Sous-groupes de Sylow du groupe symétrique

Sous-groupes de Sylow du groupe symétrique
Jérôme Amiguet
Résumé
Dans ce présent rapport, on s’interesse à certains exemples de sous-groupes de Sylow
dans Sn , de leurs structures. Pour cela nous étudions théoriquement les problèmes, puis
nous vérifions les résultats à l’aide du logiciel GAP
Introduction
Étant donné un nombre entier n et un nombre premier p comment peut-on décrire les psous-groupes de Sylow du groupe symétrique de n éléments ? Pour répondre à cette question
nous pouvons, soit étudier le problème de manière théorique, soit utiliser le programme GAP 1 .
Pour des problèmes simples on va d’abord examiner de manière théorique ce que l’on devrait obtenir, puis vérifier les résultats avec GAP. On s’occupera aussi d’étudier un problème
strictement avec GAP et les commandes que nous pouvons utiliser avec GAP pour récuperer
des informations sur un sous-groupe donné.
1
Rappels et notations
1.1
Notations
Dans ce rapport on utilise les notations suivantes :
Sn
Hs
Sylp (Sn )
np
Cnk
Cp
1.2
:
:
:
:
:
:
groupe symétrique de n éléments
un p-sous-groupe de Sylow dans Sn
ensemble des p-sous-groupes de Sylow dans Sn
nombre de p-sous-groupes de Sylow dans Sn
combinaison de k éléments parmi n
groupe cyclique d’ordre p
Rappels
Pour le description des p-sous-groupes de Sylow dans Sn , on a besoin des théorèmes suivants :
Théorème de Sylow 1. Soit G un groupe. Si l’ordre de G est n = pm s, où p ne divise pas s et
p premier, alors G contient des sous-groupes d’ordre pi , pour tout 1 ≤ i ≤ m. De plus, chaque
sous-groupe d’ordre pi , 1 ≤ i ≤ m − 1, est normal dans au moins un sous-groupe d’ordre pi+1 .
1. http://www.gap-system.org/
1
2
Sous-groupes d’ordre 7 dans le groupe symétrique S9
Démonstration. Voir [1, pp. 44–45].
Théorème de Sylow 2. Si G est un groupe fini, les p-sous-groupes de Sylow sont deux à deux
conjugués.
Démonstration. Voir [1, p. 45].
Théorème de Sylow 3. Soit np le nombre de p-sous-groupes de Sylow d’un groupe fini G,
alors np divise l’ordre du groupe et np ≡ 1 mod p.
Démonstration. Voir [1, pp. 45–56].
Lemme 1. Tout p-groupe d’ordre p2 est abélien.
Démonstration. Soit G un p-groupe d’ordre p2 . S’il existe g ∈ G d’ordre p2 , alors G est cyclique
et donc abélien.
S’il n’existe pas d’élément dans G qui soit d’ordre p2 , alors g est d’ordre p quel que soit g ∈ G\{e},
car l’ordre d’un élément divise celui du groupe.
Soient h ∈ G et H le sous-groupe engendré par h. Soient l ∈ G\H et L le sous-groupe engendré
par l. On a que G ∩ L = {e}. De plus G et L sont normaux dans G, puisque G est le seul
sous-groupe d’ordre p2 (1er théorème de Sylow). Il n’est pas difficile de montrer que dans ce cas
G = H × L, donc G est abélien.
Définition 1. Un p-groupe est dit abélien élémentaire si il est isomorphe à un produit de groupe
cyclique d’ordre p.
2
Sous-groupes d’ordre 7 dans le groupe symétrique S9
2.1
Aspect théorique
L’ordre du groupe S9 est 9!. Comme 7 est un nombre premier, que celui-ci divise 9! et que
72 ne divise pas 9 !, les théorèmes de Sylow nous garantissent que :
(i) un tel 7-sous-groupe existe
(ii) tous les 7-sous-groupes sont deux à deux conjugués.
De plus on a que :
9! ≡ 0
mod (n7 ),
n7 ≡ 1
mod (7).
Par (ii), il suffit de déterminer un 7-sous-groupe de Sylow pour les avoir tous. Comme il n’y a
pas de puissance supérieure à 7 qui divise l’ordre du S9 , ces sous-groupes sont cycliques d’ordre
7. Comme S7 est inclus dans S9 , tout élément d’ordre 7 dans S9 engendre un 7-sous-groupe de
S9 ; par exemple : la permutation (1 2 3 4 5 6 7). Notre ensemble est donc défini par :
Syl7 (S9 ) := {σ < (1 2 3 4 5 6 7) > σ −1 : σ ∈ S9 }.
2
(1)
Jérôme Amiguet
2.2
Aspect pratique
2
Sous-groupes d’ordre 7 dans le groupe symétrique S9
Pour déterminer tous les éléments d’ordre 7, il suffit de prendre les injections de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
dans {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. En particulier, on commence par choisir 7 éléments parmi 9. On
permute ces éléments pour avoir toutes les permutations de ces 7 éléments. Il faut ensuite
enlever les cycles égaux, on peut représenter la même permutation de 7 manières différentes. On
obtient
C79 · 7!
= 25920
7
éléments d’ordre 7. Pour obtenir le nombre de sous-groupes d’ordre 7, il faut regrouper les
éléments correspondant. Or un 7-sous-groupe est cyclique, donc de la forme
{e, a, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 }
où e est l’identité et a un génerateur du sous-groupe. Ainsi on regroupe 6 éléments d’ordre 7
ensemble et on obtient :
25920
= 4320.
6
Ce nombre satisfait bien les conditions du troisième théorème de Sylow.
n7 =
2.2
(2)
Aspect pratique
Pour déterminer les 7-sous-groupes de Sylow de S9 avec GAP, on commence par définir
notre groupe symétrique avec la commande :
G :=SymmetricGroup(9);
Ensuite on demande à GAP de construire un sous-groupe de Sylow :
H :=SylowSubgroup(G,7);
Il nous suffit de génerer la classe de conjugaison de H :
S :=ConjugacyClassSubgroups(G,H);
On peut vérifier que ces résultats sont bien ceux que l’on attend. GAP travail principalement
par liste, donc on regarde la taille de la liste S :
Size(S);
On obtient 4320 comme calculé plus haut (2).
3
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3
3
3.1
Sous-groupes d’ordre 7 dans le groupe symétrique S14
Sous-groupes d’ordre 7 dans le groupe symétrique S14
Aspect théorique
A la différence de la partie précedente, la plus grande puissance de 7 qui divise l’ordre du
groupe est 72 . On aura donc des sous-groupes d’ordre 7 et des sous-groupes d’ordre 49, les
7-sous-groupes de Sylow étant ceux d’ordre 49.
Puisque ce sont des p-sous-groupes d’ordre p2 , ils sont abéliens (lemme 1). De ce fait on a
que
Hs ∼
= C49 .
= C7 × C7 ou Hs ∼
Comme il n’y a pas d’élément d’ordre 49 dans S14 , on a Hs ∼
= C7 × C7 . En choissisant deux
permutations de 7 éléments disjointes on aura donc les deux génerateurs de nos cycles d’ordre
7. En particulier,
Hs =< (1 2 3 4 5 6 7), (8 9 10 11 12 13 14) > .
(3)
Pour avoir tous nos 7-sous-groupes de Sylow, il faut prendre les classes de conjugaisons :
Syl7 (S14 ) := {σ < (1 2 3 4 5 6 7), (8 9 10 11 12 13 14) > σ −1 : σ ∈ S14 }.
(4)
Pour déterminer tous les 7-sous-groupes de Sylow dans S14 , il faut examiner comment ils se
comportent. Ils sont produits de deux groupes cycliques dont les génerateurs sont des permutations disjointes. On peut donc associer ces 7-sous-groupes de Sylow à un graphe G = (E, V )
où E est l’ensemble des 7-sous-groupe de S14 } et (A, B) ∈ V si les génerateurs de A et B sont
des permutations disjointes. Le degré de chaque sommet indique le nombre de 7-sous-groupes
de Sylow auquel il est associé. Donc la somme des degrés des sommets est le double du nombre
des 7-sous-groupes de Sylow.
On doit donc commencer par déterminer le nombre de sommets, en particulier le nombre
des 7-sous-groupes de S14 . On procède comme précédemment :
C714 · 7!
= 411840.
42
(5)
Il faut maintenant leurs associer les 7-sous-groupes dont les génerateurs sont des permutations
disjointes, comme il nous reste que 7 nombres disponibles et on obtient :
7!
= 120.
42
On détermine maintenant le nombre d’arêtes :
n7 =
C714 · 7! 7! 1
·
· = 24710400.
42
42 2
(6)
Ce nombre satisfait bien les conditions du troisième théorème de Sylow.
On peut se demander combien il y a de sous-groupes d’ordre 7 dans le sous-groupe Hs donc
déterminer les élements d’ordre 7 dans Hs . Or Hs est un produit de deux groupes cycliques, donc
les éléments sont de la forme (a, b) où a est dans le premier groupe cyclique et b dans le second.
Chaque a et b est d’ordre 7, donc on a 72 − 1 choix possibles de couples d’ordre p, l’élément
4
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3.2
Aspect pratique
3
Sous-groupes d’ordre 7 dans le groupe symétrique S14
neutre (e, e) n’étant pas d’ordre 7. Par le même principe on doit regrouper ces éléments, donc
le nombre de sous-groupes d’ordre 7 est donné par :
72 − 1
= 8.
7−1
(7)
Le nombre de sous-groupes de Hs est 10, puisque {e} et lui-même sont des sous-groupes de Hs .
3.2
Aspect pratique
Comme pour S7 , on définit notre groupe symétrique, un 7-sous-groupe de Sylow et on prend
les classes de conjugaisons, ce qui nous donne :
Sym( [ 1 .. 14 ] )
Group([ (1,2,3,4,5,6,7), (8,9,10,11,12,13,14) ])
Group( [ ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), ( 8, 9,10,11,12,13,14) ] )^G.
On remarque que la commande Size(l); nous renvoie 24710400, pour la taille de la classe de
conjugaison.
En ce qui concerne les sous-groupe d’ordre 7 de Hs , on peut utiliser un package de GAP
(XGAP 2 ) qui permet de tracer le diagramme de Hasse d’un groupe (Figure 1), grâce à la
commande GraphicSubgroupLattice(H);.
Index 1
G
7
3
5
9
2
8
4
6
Index 7
Index 49
1
Figure 1 – Diagramme de Hasse de Hs
On remarque que on a le même nombre de sous-groupes qu’on avait calculé.
2. http://www.gap-system.org/Packages/xgap.html
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5
4
Observations
Les 3-sous-groupe de Sylow dans S9
On s’interesse maintenant aux 3-sous-groupes de Sylow de S9 . La première chose que on
remarque c’est que 34 est la plus grande puissance qui divise 9!. Comme 4 · 3 = 12, on ne peut
pas extraire quatre sous-groupes cycliques d’ordre 3 pour avoir un sous-groupe d’ordre 81 de
la forme C3 × C3 × C3 × C3 . Donc on commence par construire notre groupe symétrique et le
3-sous-groupe de Sylow :
G :=SymmetricGroup(9);
H :=SylowSubgroup(G,3);.
GAP renvoie :
Group([ (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9), (1,4,7)(2,5,8)(3,6,9) ]).
La première chose que on peut dire c’est qu’il y a trois groupes cycliques avec un générateur
d’ordre 3 qui est une permutation de 3 éléments et un génerateur qui est un produit de 3
permutations disjointes. Ce dernier envoie par conjugaison (1 2 3) sur (4 5 6), (4 5 6) sur (7 8 9)
et (7 8 9) sur (1 2 3).
On peut donc se poser des questions sur la structure de ce groupe, par exemple si il est abélien,
cyclique ou encore quel est son centre. Pour cela GAP nous fournit une liste de commandes, par
exemple :
Ordre : Order(H);
Abélien : IsAbelian(H);
Abélien élémentaire : IsElementaryAbelian(H);
Cyclique : IsCyclic(H);
Centre : Center(H);.
Pour notre sous-groupe Hs , GAP renvoie la valeur false pour la question de la commutatitivité
et il renvoie le groupe Group([ (1,2,3)(4,5,6)(7,8,9) ]) pour le centre. Il est évident que
ce sont des résultats qui sont assez faciles à voir, mais on voit ici un exemple de ce que l’on peut
faire si le sous-groupe où le groupe sont beaucoup plus complexes.
L’aide en ligne de GAP 3 fournit le répertoire complet des commandes que l’on peut utiliser.
5
Observations
En regardant différents p-sous-groupe de Sylow de Sn avec GAP, pour des premiers p et
entiers n arbitraire, on remarque que sous certaines conditions ils sont construits de manière
identique. En particulier dans les conditions de la proposition 1, mais d’abord on a besoin
d’énoncer une propriété de la congruence :
Théorème 1. (Théorème de Wilson) Soit n un nombre entier avec n > 1 alors :
(n − 1) ≡ −1
mod (n)
⇐⇒
n est premier.
(8)
3. http://www.gap-system.org/Doc/manuals.html
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5
Observations
Démonstration. Voir [2, pp. 132–133]
Proposition 1. Soit p un nombre premier et Sn le groupe de permutations de n éléments, alors
si m · p ≤ n, où m est l’exposant de la plus grande puissance de p qui divise l’ordre de Sn , on a
les résultats suivants :
(i) tout les p-sous-groupes de Sylow sont abéliens et ils sont de la forme Cp × · · · × Cp .
|
{z
}
mf ois

(ii) np = 
p
Cn−pj
m−1
Y
j=0
p(p − 1)

p!
1
m!
Démonstration. (i) Le sous-groupe
Hs =< (1 . . . p), (p + 1 . . . 2p), . . . , ((m − 1)p + 1 . . . mp) >
est d’ordre pm puisque les permutations sont disjointes. Et Hs ∼
= Cp × · · · × Cp , par le deuxième
théorème de Sylow on a que tout les p-sous-groupes de Sylow sont conjugués. Soit Hs 0 un psous-groupe de Sylow de Sn , alors il existe σ ∈ Sn telle que :
Hs 0 = σHs σ −1 .
Cela nous donne :
σHs σ −1 = σ < (1 . . . p), (p + 1 . . . 2p), . . . , ((m − 1)p + 1 . . . mp) > σ −1
= < σ(1 . . . p)σ −1 , σ(p + 1 . . . 2p)σ −1 , . . . , σ((m − 1)p + 1 . . . mp)σ −1 >
= Hs 0 .
Comme les générateurs des sous-groupes cycliques sont des permutations disjointes elles restent
disjointes par conjugaisons. Donc Hs 0 est aussi un sous-groupe de la forme Cp × · · · × Cp . Comme
Hs 0 est arbitraire tous les sous-goups de Sylow sont de la forme Cp × · · · × Cp . Ils sont donc, par
définition, abéliens élementaires.
(ii) Comme on sait comment ces p-sous-groupes de Sylow se comportent, il suffit maintenant
de les compter. En particulier
np = nombre de choix pour le premier groupe cyclique ·. . .· nombre de choix pour le dernier
1
groupe cyclique · ,
m!
puisque l’ordre des groupes cycliques n’a pas d’importance. Donc quels sont les choix que nous
avons pour le premier groupe cyclique : on choisit p éléments dans {1, . . . , n} et on construit
le groupe cyclique engendré par la permutation (n1 n2 . . . np ), on doit donc regrouper les
éléments de Sn qui constituent ce sous-groupe. On obtient comme nombre de choix pour ce
premier sous-groupe cyclique :
Cnp · p!
.
p(p − 1)
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5
Observations
Pour le 2e sous-groupe cyclique, on doit choisir des éléments dans {1, . . . , n} où on a enlevé ceux
déjà choisis. Donc il ne reste n − p choix possibles, il s’en suit que le nombre de choix du
2e sous-groupe cyclique est :
p
Cn−p
· p!
.
p(p − 1)
De manière récursive le nombre de choix possibles pour le je élément est donné par :
p
Cn−(j−1)p
· p!
p(p − 1)
.
On en déduit que :

m−1
Y
np = 
j=0
p
Cn−pj

1
p!
.
p(p − 1)
m!
(9)
Il suffit maintenant de voir que ce nombre satisfait le troisième théorème de Sylow, donc en
particulier :
np ≡ 0
mod (n!)
np ≡ 1
mod (p).
Comme np est issu d’un dénombrement on a que np ∈ N. De plus :


p
m−1
Y Cn−pj
1
n!

p!
= m
.
m
p(p − 1)
m!
p (p − 1) (n − mp)!m!
j=0
Si l’on pose r = pm (p − 1)m (n − mp)!m! on a que :
np · r = n!.
Donc np divise bien n!.
Si l’on fait les simplification que l’on peut faire dans la forme plus condensée de np on obtient :
n!
1 · 2 · · · (p − 1) · p · (p + 1) · · · m(p − 1) · · · mp · (mp + 1) · · · n
=
pm (p − 1)m (n − mp)!m!
pm (p − 1)m (n − mp)!m!
m! · m! · (1 · · · (p − 2) · (p + 1) · · · n)
=
m!(n − mp)!
En calculant modulo p on obtient :
np ≡
m! · (1m · · · (p − 1 − m)m · (p − m)m−1 · · · (p − 1)m−1 )(1 · · · (n − mp))
.
(1 · · · (n − mp))
On simplifie et on regroupe :
np ≡ m! · (1 · · · (p − 1 − m))(1 · · · p − 1)m−1 = m! · (p − 1 − m)! · ((p − 1)!)m−1
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Références
Références
Or d’après le théorème de Wilson (théorème 1) : (p − 1)! ≡ −1 mod (p) d’où :
np ≡ m! · (p − 1 − m)! · (−1)m−1 .
Pour finir on remarque que (p − 1 − m)! =
(p − 1)!
, or (p − j) ≡ −j
(p − 1)(p − 2)(p − 3) · · · (p − m)
mod (p), d’où :
np ≡
m! · (p − 1)! · (−1)m−1
m! · (−1)m
=
= 1.
(−1)m · m!
m! · (−1)m
(10)
Donc np est congru à 1 modulo p et satisfait le troisième théorème de Sylow.
Références
[1] M.jun. Hall : The theory of groups. New York : The Macmillan Company XIII, 434 p.,
1964.
[2] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth et Oren Patashnik : Concrete mathematics. A
foundation for computer science. Reading, MA : Addison-Wesley Publishing Company. xiii,
625 p., 1989.
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