Circulation et flux du champ électrique

Circulation et flux du champ électrique
MPSI
19 juin 2008
Table des matières
1 Définitions
1.1 Circulation d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Flux d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 Circulation du champs électrostatique : Potentiel electrostatique
4
2.1 D’une particule ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Relation entre le champs et le potentiel . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Flux du champ électrostatique : Théorème de Gauss
3.1 Relation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Conditions d’application du théorème de Gauss . . . . . . . .
3.2.1 Principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
7
4 Application à la gravitation
4.1 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
1
Chapitre
1
Définitions
1.1
Circulation d’un champ de vecteurs
→
−
Définition 1 Soit A (M ) un champ de vecteur au point M.
→
−
On appele circulation de A (M ) entre deux point M1 et M2 , le scalaire défini
par :
Z M2
Z M2
→
−
→
−
C=
dC(M ) =
A (M ). dl
M1
M1
Sur un contour fermé, la circulation est notée :
I
→
−
→
−
C=
A (M ). dl
→
−
Définition 2 A (M ) est en circulation conservative si sa circulation ne dépend pas du chemin suvit, mais uniquement du point de départ et du point
d’arrivé.
Propriété 1 Sur un contour fermé, si la force est conservative :
I
→
−
→
−
A (M ). dl = 0
1.2
Flux d’un champ de vecteur
→
−
Définition 3 Par définition, le flux du champs de vecteur A (M ), à travers
la surface S orienté est donnée par :
ZZ
→
−
→
−
φ=
A (M ).d S (M )
S
2
→
−
Avec d S (M ) surface orienté définie au voisinage du point M.
Définition 4 Si la surface est fermé, le flux devient :
I I
→
−
→
−
φ=
A (M ).d S (M )
S
La surface fermé délimite un volume. On peut donc distinguer un milieu
→
−
interieur d’un milieu exterieur. Il est d’usage d’orienter dans ce cas d S (M )
vers l’exterieur.
3
Chapitre
2
Circulation du champs électrostatique :
Potentiel electrostatique
2.1
D’une particule ponctuelle
Soit O(q) une charge ponctuelle placé à l’origine d’un repère R.
→
−
La circulation du champs E (M ) entre deux point quelconque M1 (r1 ) et
M2 (r2 ) est :
Z M2
→
−
→
−
C=
E (M ). dl
M1
→
−
En explicitant dl en coordonnée cylindrique, on obtient :
q
1
1
C=
(
−
)
4πε0 r2 r1 r2
→
−
E (M ) est donc à circulation conservative
2.2
Potentiel électrostatique
Définition 5 Par analogie avec la définition des fonctions énergie potentielle
Ep , on appele potentiel electrostatique en M, notée V(M), la fonction définie
par :
C = −∆V = −(V (M2 ) − V (M1 ))
D’ou dans le cas d’un champs électrostatique crée par une charge ponctuelle
en M :
q
V (M ) =
4πε0 .r
En posant qu’a l’infini, V(M) = 0
4
2.3
Relation entre le champs et le potentiel
D’après la définition de la circulation, on obtient :
→
−
→
−
dV (M ) = − E (M ). dl
Et comme, par définition :
−−→
→
−
dV (M ) = grad(V ). dl
On obtient la relation suivante :
−−→
→
−
E (M ) = −grad(V )
Par analogie avec la statique des fluides, on obtient :
→
−
Propriété 2 Les surfaces équipotentielle sont ⊥ à E (M )
→
−
Propriété 3 E (M ) descent les potentielles. Il est orienté des hauts potentiels vers les bas potentiels.
Propriété 4 On obtient la formulation intégrale associés :
Z M2
→
−
→
−
V2 − V1 = −
E (M ). dl
M1
Par application du principe de superposition, toutes les relations établies
précédements sont vérifié quelque soit la distribution de charge.
2.4
Théorème de l’énergie cinétique
Propriété 5 Par application du théorème de l’énergie cinétique, on obtient :
∆Ec (M ) = −q.∆V
On en déduit l’expression de l’énergie potentielle d’une charge ponctuelle dans
un potentiel V(M) :
Ep (M ) = q.V (M )
5
Chapitre
3
Flux du champ électrostatique :
Théorème de Gauss
→
−
Théorème 1 Le flux du champ electrostatique E (M ) à travers une surface
de Gauss Sg fermé est égale à la charge interieure à cette surface, notée Qint ,
sur la permitivité du vide ε0 .
I I
→
−
→
−
Qint
E (M ).d S (M ) =
φ=
ε0
M ∈Sg
3.1
Relation de continuité
→
−
→ E (M) est continue à la traversé d’une distribution volumique de charge,
mais discontinue à la traversé d’une distribution surfacique.
→ V(M) est continue à la traversé d’une distribution volumique ou surfacique de charge, mais discontinue à la traversé d’une distribution
linéique.
Ces relations de continuité nous permette de determiner V par integration,
et de vérifier la pertinance de nos calculs pour le champs.
3.2
Conditions d’application du théorème de
Gauss
Considérons une charge ponctuelle q situé en O. Soit Sg1 une surface de
Gauss centré sur O1 .
6
Par application du théorème de Gauss, on obtient :
I I
−
→ Qint
→
−
E (M ).dS =
φ=
=0
ε0
La nulité du flux n’implique pas la nulité du champs. Une bonne utilisation
du théorème de Gauss passe par l’étude de la topographie du champs.
3.2.1
Principe de Curie
Théorème 2 ”La symétrie de la cause se retrouve dans les effets”
Appliqué à l’électrostatique, ceci implique que tout élements de symétrie pour
la charge est un élement de symétrie pour le champs. Donc, si la distribution
→
−
de charge admet un plan de symétrie de translation ou de rotation, alors E
est porté par ce champs.
7
Chapitre
4
Application à la gravitation
Tous les résultats établies en électrostatique sont généralisable à la gravitation.
On passe donc de l’électrostatique à la gravitation en effectuant les changements suivants :
→ q→m
→
−
−
→ E (M ) → →
g (M )
1
→
→ −4π.G
ε0
4.1
Généralisation
Définition 6 Par analogie, le potentiel gravitationnelle est donnée par :
−−→
→
−
g (M ) = −grad(V (M ))
Avec V(M) le potentiel gravitationnelle.
On obtient donc le potentiel gravitationnelle crée par une masse ponctuelle
M à une distance r :
−G.m
V (M ) =
r
Définition 7 Si on place une masse m’ en M, l’énergie potentielle d’interaction entre m et m’ est donnée par :
−G.m.m0
r
Propriété 6 Le théorème de Gauss appliqué à la gravitaton devient :
I I
−
→
→
−
φ=
g (M ).dS = −4π.G.M asse interieur
Ep = m0 .V (M ) =
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