Examen Mesures de Risque de Marché

ESILV
D. Herlemont
2010
Mesures de Risque de Marché I
Examen Mesures de Risque de Marché
Durée: 2 heures. Documents non autorisés et calculatrices simples autorisées.
2 pt
1. Quelle est l’interprétation d’une ”Value-at-Risk” à 95% quotidienne de 10 millions d’euros:
a) perdre au moins 10 millions d’euros, 10 jours sur 100
b) perdre au moins 10 million d’euros, 1 jour sur 100
c) perdre au moins 10 million d’euros, 1 jour par mois
d) perdre au plus 10 millions d’euros, 5 jours sur 100
Justifier la réponse en rappelant la définition de la VaR.
Corrigé: réponse: C, cf cours
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2. Concernant le risque de marché, BALE II impose le calcul d’une Value at Risk (VaR) de
niveau de confiance α = 99% sur un horizon T de 10 jours.
ˆ Comment sont justifiés le choix des paramètres de la VaR (niveau de confiance et horizon
de temps).
ˆ Quelle est la relation entre cette VaR et le besoin en capital concernant le risque de marché
?
ˆ expliquer le mécanisme par lequel les autorités de régulation peuvent vérifier que la banque
ne sous estime pas ses risques, qu’en est il lorsque les risques semblent sous estimés ?
Corrigé:
ˆ Le niveau de confiance de 99% résulte d’un compromis entre la volonté de capturer les pertes
extrèmes d’une part, et la capacité à effectuer des tests significatifs lors d’un backtest sur
un an (250 jours, soit 2.5 excpetions en moyenne), d’autre part. L’horizon de 10 jours est la
durée jugée nécessaire pour corriger une position en cas de problème.
ˆ En simplifiant, le capital requis pour faire face au risque de marché est k∗V ar(99%, 10jours),
avec k un facteur variant de 3 à 4, en fonction des résultats de backtests.
ˆ La vérification de la VaR s’effectue à l’aide d’un backtest sur l’année écoulée. Lorsque le
nombre d’exceptions est excessif (resp. de 4 à 10), la commission bancaire augmente le
facteur k, ci dessus (resp. de 3 à 4).
Daniel Herlemont
1
2 pt
3. On suppose que le modèle de VaR à 99% est correct. Quelle est la probabilité d’observer une
exception au moins lors d’un backtest sur un an (250 jours),
a) 0
b) 8.1 %
c) 20.5%
d) 91.9 %
Justifier la réponse (en détaillant les calculs).
Corrigé: Réponse d)
. Le nombre d’exception suit une loi binomiale de paramètre n = 250 et p = 1 − α = 1% La
probabilité d’observer k exception
P [Ne = k] = Cnk pk (1 − p)n−k
La probabilité d’observer une exception au moins est
1 − P [Ne = 0] = 91.9%
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4. Un trader intervient sur les marchés à terme des actions et obligations long terme. Son
investissement est de W1 = 2 millions d’euros en actions et W2 = 5 millions d’euros en obligations
La volatilité mensuelle du marché actions est de σ1 = 5%, celle du marché de taux est de σ2 = 1%,
la corrélation entre ces marchés est de ρ = −0.1. On s’interesse ici à la VaR à 95% sur un mois.
1. Sous l’hypothèse de normalité, montrer qu’une VaR à 95% sur un mois est très proche d’une
VaR à 99% à 10 jours. Que penser de cette hypothèse de normalité ?
2. Quelles sont les VaR des positions en actions et obligations prises isolément.
3. Calculer la volatilité du portefeuille σp ainsi que la VaR du portefeuille.
4. Comparer cette VaR du portefeuille à la somme des VaR isolées. Commentaires ?
5. Le trader souhaite changer ses positions, sans modifier la VaR de son portefeuille qui lui
imposée.
6. Quelle doit la relation entre la position en actions et la position en obligations pour respecter
la même VaR ? ‘
7. Quelle peut être la position maximale en actions, toujours sous la même contrainte de VaR.
Corrigé:
√
1. Sous hypothèse de normalité, une VaR à 95% sur un mois est V ar(.95, 20jours) = z.95 20σ =
1.64 ∗ 4.47σ = 7.36σ, avec
√ σ la volatilité quotidienne de la position en euros. De même
V ar(.99, 10jours) = z.99 10σ = 7.36σ,
2. Les VaR des positions en actions et obligations prises isolément sont en millions d’euros
ˆ V AR1 = z.95 σ1 W1 = 164
ˆ V AR2 = z.95 σ2 W2 = 82.2.
Daniel Herlemont
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3. La volatilité en millions d’euros du portefeuille est
q
σe = W12 σ12 + W22 σ22 + 2ρ ∗ W1 σ1 W2 σ2 = 107
ou en taux de rendement σr = σe /W = 1.53% avec W = W1 + W2 , la valeur du portefeuille.
La Var est alors V AR = z.95 ∗ σe = 176 millions d’euros.
4. On constate que V AR < V AR1 + V AR2, il y aurait égalité ssi les actifs étaient parfaitement
corrélés.
5. Le trader souhaite changer ses positions, sans modifier la VaR de son portefeuille qui lui
imposée.
6. Pour respecter la même VaR, on peut raisonner en terme de volatilité, les positions Wi
doivent vérifier
W12 σ12 + W22 σ22 + 2ρW1 σ1 W2 σ2 = σe
Ce qui détermine un ellipse. ‘
7. en différenciant l’équation précédente, on obtient
dW1 (W1 σ12 + ρσ1 σ2 W2 ) + dW2 (W2 σ22 + ρσ1 σ2 W1 ) = 0
puis divisant par σe2 , β1 dW1 + β2 dW2 = 0. Le maximum de W1 est obtenu pour dW1 = 0,
soit β2 = 0 ou W2 σ22 + ρσ1 σ2 W1 = 0, d’où
W1 = p
1
1−
ρ2
σe
= 2.166
σ1
On voit que la position maximale est plus grande dans le cas d’un corrélation non nulle.
8 pt
5. Un portefeuille est constitué par la vente d’une option de vente (short put) à la monnaie
d’échéance T = 10 jours. On suppose que le sous jacent suit une loi lognormale de moyenne nulle
et volatilité journalière σ = 2%. La valeur initiale du sous jacent est S0 = 100 euros. La valeur
du put à la date 0 est p0 = 2.52. Dans la suite, on s’intéresse à la VaR à 99% à 10 jours (c’est à
dire lorsque l’option arrive à maturité).
1. Quel est la valeur du portefeuille à la date 0 ? (attention il s’agit d’une vente ...)
2. Par une raisonnement simple, déterminer l’espérance de la valeur de ce portefeuille à maturité
?
3. Tracer l’allure du P&L X du portefeuille à maturité, en fonction de la valeur S du sous
jacent. Le P&L est il monotone en fonction de S ? Quelles sont les valeurs maximales de ce
P&L ?
4. Quelle sont les signes du delta et du gamma ? Quelle est la valeur approximative du delta ?
5. Tracer l’allure de la densité de ce P&L. Commenter l’allure de cette distribution en terme
de symétrie.
6. Quel est la VaR du portefeuille dans la méthode dite delta normale (que l’on décrira). La
VaR effective est elle supérieure ou inférieure à l’approximation delta normale (utiliser un
argument simple)
7. Calculer la volatilité du portefeuille en utilisant le développement limité en delta/gamma
dont on rappellera l’expression. La valeur absolue du Gamma est 0.063
Daniel Herlemont
3
8. Calculer la borne de la VaR en utilisant la volatilité calculée précédemment et l’inégalité de
Bienaymé-Tchebychev (indication: la distribution n’est pas symétrique)
9. Calculer la valeur exacte de la VaR en utilisant des propriétés de monotonie du P&L. Pour
quelle valeur du sous -jacent la VaR est elle atteinte ?
10. Comparer et commenter les différents calculs de la VaR. Citer et décrire d’autres méthodes
de calcul de la VaR en présence d’options.
Corrigé:
1. La valeur du portefeuille est V0 = −p0 . Autrement dit, on encaisse la prime de la vente.
2. A maturité, l’espérance de la valeur du sous jacent sans tendance est toujours égale à sa
valeur intiale donc au strike, l’option étant à la monnaie, la valeur de l’option à maturité est
nulle, de même pour la valeur du portefeuille.
3. La valeur du portefeuille à la date T est VT = −pT . Le P&L est X = VT −V0 = −pT −(−p0 ) =
p0 − pT , avec pT la valeur du put a maturité.
P&L
−15
−10
prix
−5
0
à la date t
a l'échéance
80
90
100
110
120
prix sous−jacent
Le P&L est croissant avec le prix du sous-jacent.
4. ∆ ≈ 0.5 car on est à la monnaie et Γ < 0.
Daniel Herlemont
4
0.15
0.00
0.05
0.10
Density
0.20
0.25
0.30
Histogramme des P&Ls
−20
−15
−10
−5
0
P&L
5.
La densité a une forte asymétrie négative. Les pertes peuvent être très grandes alors que les
gains sont ”capés” à la valeur initiale du put.
6. Dans la méthode dite delta normale, on effectue un développement limité au premier ordre.
VT − V0 ≈ ∆(ST − S0 ) = ∆rT S0 . Avec rT = (ST − S0 )/S0 , le taux de rendement du sous
jacent à l’horizon T . La VaR delta normale est alors
√
V aR = zα ∆σ T S0 = 7.36
En réalité la VaR est bien plus élevée, en raison de la forte asymétrie négative.
7. Dans un développement delta gamma, on approche les P&Ls par
1
VT − V0 ≈ ∆rT S0 + ΓrT2 S02
2
L’espérance est
µ∆Γ =
et la volatilité (voir cours et TD)
r
σ∆Γ =
1 2 2
Γσ T S0 == −1.26
2
1
∆2 σ 2 T S02 + Γ2 σ 4 T 2 S04 = 3.63
2
et la VaR delta gamma est
V aR∆Γ = −µ∆Γ + zα σ∆Γ = 9.7
Daniel Herlemont
5
8. Dans le cas de distribution non symétrique la borne de la VaR est (voir TD1)
σ∆Γ
= 36.3
V aR = √
1−α
9. Le P&L est une fonction croisssante du sous jacent. La VaR de niveau α correspond donc
au P&L du quantile à 1 − α du sous jacent
√
S ∗ = S0 exp(−2.33σ T ) = 86.3
et la VaR exacte est max(K − S ∗ , 0) − p0 = 11.2
10. La VaR delta normale sous estime largement la vraie VaR alors que la borne de la VaR
paraı̂t assez grossière. La VaR delta gamma parait acceptable.
Parmi les autres méthodes, citons (voir cours)
ˆ Les méthodes de simulation:
– La méthode de Monté Carlo qui consiste a générer des scénarii de prix futurs suivant
la distribution de ces prix (lognormale), évaluer le portefeuille pour chacun de ces
prix, puis les P&L, puis calculer le quantile à partir de l’échantillon des P&Ls
simulés.
– L’échantillon des prix futurs peut également être généré à partir de l’historique des
prix, dans ce cas on parle de simulation historique.
ˆ La méthode dite de Cornish Fischer qui consiste en un développement limité du quantile de la distribution par rapport au quantile normal. Ce développement limité fait
intervenir l’asymétrie de la distribution, ainsi que l’excès de Kurtosis.
Fin de l’énoncé, noté sur 20 points
Daniel Herlemont
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