Triangles semblables - Cégep de Lévis

D-26
Géométrie euclidienne
TRIANGLES SEMBLABLES
PAR ANDRÉ ROSS
PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES
CÉGEP DE LÉVIS-LAUZON
INTRODUCTION
L’étude de la proportionnalité des parties, ligne, aire et
volume de figures ou de solides semblables remonte aux
travaux de Thalès et à l’École de Pythagore. Pour les
pythagoriciens, convaincus que l’espace, le temps et la
matière sont constitués de grains indivisibles, il allait de
soi de croire à la commensurabilité de toutes grandeurs de
même nature. Ils ont donc effectué beaucoup de recherches sur les rapports de figures semblables. La découverte
de l’incommensurabilité de la diagonale et du côté du
carré porta un dur coup à leur conviction. C’est Eudoxe
qui a libéré la proportionnalité du carcan de la
commensurabilité pour préserver les résultats obtenus par
les pythagoriciens. La notion de proportionnalité définie
par Eudoxe est celle reprise par Euclide dans les Éléments. Nous ne présenterons pas cette approche qui est un
peu lourde lorsque l’on peut utiliser les nombres décimaux.
Dans la section précédente, nous avons vu comment utiliser les cas d’égalité de triangles pour démontrer des théorèmes nouveaux, nous allons maintenant faire de même
avec les cas de similitude des triangles.
SIMILITUDE DES TRIANGLES
Définition
Triangles semblables
On dit que deux triangles sont semblables si :
• leurs trois angles sont congrus chacun à chacun;
• leurs côtés homologues sont proportionnels.
En pratique, il est souvent intéressant de pouvoir se convaincre de la similitude des triangles sans avoir à vérifier
toutes ces conditions. Les théorèmes suivants nous indiquent les conditions minimales qu’il faut vérifier pour
s’assurer de la similitude des triangles. Nous ne démontrons pas ce théorèmes, mais nous les utiliserons.
RAPPORTS ET PROPORTIONS
Le quotient de deux grandeurs a et b, noté
a
, est appelé le
b
rapport de a sur b. Deux rapports égaux forment une propora c
tion. Ainsi, = est une proportion. Dans une proportion,
b d
les grandeurs occupant les positions désignées par a et d sont
appelées les extrêmes de la proportion et les grandeurs occupant les positions désignées par b et c sont appelées les
moyens de la proportion. Lorsque les moyens sont égaux, leur
valeur est appelée la moyenne proportionnelle de a et d. On
a b
2
note alors = d’où b = ad et b = ab .
b d
LES MOYENNES
Les Pythagoriciens distinguaient trois types de moyenne entre deux nombres et ils s’intéressaient surtout à l’interprétation géométrique de ces moyennes. Ils croyaient que les
nombres donnaient accès à la structure de l’univers. La
moyenne arithmétique de a et b définie par
a+d
a
moy A =
.
b
2
Géométriquement, c’est la longueur du
côté du carré ayant même périmètre que le
rectangle de côtés a et b, soit le quart du
c
périmètre du rectangle.
La moyenne géométrique de a et b est
également représentée géométriquement
par le côté du carré ayant même aire que
le rectangle de côtés a et b. Ainsi, (voir
encadré précédent)
a
b
c
moyG = ab .
La moyenne harmonique de a et b est l’inverse de la moyenne
arithmétique des inverses multiplicatifs des nombres. Ainsi,
la moyenne harmonique de a et b est
moy H =
2
1
1
=
2
ab
=
.
b+a a+b
+
a b
ab
2
On constate que la moyenne harmonique de a et b est le
rapport de l’aire du rectangle de côté a et b sur le quart de son
périmètre. Lorsque la figure est un carré, c’est trois moyennes
sont égales.
Triangles semblables D-27
Théorème 10
Premier cas de similitude des triangles
Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont deux
angles égaux chacun à chacun.
C
B A'
A
Lorsqu’on veut démontrer que des segments de droite
dans une figure géométrique sont proportionnels, on cherche s’il est possible de construire des triangles semblables
dont ces segments de droite sont des côtés.
C'
Théorème 14
B'
Théorème de Thalès
Lorsque dans un triangle on trace une droite parallèle à
un des côtés du triangle, on détermine un deuxième
triangle semblable au premier.
Théorème 11
Deuxième cas de similitude des triangles
Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont un
angle égal adjacent à deux côtés homologues proportionnels.
C
C'
B'
B A'
A
AB
A' B'
=
Démonstration
Soit un triangle ABC. D’un point D situé sur le côté AB
traçons la droite DE parallèle au côté BC . On forme
alors un triangle ADE. Les triangles ABC et ADE sont
semblables puisqu’ils ont deux angles congrus. (premier
cas de similitude).
AC
A
A
A' C'
D
B
Théorème 12
Troisième cas de similitude des triangles
Deux triangles sont semblables lorsque leurs côtés
homologues sont proportionnels.
C
B A'
A
AB
A' B'
=
AC
A' C'
=
C
B
α
β δ E
γ
C
En effet l’angle a est congru à l’angle b comme angles
correspondants puisque BC et DE sont parallèles. De la
même façon, l’angle g est congru à l’angle d comme
C'
angles correspondants. De plus l’angle BAC est commun
aux deux triangles.
B'
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
BC
B' C'
SIMILITUDE ET HOMOTHÉTIE
Théorème 13
Similitude de triangles rectangles
Deux triangles rectangles sont semblables lorsqu’ils
ont un angle aigu égal.
C'
C
A'
A
B
B'
On peut construire un triangle semblable à un triangle
ABC donné en prenant un point O à l’extérieur du triangle
et en traçant les droites joignant le point O à chacun des
sommets du triangle ABC. On trace alors les segments
A' B' parallèlement à AB , A' C' parallèlement à AC et
B' C' parallèlement à BC . Dans une telle construction, le
point O est appelé centre d’homothétie.
D-28
Géométrie euclidienne
côtés BE et BC. On a donc :
B'
B
BD
O
C
C'
DC
=
BA
EA
et, puisque EA = CA , on a
BD
DC
=
BA
CA
.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
A
A'
On constate que ce procédé de construction est une application du théorème de THALÈS. En effet les triangles OAB
et OA'B' sont semblables, il en est de même pour les
triangles OAC et OA'C' ainsi que OCB et OC'B'.
OA' OB' A' B'
=
=
,
OA OB
AB
on peut déterminer le rapport de similitude des triangles.
Puisque
Ainsi, en prenant OA' = 2OA , on construira un triangle
A'B'C' dont le rapport au triangle ABC de similitude est 2.
AIRES ET SIMILITUDE
On peut facilement établir que le rapport des aires de
figures semblables est égal au rapport des carrés des
lignes homologues.
On peut le faire d’abord pour les triangles, puis s’inspirer
du fait que tout polygone est décomposable en triangles.
Théorème 16
Rapport des aires
Le rapport des aires de triangles semblables est égal
au rapport des carrés des bases.
Théorème 15
Bissectrice et côté opposé
La bissectrice d’un angle d’un triangle divise le côté
opposé à cet angle dans le rapport des côtés adjacents.
Démonstration
Soit ABC et DEF, deux triangles semblables. Abaissons
les hauteurs BH et EG.
B
Démonstration
Soit ABC un triangle quelconque et AD, la bissectrice de
l’angle A. On veut montrer que :
BD
DC
=
BA
CA
A
Traçons CE, parallèlement
à la bissectrice AD et prolongeons le côté BA jusqu’à
sa rencontre avec la paralB
C
D
lèle en E.
E
On a alors :
d
–a = –b, puisque AD est la
A
bissectrice de l’angle en A.
a b
–b = –c, comme angles alc
ternes-internes.
–a = –d, comme angles B
C
D
correspondants.
On a donc –c = –d, et le triangle ACE est isocèle.
Par conséquent, EA = CA comme côtés opposés aux angles égaux d’un triangle isocèle. Le segment AD est alors
une droite parallèle au côté CE du triangle BEC. Cette
droite détermine donc des segments proportionnels sur les
E
A
H
C
D
G
F
L’aire d’un triangle est le demi-produit de sa base par sa
hauteur. On a donc :
AABC (AC ¥ BH) 2 AC ¥ BH AC BH
=
=
¥
=
ADEF (DF ¥ EG ) 2 DF ¥ EG DF EG
Cependant, les triangles ABH et DEG sont semblables, on
a donc :
AC BH
=
DF EG
Et, en substituant, on obtient :
AABC AC BH AC 2
=
¥
=
ADEF DF EG DF 2
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
REMARQUE
On voit que l’on peut facilement faire de même pour
n’importe quel côté du triangle. De plus, on peut montrer
que le rapport des aires est égal au rapport du carré des
hauteurs, au rapport du carré des médiatrices et, de façon
générale, au rapport du carré des lignes homologues.
• • •
Triangles semblables D-29
EXERCICES : SIMILITUDES
1. Montrer que toute parallèle à un côté d’un triangle
détermine sur les deux autres côtés des segments
proportionnels.
6. Montrer que lorsque deux cordes se coupent dans un
cercle, le produit des deux segments de l’une est égal
au produit des deux segments de l’autre.
B
C
A
D
E
E
B
A
C
2. Montrer que la bissectrice d’un angle d’un triangle
divise le côté opposé dans le rapport des côtés adjacents.
A
BD AB
=
.
DC AC
B
D
AD AE
=
.
DB EC
D
C
À montrer AE ¥ EB = CE ¥ ED.
7. Montrer que : Si d’un point hors d’un cercle on mène
deux sécantes à ce cercle, le produit de la première
sécante par sa partie extérieure est égal au produit de
la seconde sécante par sa partie extérieure.
C
B
E
3. Montrer que dans tout triangle rectangle, la hauteur
abaissée du sommet de l’angle droit détermine deux
nouveaux triangles semblables entre eux et semblables au premier.
A
B
γ
β
H
C
4. Montrer que dans tout triangle rectangle
a) chaque côté de l’angle droit est moyen proportionnel entre sa projection sur l’hypoténuse et
l’hypoténuse entière.
b) la hauteur abaissée du sommet de l’angle droit
est moyenne proportionnelle entre les deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.
5. Théorème de Pythagore
En utilisant les résultats du numéro précédent, montrer que dans tout triangle rectangle, le carré de
l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux
autres côtés.
D
A
À montrer EA ¥ ED = EC ¥ EB.
8. Montrer que: si d’un point hors d’un cercle on mène
une tangente et une sécante à ce cercle, la tangente
est moyenne proportionnelle entre la sécante entière
et sa partie extérieure.
A
E
C
B
À montrer EA 2 = EC ¥ EB.
9. Montrer que le rapport des aires de triangles semblables est égal au rapport des carrés des hauteurs.