Reduction de Poisson homotopique des théories de jauge

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Reduction de Poisson homotopique
des théories de jauge
Projet de livre
“Towards the mathematics of quantum field theory”
(Cours avancé IMPA/UPMC/UL, 2010-2012)
Frédéric Paugam
UPMC
Rencontre du GdR “Topologie algébrique et applications”
24 Octobre 2012
Frédéric Paugam (UPMC Rencontre du GdRReduction
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
des théories de jauge 24 Octobre 2012
1 / 19
Quatre parties
1
Motivation: théorie de Yang-Mills.
2
Analyse fonctorielle.
3
D-géométrie et calcul variationnel.
4
Méthode BV pour la réduction de Poisson homotopique.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Partie I
Motivation: theorie de Yang-Mills.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
3 / 19
Batalin-Vilkovisky pour Yang-Mills
(M, g ) variété métrique, G groupe semisimple (forme de Killing g).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Espace des configurations: espace de modules Hom(M, BGconn ) des
couples (P, A) avec:
- P: G -fibré principal,
- A: G -connection sur P.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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R
But de la mécanique: minimiser l’action S(P, A) = M FA ∧ ∗FA dµg .
Problème: l’espace critique Crit = Hom(M, BGflat ) des fibrés à
connections plates manque d’épaisseur (bonne théorie des déformations).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
4 / 19
R
Solution: le remplacer par l’espace dérivé RCrit = RHom(M, BGflat ).
Intérêt: forme symplectique décalée ⇒ quantification perturbative par
intégrale fonctionnelle et/ou déformation quantification en espace de
factorisation sur M.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
4 / 19
R
Solution: le remplacer par l’espace dérivé RCrit = RHom(M, BGflat ).
Intérêt: forme symplectique décalée ⇒ quantification perturbative par
intégrale fonctionnelle et/ou déformation quantification en espace de
factorisation sur M.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Batalin-Vilkovisky formel pour Yang-Mills
Completion formelle
\YM )
RCrit(S
(P0 ,A0 )
de l’espace critique dérivé RCrit(SYM ) = RHom(M, BGflat ) en (P0 , A0 )
plat: restriction aux épaissisements homotopiques du point (P0 , A0 ).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Completion formelle
\YM )
RCrit(S
(P0 ,A0 )
de l’espace critique dérivé RCrit(SYM ) = RHom(M, BGflat ) en (P0 , A0 )
plat: restriction aux épaissisements homotopiques du point (P0 , A0 ).
(P0 , A0 )
•
•
RCrit(SYM )
•
(P̃0 , Ã0 )
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Théorème principal de la théorie des déformations:
Espace dérivé formel ⇔ algèbre de Lie (homotopique) L par
\YM )
O RCrit(S
= CE∗ (L)
(P0 ,A0 )
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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\YM )
O RCrit(S
= CE∗ (L)
(P0 ,A0 )
En fait: cogèbre des distributions, mais D-geometrie ⇒ L de rang fini.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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\YM )
O RCrit(S
= CE∗ (L)
(P0 ,A0 )
Crochet de Poisson local (differentiel) sur l’espace critique dérivé
RCrit(SYM ), donc structure de Poisson sur CE∗ (L).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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\YM )
O RCrit(S
= CE∗ (L)
(P0 ,A0 )
Crochet de Poisson local (differentiel) sur l’espace critique dérivé
RCrit(SYM ), donc structure de Poisson sur CE∗ (L).
Inconvénient de cette méthode:
On doit connaı̂tre à l’avance les symmétries ⇒ les physiciens ont pris une
approche plus pragmatique.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Partie II
Analyse fonctorielle
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Fonctions généralisées
Point de départ: Rappelons que
inv : R → R
x 7→ 1/x
est une fonction partiellement définie dont le domain de définition peut
être calculé.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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inv : R → R
x 7→ 1/x
être calculé.
Idée: On va travailler avec une notion très générale de fonction, adaptée
aux généralisations dont on a besoin, et cacher les aspects analytiques
dans les domaines de définition.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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inv : R → R
x 7→ 1/x
être calculé.
Intérêt: séparation claire entre les aspects analytiques et la théorie de
l’obstruction (compliquée pour les théories de jauge).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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inv : R → R
x 7→ 1/x
être calculé.
Soit C une catégorie supérieure/homotopique ambiante, e.g., C = Sets.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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inv : R → R
x 7→ 1/x
être calculé.
Définition: Un span f : X → Y est un morphisme
Rf → X × Y .
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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inv : R → R
x 7→ 1/x
être calculé.
Rf → X × Y .
une fonction multivaluée (resp. fonction partielle) f : X → Y est un span
Rf tel que Rf → X × Y (resp Rf → X ) est un monomorphisme.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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inv : R → R
x 7→ 1/x
être calculé.
Rf → X × Y .
une fonction multivaluée (resp. fonction partielle) f : X → Y est un span
Rf tel que Rf → X × Y (resp Rf → X ) est un monomorphisme.
Frédéric
Paugam (UPMC et
Rencontre
du GdRReduction
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et supérieures.
applications”)
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Composition
associativité:
structures
Algèbres et espaces généralisés
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Grothendieck, Lawvere, Dubuc (50’), Quillen, Segal, Lurie-Toen-Vezzosi:
1
Legos: une catégorie de blocs de base simples (e.g., U ⊂ Rn lisse).
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1
2
Approche fonctionnelle: algèbre généralisée = foncteur de fonctions
A : Legos → Sets
qui commute à des limites prescrites (e.g., pullbacks transverses)
e.g ., U 7→ C ∞ (M, U).
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Poisson homotopique
et applications”)
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1
2
A : Legos → Sets
e.g ., U 7→ C ∞ (M, U).
3
Approche ponctuelle: un espace généralisé = foncteur de points
X : Legosop → Sets
qui commute à des limites prescrites (nerfs de recouvrements)
e.g ., U 7→ C ∞ (U, M).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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1
2
A : Legos → Sets
e.g ., U 7→ C ∞ (M, U).
3
Approche ponctuelle: un espace généralisé = foncteur de points
X : Legosop → Sets
qui commute à des limites prescrites (nerfs de recouvrements)
e.g ., U 7→ C ∞ (U, M).
Avantage de cette présentation: s’adapte aux calculs gradués (fermions
et fantômes) et d’obstructions (généralisations homotopiques).
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Un modèle ludique: les distributions
On utilise des espaces lisses (difféologies): faisceaux sur les U ⊂ Rn .
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et applications”)
des théories de jauge24 Octobre 2012
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Espace paramétré de fonctions X = Hom(R, R), défini par
X (U) = HomC ∞ (R × U, R).
On note R(U) := HomC ∞ (U, R).
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X (U) = HomC ∞ (R × U, R).
Si f ∈ L1 (R), on a une fonction partielle
[f ] :
X → R
R
ϕu 7→ R f (x)ϕu (x)dx,
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X (U) = HomC ∞ (R × U, R).
[f ] :
X → R
R
dont le domaine est donné par la condition de domination de Lebesgue
Df (U) = {ϕu , ∀α loc on U, ∃gα ∈ L1 , |f (x)∂α ϕu (x)| ≤ g (x)}.
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X (U) = HomC ∞ (R × U, R).
[f ] :
X → R
R
Travail de l’analyste: domaine de définition commun?
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et applications”)
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X (U) = HomC ∞ (R × U, R).
[f ] :
X → R
R
Définition: Une distribution est une fonction linéaire (partielle)
f : X → R de domaine de définition
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X (U) = HomC ∞ (R × U, R).
[f ] :
X → R
R
Définition: Une distribution est une fonction linéaire (partielle)
f : X → R de domaine de définition
loc. sur U, ∃K ⊂ R compact tel que
Ddistrib (U) = ϕu .
pour tout u, supp(ϕ(−, u)) ⊂ K
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L’espace critique
Définition: problème variationel Lagrangien:
1
2
M: espace des paramètres; C : espace des configurations.
π : C → M.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
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L’espace critique
1
2
3
4
π : C → M.
H ⊂ Γ(M, C ) := {ϕ : M → C , π ◦ ϕ = idM }: espace des histoires.
S : H → R: fonctionnelle d’action.
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Poisson homotopique
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L’espace critique
1
2
3
4
π : C → M.
Objet central: l’espace critique:
Crit(S) = {ϕ ∈ H| dϕ S = 0},
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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L’espace critique
1
2
3
4
π : C → M.
Crit(S) = {ϕ ∈ H| dϕ S = 0},
où
S : H(U) → R R(U) := C ∞ (U)
ϕu
7→ M L(x, ∂α ϕu (x))dx
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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L’espace critique
1
2
3
4
π : C → M.
Crit(S) = {ϕ ∈ H| dϕ S = 0},
où
S : H(U) → R R(U) := C ∞ (U)
ϕu
a son domaine de dëfinition donné par la domination de Lebesgue
D(U) = {ϕu , ∃ locally in u, gβ (x) ∈ L1 (M), |∂βu L(x, ∂α ϕu (x))| ≤ gβ (x)}.
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Poisson homotopique
et applications”)
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L’espace critique
1
2
3
4
π : C → M.
Crit(S) = {ϕ ∈ H| dϕ S = 0},
où
S : H(U) → R R(U) := C ∞ (U)
ϕu
a son domaine de dëfinition donné par la domination de Lebesgue
D(U) = {ϕu , ∃ locally in u, gβ (x) ∈ L1 (M), |∂βu L(x, ∂α ϕu (x))| ≤ gβ (x)}.
Remark: Si H = Γ(M, C ), intégration par parties ⇒ conditions de bord
H 0 ⊂ H telles que Crit|H 0 est l’EDP d’Euler-Lagrange.
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Partie III
D-géométrie et calcul variationnel.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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D-geometrie
Si F (x, uα ) = 0 est une EDP algébrique sur C → M, l’espace des solutions
peut être calculé dans toute D-algèbre A contenant la variable u.
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D-geometrie
peut être calculé dans toute D-algèbre A contenant la variable u.Ceci
définit un D-espace
SolF =0 (A) := {u ∈ A, F (x, uα ) = 0}.
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D-geometrie
SolF =0 (A) := {u ∈ A, F (x, uα ) = 0}.
Cet espace est représentable par la D-algèbre Jet(u)/(F ), i.e.,
SolF =0 (−) ∼
= Hom(Jet(u)/(F ), −).
“Topologie
de algébrique
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et applications”)
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D-geometrie
SolF =0 (A) := {u ∈ A, F (x, uα ) = 0}.
SolF =0 (−) ∼
= Hom(Jet(u)/(F ), −).
On note
BerM := ΩnM
L
DR(A) := BerM ⊗D A.
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de algébrique
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et applications”)
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D-geometrie
SolF =0 (A) := {u ∈ A, F (x, uα ) = 0}.
SolF =0 (−) ∼
= Hom(Jet(u)/(F ), −).
On note
BerM := ΩnM
L
On a un accouplement d’intégration entre H∗,c (A) et h∗ (DR(A)) a
valeurs dans les formes différentielles sur Γ(M, C ).
“Topologie
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et applications”)
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D-geometrie
SolF =0 (A) := {u ∈ A, F (x, uα ) = 0}.
SolF =0 (−) ∼
= Hom(Jet(u)/(F ), −).
On note
BerM := ΩnM
L
Les fonctionnelles locales sont les fonctions éléments de
h(A) := h0 (DR(A)).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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D-geometrie
SolF =0 (A) := {u ∈ A, F (x, uα ) = 0}.
SolF =0 (−) ∼
= Hom(Jet(u)/(F ), −).
On note
BerM := ΩnM
L
Les fonctionnelles locales sont les fonctions éléments de
h(A) := h0 (DR(A)).
But de la D-géométrie: étudier la géométrie locale des solutions.
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de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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L’espace critique
A: DM -algèbre des fonctions lisses sur les jets d’Ehresmann Jet(C /M).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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L’espace critique
A: DM -algèbre des fonctions
lisses sur les jets d’Ehresmann Jet(C /M).
R
Supposons que S(ϕ) = M L(x, ϕ(x), ∂α ϕ(x))dx ∈ h(A) est une
fonctionnelle locale, et H de bonnes histoires (intégration par parties).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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L’espace critique
R
Soit d : A → Ω1A la DM -dérivation universelle sur A et
ΘA := HomA[D] (Ω1A , A[D]).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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L’espace critique
R
On a une application d’insertion
idS : ΘÀ → A.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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L’espace critique
R
On a une application d’insertion
idS : ΘÀ → A.
Si on note IS := im(idS ), l’espace critique est l’EDP d’Euler-Lagrange
Crit(S) = Spec(A/IS ).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Partie IV
Réduction de Poisson homotopique.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Géométrie différentielle homotopique
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Motivation: théorie de l’obstruction systématique et formalisme BV
(approche moderne aux théories de jauge quantiques
[Henneaux-Teitelboim]).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Définition: champs dérivés lisses:
1
Legos: U ⊂ Rn lisses.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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1
2
Alg: foncteurs A : Legos → SSets commutant homotopiquement
aux produits fibrés transverses.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
16 / 19
1
2
3
Spaces: foncteurs X : Alg → SSets à homotopie (locale) près.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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1
2
3
Definition: D-champs dérivés:
1
Legos: morphismes lisses Rn ⊃ U → M avec DM -structure
(connexion).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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1
2
3
1
2
3
(connexion).
Alg: comme avant: DM -algebres simpliciales.
Spaces: comme avant: DM -champs dérivés.
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de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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1
2
3
1
2
3
(connexion).
Alg: comme avant: DM -algebres simpliciales.
Spaces: comme avant: DM -champs dérivés.
i
dS
Espace critique dérivé: RCrit(S) = RSpec(SymA−dg (ΘÀ →
A)).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Théories de jauge
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Théories de jauge
Définition/théorème de Noether: Un module gradué gS de symétries
de jauge sur pour S ∈ h(A) est
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Théories de jauge
de jauge sur pour S ∈ h(A) est un module générateur d’une résolution
cofibrante
∼
A0 = (Sym(gS [2] ⊕ ΘÀ [1] ⊕ A), d) → A/IS
de composantes des A[D]-module localement libres de rang fini.
“Topologie
de algébrique
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et applications”)
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Théories de jauge
cofibrante
∼
A0 = (Sym(gS [2] ⊕ ΘÀ [1] ⊕ A), d) → A/IS
Si g est en degré zéro, le crochet des vecteurs locaux induit un crochet
[−, −] : gS gS → ∆∗ ΘA .
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Théories de jauge
cofibrante
∼
A0 = (Sym(gS [2] ⊕ ΘÀ [1] ⊕ A), d) → A/IS
[−, −] : gS gS → ∆∗ ΘA .
Batalin et Vilkovisky définissent une “réduction de Poisson”
Crit(S)/g := RSpec(A/IS )/g,
“Topologie
de algébrique
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et applications”)
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Théories de jauge
cofibrante
∼
A0 = (Sym(gS [2] ⊕ ΘÀ [1] ⊕ A), d) → A/IS
[−, −] : gS gS → ∆∗ ΘA .
Batalin et Vilkovisky définissent une “réduction de Poisson”
Crit(S)/g := RSpec(A/IS )/g,
en résolvant {Scm , Scm } = 0 dans l’algèbre de Poisson locale bigraduée


gS [2] ⊕ ΘÀ [1] ⊕
A
 .
⊕
ABV = Symbigrad 
t g◦ [−1]
S
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Fixation de jauge
Pour quantifier, on doit fixer une lagrangienne (dérivée) dans l’espace de
Poisson impair BV
XBV = RSpec(ABV , {Scm , −}).
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Fixation de jauge
Poisson impair BV
En pratique, on peut ajouter des générateurs à cohomologie triviale pour
que les lagrangiennes dérivées deviennent graduées.
“Topologie
de algébrique
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et applications”)
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Fixation de jauge
Poisson impair BV
En pratique, on peut ajouter des générateurs à cohomologie triviale pour
que les lagrangiennes dérivées deviennent graduées.
Le formalisme n’est pas encore totalement compris en termes de géométrie
dérivée.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
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Notre apport
Notre apport est de donner une formulation mathématique précise de la
méthode de BV, permettant de comprendre les conditions de finitude
nécessaires à sa validité.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
19 / 19
Notre apport
Theoreme: Une théorie de jauge supersymmétrique S ∈ h(A) (avec les
conditions de finitude évoquées) permet de construire Scm ∈ h(ABV )
vérifiant l’équation master classique
{Scm , Scm } = 0.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
19 / 19
Notre apport
Theoreme: Une théorie de jauge supersymmétrique S ∈ h(A) (avec les
conditions de finitude évoquées) permet de construire Scm ∈ h(ABV )
vérifiant l’équation master classique
{Scm , Scm } = 0.
Autre résultat mathématique précis: construction détaillée et
géométrique de la fixation de jauge, en toute généralité.
“Topologie
de algébrique
Poisson homotopique
et applications”)
19 / 19

Reduction de Poisson homotopique des théories de jauge

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