’ordre 4.
En toute rigueur, pour les matériaux élastiques linéaires, les contraintes sont des fonctions linéaires
des déformations.
On écrit :
 ij = H ijkl  kl
La nature symétrique de
permet d’écrire :
{ }
[]
et
et l'adoption pour ces tenseurs d’ordre 2 d’une forme vectorielle
{  }= [ H ] {  }
où {  } et [  ] sont la représentation vectorielle des tenseurs d’ordre 2
une matrice 6×6 .
2
Topologie des matrices de Hooke
2.1
L’orthotropie
On peut montrer la symétrie de la matrice de Hooke
{ }
et
[]
et où
[H]
est
[H] .
Nous avons donc vingt et une composantes indépendantes dans le cas 3D.
∣
[ H ]=
H 11
H 12
H 22
H 13
H 23
H 33
SYM
H 14
H 24
H 34
H 44
H 15
H 25
H 35
H 45
H 55
H 16
H 26
H 36
H 46
H 56
H 66
∣
Un matériau orthotrope possède deux plans orthogonaux de symétrie élastique.
Ceci veut dire que si l’on appelle
[ H ' ] =[ H ] .
[H ']
la matrice
[H]
après symétrie(s)
Les relations obtenues entre les coefficients permettent d’écrire que
composantes indépendantes.
[H]
est définie par neuf
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Code_Aster
Date : 08/03/2010 Page : 4/15
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Révision : 2881
Dans les axes d’orthotropie :
∣
[ H ]=
H 11
H 12
H 22
H 13
H 23
H 33
SYM
0
0
0
H 44
0
0
0
0
H 55
0
0
0
0
0
H 66
∣
Il faut donc fournir 9 coefficients.
2.2
Isotropie transverse
L’isotropie transverse est une restriction de l’orthotropie dans où l’on a l’isotropie dans l’un des deux
plans orthogonaux de symétrie élastique.
La matrice [ H ] aura la même forme que pour l’orthotropie mais avec des relations supplémentaires
entre les composantes.
Cinq composantes suffisent à déterminer [ H ] .
2.3
Isotropie
Le matériau est isotrope si
[H]
reste invariant dans tout changement de repère.
Deux coefficients suffisent à déterminer
[H] .
3
Matrice de Hooke et de souplesse
3.1
Notations
Au lieu d’utiliser les indices 1, 2 et 3 pour repérer les axes, on va utiliser les indices correspondants
, T et N :
1.
2.
3.
L
L pour longitudinal
T pour transversal
N pour normal
T
N
L
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Date : 08/03/2010 Page : 5/15
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Révision : 2881
Les coefficients qui interviennent sont les suivants :
Mot clé Notation
E_L
E
L
E_T
E_N
G_LT
G_TN
G_LN
NU_LT
NU_TN
NU_LN
ET
EN
G LT
GTN
G LN
 LT
TN
LN
signification
Module d’Young longitudinal
Module d’Young transversal
Module d’Young normal
 L ,T 
Module de cisaillement dans le plan T , N 
Module de cisaillement dans le plan  L , N 
Coefficient de Poisson dans le plan  L ,T 
Coefficient de Poisson dans le plan T , N 
Coefficient de Poisson dans le plan  L , N 
Module de cisaillement dans le plan
Remarque très importante :
 LT est différent de TL :
Si l’on applique une traction suivant
LL =
L
 LL
(loi de Hooke suivant une direction).
EL
Cette traction est accompagnée, proportionnellement, d’une contraction suivant
et d’une contraction suivant
N ,− LN .
T ,− LT .
 LL
EL
 LL
.
EL
Le premier indice indique l’axe où s’exerce l’effet du chargement et le second indice indique la
direction du chargement.
Ensuite on exerce une traction suivant
T , puis une traction suivant N ; on obtient :
}
 LL


−TL TT −NL NN
EL
ET
EN
σ


TT =− LT LL  TT −ν NT NN  S 
E L ET
EN



 NN =− LN LL −TN TT  NN
EL
ET E N
 LL=
La matrice de souplesse
[ H ] −1
étant symétrique ; on en déduit :
 LT  TL
=
EL ET
 LN  NL
=
EL EN
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Révision : 2881
TN NT
=
ET E N
3.2
Cas 3 D
3.2.1
0rthotropie
3.2.1.1 Matrice de souplesse
[]
 LL
TT
 NN
2 LT
2 LN
2 TN
[ ]
1
EL
−LT
EL
−LN
= EL
−TL
ET
1
ET
− TN
ET
− NL
EN
− NT
EN
1
EN
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
G LT
0
0
1
G LN
0
SYM
[]
 LL
 TT
 NN
 LT
 LN
 TN
1
GTN
[ H ] −1
– Orthotropie
3.2.1.2 Matrice de Hooke
[][
 LL
 LL
 NN
 LT
 LN
 TN
 1−ν TN ν NT 
ET E N
 ν LT ν LN ν NT 
ELEN
1
=
Δ  ν LN ν LT . ν TN 
E L . ET
 ν TLν NL ν TN 
 ν NLν TL ν NT 
ET . E N
 1−ν NL ν LN 
EL. EN
 ν TN ν TL . ν LN 
E L . ET
ET . E N
 ν NT ν NL . ν LT 
E L. EN
 1−ν LT . ν TL 
E L. ET
0
0
0
0
0
0
0
0
GLT ∗
0
GLN ∗
0
0
GTN∗
SYM
[H]
0
[] ]
ε LL
ε TT
ε NN
2ε LT
2ε LN
2εTN
– Orthotropie avec:
ν TL ν LT ν NL ν LN ν NT ν TN
=
;
=
;
=
ET E L E N E L EN ET
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default
Code_Aster
Date : 08/03/2010 Page : 7/15
Clé : R4.01.02
Révision : 2881
1
=
Δ
3.2.2
E L ET E N
 
1−ν TN ν NT
−ν NL ν LN
−ν LT ν TL
−2ν TN ν NL ν LT
Isotropie transverse
3.2.2.1 Matrice de souplesse
N
T
L
La matrice
[ H ] −1
peut être déduite directement de la matrice
propriétés de l’isotropie transverse. Dans le plan
[ H ] −1
- Orthotropie en utilisant les
 L ,T  :
E L =E T
ν TL =ν LT
EL
G LT =
2  1ν LT 
Dans les plans
 L , N  et T , N  :
ν NT =ν NL
ν LN =ν TN
GTN =G LN
N
L
T
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Code_Aster
[]
ε LL
ε TT
ε NN
2ε LT
2ε LN
2εTN
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Clé : R4.01.02
Révision : 2881
E L =E T
ν LT =ν TL
EL
G LT =
2  1ν LT 
ν NT =ν NL
ν LN =ν TN
GTN =G LN
ν NT ν LN
=
EN EL
[
1
EL
−ν TL
EL
−ν LN
= EL
−ν LT
EL
1
EL
−ν TN
EL
−ν NL
EN
−ν NT
EN
1
EN
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2  1ν LT 
EL
0
0
1
G LN
0
SYM
1
GTN
[ H ] −1
]
[]
σ LL
σ TT
σ NN
σ LT
σ LN
σ TN
- Isotropie transverse
3.2.2.2 Matrice de Hooke
La matrice
[H]
possède les mêmes symétries que
[ H ] −1
.
N
L
T
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Code_Aster
[
1−ν NL . ν LN
E L. E N
ν TLν NL ν LN
E L. E N
1 ν ν LT . ν LN
= ' LN
Δ
E 2L
[]
σ LL
σ TT
σ NN
σ LT
σ LN
σ TN
Date : 08/03/2010 Page : 9/15
Clé : R4.01.02
Révision : 2881
ν LT ν NL ν LN
E L . EN
1−ν NL . ν LN
E L . EN
ν TN ν LT . ν TN
ν NLν LT ν NL
E L . EN
ν LN ν LT ν LN
E L . EN
1−ν 2LT
E 2L
E 2L
0
0
0
0
0
0
0
0
EL . Δ'
2  1ν LT 
G LN . Δ '
G LN . Δ'
[H]
]
[]
ε LL
ε TT
ε NN
2ε LT
2ε LN
2εTN
– Isotropie transversale
E 2L . E N
1
=
' 1−2ν . ν −ν 2
NL LN
LT
−2ν NL ν LN ν LT
[
3.2.3
0
]
Élasticité cubique
L'élasticité cubique correspond à une matrice d'élasticité de la forme :
[
y 1111 y 1122
y 1122 y 1111
y 1122 y 1122
y 1122
y 1122
y 1111
y 1212
y 1212
y1212
]
Étant donnée la symétrie cubique, il reste à déterminer 3 coefficients:
E L= E N = ET = E , G LT =G LN =GTN =G ,  LN = LT = LN =
Pour reproduire l'élasticité cubique avec ELAS_ORTH, il suffit de calculer les coefficients de l'orthotropie
tels que la matrice d'élasticité obtenue soit de la forme ci-dessus :
E 1− 2 
1−3 2−2 3 
E 1
y 1122=
1−3 2−2 3 
y 1212=G LT =G LN =G TN
y 1111=
donc, tant que
1−3 2 −2 3 ≠0 (c'est à dire  différent de 0.5 ).
1
=
y1122
1−3 2−2 3

y
ce qui fournit
puis E= y 1111
=
1 1111
y1111 1−
1− 2 
y 1122
Code_Aster
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Date : 08/03/2010 Page : 10/15
Clé : R4.01.02
Révision : 2881
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Code_Aster
3.2.4
Date : 08/03/2010 Page : 11/15
Clé : R4.01.02
Révision : 2881
Isotropie
3.2.4.1 Matrice de souplesse en fonction de
[]
[
ε LL
ε TT
ε NN
=
2ε LT
2ε LN
2ε TN
1
E
−ν
E
1
E
E et 
−ν
E
−ν
E
1
E
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 2 1ν 
=
G
E
0
0
1 2  1ν 
=
G
E
0
SYM
1 2  1ν 
=
G
E
[ H ] −1
3.2.4.2 Matrice de Hooke en fonction de
[] [
σ LL
σ TT
σ NN
σ LT =
E
 1ν   1−2ν 
]
[]
σ LL
σ TT
σ NN
σ LT
σ LN
σ TN
– Isotropie complète
E et 
1−ν
ν
1−ν
ν
ν
1−ν
SYM
0
0
0
1−2ν
2
σ LN
0
0
0
0
0
0
0
0
1−2ν
2
0
1−2ν
2
σ TN
[H]
][ ]
ε LL
ε TT
ε NN
2ε LT
2ε LN
2ε TN
– Isotropie complète
Version
default
Code_Aster
Date : 08/03/2010 Page : 12/15
Clé : R4.01.02
Révision : 2881
3.2.4.3 Matrice de souplesse en fonction des coefficients de Lamé  et 
La loi de Hooke prend la forme suivante avec les coefficients de Lamé  et  .
 ij = kk ij 2  ij
En utilisant le système d’équations (S), on obtient :
[] [
σ LL
EL
σ TT
1
ν LT . E L
=
σ NN 1−ν LT . νTL
0
0
σ LT
[H]
ν TL . E T
ET
0
0
][ ]
ε LL
0
0
ε TT
0
0
ε NN
0
0
0 G LT 2ε LT
– Orthotropie plane en contraintes planes
3.2.4.4 Matrice de Hooke en fonction des coefficients de Lamé  et 
[ ][
σ LL
λ2μ
σ TT
σ NN
=
σ LN
σ LT
σ TN
[H]
λ
λ2μ
λ
λ
λ2μ
SYM
0
0
0
μ
0
0
0
0
μ
][ ]
0 ε LL
0 εTT
0 ε NN
0 2ε LN
0 2ε LT
μ 2ε
TN
– Isotropie complète avec les coefficients de Lamé
3.3
Cas 2 D orthotrope en déformations planes et axisymétrique
3.3.1
Matrice de souplesse
[ ][
ε LL
ε TT
0
2ε LT
[ H ] −1
1
EL
ν LT
= − EL
0
0
ν TL
ET
1
ET
0
−
0
ν NL
EN
ν
− NL
EN
0
−
0
0
0
0
1
G LT
][ ]
σ LL
σ TT
σ NN
σ LT
– Orthotropie plane en déformations planes et axisymétrie
Version
default
Code_Aster
3.3.2
Date : 08/03/2010 Page : 13/15
Clé : R4.01.02
Révision : 2881
Matrice de Hooke
[
ET E N
 ν LT ν LN ν NT 
1
=
EL EN
Δ
 ν LN ν LT . ν TN 
E L. ET
0
[]
σ LL
σ TT
σ NN
σ LT
 1−ν TN ν NT 
[H]
 ν TLν NL ν TN 
 ν NLν TL ν NT 
ET . E N
 1−ν NL ν LN 
E L . EN
 ν TN ν TL . ν LN 
E L. ET
0
ET . EN
 ν NT ν NL . ν LT 
EL.EN
 1−ν LT . ν TL 
EL . ET
0
0
0
0
GLT ∗
]
[]
ε LL
ε TT
0
ε LT
– Orthotropie plane en déformations planes et axisymétrie
E L ET E N
1
=
 1−ν ν
TN NT
−ν NL ν LN
−ν LT ν TL
−2ν TN ν NL ν LT
 
3.4
Cas 2 D orthotrope en contraintes planes
3.4.1
Matrice de souplesse
[ ][
ε LL
ε TT
ε NN
2ε LT
[ H ] −1
3.4.2
1
EL
ν LT
= − EL
0
0
ν TL
ET
1
ET
0
−
0
0
0
0
0
0
0
1
G LT
0
][ ]
σ LL
σ TT
σ NN
σ LT
– Orthotropie plane en contraintes planes
Matrice de Hooke
[] [
σ LL
EL
1
σ TT =
ν LT E L
1−ν
.
ν
0
0
LT
TL
σ LT
0
[H]
ν TL E T
ET
0
0
0
0
0
0
][ ]
ε LL
0
ε TT
0
ε NN
0
G LT 2ε LT
– Orthotropie en contraintes planes
Version
default
Code_Aster
4
Date : 08/03/2010 Page : 14/15
Clé : R4.01.02
Révision : 2881
Utilisation dans Code_Aster
Dans Aster , la définition des caractéristiques élastiques orthotropes constantes ou fonctions de la
température s’effectuent par la commande DEFI_MATERIAU , mots clés ELAS_ORTH, ELAS_ISTR,
ELAS_ISTR_FO ou ELAS_ORTH_FO pour les éléments de coque et les éléments massifs
isoparamétriques ou les couches constitutives d’un composite (voir la commande DEFI_COQU_MULT ).
Pour définir le repère d’orthotropie  L ,T , N  lié aux éléments, on peut se reporter aux
documentations [U4.42.03] DEFI_COQU_MULT et [U4.42.01] AFFE_CARA_ELEM .
N
T
L
L, T et N : directions d'orthotropie
longitudinale, trans vers ale et norm ale
/
ELAS_ORTH = _F
(
♦ E_L = ygl
Module d'Young longitudinal.
♦ E_T = ygt
Module d'Young transversal.
◊ E_N = ygn
Module d'Young normal.
♦ GL_T = glt
TN .
G_LN = gln Module de cisaillement dans le plan LN .
NU_LT = nult Cœfficient de Poisson dans le plan LT .
NU_TN = nutn Cœfficient de Poisson dans le plan TN .
NU_LN = nuln Cœfficient de Poisson dans le plan LN .
◊ G_TN = gtn
◊
♦
◊
◊
Module de cisaillement dans le plan LT .
Module de cisaillement dans le plan
Remarque importante :
L’exposé de cette note de référence est basé sur la convention des livres de J.L.Batoz et D.Gay.
La documentation U de DEFI_MATERIAU décrit ces choix, et le coefficient NU_LT s’interprète de
la façon suivante dans Aster :
si l'on exerce une traction selon l'axe L donnant lieu à une déformation selon cet axe égale à
εL =
σl
ygl
, on a une déformation selon l'axe
T égale à : ε t = -nult *
σl
ygl
.
Version
default
Code_Aster
5
Date : 08/03/2010 Page : 15/15
Clé : R4.01.02
Révision : 2881
Bibliographie
6
1)
J.C. MASSON : Matrice de Hooke pour les matériaux orthotropes, Rapport interne
Applications en Mécanique, n°79-018, CiSi, 1979.
2)
D. GAY : Matériaux composites, Edition Hermes, 1987
3)
J.L. BATOZ, G. DHATT : Modélisation des structures par éléments finis, Volume 1, Edition
Hermes
Description des versions du document
Version Aster
6.4
8.4
Auteur(s)
Organisme(s)
A. ASSIRE,
EDF-R&D/AMA
A. ASSIRE,X.
PROIX
EDF-R&D/AMA
Description des modifications
Texte initial
DESROCHES,
J.M. Corrections minimes

Elasticité anisotrope

Transcription

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