CHAPITRE II Séries numériques

CHAPITRE II
Séries numériques
I
- Définitions et propriétés générales
II - Séries à termes réels positifs ou nuls
III - Séries à termes quelconques
I - Définitions et propriétés générales
Définition.
1) Soit (un )n∈N une suite réelle ou complexe. On appelle série de terme général un ou série
(un )n∈N la suite de terme général Sn donné par :
∀n ∈ N
Sn = u 0 + . . . + u n
Sn est la somme partielle d’indice n de la série.
2) On dit que la série (un ) est convergente si la suite (Sn ) est convergente. On note alors
∞
un la limite de Sn , c’est la somme de la série. Si la série ne converge pas, elle est
n=0
divergente.
Exemples.
1) La série harmonique. On pose ∀n ∈ N un =
1
.
n+1
1
On a Sn = 1 + . . . +
.
n+1
lim Sn = +∞ suite croissante non convergente
n→∞
On a
lim un = 0.
n→∞
La suite (un ) converge, la série (un ) diverge.
2) Les séries géométriques. Soit q ∈ C \ {0}. On pose ∀n ∈ N un = q n .
On a Sn = 1 + q + . . . + q n .
Si q = 1 on a Sn = n + 1. La série (un ) diverge.
1 − q n+1
Si q = 1 on a Sn =
.
1−q
∞
1
1
. Si | q |< 1 on a lim Sn =
un .
. La série est convergente de somme
=
n→∞
1−q
1 − q n=0
. Si | q |≥ 1 alors la série (un ) diverge parce que son terme général un ne tend pas vers 0.
En effet on a :
26
Proposition 1. Soit (un ) une série convergente. Alors on a
lim un = 0.
n→∞
Remarque. La réciproque est bien sûr fausse. Prendre l’exemple de la série harmonique.
Démonstration. On pose ∀n ∈ N Sn = u0 + . . . + un
= lim Sn
on a pour n ≥ 1 Sn − Sn−1 = un d’où
n→∞
lim un = − = 0.
n→∞
Remarque. On a ici un = Sn − Sn−1 .
Soit (un ) une série quelconque et supposons qu’il existe une suite (vn ) telle que ∀n ≥ 0 un =
n
vn+1 − vn . On a :
uk = vn+1 − v0 . Donc la série (un ) converge si et seulement si la suite
k=0
(vn ) est convergente.
1
pour n ≥ 1.
n(n + 1)
1
1
1
On a un = −
avec lim
= 0. On en déduit que la série de terme général un pour
n→∞ n
n n+1
∞
n ≥ 1 converge et
uk = 1 Remarquons qu’ici on a fait démarrer la série à l’indice 1.
Exemple. Soit un =
k=1
On peut écrire maintenant les propriétés immédiates concernant les opérations.
Proposition 2. Soient (un ) une série convergente de somme S.
(vn ) une série convergente de somme T.
Alors la série (un + vn ) est convergente de somme S + T.
Attention. On ne peut rien dire de la série (un .vn ). Par exemple il résultera du III. que la
(−1)n 1
√
série
converge, mais la série
diverge comme on l’a vu. On verra au III. une
n
n
notion de produit pour les séries.
Proposition 3. Sommation par paquets.
On considère une série de terme général un .
Soit k0 < k1 < . . . une suite strictement croissante d’entiers positifs ou nuls. On pose :
v0 = u0 + . . . + uk0
v1 = uk0 +1 + . . . + uk1
..
.
etc . . . vm = ukm−1 +1 + . . . + ukm
Alors on a :
1) Si la série (un ) converge alors la série (vn ) converge et a même somme.
2) Si la série (vm ) converge, que lim un = 0 et qu’il existe un entier M ≥ 1 tel que chaque
n→∞
regroupement comporte au plus M termes alors la série (un ) converge et a même somme
que la série (vm ).
27
Exemple.
(−1)n
pour n ≥ 1 (série harmonique
n
lim un = 0. On regroupe les termes consécutifs deux par deux :
On considère la série de terme général un =
alternée). On a
n→∞
v1 = −1 +
1
1 1
1
v2 = − + . . . vn = −
+
.
3 4
2n − 1 2n
1
2
Alors la série (un ) et la série (vn ) sont de même nature (c’est-à-dire toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes) et ont même somme si elles convergent.
−1
Or on a vn =
. Il résultera du II. que cette dernière série converge donc
2n(2n − 1)
également (un )
On va voir ce qui se passe dans ce cas.
n
n
Posons Sn =
uk et Tn =
vk pour tout n ∈ N \ {0}.
k=1
k=1
Soit k ∈ N \ {0}. On a :
S2k = 1 + . . . +
1
= Tk ,
2k
On en déduit
lim Sn = T.
S2k+1 = Tk +
(−1)2k+1
2k + 1
lim Tk = T et lim Tk +
k→∞
k→∞
(−1)
= T.
2k + 1
n→∞
Démonstration de la proposition 3.
Pour tout n ∈ N on pose Sn = u0 + . . . + un
Tn = v0 + . . . + vn = Skn .
1) Si la série (un ) converge, alors la suite (Sn ) converge, donc la suite extraite (Skm )m
converge, donc la série (vm ) converge.
2) Si la série (vm ) converge vers T.
Pour tout entier n ≥ k0 soit m le plus grand entier tel que km ≤ n.
Alors Sn − Skm est somme de moins de M termes u avec > km .
Quand n → ∞ on a :
m→∞
km → ∞
Skm = T m → T
on a donc
∀ε > 0 ∃N (ε) n > N (ε) ⇒
| Skm − T |< ε
∀ > km | u |< ε
d’où n > N (ε) ⇒| Sn − T | ≤| Sm − Skm | + | Skm − T |
≤ (M + 1)ε.
D’où lim Sn = T.
n→∞
Attention. Il n’est pas permis de changer l’ordre des termes.
Par exemple si on considère la série obtenue à partir de la série harmonique alternée en
prenant alternativement 1 terme négatif et 2 termes positifs :
1 1 1 1 1
−1, , , − , , , . . .
2 4 3 6 8
On peut éventuellement étudier cette série en regroupant les termes 3 par 3, mais la convergence et la somme de cette série sont sans lien avec celles de la série harmonique alternée.
(En fait on démontre que cette série converge bien, mais sa somme n’est pas la même que
celle de la série harmonique alternée).
28
On va maintenant essayer de traduire sur les séries les critères de convergence vus pour
les suites : critère de Cauchy, puis critère de croissance majorée (cas des séries à termes
positifs).
Proposition 4 : critère de Cauchy pour les séries.
complexe. Alors la série converge si et seulement si on a :
∀ε > 0 ∃N (ε) tel que ∀p, q entiers
Soit (un ) une série réelle ou
p ≥ q > N (ε) ⇒|
p
uk |< ε.
k=q
Corollaire 5. Soit (un ) une série réelle ou complexe. Si la série (| un |)n converge alors
la série (un ) converge.
Démonstration. On applique le critère de Cauchy. On a en effet
| uq + . . . + up |≤| uq | + . . . + | up | .
Définition. Une série (un ) telle que (| un |) converge s’appelle série absolument
convergente.
Remarque.
1) On vient donc de voir que toute série absolument convergente est convergente. La
(−1)n réciproque est évidemment fausse. Prendre l’exemple de la série
convergente
n
1
alors que la série
diverge.
n
2) Attention pour les suites on a au contraire : si la suite (un ) converge alors la suite
(| un |) converge. Réciproque fausse, exemple : un = (−1)n .
II - Séries à termes réels positifs ou nuls
Remarques.
1) Les critères donnés dans ce paragraphe pour les séries à termes positifs ou nuls fournissent
évidemment des critères de convergence pour les séries à termes négatifs ou nuls (changer
un en −un ).
2) D’autre part il est immédiat qu’on ne change pas la nature (convergence ou divergence)
d’une série en modifiant un nombre fini de termes, on peut donc également les appliquer
dans le cas des séries réelles à termes positifs ou nuls à partir d’un certain rang (ou
négatifs ou nuls à partir d’un certain rang).
1) Comparaison de 2 séries à termes positifs ou nuls.
Proposition 6. Soit (un ) une série réelle à termes positifs ou nuls. On pose
∀n ∈ N Sn = u0 + . . . + un . Alors la série (un ) converge si et seulement si la
suite (Sn ) est majorée.
29
Démonstration. En effet (Sn )n est alors une suite croissante.
Corollaire 7. Soient (un ) et (vn ) des séries réelles à termes positifs ou nuls.
S’il existe un entier N0 tel que n ≥ N0 ⇒ un ≤ vn alors
1) la convergence de la série (vn ) entraı̂ne celle de la série (un ).
2) la divergence de la série (un ) entraı̂ne celle de la série (vn ).
Démonstration. Pour alléger les notations on suppose N0 = 0 (sinon on peut étudier
les séries (un )n≥N0 et (vn )n≥N0 qui sont de même nature que (un )n≥0 et (vn )n≥0 ).
n
n
Posons ∀n ∈ N Sn =
u k , Tn =
vk on a ∀n ∈ N Sn ≤ Tn .
k=0
k=0
Donc si la suite Tn est majorée il en est de même de Sn , si Sn n’est pas majorée alors
Tn non plus n’est pas majorée.
Exemples.
1) Soit un =
an
avec a ∈ R \ {0} | a |< 1 pour n ≥ 1.
n
Comme la série (an ) converge, il en est de même de la série (un ).
1
avec α ∈ R α ≤ 1, pour n ≥ 1.
nα
1
1
1
On a ∀n ∈ N∗ α ≥ . Comme la série
diverge, il en est de même de la série
n
n
n
1 .
nα
2) Soit un =
Corollaire 8. Soient (un ) et (vn ) des séries à termes positifs ou nuls. On
suppose qu’il existe un N0 tel que n ≥ N0 ⇒ vn = 0.
un
1) si lim
= 0 alors la convergence de la série (vn ) entraı̂ne celle de la série
n→∞ vn
(un ).
un
2) si lim
= +∞ alors la convergence de la série (un ) entraı̂ne celle de la
n→∞ vn
série (vn ).
un
3) si lim
= ∈ R \ {0}, alors les séries (vn ) et (vn ) sont de même nature.
n→∞ vn
Démonstration.
1) Prenons ε = 1 ∃N
tel que n ≥ N ⇒|
on utilise alors le corollaire précédent.
2) Prenons A = 1 ∃N tel que n ≥ N ⇒|
on utilise alors le corollaire précédent.
un
|≤ 1 c’est-à-dire un ≤ vn
vn
un
|≥ 1 c’est-à-dire un ≥ vn
vn
3) On a > 0. Soit ε ∈ R, ε > 0 tel qu’on ait − ε > 0
∃N tel que n ≥ N ⇒|
un
un
− |≤ ε c’est-à-dire ( − ε) ≤
≤ ( + ε)
vn
vn
30
ou encore :
un ≤ ( + ε)vn
1 vn ≤
un .
−ε
Si la série (vn ) converge, il en est de même de la série ( + ε)vn donc de (un ) ;
1 et si la série (un ) converge, il en est de même de
un donc de la série (vn ).
−ε
Corollaire 9. On suppose (un ) et (vn ) des séries à termes réels positifs ou
nuls et on suppose un ∼ vn quand n → ∞. Alors les séries (un ) et (vn ) sont
de même nature.
Démonstration.
On a un = vn .wn avec
lim wn = 1
n→∞
1
3
≤ wn ≤
2
2
3
1
⇒ vn ≤ un ≤ vn .
2
2
∃N tel que n ≥ N ⇒
Exemples et remarque.
1
2n + 1
2n
1
.
On
a
u
converge. Donc la
∼
=
et
la
série
géométrique
n
4n + 1
4n
2n
2n
série (un ) converge.
1) un =
P (n)
Q(n)
2) Pour étudier des convergences de séries du type
où P et Q sont des polynômes,
1 il est donc particulièrement utile de connaı̂tre la convergence de la série
, α ∈ R.
nα
Pour cela on a besoin de la proposition suivante :
Proposition 10 : Comparaison avec une intégrale.
Soit (un ) une série réelle à termes positifs ou nuls. On suppose que pour n ≥ N0 on a
un = f (n) où f est une fonction définie pour n ≥ N0 continue positive décroissante.
n
N0
n+1
Alors la série (un ) est convergente si et seulement si la suite (Tn ) (croissante)
n
Tn =
f (t)dt
est majorée (c’est-à-dire converge).
N0
31
Démontration.
k+1
Soit k ≥ N0 on a uk+1 ≤
f (t)dt ≤ uk .
k
n ≥ N0
Soit
n
n+1
uk+1 ≤
k=N0
on a
f (t)dt ≤
N0
n
uk+1 ≤
k=N0
n
n k=N0
k+1
k
f (t)dt ≤
n
uk
c’est-à-dire
k=N0
uk . On utilise alors la proposition 6.
k=N0
Théorème 11 : la série (de référence) de Riemann.
1 La série
est convergente si α > 1
nα
divergente si α ≤ 1.
Démonstration.
1
= +∞ la série diverge.
nα
1
1
1
. Pour 0 ≤ α ≤ 1 on a déjà vu qu’on a
< α donc comme la série
diverge,
n
n
n
1 la série
diverge.
nα
1
. Supposons α > 1. On pose f (x) = α pour x ≥ 1 on a :
x
n
t−α+1 n
1
1
(1 − n1−α )
dt
=
=
α
−α + 1 1
α−1
1 t
n
1
1
lim
.
dt =
n→∞ 1 tα
α−1
1 Donc la série
est convergente.
nα
. Pour α < 0
lim
n→∞
On va maintenant utiliser les séries qu’on connaı̂t : séries géométriques et de Riemann
comme séries de références et utiliser les critères de comparaison qu’on vient de voir.
2) Règles usuelles de comparaison avec les séries de référence.
A) Règle de d’Alembert
Théorème 12. Soit (un ) une série à termes réels, un > 0 à partir d’un certain rang.
un+1
a) S’il existe k ∈ R, k < 1 tel que pour n assez grand on ait
≤ k alors la série
un
(un ) converge.
un+1
b) Si à partir d’un certain rang on a
≥ 1 alors la série (un ) diverge.
un
Corollaire 13 : règle de d’Alembert.
Soit (un ) une série à termes réels, un > 0 à partir d’un certain rang.
un+1
existe dans R ∪ {∞}. Alors
On suppose = lim
n→∞ un
1) Si < 1 la série (un ) converge.
2) Si > 1 la série (un ) diverge.
32
Remarque. Le cas = 1 est donc un cas à étudier autrement.
Exemple et exercice. Comparer les suites (définies pour n ≥ 1)
 p
n
(p entier p < 0)



(a ∈ R a > 1)
 an
n!

n


n
(2n)!
Par exemple comparons np et an . On pose un =
np
. On a :
an
un+1
(n + 1) 1
=
×
un
np
a
un+1
1 p 1
= 1+
× .
un
n
a
un+1
1
= < 1. On en déduit que la série (un ) converge, donc la suite (un )
un
a
tend vers 0 et donc np = o(an ) (an est “beaucoup plus grand” que np . On compare de
même an et n!, n! et nn , nn et (2n)!
On a
lim
n→∞
Démonstration du théorème 12.
1) Supposons que pour n ≥ N0 on ait
un+1
≤ k < 1 on obtient :
un
un+1
un
uN0 +1
×
× ... ×
≤ k n−N0 +1
un
un−1
uN0
c’est-à-dire : un+1 ≤ uN0 .k n−N0 +1 = k n+1 . k −N0 .uN0 = vn+1 (on a bien k = 0).
Comme la série (vn ) converge il en est de même de la série (un ).
2) Supposons que pour n ≥ N0 on ait
un+1 ≥ uN0 > 0. On n’a donc pas
un+1
≥ 1 on obtient de même pour n ≥ N0
un
lim un = 0. Donc la série (un ) ne converge pas.
n→∞
Démonstration du Corollaire 13.
1) Si < 1, il existe k ∈ R tel que < k < 1 alors pour n assez grand on a
et on applique le théorème 12.
2) Si > 1 alors pour n assez grand on a
un+1
<k
un
un+1
> 1 et on applique le théorème 12.
un
B) Règle de Cauchy
(à ne pas confondre avec le critère de Cauchy pour la convergence des suites ou des séries).
Théorème 14. Soit (un ) une série à termes réels positifs ou nuls.
1) S’il existe k ∈ R k < 1 tel que pour n assez grand on ait
√
n u
n ≤ k, alors la série (un ) est convergente.
2) Si à partir d’un certain rang on a :
√
n u
n ≥ 1, alors la série (un ) est divergente.
33
Corollaire 15 : Règle de Cauchy
Soit (un ) une série à termes réels, un ≥ 0 à partir d’un certain rang. On suppose
√
lim n un = , existe dans R ∪ {∞}. Alors
n→∞
1) Si < 1 la série converge.
2) Si > 1 la série diverge.
Remarque. Le cas où on a = 1 est donc à étudier autrement.
Exemple. un =
√
lim n un = 4x.
2n − 1 2n
n+1
xn , avec x ∈ R x > 0. On a
√
n
un =
2n − 1 2
n+1
.x
n→∞
1
la série (un ) converge.
4
1
x>
la série (un ) diverge.
4
1
x=
on ne peut pas conclure par la règle de Cauchy mais on a :
4
Si x <
log(un ) = 2n log
= 2n log
2n − 1 n+1
n − 1 1
+ n log
4
2
n+1
3
1 = 2n log 1 −
2 (n + 1)
d’où
lim log un = −3 et
n→∞
lim un = e−3
n→∞
la série (un ) est divergente car la suite (un ) ne tend pas vers 0.
Démonstration du théorème 14.
1) Supposons que pour n assez grand on ait
√
n
un ≤ k.
On a alors un ≤ k n et comme on a k < 1 la série (k n ) est convergente. Donc la suite
(un ) converge.
√
2) Supposons qu’à partir d’un certain rang on ait n un ≥ 1. Alors on a un ≥ 1 et le
terme général de la série ne tend pas vers 0, donc la série diverge.
C) Règle de Riemann
Théorème 16. Soit (un ) une série réelle à termes positifs ou nuls.
1) S’il existe k ∈ R et α ∈ R, α > 1 tel que pour n assez grand nα un ≤ k, alors la
série (un ) converge.
2) S’il existe k ∈ R, k > 0 tel que pour n assez grand nun ≥ k alors la série diverge.
34
Corollaire 17. Soit (un ) une série à termes réels positifs ou nuls.
1) Si
2) Si
3) Si
lim nα un = ∈ R \ {0} alors
si α > 1 la série converge.
si α ≤ 1 la série diverge.
n→∞
lim nα un = 0 avec α > 1 la série converge.
n→∞
lim nα un = +∞ avec α ≤ 1 la série diverge.
n→∞
Exemple : Les séries de Bertrand.
1
, n ≥ 2. On sait que “le nα doit
nα (log n)β
l’emporter sur (log n)β ”. C’est ce qu’on va exploiter.
Soient α et β des réels et soit un =
1er cas Si α > 1 on choisit α ∈ R α > α > 1.
1
On a lim nα un = lim nα −α
= 0.
n→∞
n→∞
(log n)β
Donc la série (un ) converge.
2è cas Si α < 1 on choisit α ∈ R α < α < 1.
1
On a lim nα un = lim nα −α
= +∞ donc la série diverge.
n→∞
n→∞
(log n)β
3è cas α = 1. On va alors terminer l’étude par une comparaison avec la suite
n
1
dx
x(log x)β
Tn =
N0
(N0 fixé assez grand).
1
. On vérifie que si N0 est assez grand alors la fonction f est
x(log x)β
continue positive décroissante dans [N0 , +∞[.
On pose f (x) =
1 - Si β = 1
Tn =
(log x)−β+1 n
−β + 1
N0
• si β > 1 alors la suite (Tn ) converge donc aussi la série (un )
• si β < 1 alors la suite (Tn ) diverge donc aussi la série (un ).
2 - Si β = 1
(un ).
Résumé. un =
1
nα (log n)β
n
Tn = log(log x) N
0
la suite Tn diverge donc aussi la série
α ∈ R β ∈ R.
La série (un ) est convergente pour α > 1
divergente pour α ≤ 1
convergente pour α = 1 β > 1
divergente pour α = 1 β ≤ 1.
35
D) Compléments sur les règles de Cauchy et de d’Alembert
1) Comparaison des règles de Cauchy et de d’Alembert.
un+1
On peut démontrer que si (un ) est à termes positifs et si
tend vers une limite
un
√
> 0 alors n un tend aussi vers cette limite.
Il parait en général plus simple de commencer par essayer la règle de d’Alembert, mais si
un+1
on n’a pas trouvé de limite à
rien n’est perdu, il reste l’espoir d’une limite pour
un
√
n u . (On peut aussi essayer la règle de Riemann. . .).
n
2) Cas “douteux” des règles de Cauchy et de d’Alembert.
Si par l’une des deux règles on trouve une limite égale à 1 rien ne permet de conclure de
un+1
façon générale. On peut alors essayer de montrer
≥ 1 pour n assez grand ou
un
√
n u
n ≥ 1 pour n assez grand pour démontrer la divergence.
un+1
= 1, raffiner ce résultat et utiliser
On peut aussi dans le cas où on a trouvé lim
n→∞ un
la règle de Raabe Duhamel suivante :
3) Règle de Raabe Duhamel.
Proposition 18. Soit (un ) une série réelle, un > 0 à partir d’un certain rang N0 .
un+1
λ(n)
On pose alors
=1−
pour n > N0 .
un
n
On suppose lim λ(n) = µ.
n→∞
Alors
1) Si µ > 1 la série (un ) converge.
2) Si µ < 1 la série (un ) diverge.
1
un+1
µ
=1− +o
.
un
n
n
Soit α ∈ R α quelconque, α = 0.
Soit vn = un .nα . Pour n ≥ 1 on a :
Démonstration. On a
vn+1
un+1 1 α
=
. 1+
vn
un
n
1 1 α
µ
1+ +o
= 1− +o
n
n
n
n
1 α−µ
= 1+
+o
.
n
n
1) Si µ > 1 on choisit α ∈ R tel que
µ>α>1
vn+1
< 1 d’où vn+1 < vn . La suite vn est donc
vn
majorée. On applique alors le théorème de Riemann pour montrer la convergence de la
série (un ).
pour n assez grand on a alors
2) Si µ < 1 on choisit α ∈ R tel que
µ<α<1
vn+1
> 1 d’où vn+1 > vn . La suite vn est donc minorée (par
vn
un nombre positif). On applique le théorème de Riemann pour montrer la divergence de
la série (un ).
pour n assez grand on a
36
Exemple. Soit a ∈
/ N et soit
un =
(−1)n a(a − 1) . . . (a − n + 1)
pour n ≥ 1.
n!
un+1
(−1)(a − n)
n−a
=
=
. On en déduit que pour n > a un+1 et un sont
un
n+1
n+1
de même signe, donc les critères pour les séries positives (ou négatives) s’appliquent, (un )
converge en même temps que (| un |)
On a
| un+1 |
n−a
(a + 1)
=
=1−
pour n assez grand.
| un |
n+1
n+1
On a
lim
n→∞
| un+1 |
= 1. Le critère de Raabe Duhamel s’applique :
| un |
Si a + 1 > 1 c’est-à-dire a > 0 alors la série converge.
Si a + 1 < 1 c’est-à-dire a < 0 alors la série diverge.
III - Séries à termes quelconques
1) Séries absolument convergentes.
Rappel. Soit (un ) une série à termes complexes, on a (corollaire 4) que si la série (un )
est absolument convergente (c’est-à-dire si la série (| un |) converge) alors la série (un )
converge.
La première chose à faire quand on étudie une série à termes quelconques est donc d’essayer
d’appliquer les critères de convergence des séries à termes positifs à la série (| un |).
Attention.
1) Si la série (| un |) converge alors la série (un ) converge mais la série (| un |) diverge
on ne peut rien conclure pour la série (un ).
1 (−1)n pour
α
>
1
est
convergente,
donc
la
série
converge.
nα
nα
1
(−1)n La série
diverge, mais on a vu que la série
convergeait.
n
n
Exemples. La série
2) Les critères de convergence par équivalence des séries à termes réels positifs ne se
généralisent pas aux séries à termes quelconques.
(−1)n (−1)n
1
(−1),
√
√
+
∼ √ . On verra dans la suite que la série
n
n
n
n
(−1)n 1 √ +
converge (par le critère de convergence des séries alternées) mais
ne converge
n
n
1
pas, car sinon la série
convergerait aussi.
n
Exemple.
On a
Cependant si on a étudié la convergence de la série (| un |) en utilisant une des règles de
| un+1 |
Cauchy ou de d’Alembert et trouvé pour
| un | une limite telle que
ou de
| un |
> 1 on peut conclure à la divergence de la série (un ) car son terme général ne tend pas
vers 0. Enonçons :
37
Corollaire 13 bis : règle de d’Alembert.
Soit (un ) une série à termes complexes. On suppose un = 0 à partir d’un
certain rang et on suppose
= lim
n→∞
| un+1 |
existe dans R ∪ {∞}.
| un |
Alors
1) Si < 1 la série (un ) converge.
2) Si > 1 la série (un ) diverge.
Corollaire 15 bis : Règle de Cauchy
Soit (un ) une série à termes complexes. On suppose
Alors
lim
n
n→∞
| un | existe dans R ∪ {∞}.
1) Si < 1 la série (un ) converge.
2) Si > 1 la série (un ) diverge.
Définition. Séries produits
Soient (un ) et (vn ) des séries à termes complexes pour tout n ⊂ N on pose
wn =
n
uk vn−k = u0 vn + u1 vn−1 + . . . + un v0 .
k=0
Alors la série (wn ) s’appelle la série produit des deux séries (un ) et (vn ).
On peut représenter le terme wn de la façon suivante :
v0
v1
...
vn
...
u0 vn
u0
u0 v0
u0 v1
u1
u1 v0
u1 v1
un
un v0
...
u1 vn
...
un vn
wn est obtenu en faisant la somme des termes de la diagonale non principale du carré
représenté.
Théorème 19. Soient (un ) et (vn ) des séries absolument convergentes de série produit
(wn ). Alors la série (wn ) converge absolument et on a :
∞
n=0
∞
∞
wn =
un .
vn .
n=0
38
n=0
Démonstration.
1) Commençons par le cas où les séries (un ) et (vn ) sont à termes réels positifs ou nuls,
et donc également (wn )
a) Soit n ≥ 2. Si on considère le diagramme précédent, où tous les termes sont
n
positifs, l’élément
wk correspond à la somme de tous les éléments situés
k=0
au-dessus de la diagonale correspondant à wn
n
wk ≤
k=0
n
n
uk .
vk )
k=0
≤
∞
k=0
uk
∞
k=0
vk < ∞.
k=0
Donc la série (wn ) converge.
b) Toujours en considérant le diagramme, mais en le prolongeant à l’ordre 2n on
obtient :
v
vn
2n
un
unvn
n
uk
n
k=0
2n
2n
2n
vk ≤
wk ≤
uk
vk .
k=0
k=0
k=0
k=0
u2n
On obtient donc
∞
wk =
k=0
∞
uk .
k=0
lim
n→∞
∞
2n
wk =
k=0
∞
uk
∞
k=0
vk
et, comme (wn ) converge
k=0
vk
k=0
2) On passe maintenant au cas quelconque.
Notons (Rn ) la série produit des 2 séries (| un |) et (| vn |). Cette série est convergente.
a) Soit n ≥ 2 on a :
| wn |=|
n
uk vn−k |≤
k=0
n
| uk || vn−k |= Rn .
k=0
La série (wn ) est donc absolument convergente.
b) D’autre part
vn
un
n
k=0
uk
n
k=0
unvn
n
vk −
wk correspond à la somme des termes strictement auk=0
dessous de la diagonale correspondant à wn .
On a donc :
n
n
n
n
n
n
|
uk
vk −
wk |≤
| uk |
| vk | −
Rk .
k=0
k=0
k=0
39
k=0
k=0
k=0
Comme on a
lim
n
n→∞
n
∞
| uk | .
| vk | =
Rk , on en déduit
k=0
k=0
lim
n
n→∞
k=0
n
∞
uk .
vk =
wk .
k=0
k=0
k=0
D’où le résultat cherché.
Remarque. On verra plus loin que par application des formules de Mac Laurin, on a :
∀x ∈ R
x2
+ ...
2!
x4
+
+ ...
4!
5
x
+
...
5!
ex = 1 + x +
x2
2!
x3
sin x = x −
3!
cos x = 1 −
D’autre part pour z = x + iy avec (x, y) ∈ R2 on définit élémentairement exp(z) en
posant
exp(z) = exp(x) · cos y + i sin y .
On obtient comme corollaire du théorème précédent.
Corollaire :
1) ∀z ∈ C
∞
zn
n!
n=0
(avec comme convention z 0 = 1).
2) ∀z1 ∈ C, ∀z ∈ C exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) · (exp z2 ).
exp(z) =
Démonstration.
1) Soit z ∈ C \ {0}. Pour n ∈ N, on a :
n+1
z
|z|
n! ·
(n + 1)! z n = n + 1 .
zn |z|
= 0, la série
est absolument convergente.
n→∞ n + 1
n!
Notons provisoirement, pour tout z ∈ C,
Comme on a
lim
Exp(z) =
∞
zn
.
n!
n=0
2) Soient z1 et z2 dans C. Considérons la série produit des séries
On a :
n
n
z1k z2n−k
1 k k n−k
Cn (z1 z2 )
=
k! (n − k)!
n!
k=0
k=0
1
= (z1 + z2 )n
n!
D’où Exp(z1 + z2 ) = Exp(z1 ) · Exp(z2 ).
3) On a donc pour z = x + iy avec (x, y) ∈ R2 .
Exp(z) = Exp(x) · Exp(iy)
avec
Exp(iy) = 1 + iy −
40
y2
iy 3
−
...
2!
3!
zn 1
n!
et
zn 2
n!
.
D’après les formules de Mac Laurin on a :
Exp(x) = exp(x)
cos y = 1 −
y2
...
2!
sin y = y −
y3
...
3!
Si on fait une sommation par paquets de 4 termes de la série donnant Exp(iy) et des
sommations par paquets de 2 des séries donnant cos y et sin y on obtient :
Exp(iy) = cos y + i sin y
D’où le résultat.
2) Séries non absolument convergente.
On va démontrer un théorème (d’Abel) dans sa forme la plus générale. Dans la pratique
il faudra surtout retenir ses corollaires.
Théorème 20 : Théorème d’Abel.
Soient (un ) et (vn ) des suites à termes complexes. On suppose :
1) ∃A ∈ R tel que ∀p, q dans N avec p ≤ q on a | vp + . . . + vq |≤ A.
2) lim un = 0.
n→∞
3) La série (| un − un+1 |) est convergente.
Alors la série (un vn )n est convergente.
Démonstration. On va utiliser le critère de Cauchy pour les séries. On suppose A > 0.
Soit p ∈ N fixé. On pose :
V p
p




p
Vp+1



 p
Vq
= vp
= vp + vp+1
= vp + . . . + vq pour q ≥ p
on a pour p < q
p
p
up vp + . . . + uq vq = up Vpp + up+1 (Vp+1
− Vpp ) + . . . + uq (Vqp − Vq−1
)
p
= Vpp (up − up+1 ) + . . . + Vq−1
(uq−1 − uq ) + uq Vqp .
On a ∀m ≥ p | Vmp |≤ A et on en déduit :
∀p ∈ N
∀q ∈ N
p < q,
q−1
| up vp + . . . + uq vq |≤ A. | uq | +
| uk − uk+1 |
k=p
pour p = q on a la majoration | up vp |≤ A. | uq | .
Soit ε ∈ R ε > 0. Comme la série (| uk − uk+1 |) est convergente il existe N0 (ε) tel que :
∀p, q, q ≥ p ≥ N0 (ε) ⇒
q
| uk − uk+1 |<
k=p
et comme on a
lim un = 0, il existe M0 (ε) tel que :
n→∞
∀p, p ≥ M0 (ε) ⇒| up |<
41
ε
.
2A
ε
2A
Au total pour q ≥ p ≥ max N0 (ε), M0 (ε) on a | up vp + . . . + uq vq |< ε. La série (un vn )
converge donc d’après le critère de Cauchy pour les séries.
Corollaire 21. Soient (un ) une suite réelle dont le terme tend en décroissant vers 0 et
(vn ) une suite complexe telle que {| vp + . . . + vq | /p ≤ q} soit majoré. Alors la série
(un vn ) converge.
Démonstration. On a ∀n ∈ N un − un+1 ≥ 0 et
n
| uk − uk+1 |=
k=0
u0 − un+1 . Donc on peut appliquer le théorème précédent.
n
(uk − uk+1 ) =
k=0
Définition. Soit (wn )n une série réelle. On suppose qu’on a ∀n ∈ N wn = (−1)n | wn |
alors on dit que wn est une série alternée.
Corollaire 22. Critère pour les séries alternées.
Soit pour tout n ∈ N wn = (−1)n un où (un ) est une suite réelle dont le terme tend en
décroissant vers 0. Alors la série converge.
Démonstration. On applique le corollaire précédent avec vn = (−1)n .
Remarque. Soit wn = (−1)n un où un ≥ 0 un tend en décroissant vers 0, soit
N
∞
SN =
wn , S =
wn alors on a ∀n ∈ N S2n+1 ≤ S ≤ S2n c’est-à-dire que si on
n=0
n=0
arrête le calcul de la somme partielle sur un terme positif on a une valeur approchée de la
somme par excès et si on s’arrête sur un terme négatif on a une valeur approchée par défaut.
∞
En effet S − S2n =
wk
k=2n+1
= −u2n+1 + u2n+2 + . . .
Cette dernière somme peut se calculer en regroupant les termes 2 par 2.
Or − u2n+1 + u2n+2 ≤ 0
− u2n+3 + u2n+4 ≤ 0
etc.
De même S − S2n+1 = u2n+2 − u2n+3 + . . . avec u2n+2 − u2n+3 ≥ 0 u2n+4 − u2n+5 ≥ 0 etc.
Exemples classiques.
(−1)n
pour n ≥ 1.
n
La série est alternée et | un | tend en décroissant vers 0. Donc on retrouve que la série
est convergente.
1) Soit un =
2) Soit un = an cos nθ et vn = bn sin nθ où (an ) et (bn ) sont des suites réelles positives
tendant en décroissant vers 0, et θ ∈ R \ 2πZ. On a alors pour p ≤ q
q
q
cos kθ |≤|
eikθ |
|
k=p
q
|
k=p
sin kθ |≤|
k=p
q
eikθ |
k=p
42
D’autre part :
|
q
eikθ | =| eipθ (1 + eiθ + . . . + ei(q−p)θ ) |
k=p
=|
1 − ei(q−p+1)θ
2
|≤
.
1 − eiθ
| 1 − eiθ |
On obtient une majoration indépendante de p et q. D’après le corollaire 21 les séries
(un ) et (vn ) convergent.
3) Quelques exemples de calculs de sommes de séries.
Si une série réelle converge on peut toujours essayer de trouver une approximation de la
somme à l’aide des sommes partielles.
La somme exacte de la série géométrique est facile à calculer :
∞
qk =
k=0
1
pour | q |< 1.
1−q
Les sommes exactes des séries de Riemann sont encore souvent mystérieuses
∞
1
π2
(sauf
=
).
n2
6
k=1
On va voir quelques cas où on peut calculer assez facilement la somme exacte de certaines
séries (un ).
A) Cas où il existe une fonction f
des entiers a1 , . . . , ar r ≥ 1
des réels ou complexes A1 , . . . , Ar
tels que A1 + . . . + Ar = 0
et ∀n un = A1 f (n − a1 ) + . . . + Ar f (n − ar )
et lim f (n) = 0.
n→∞
Dans ce cas le calcul effectif de la somme partielle Sn va permettre d’obtenir la somme S
de la série.
Exemple.
∀n ≥ 2 un = √
2
1
1
−√ +√
.
n−1
n
n+1
On remarque que 1 − 2 + 1 = 0.
1
On pose f (n) = √ . On a :
n
u2 = f (1) − 2f (2) + f (3)
u3 = f (2) − 2f (3) + f (4)
u4 = f (3) − 2f (4) + f (5)
..
.
un−1 = f (n − 2) − 2f (n − 1) + f (n)
un = f (n − 1) − 2f (n) + f (n + 1).
On a :
n
uk = − f (n) + f (n + 1) +f (1) − f (2).
k=2
D’où
∞
k=2
1
uk = 1 − √ .
2
43
B) Cas où on a a1 , . . . , ar éléments deux à deux distincts de Z, r ≥ 2.
P polynôme de degré m, m ≤ r − 2 (P =
0)
à coefficients dans R.
P (n)
tels que ∀n ∈ N n > max(a1 , . . . , ar ) on ait un =
.
(n − a1 ) . . . (n − ar )
Dans ce cas un est de signe constant à partir d’un certain rang, et on a un ∼ bm nm−r où
bm X m est le terme de plus haut degré de P. La série converge donc. Si alors on décompose
P (X)
en éléments simples on obtient :
(X − a1 ) . . . (X − ar )
P (X)
Ar
A1
+ ... +
avec ∀i Ai ∈ R.
=
(X − a1 ) . . . (X − ar )
X − a1
X − ar
n.P (n)
= 0 à cause du degré de
(n − a1 ) . . . (n − ar )
A1 + A2 + . . . + Ar = 0. On est donc dans le cas A).
Comme on a
lim
n→∞
P,
on obtient
Exemple. Calculer la somme de la série :
1
2
3
+
+
= ...
2.3.4 3.4.5 4.5.6
On a donc un =
n
pour n ≥ 1
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
P (X) = X
do P = 1 ≤ 3 − 2.
On vérifie immédiatement :
un = −
D’où :
1 3 1 1 1 +2
−
.
2 n+1
n+2
2 n+3
1
3 1
1 1
+2
−
2
k+1
k+2 2
n+3
n
Sn = −
n
k=1
=−
Sn =
n+1
k=4
1
2
n+1
k=2
n
k=1
1
+2
k
n+2
k=3
k=1
1 3
−
k 2
n+3
k=4
1
et si on suppose n ≥ 3 on a :
k
1
1 1
3 11 1
1 3 1
1 − +2−
−
+
+2
+
−
+
.
k
2
2
2 2 3
3 n+2
2 n+2 n+3
D’où :
S=−
11 1 2
1
+
+ = .
2 2 3
3
4
C) Utilisation de la formule de Mac Laurin.
Rappel : Formule de Taylor-Lagrange. Soit f une fonction définie sur un segment
réel d’extrémités a et b (a = b). On suppose que f est n fois continûment dérivable
sur [a, b] (ou [b, a]) et que f (n+1) existe sur ]a, b[ (ou ]a, b[). Alors il existe c ∈]a, b[
n
(b − a)k (k)
(b − a)n+1 n+1
tel que f (b) =
f (a) +
f
(c).
k!
(n + 1)!
k=0
Cette formule prend le nom de formule de Mac-Laurin dans le cas où on prend a = 0.
On obtient :
n
bk (k)
bn+1 n+1
f (b) =
f (0) +
f
(c).
k!
(n + 1)!
k=0
Si on peut démontrer que le terme
obtient : f (b) =
∞ k
b
k=0
k!
bk+1 (k+1)
f
(c) tend vers 0 quand n → ∞ alors on
(n + 1)!
f (k) (0). Ce procédé sera repris lors de l’étude des séries entières.
44
On peut obtenir ainsi par application de la formule de Mac-Laurin les sommes suivantes que
l’on pourra retenir.
∀x ∈ R
ex = 1 + x +
xn
x2
+ ... +
+ ...
2!
n!
en particulier
1
1
+ ... +
+ ...
2!
n!
x2
x4
cos x = 1 −
+
+ ...
2!
4!
x3
sin x = x −
+ ...
3!
x2
x3
log(1 + x) = x −
+
− ...
2
3
e1 = 1 + 1 +
∀x ∈ R
∀x ∈ R
∀x ∈ R
| x |< 1
log(2) = 1 −
1 1
+ − ...
2 3
D) Sommations par paquets.
Il ne faut pas non plus oublier ce procédé qu’on a vu au I (Prop. 3).
A titre d’exercice, montrer la convergence et calculer la somme de la série donnée en exemple :
1 1 1 1 1 1 1
−1, , , − , , , − , , etc . . .
2 4 3 6 8 5 10
45