Chapitre 3.3 – L`énergie potentielle gravitationnelle

Chapitre 3.3 – L’énergie potentielle gravitationnelle
Le travail fait par une force gravitationnelle constante
Le travail Wg effectué par une force gravitationnelle constante dépend du déplacement
vertical d’un objet. On peut exprimer le déplacement à partir d’une une hauteur initiale y i
et d’une hauteur final y f :
Wg = mgyi − mgy f
où
Wg : Travail effectué par la force gravitationnelle (J).
m : Masse de l’objet qui subit le travail de la gravité (kg).
g : Champ gravitationnelle (N/kg).
y i : Hauteur initiale de l’objet (m).
y f : Hauteur finale de l’objet (m).
Preuve :
Considérons un bloc qui effectue un déplacement s le
long d’un plan incliné sous la présence d’une force
gravitationnelle mg constante. Évaluons l’expression
du travail Wg effectué par la gravité sur le bloc en
considérant que le travail calculé sera positif, car le
déplacement sera vers le bas du plan incliné du plan et
que la force gravitationnelle est orienté vers le bas
(travail positif lorsque le déplacement et la force sont
dans le même sens) :
W g = F s cos(θ )
⇒
Wg = F H
⇒
Wg = F (yi − y f
⇒
W g = mg ( y i − y f
⇒
W g = mgy i − mgy f
y
yi
θ
s
H
θ
yf
mg
(Remplacer H = s cos(θ ) )
)
(Remplacer H = y i − y f , car Wg > 0 )
)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Remplacer F = mg )
■
(Distribution de mg)
Page 1
Théorème de l’énergie cinétique avec énergie potentielle
gravitationnelle
À partir du travail de la force gravitationnelle Wg ,
nous pouvons modifier le théorème de l’énergie
cinétique en y incluant un terme d’énergie potentielle
U g associé à la hauteur d’un objet par rapport à un
point de référence y = 0. Ce nouveau terme correspond
à une énergie emmagasinée dans « la gravité ». Elle
est libérée lorsque que l’objet réduit sa hauteur :
K f + U g f = K i + U g i + Wautre
où
K i et K f
U g = mgy
y
m
K=
1 2
mv
2
tel que
y (m )
v
v
v
g
0
U g = mgy
: Énergie cinétique initiale et finale de l’objet (J).
U g i et U g f : Énergie potentielle gravitationnelle initiale et finale (J).
m
g
: Masse de l’objet qui subit le travail de la gravité (kg).
: Champ gravitationnelle (N/kg).
y
: Position verticale de l’objet selon l’axe y où l’axe est positif vers le haut (m).
: Travail total effectué sur l’objet par les autres forces (J).
Wautre
Remarque :
1) L’expression U g = mgy est valide seulement si l’axe y est dans le sens contraire de la
force gravitationnelle. Ex : Axe y vers le haut, champ gravitationnel vers le bas.
2) L’énergie potentielle gravitationnelle dépend du système d’axe (où est situé y = 0 ).
3) La physique de la gravité se manifeste uniquement lorsqu’il y a une variation de
l’énergie potentielle gravitationnelle.
Preuve :
À partir du théorème de l’énergie cinétique, séparons le travail effectué par la gravité et le
travail effectué par les autres forces afin d’y inclure un terme d’énergie potentielle
gravitationnelle :
K f = K i + Wtot
⇒
K f = K i + Wg + Wautre
(Séparer les travaux)
⇒
K f = K i + (mgy i − mgy f ) + Wautre
(Remplacer Wg = mgy i − mgy f )
⇒
K f + mgy f = K i + mgy i + Wautre
(Isoler termes finaux et initiaux ensemble)
⇒
K f + U g f = K i + U g i + Wautre ■
(Remplacer U g = mgy )
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
Le travail de la force gravitationnelle conservative
La force gravitationnelle est une force conservative, car elle établit le lien suivant entre le
travail Wg qu’elle effectue et la variation d’une énergie potentielle ∆U g :
Wg = −∆U g
Wg : Travail effectué par la force gravitationnelle (J).
où
∆U g : Variation de l’énergie potentielle gravitationnelle (J).
( ∆U g = U g f − U g i )
Preuve :
À partir du calcul du travail Wr du ressort et de la définition de l’énergie potentielle du
ressort, établissons un lien entre le travail et la variation de l’énergie potentielle :
Wg = mgy i − mgy f
⇒
Wg = U g i − U g f
(Remplacer U g = mgy )
⇒
Wg = −(U g f − U g i )
(Factoriser signe négatif)
⇒
Wg = − ∆U g
Situation 4 : Un angle sans importance.
Un lance-balles dont l’embouchure est
située à 10 m au-dessus du sol projette
une balle avec une vitesse de 12 m/s
orientée à 30° vers le haut par rapport à
l’horizontale. On désire déterminer le
module de la vitesse de la balle
lorsqu’elle frappe le sol. On néglige la
résistance de l’air.
■
12 m /s
30 °
10 m
Selon le système d’axe que nous avons choisi ( y = 0 au sol), évaluons nos données de
base :
Nos données de base :
o
yi = 10 m
o
vi = 12 m/s
o
yf = 0
o
vf = ?
Système d’axe :
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
12 m /s
30 °
10 m
y (m )
10
0
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Énergie cinétique K et énergie potentielle U :
1
1
2
2
mvi = m(12 ) ⇒
2
2
= mgyi = m(9,8)(10 ) ⇒
•
Ki =
K i = 72m
•
U gi
U gi = 98m
•
Kf =
•
U gf = mgy f = m(9,8)(0 ) ⇒
1
2
mv f
2
⇒
Kf =
1
2
mv f
2
U gf = 0 J
Avec la conservation de l’énergie :
( Wautre = 0 J )
K f + U gf = K i + U gi + Wautre ⇒
K f = K i + U gi − U gf
(Isoler K f )
⇒
1
2
mv f = 72m + 98m − (0 )
2
(Remplacer les expressions)
⇒
1 2
v f = 72 + 98 − (0 )
2
(Diviser par m)
⇒
v f = 340
(Isoler v f )
⇒
v f = ± 18,4 m/s
(Évaluer la vitesse)
2
2
Nous allons prendre la vitesse positive, car nous voulons évaluer le module de la vitesse :
v f = 18,4 m/s
Remarque : Cette vitesse n’est pas décomposée en x ni en y. C’est le module de la
vitesse qui a été évalué.
La géométrie du pendule
Le pendule est un problème de physique ayant une
géométrie particulière, car la masse du pendule
effectue une trajectoire circulaire avec une
accélération non constante. Puisque la gravité est
responsable du changement du module de la vitesse,
on peut évaluer la hauteur du pendule
y
v
T
L
v
g
r'
θ
v
ar '
y = L(1 − cosθ )
tel que x = y = 0 lorsque θ = 0 (le point le plus bas
du pendule) pour évaluer l’énergie potentielle
gravitationnelle U g = mgy dans le théorème de
l’énergie cinétique.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
x
0
v
ax θ
v
mg
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Preuve :
Évaluer l’expression de la hauteur y d’un
pendule en considérant y = 0 comme étant
le point le plus bas correspondant à θ = 0 :
y = L − L cos(θ )
⇒
y = L(1 − cos(θ ))
■
Situation 5 (Chapitre 3.4) : Un pendule. Une balle dont la
masse est de 0,2 kg est accrochée au bout d’une corde dont
la longueur L est de 40 cm. On accroche la corde au plafond
et on lâche la balle (vitesse initiale nulle) alors que la corde
tendue fait un angle θ = 70o avec la verticale (schéma cicontre). On désire déterminer les modules (a) de la vitesse
de la balle lorsque la corde passe à la verticale et (b) de la
tension à cet instant.
Évaluons la hauteur initiale de la balle par rapport à son
point le plus bas étant lorsque la corde sera à la verticale
afin d’utiliser la relation y = L(1 − cos(θ )) :
yi = L(1 − cos(θ i ))
⇒
yi = (0,40)(1 − cos(70°))
⇒
yi = 0,2632 m
Évaluons le module de la vitesse finale de la balle à l’aide du théorème de l’énergie
cinétique :
⇒
K f + U g f = Ki + U g i + (0)
(Théorème de l’énergie cinétique)
v v
( Wa = WT = 0 , car T ⊥ s )
⇒
1
1
2
2
 mv f  + (mgy f ) =  mvi  + (mgyi )
2

2

1
( K = mv2 , U g = mgy )
2
⇒
1 2
v f = gyi
2
(Simplifier m, vi = 0 , y f = 0 )
⇒
1 2
v f = (9,8)(0,2632)
2
(Remplacer valeurs numériques)
⇒
v f = 2,271 m/s
(Évaluer v f )
K f + U g f = Ki + U g i + Wa
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
Évaluons la tension dans la corde à l’aide de la 2ième loi de Newton et de l’accélération
centripète étant donné que la balle du pendule se déplace sur une trajectoire circulaire :
∑F
r'
(2ième loi de Newton)
= mar '
⇒
T − mg = maC
(Remplacer)
⇒
T = m(aC + g )
(Isoler T)
⇒
 v2

T = m + g 
 r

( aC = v 2 / r )
⇒
 (2,271)2

T = (0,2)
+ (9,8)
 (0,40)

(Remplacer val. num.)
⇒
T = 4,539 N
(Évaluer T)
Le travail du frottement cinétique lors d’un glissement le long
d’une pente à inclinaison non constante
Lorsqu’un bloc glisse le long d’une pente dont
l’inclinaisonv θ n’est pas constante, la force de frottement
cinétique f c varie en raison d’une force normale
v
vi
n = mg cos(θ ) qui dépend de l’inclinaison de la pente.
Cependant, le travail W f évalué le long de la pente peut
être évalué grâce à l’équation :
∆y
W f = − µ c mg∆x
Où
v
n v
v
v
f
v
dx
v
ds
θ
v
vf
θ mgv
W f : Travail du frottement cinétique (J).
µc : Coefficient de frottement cinétique.
m : Masse de l’objet qui glisse (kg).
g : Accélération gravitationnelle, 9,8 m/s2.
x : Déplacement horizontal le long de la pente (m).
∆x
Preuve :
Effectuons le calcul du travail de la force de frottement en considérant que la force normale n’est pas
v
constante tout au long des déplacements ds :
v v
v
W f = ∫ f c ⋅ ds ⇒
W f = ∫ (− µc n sˆ ) ⋅ ds
(Frottement cinétique f c = − µc n sˆ )
⇒
W f = − µc ∫ mg cos(θ ) ds
v
( ds = sˆ ⋅ ds et n = mg cos(θ ) )
⇒
W f = − µc mg ∫ dx
( dx = ds cos(θ )
⇒
W f = − µc mg∆x
■
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
( ∫ dx = x )
Page 6
Exercice
3.4.12 L’angle maximal d’un pendule. Avec une balle de 0,4 kg et une corde de 0,5 m, on
crée un pendule que l’on accroche au plafond. On fait osciller le pendule et on observe que
le module de la vitesse de la balle est égal à 1,5 m/s au point le plus bas de sa trajectoire.
Aux deux extrémités de l’oscillation, quel est l’angle que fait la corde avec la verticale?
Solution
3.4.6 L’angle maximal d’un pendule.
Système d’axe :
Prenons l’axe y vertical vers le haut avec y = 0 à la position où la
balle est le plus bas dans sa trajectoire circulaire.
Moment initial :
Moment final :
Balle dans la trajectoire où sa position est la plus basse.
Balle dans la trajectoire où sa position est la plus haute.
Avec la conservation de l’énergie :
E f = Ei + Wnc
⇒
K f + U f = K i + U i + Wnc
⇒
1
1
2
2
mv f + mgy f = mvi + mgy i + Wnc
2
2
⇒
mgy f =
⇒
yf =
1 vi
2 g
⇒
yf =
1 (1,5)
2 (9,8)
⇒
y f = 0,115 m
1
2
mvi
2
( v f = 0, y i = 0, Wnc = 0 )
2
2
Puisque la corde possède une longueur de 0,5 m, nous pouvons évaluer l’angle de la corde
par rapport à la verticale à l’aide de la position y f = 0,115 m :
y f = L(1− cos(θ f ))
⇒
1 − cos(θ f ) =
⇒
cos(θ f ) = 1 −
⇒
θ f = 39,65°
yf
L
yf
L
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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