PREPARATION OF PAPERS FOR PROCEEDINGS OF

COMITÉ NATIONAL
FRANÇAIS DE
RADIOÉLECTRICITÉ
SCIENTIFIQUE
Modélisation équivalente circuit et ligne de transmission d'un ensemble
canal foudre-bâtiment-sol
Michaël TROUBAT * - Emmanuel PERRIN* - Christophe GUIFFAUT*
Alain REINEIX* - Ahmed ZEDDAM**
(*): Laboratoire XLIM, 123 Av. Albert Thomas 87060 Limoges Cedex
(**): France télécom R&D, 2 avenue Pierre Marzin 22307 Lannion
Résumé. Ce papier propose une modélisation circuit
et ligne de transmission d'un ensemble canal foudre bâtiment - sol. La caractérisation du modèle est
réalisée par une modélisation électromagnétique
rigoureuse avec la méthode FDTD (Finite Difference
Time Domain).
Le modèle simplifié ainsi obtenu permet d'obtenir le
courant induit dans les câbles de télécommunications
qui se connectent au bâtiment étudié.
I. INTRODUCTION
Lors de l'impact direct d'un canal foudre sur un
objet quelconque, un courant important est alors créé.
Si l'objet est un bâtiment, le courant se propage sur les
armatures conductrices le constituant et un champ
électromagnétique transitoire est généré à l'intérieur
du bâtiment.
Dans ce papier, nous proposons de mettre en
oeuvre un modèle équivalent canal foudre - bâtiment sol. Cette modélisation permet alors le calcul de façon
simplifiée des champs rayonnés par l'ensemble canalbâtiment-sol. Ainsi il devient possible de connaître les
courants générés sur des câbles pouvant être
connectés au bâtiment. Ces courants sont dus au
champ rayonné et au couplage conductif provoqué par
l'élévation de potentiel du réseau de terre en raison du
courant de foudre.
II. PRINCIPE DU MODELE EQUIVALENT
Le modèle équivalent global repose sur l'obtention
de la matrice impédance [Z] du bâtiment. En effet, si
l'on connaît cette matrice, il est alors possible de
définir un modèle linéïque équivalent de l'objet. Pour
obtenir cette matrice, nous cherchons dans un premier
temps la matrice de répartition [S] du bâtiment, qui
sera par la suite convertie en matrice [Z].
Le travail se décompose en trois étapes de
modélisation:
Dans un premier temps, nous modélisons le canal
foudre. Puis, il est nécessaire de fournir une
modélisation électromagnétique du bâtiment qui
permettra alors de définir le modèle équivalent global
de l'ensemble canal foudre-bâtiment-sol.
Ces deux modèles sont joints par un point appelé
« point d'attachement foudre » qui peut être modélisé
par un interrupteur.
De plus, au niveau de ce point, il est important de
prendre en compte la désadaptation entre les deux
impédances caractéristiques des deux milieux. De
même, au niveau de la jonction bâtiment – sol, une
désadaptation
existe
entre
les
impédances
caractéristiques du bâtiment et du sol.
Zch pour le canal foudre
Zbat pour le bâtiment
● Zsol pour le sol (ajout d'une prise de
terre)
●
●
II.1 Méthode d'obtention du coefficient de
réflexion du bâtiment
Pour obtenir le modèle équivalent du bâtiment, il
est nécessaire de connaître son coefficient de
réflexion.
Puisqu'il est délicat de le connaître directement
avec la méthode FDTD, nous proposons une méthode
permettant de l'extraire.
Dans un premier temps, nous étudions la
propagation du canal foudre seul. Nous modélisons un
canal foudre « infini » en faisant pénétrer le fil dans
les PML aux deux extrémités. Puis, on excite ce fil
par un courant foudre en son milieu. On relève alors à
une distance L le courant sur le fil Iinc ainsi que le
champ électrique incident Einc.
Puis dans un second temps, nous étudions le coup
de foudre direct sur un bâtiment disposé sur un sol
réel. Nous regardons alors le courant et le champ
électrique présent à la distance L. C'est le champ total
Etot.
La figure 1 présente les deux études réalisées.
durée maximale de 500μs.
La figure 2 représente le modèle équivalent du
canal foudre:
Fig.2 – Modèle équivalent du canal foudre
La figure 3 montre la répartition du champ
électrique Ex dans le plan vertical du canal dans le cas
d'un impact direct de la foudre sur un court cicruit
electrique (CCE).
Fig.1 – Schémas du canal foudre seul et avec le
bâtiment sur un sol réel
Le coefficient de réflexion est alors le rapport
entre le champ réfléchi (champ total – champ
incident) et le champ incident.
tot
inc
E −E ds
∫
S 11=
∫ Einc ds
(1)
La méthode proposée permet d'obtenir le
coefficient de réflexion du bâtiment en deux études à
réaliser successivement.
II.2 Canal foudre
Précédemment, des modèles circuits du canal
foudre ont déjà été fournis. Par exemple, le canal
foudre peut être modélisé par l'association en parallèle
d'une source de courant I0(h,t) avec une impédance Zch
[1].
Zch est l'impédance caractéristique du canal foudre
et I0(h,t) est le courant à l'instant t et à l'altitude h qui
correspond à la hauteur du bâtiment où la source de
courant équivalent est définie par une forme de type
biexponentielle foudre f(t) de type A qui est la
première décharge en retour.
f t =I 0 e
I 0h ,t =2 ∫ f t−
−at
−e−bt 
 z '−h z '− h
−
e
v
c
(2)
− z ' −h

dz '
Fig.3 – Champ électrique suivant x
Le champ électrique rayonné par le canal se
décompose principalement en Ex et Ey,.
II.3 Bâtiment
II.3.a Modèle équivalent
Pour la modélisation du bâtiment, nous proposons
d'utiliser une représentation quadripolaire. Le
bâtiment sera ainsi défini par sa matrice impédance
[Z].
Pour obtenir cette matrice, la méthode FDTD [2]
est utilisée pour l'obtention du quadripôle. Le
formalisme des fils minces est appliqué pour réaliser
l'excitation tout en maintenant à l'extrémité opposée
une condition aux limites absorbantes (PML)[3]. Dès
lors, la référence est le champ nul à l'infini.
(3)
Cette onde est définie par une amplitude I0 de
200kA et par un temps de montée de 3μs sur une
Le système étudié est donné sur la figure 4 et
permet l'obtention du coefficient de réflexion du
quadripôle étudié.
Fig.4 – Modèle équivalent du bâtiment
La figure 6 présente le coefficient de réflexion en
fréquence du bâtiment obtenu avec la méthode FDTD.
Pour obtenir ce coefficient de réflexion, deux études
sont nécessaires. La première consiste à étudier un
canal foudre « infini » et à trouver un champ référent
que l'on appelle champ incident.
II.3.b Modèle étudié avec TEMSI-FD
Le bâtiment choisi pour cette étude présente une
surface au sol de 36m², pour une hauteur de 20m. Il se
décompose en deux ensemble. L'ensemble supérieur a
une surface plus petite de 9m².
Le bâtiment est posé sur un sol réel de permittivité
εrsol=3 et de conductivité σ=10-3S.m-1
La figure 5 permet de visualiser la répartition du
champ électrique Ex autour et dans le bâtiment dans le
cas d'un coup de foudre direct à un instant t donné.
Nous pouvons constater qu'il n'y a que très peu de
champ à l'intérieur du bâtiment, à l'exception d'une
zone située juste en dessous du point d'impact. De
plus, un champ est également rayonné.
Le champ se propage principalement le long du
bâtiment sur la grille métallique qui le compose. De
plus, cette armature métallique est connectée à un
réseau de terre situé à 40 cm de profondeur dans le sol
permettant d'évacuer le courant du au coup de foudre
et ainsi de protéger les câbles de télécommunication.
Nous pouvons noter la présence d'un champ
électrique important autour de ce réseau de terre.
Fig.6– Coefficient de réflexion du bâtiment dans
son environnement
Ce résultat nous montre une forte désadaptation
sur les fréquences les plus basses et un niveau de -2dB
pour les fréquences les plus hautes.
A partir de ces paramètres S, il est alors possible
d'obtenir la matrice [Z] en utilisant le système
d'équations (4):
{
[1S 11 ∗1−S 22 S 12∗S 21 ]
[1−S 11 ∗1−S 22 −S 12∗S 21 ]
2∗S 12
Z 12=
[1−S 11 ∗1−S 22 −S 12∗S 21 ]
2∗S 21
Z 21=
[1−S 11 ∗1−S 22 −S 12∗S 21 ]
[1−S 11 ∗1S 22 S 12∗S 21 ]
Z 22=
[1−S 11 ∗1−S 22 −S 12∗S 21 ]
Z 11=
}
(4)
Maintenant que la matrice impédance de l'objet est
connue, nous passons à la définition du modèle
équivalent global de l'ensemble.
II.4 Canal foudre – Bâtiment - Sol
Au niveau de la jonction entre le canal foudre et le
bâtiment, il existe un coefficient de réflexion ρb défini
par l'équation 5:
b =
Fig.5 – Champ Ex dans le cas d'un coup de foudre
direct sur le bâtiment
Z bat −Z ch 
Z bat Z ch 
(5)
Le sol est alors modélisé par une impédance Zs.
Cette impédance est en fait l'impédance
caractéristique du sol.
La désadaptation entre le bâtiment et le sol est
également à prendre en compte. L'équation 6 donne le
coefficient de réflexion ρg au niveau du sol:
g =
Z bat −Z s 
Z bat Z s 
(6)
La figure 7 présente le schéma équivalent global
de l'ensemble.
Fig.7 – Modèle équivalent global
Chaque portion de l'ensemble canal-bâtiment-sol
est maintenant connue et un modèle global équivalent
est proposé.
L'étape suivante, consiste à extraire un modèle
équivalent linéïque du bâtiment.
III. MODELE EQUIVALENT LINEIQUE DU
BATIMENT
Dans cette étape, on se propose de définir un
modèle équivalent linéïque du bâtiment. Pour définir
ce circuit équivalent il est nécessaire d'obtenir la
fonction de transfert du bâtiment. C'est pourquoi nous
avons cherché à obtenir sa matrice [Z].
A partir de cette matrice impédance, le bâtiment
peut être remplacé par un modèle équivalent circuit.
Sa représentation est une association de cellules Pi par
unité de longueur comme le montre la figure 8.
Fig.8– Cellule Pi du bâtiment
Les valeurs des impédances de la cellule Pi sont
alors fonction des dimensions du bâtiment.
Ce modèle linéique est pratique pour étudier les
courants qui peuvent être induits et/ou conduits dans
des câbles de télécommunications reliés au bâtiment.
Il suffit alors d'appliquer la théorie des lignes sur
ce modèle linéique connecté à celui des câbles de
télécommunication, pour étudier les courants sur ces
câbles.
IV. CONCLUSION
Il est proposé dans ce papier un modèle équivalent
d'un ensemble canal foudre - bâtiment - sol. Le
modèle que nous présentons est un modèle linéïque
temporel.
Par application de la théorie des lignes, il devient
possible de raccorder le modèle aux réseaux de câbles
de télécommunication pouvant être liés à ce bâtiment.
Nous pouvons ainsi déduire les courants induits et
conduits à l'intérieur des câbles de façon simple et
rigoureuse tout en étant un modèle complet.
REFERENCES
[1] J.L. Bermudez, R. Rachidi et M. Rubinstein,
“Lightning return strokes to tall towers:
modeling characterization of the strike object
and extraction of primary current
waveform”, Recent Progress in lightning
Physics. India 2005.
[2] C. Guiffaut, “TEMSI-FD, Simulateur basé
sur la méthode des différences finies dans le
domaine temporel” 2001-2008
[3] J.P. Berenger, “A Perfectly Matched Layer
for the Absorption of Electromagnetic Waves”,
Journal of Computation Physics, Vol 114 N°2,
Octobre 1994