Indexation de Pièces Automobile par Graphe de Reeb

Indexation de Pièces Automobile par Graphe de Reeb
Multirésolution
Alexis Heloir* , Chafik Samir† , Jean-Philippe Vandeborre† et Mohamed Daoudi‡
*
Samsara (Valoria Equipage), UBS Bat. Yves Coppens BP 573, 56017 Vannes cedex
†
MIIRE (INT / LIFL - UMR CNRS 8022), ENIC Télécom Lille I, rue G.Marconi,
Cité Scientifique, 59658 Villeneuve d’Ascq cedex
‡
Laboratoire d’Informatique de l’Université de Tours, 64 avenue Jean Portalis, 37200 Tours
*
[email protected]
{chafik,vandeborre}@enic.fr
‡
[email protected]
†
Résumé : Le monde de la conception assistée par ordinateur (CAO) rencontre des problèmes liés à l’hétérogénéité
des modes de représentation des modèles qu’il conçoit et à la quantité des modèles qu’il doit gérer. Cet article
présente une méthode d’indexation d’objets de CAO dans des collections étendues. La requête se fait par similarité de forme et d’aspect. Cette méthode repose sur la caractérisation et l’indexation d’objets 3D par graphe de
Reeb multirésolution (MRG). La méthode originale se révèle être plus sensible aux caractéristiques géométriques
des modèles qu’à leurs caractéristiques topologiques. De plus, elle est peu tolérante aux dégénérescences des
maillages couramment observées sur les modèles de CAO. Nous proposons donc une caractérisation par graphe
topologique minimisant l’influence de la géométrie des modèles. Nous validons notre méthode sur un jeu de pièces
maillées issues de l’industrie automobile.
Mots-clés : Indexation 3D, CAO, graphe de Reeb
1 Introduction
Si le mode de représentations par surfaces domine le monde de la CAO, ses mises en oeuvre varient énormément
d’un système à un autre.
Un des défis posés par la problématique d’indexation de pièces d’industrie est de proposer une méthode de représentation capable de prendre en compte toutes les données de CAO qu’un système de conception industriel est
susceptible de gérer.
La littérature scientifique a déjà proposé quelques méthodes d’indexation d’objets 3D usuels en utilisant des outils
statistiques, commme les histogrammes de descripteurs locaux ou globaux [VCD02], des approches structurales
comme l’identification de primitives volumiques [Kyp80] et des approches squelettiques telles que l’utilisation de
diagrammes de Voronoï [OI92].
Parmi les recherches visant à proposer une solution au problème particulier de l’indexation de pièces de CAO, trois
courants principaux se dessinent. Le premier courant consiste à comparer les modèles de CAO par leurs caractéristiques de conception [ENR97]. Le second compare les caractéristiques d’usinage des modèles [CR01]. Enfin,
une approche plus récente s’appuye sur les caractéristiques topologiques des modèles de CAO, en général assez
signicatives (trous, branches, fusion de branches) par graphe de Reeb multirésolution (MRG) [BRS03].
Dans la suite de cet article, nous présentons brièvement les méthodes d’indexation topologiques existantes, ainsi
que leurs limitations lorsqu’elles sont appliquées aux pièces de CAO. Les deux parties suivantes sont consacrées
à la présentation de notre extension et de notre démarche. Démarche éprouvée par un jeu de données réelles dans
une cinquième partie. Enfin, une sixième et dernière partie nous permet d’envisager des voies d’optimisation et
d’élargissement.
2 Approches topologiques
Les méthodes topologiques sur des maillages consistent à adapter des surfaces discrètes au domaine de la géométrie différentielle. Dans le cadre qui nous intéresse, Le problème consiste à représenter la topologie d’une surface
pour permettre sa classification, sa simplification ou son exploration.
Les travaux s’appuyants sur l’étude topologique des surfaces ont d’abord été appliqués à l’étude de terrains et de
ses graphes de contours [dBvK93]. Biasotti [Bia01] a montré qu’une évolution des graphes de Reeb, les ERG,
pouvaient être utilisées à des fins de reconnaissances de formes sans cependant introduire de multirésolution.
Hilaga et al.[HSKK01] ont utilisé une approche multirésolution des graphes de Reeb, les MRG, et une méthode de
recherche idéale pour des recherches dans de grandes collections de modèles. Tung et Schmitt [TS04] ont récemment proposé une extension aux graphes MRG par l’ajout d’informations topologiques, géométriques et visuelles
dans les noeuds du graphe et par l’amélioration de la méthode de comparaison de graphes.
A notre connaissance, le seul article traitant de l’indexation de pièces d’industrie par graphe topologique vient de
Bespalov et al. [BRS03]. Dans cet article, la méthode d’indexation multirésolution originale [HSKK01] a été directement utilisée sur des bases de pièces d’industrie topologiquement caractéristiques (nombre de trous notamment).
Les auteurs ont été confrontés à la sensibilité de la méthode par rapport aux problèmes de connexité des pièces
utilisées. Ils constatent également que l’algorithme original du graphe de Reeb est très sensible aux perturbations
géométriques du modèle. La suite de cet article présente une extension des graphes de Reeb multirésolution visant
à les rendre moins sensibles aux perturbations géométriques.
3 Graphe de Reeb multirésolution
Le terme graphe de Reeb provient du mathématicien Georges Reeb qui fut le premier à proposer cette manière
d’exprimer l’évolution des ligne de niveaux d’une fonction µ définie et continue sur une surface M [Ree46]. Un
graphe de Reeb est composé de noeuds, correspondants aux points critiques de la fonction f sur M et d’arêtes :
une arête entre deux noeuds correspondants à deux points critiques a et b représente une composante connexe de
x ∈ M, f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) [Gra71].
La multirésolution provient de la discrétisation dichotomique des valeurs de la fonction µ et du regroupement
hiérarchique des nœuds du graphe de Reeb obtenus à chaque résolution.
3.1 Choix de la fonction µ
Dans le cas de l’analyse de terrain, µ est une fonction de hauteur, car la donnée (le terrain) possède une orientation
qui fait que la hauteur a un sens. La problématique d’indexation qui nous concerne requière une fonction invariante
aux transformations isométriques et robuste aux déformations locales des modèles à indexer.
Certaines méthodes existantes choisissent pour fonction µ la distance à un point source donné sur la surface[Het03]
F IG . 1 – La géodésique est robuste aux déformations
[HSKK01].
F IG . 2 – Une portière : chaque couleur représente
une surface connexe indépendante des autres.
(distance géodésique). Une alternative récemment proposée est d’intégrer cette distance sur toute surface, afin
d’éviter d’avoir à choisir le point source [HSKK01] [TS04]. Ces méthodes intégrales de distances sur la surface
donnent de très bons résultats car elles sont invariantes aux déformations locales, (figure 1). Malheureusement,
les algorithmes qui implémentent les calculs de distances géodésiques ne sont pas tolérants aux dégénérescences
du maillage fréquemment rencontrées dans les maillages exportés des logiciels de CAO (figure 2) ; il n’est pas
possible de calculer de distance géodésique sur un maillage imparfait à cause des problèmes de connexité.
Afin de pouvoir traiter une grande variété de pièces, en particulier les pièces mécaniques issues des logiciels
de CAO, nous avons choisi une fonction tolérante aux imperferctions topologiques des maillages. Le calcul des
distances sur les maillages n’étant plus envisageable, nous avons choisi µ comme la distance géométrique entre un
point du modèle et le centre géométrique du modèle.
3.2 Extension proposée
D’après la définition formelle [Gra71], un graphe de Reeb est composé de noeuds correspondants aux points
critiques de la fonction µ. Ces points correspondent aux changements topologiques des lignes de niveaux de µ. En
nous appuyant sur cette définition, nous proposons de fusionner toutes les branches du graphe de Hilaga [HSKK01]
où aucun changement topologique n’est observé, pour ne conserver que les composantes connexes comportant un
ou plusieurs points critiques de µ, comme l’illustre la figure 3.
0
52
92
58
294
323
623
748
1419
416
1101
2264
4886
3684
294
274
1490
1512
1180
1183
410
293
419
274
0
1809
423
427
829
12
416
841
787
790
1352
1360
758
194
13
381
1419
1102
10833
568
767
200
2670
2696
829
567
2967
12
850
2991
953
13
966
F IG . 3 – Graphes avant et après simplification topologique.
Cette extension permet de simplifier les graphes obtenus et d’appréhender les graphes de Hilaga d’une façon plus
topologique. En effet, les graphes de Hilaga introduisent implicitement une information géométrique puisqu’il
suffit de multiplier le nombre de noeuds d’une branche du graphe par la valeur d’un intervalle pour retrouver la
caractéristique géométrique globale de la branche.
4 Évaluation des similarités entre graphes
Une fois les graphes de Reeb obtenus, nous disposons, pour chaque pièce à indexer, de sa représentation topologique à niveaux de résolution croissants. L’étape suivante est naturellement l’exploitation de ces graphes pour
mettre en œuvre le processus d’indexation proprement dit. Ce processus d’indexation consiste à construire une
fonction qui traduit les similarités entre différents modèles.
4.1 Solutions existantes
A notre connaissance, la seule heuristique d’évaluation de la similarité pour les graphes multirésolution a été proposée par Hilaga [HSKK01], cette heuristique a ensuite été enrichie par Tung et Schmitt [TS04].
La méthode de comparaison de graphes de Hilaga[HSKK01] repose sur une stratégie multirésolution consistant à
trouver le sous graphe commun aux deux graphes qui minimise une fonction de perte calculée pour chaque couple
de noeuds appariés sur les deux graphes.
Tung et Schmitt [TS04] précisent la fonction de similarité en proposant une méthode améliorant l’appariement des
noeuds du graphe en localisant ces noeuds dans un repère sphérique centré sur le modèle et aligné selon des axes
naturels ou selon une technique d’alignement spatial.
La méthode de comparaison de Hilaga donne d’excellents résultats sur des modèles usuels. De même que l’extension proposée par Tung et Schmitt. Malheureusement, Cette méthode d’appariement part du postulat que deux
noeuds appariés ne peuvent pas appartenir à deux niveaux de résolution différents. Par conséquent, la méthode de
comparaison de Hilaga nécessite une adaptation assez lourde pour pouvoir être utilisée avec nos graphes obtenus
par fusion topologique. En revanche, l’adaptation de la méthode de comparaison de graphes de Hilaga aux graphes
simplifiés topologiquement constitue une voie à explorer.
4.2 Fonction de similarité choisie
Nous avons choisi d’utiliser une heuristique de comparaison de graphe très basique, puisque nous avons transcrit
la similitude entre deux graphes en comparant leur structure. À un niveau de résolution donné, nous commençons
notre recherche sur un noeud virtuel unique, premier père du graphe au niveau de résolution courant et nous
comparons récursivement, pour tous les fils de chaque noeud des deux graphes, leur nombre de fils respectifs.
Nous apparions les noeuds en comparant le rapport entre la valeur de leur surface et la somme des valeurs des
surfaces des noeuds partageant le même père, comme le montre l’illustration 4. Le score de similarité entre deux
graphes M et M s’obtient en sommant tous les noeuds m et n appariés :
X
SIM (M, N ) = (
sim(m, n))
{m,n}
avec sim(m, n) = 1 si m et n sont appariés, 0 sinon.
Contrairement à [HSKK01, TS04], cette méthode de comparaison ne respecte pas le critère de cohérence topologique, ce qui signifie qu’à un niveau de résolution n, deux noeuds appariés sont susceptibles de posséder des
parents non appariés au niveau de résolution n − 1.
NIVEAU 1
0
0
4171
453
3519
457
492
404
2042
601
959
1100
0
NIVEAU 2
0
407
948
1477
1663
492
438
2
4
398
445
9
2
4
6
1
2
402
3
1
1
863
3
5
232
F IG . 4 – Notre méthode de comparaison de graphes.
5 Expérimentations et résultats
Nous allons présenter la collection de modèles qui nous a permis de réaliser les tests. Nous présentons ensuite le
protocole suivi pour effectuer nos expérimentations.
5.1 Base de tests
La collection que nous avons utilisée lors de nos tests comporte 105 objets ; ces objets proviennent des bureaux de
conception d’un constructeur automobile et entrent dans la conception d’une voiture existante. Il s’agit de maillages
R
au format VRML qui ont été exportés à partir du logiciel de CAO Catia
. La première étape consiste à classer ces
différentes pièces en fonction de leurs similarités visuelles. Nous avons décidé de répartir ces pièces en 11 classes
distinctes. Cette classification manuelle a uniquement pour but de permettre les tests tels que nous les expliquons
par la suite. En aucun cas cette classification n’a été utilisée pour améliorer les performances de notre moteur de
recherche.
(7) classe plaque : 10 éléments
(8) Classe portière : 6 éléments
(1) classe barre : 12 éléments
(4) classe cuvette : 11 éléments
(2) classe boite : 10 éléments
(5) classe aile : 11 éléments
(9) classe tribranche : 9 éléments
(6) classe haillon : 2 éléments
(3) classe carter : 7 éléments
(11) classe tuyaux : 15 éléments
(10) classe tribranche_large : 11 éléments
F IG . 5 – Les onze classes de notre base de pièces.
Les pièces illustrées dans la figure 5 représentent les modèles représentatifs de chacune des onze classes composant
les 105 objets de la collection avec laquelle nous avons réalisé nos tests. Chaque classe est composée de pièces
visuellement assez semblables pour former un groupe homogène.
Comme nous pouvons le constater dans la figure 5, ces onze classes sont visuellement assez différentes deux à
deux. Certaines classes présentent néanmoins des similitudes topologiques. Ainsi, à niveau de résolution grossier,
c’est à dire, en ne prenant pas en compte les caractéristiques topologiques fines, on constate que la classe tribranche
est topologiquement proche de la classe tribranche large et que la classe barre est topologiquement proche de la
classe tuyau. Lorsqu’on les considère en détail, on ne peut plus faire d’analogie entre les classes de pièces.
5.2 Tests
Notre campagne de tests a débuté par l’étape de traitement offline, qui consiste à construire le graphe de Reeb à
multirésolution de chaque modèle à traiter.
Nous avons choisi de construire des graphes de Reeb à 256 intervalles maximum pour la résolution la plus fine, ce
qui est adapté à la résolution élevée des modèles de pièces mises à notre disposition.
Une fois les graphes MRG calculés, nous avons réalisé les tests proprement dits en utilisant notre algorithme de
comparaison pour les graphes MRG classiques et pour les graphes MRG simplifiés.
La figure 5.2 illustre les résultats de nos séries de tests. Chaque matrice représente les résultats de l’algorithme de
comparaison, calculé systématiquement pour toutes les pièces de la collection de pièces.
Chaque case de la matrice représente la similarité entre deux modèles. Plus la valeur de la fonction de similarité
calculée pour les deux pièces comparées est élevée, plus la couleur de la case correspondante sera chaude.
Pour plus de clarté, les cases dont la valeur de la fonction de similarité est inférieure à 30, sur une échelle de 0 à
100 sont représentées en noir.
La colonne de gauche représente les résultats obtenus en comparant les graphes MRG de Hilaga, tandis que la
colonne de droite représente les résultats obtenus par comparaisons des graphes MRG obtenus grâce à notre extension.
Chaque ligne illustre les résultats obtenus en restreignant le parcours de notre algorithme de recherche à un niveau
de résolution donné. Plus le niveau de résolution est élevé, plus le graphe est complexe et précis.
(1) (2) (3) (4) (5)(6)(7) (8)(9)(10) (11) (1) (2) (3) (4) (5)(6)(7) (8)(9)(10) (11)
( A ) MRG niveau 3
( B ) MRG fusionné niveau 3
(1) (2) (3) (4) (5)(6)(7) (8)(9)(10) (11) (1) (2) (3) (4) (5)(6)(7) (8)(9)(10) (11)
( C ) MRG niveau 5
( D ) MRG fusionné niveau 5
(1) (2) (3) (4) (5)(6)(7) (8)(9)(10) (11) (1) (2) (3) (4) (5)(6)(7) (8)(9)(10) (11)
( E ) MRG niveau 7
( F ) MRG fusionné niveau 7
F IG . 6 – Matrices de classifications pour graphes non simplifiés et pour graphes simplifiés.
Quelque soit le type de graphe utilisé lors de la comparaison, nous constatons que quelques classes d’objets ne sont
pas correctement discriminées, ces classes sont la classe cuvette, la classe carter complexe et la classe tuyaux. Ces
classes sont difficilement caractérisables par une approche topologique car elles possèdent peu de points critiques,
ou de zones observant des changements topologiques telles que des embranchements de fourches ou de jointures
ou d’extrêmas locaux.
A niveaux de résolution faible (entre un et trois), les comparaisons qui reposent sur les graphes MRG classiques
sont plus discriminantes que les comparaisons qui se basent sur notre extension.
A niveaux de résolution plus élevé, la situation se retourne et les performances penchent en faveur de notre extension. De plus, le taux de fausses détections (pièces dont la valeur de la fonction similarité est élevée bien
qu’appartenant à des classes différentes) décroît considérablement avec notre extension.
Dans la suite de ce document, nous allons interpréter les résultats.
5.3 Interprétation des résultats
Nous constatons que, à partir d’un certain niveau de résolution, notre algorithme de comparaison de graphe détecte moins de faux positifs avec nos graphes fusionnés. La méthode de construction de graphes originale induit la
création d’au moins un noeud (donc une composante connexe) par intervalle de valeurs de la fonction µ. Par conséquent, un objet pauvre en changements topologiques sera représenté par quelques branches composées d’autant de
noeuds que d’intervalles de valeurs. Topologiquement, ces branches sans changement topologique ne portent pas
d’information. Lors de la construction du graphe de Reeb multirésolution, nous constatons que la position géométrique des changements topologiques sur les modèles à comparer va avoir une grande influence sur les graphes à
niveaux de résolutions grossiers.
En revanche, l’extension que nous proposons, en supprimant toutes le branches dépourvues de changement topologiques va nous donner une plus grande robustesse vis à vis des transformations géométriques de l’objet. Que
ces transformations géométriques soient homothétiques ou par étirement, locales ou globales. Cette robustesse par
rapport aux variations géométriques explique les performances de notre extension pour les modèles de CAO.
6 Conclusion
Après avoir cerné le cadre théorique des graphes topologiques, nous avons adapté les méthodes existantes aux
contraintes particulières des pièces d’industries, issues de logiciels de CAO et souvent incorrectement maillées,
mais souvent topologiquement significatives. Afin de représenter plus efficacement l’aspect topologique pur des
modèles, nous avons proposé une méthode de décimation du nombre des noeuds d’un graphe topologique en fusionnant ses branches invariantes. Les résultats expérimentaux montrent que notre proposition permet de mieux
discriminer différentes classes de pièces.
Dans des travaux futurs, nous envisageons à court terme d’adapter la fonction de similarité originale à nos graphes
simplifiés afin de bénéficier du critère de cohérence topologique en vue d’améliorer l’évaluation des similarités
entre graphes. Nous souhaitons également évaluer et comparer la robustesse de notre extension aux déformations locales ou globales par rapport à la méthode originale. Enfin, nous souhaiterions proposer une méthode de
recherche par parties de pièces, la représentation par graphe hiérarchique se prêtant particulièrement bien aux
recherches locales.
7 Remerciements
Ce travail a été rendu possible par le projet exploratoire RNRT SEMANTIC-3D. Nous remercions l’entreprise
Renault pour nous avoir fourni la collection de pièces automobiles à haute résolution qui nous a permis de réaliser
les expérimentations. La figure 3 a été réalisée grâce aux modèles du National Design Depository1 [FHI+ 01]. La
figure 4 a été réalisée grâce aux modèles du Princeton Shape Benchmark2 [SMKF].
1 http
2 http
://edge.mcs.drexel.edu/repository/frameset.html
://shape.cs.princeton.edu/benchmark/
Références
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