1 III. COSINUS D`UN ANGLE AIGU 1. Vocabulaire du triangle

III. COSINUS D'UN ANGLE AIGU
1. Vocabulaire du triangle rectangle
M
Q
P
@options;
@options;
@figure;
T = point( 1 , 1 ) { noir };
Q = point( 0.93 , 2.93 ) { noir ,
(-0.43,-0.9) };
@figure;
L = point( 1 , 1 ) { noir };
M = point( -2.3 , 5.4 ) { noir ,
(-0.43,-0.9) };
A
T
L
Hypoténuse : [QA]
Côté adjacent de
[QT]
l’angle TQA
Côté adjacent de
[TA]
l’angle TAQ
Hypoténuse : [MP]
Côté adjacent de l’angle
LMP
Côté adjacent de l’angle
LPM
[ML]
[LP]
2. Activité préparatoire : n° 3 p 194
http://mathenpoche.sesamath.net/4eme/pages/geometrie/chap4/serie2/index.html
3. Propriété
Dans un triangle rectangle, le quotient de la longueur de l’un des côtés de l’angle droit par la
longueur de l’hypoténuse ne dépend que de la mesure de l’angle
4. Définition
Dans un triangle rectangle, le cosinus de l'un des
angles aigus est égal à :
hypoténuse
longueur du côté adjacent
longueur de l ' hypoténuse
C'est à dire : Cos BAC =
AB
AC
On a aussi :
BC
CA
Cos BCA =
Côté adjacent
de l’angle
BAC
Remarque
Le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1
Exemples :
Dans le triangle ABC, rectangle en B :
1)
Calculer Cos BAC , si AB = 3 cm ; AC = 5 cm et BC = 4 cm :
BA
Cos BAC =
AC
3
Cos BAC = = 0,6
5
4ème-IV-Théorème de Pythagore
1
2)
Calculer Cos BCA si BCA = 47°
Cos BCA = Cos 47°
Cos BCA = 0,682
5. Applications du cosinus dans un triangle rectangle
a. Calcul de la mesure d'un angle (n° 13 p183)
On calcule la mesure des trois angles du triangle RAS
•
RAS : dans le triangle RAS, rectangle en R,
l'hypoténuse du triangle est le côté [AS]
le côté adjacent à l’angle RAS est [RA]
RA
AS
4,5
Cos RAS =
5,3
Donc : Cos RAS =
Cos RAS ≈ 0,849
Donc
RAS ≈ 32°
on utilise la touche Cos –1de la calculatrice
Donc l'angle RAS mesure 32° (à 1 d° près)
•
ARS : dans le triangle RAS, rectangle en R,
l'hypoténuse du triangle est le côté [AS]
le côté adjacent à l’angle ARS est [SR]
SR
RA
2,8
Cos ARS =
5,3
Donc : Cos ARS =
Cos ARS ≈ 0,528
Donc
ARS ≈ 58°
on utilise la touche Cos –1de la calculatrice
Donc l'angle ARS mesure 58° (à 1 d° près)
Remarque :
Pour le calcul de la mesure de ARS , on aurait pu utiliser une autre méthode : la somme des mesures
des angles d’un triangle est égale à 180°
Donc, dans le triangle RAS, rectangle en R :
ARS + RSA + SAR = 180°
ARS + 90° + 32° = 180°
ARS + 122° = 180°
ARS = 180° - 122°
ARS = 58°
EXERCICES
4ème-IV-Théorème de Pythagore
2
b. Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit (n°11 p183)
Soit ABC un triangle rectangle en B tel que BAC = 55° et AC = 6 cm.
Calculer AB (arrondir au mm)
Réponse :
Dans le triangle ABC, rectangle en B,
- l’angle connu est BAC
- le cosinus de cet angle fait intervenir : [BA] et [AC]
BA
Donc
Cos BAC =
AC
BA
Cos 55° =
6
Avec le produit en croix, on a :
BA × 1 = 6 × Cos 55°
BA ≈ 6 × 0,574
BA ≈ 3,4 cm
Donc BA est égale à 3,4 cm (au mm près)
4ème-IV-Théorème de Pythagore
3