- Accueil POM

Transcription

- Accueil POM

Master sciences de la modélisation, de l’information et des
systèmes
Spécialité Sureté du logiciel et calcul à haute performance
Établissement : École nationale de l’aviation civile
Laboratoire : Laboratoire d’optimisation globale (ENAC/DTI-SDER)
Sujet du mémoire :
Résolution de conflits par régulation
en vitesse et ordonnancement
Février à juillet 2006 à Toulouse
Auteur :
Maı̂tre de stage :
Directeur de recherche :
Pierre-Selim Huard
Nicolas Durand
Jean-Marc Alliot
[email protected]
[email protected]
[email protected]
Résumé :
Dans ce mémoire nous aborderons le problème de résolution de conflits
du trafic aérien. Afin de résoudre les conflits on modifiera légèrement
les vitesses des avions. Les solutions présentées dans ce mémoire s’appuyeront sur des techniques d’ordonnancement et de programmation par
contraintes.
Mots clés :
- Résolution de conflit
- Régulation en vitesse
- Trafic aérien
-
Ordonnancement
Programmation par contraintes
Optimisation combinatoire
FaCiLe
Remerciements
Je remercie Jean-Marc Alliot qui m’accueilli dans son laboratoire et qui m’a donc
permi de survivre pendant ces 6 mois de stage grâce à l’aide providenciel d’un généreux
donateur : la SDER. Je remercie également Nicolas Durand pour ses précieux conseils
dans l’orientation de mon travail et aussi pour son aide sur les questions administratives
avec lesquelles j’ai toujours été en difficulté.Je remercie Nicolas Barnier et Pascal Brisset, car c’est eux qui m’ont montré la voie. Ils ont commencé par me montrer la vrai
nature de Caml, pour quelques années plus tard pouvoir m’initier à la programmation par
contraintes. Merci.
Je remercie aussi Jean-Baptiste Goettland, l’expert1 en évitement de mur, et CharlesEdmont Bichot qui ont tenté de m’apprendre l’art du Blast, malheureusement pour eux
je crois que je ne serais jamais un grand artificier. Je ne peux pas non plus oublier Nicolas Archambault, un bandit notoire et Thomas Rivière, le cow-boy qui à eux deux
terrorisaient les élèves, mais pas trop.
N’oublions pas nos voisins du laboratoire d’économie avec qui nous refaisons le monde
tous les midi. J’exprime ma gratitude aux membres du LOG et du LEEA que je n’ai pas
encore remercier : Kévin Guittet qui aurait sans doute joué la coupe du monde si il
ne s’était pas fait mal à l’épaule ; Nicolas Gruyer qui n’est pas pret d’arrêter de fumer ;
Estelle Malavolti-Grimal qui esperons le trouvera la bonne technique pour verser le
thé avant que je ne parte ; Nathalie Lenoir la globtrotteuse du groupe ; si votre machine
est lente le matin c’est que Xavier Olive n’est pas loin ; et pour finir Cyril Allignol qui
va peut-être de découvrir les soirées parisiennes2
Enfin je remercie mes camarades de promotion, et tout ceux qui ont du me supporter
pendant ces dernières années, parce que c’est pas évident.
1
2
On a coutume de prétendre que le cordonnier est souvent le plus mal chaussé.
Mais on aimerait tous vivre des soirées belles à Sienne.
3
Table des matières
Remerciements
3
Introduction
9
1
Ordonnancement en programmation par contraintes
1 Programmation par contraintes
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Problème de satisfaction de contraintes
1.2.2 Consistance d’un CSP . . . . . . . . .
1.3 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Recherche systématique . . . . . . . .
1.3.2 Consistances locales . . . . . . . . . .
1.4 Programmation par contraintes . . . . . . . .
1.4.1 Propagation des contraintes . . . . . .
1.4.2 Heuristiques d’instanciation . . . . . .
1.4.3 Optimisation . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Les domaines continus . . . . . . . . .
2 Ordonnancement
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . .
2.2 Modélisation . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Tâches non-interruptibles
2.2.2 Relations temporelles . . .
2.2.3 Les ressources . . . . . . .
2.3 Ordonnancement disjonctif . . . .
2.3.1 L’Edge-finding . . . . . .
2.3.2 Not-first, not-last . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
14
14
15
15
17
18
18
19
19
19
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
22
22
22
22
23
23
25
6
TABLE DES MATIÈRES
2.3.3
2
La résolution de problèmes disjonctifs . . . . . . . . . . . . . . . . .
Régulation en vitesse
27
29
3 Contexte du trafic aérien
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Gestion du trafic aerien (ATM) . . . . . . . . .
3.3 Complexité du problème de résolution de conflit
3.4 Résolution automatique de conflit . . . . . . . .
3.4.1 Approche centralisée, ou autonôme . . .
3.4.2 Quelques approches théoriques . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
32
33
34
34
35
4 Résolution de conflits
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Critères d’optimalité . . . . . . . .
4.1.2 Les manoeuvres . . . . . . . . . . .
4.2 Route directe simple . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Détection de conflits . . . . . . . .
4.2.2 Résolution par PPC . . . . . . . .
4.2.3 Résolution par ordonnancement . .
4.2.4 Résultats . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Route directe avec changements de vitesse
4.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Modélisation du problème . . . . .
4.3.3 Contraintes . . . . . . . . . . . . .
4.4 Route standard . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Détection de conflits . . . . . . . .
4.4.2 Résolution par ordonnancement . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
37
37
38
38
38
41
43
45
46
46
47
47
47
48
48
.
.
.
.
51
51
52
53
54
5 Anticipation
5.1 Influence de la fenêtre d’anticipation sur la
5.2 Incidence entre les trajectoires . . . . . . .
5.3 Taille du problème . . . . . . . . . . . . .
5.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
qualité
. . . .
. . . .
. . . .
de la solution
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Optimisation
6 Différents critères d’optimisation
6.1 Les critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Les résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
57
57
58
61
7
TABLE DES MATIÈRES
7 Utilisation d’un algorithme glouton
7.1 L’algorithme glouton . . . . . . . . . . .
7.2 Ordronnancement . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Parcours exhaustif . . . . . . . .
7.2.2 Utilisation d’heuristiques . . . . .
7.2.3 Comparaison entre heuristiques et
7.2.4 Parcours en temps borné . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
parcours exhaustif
. . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
63
64
64
65
65
66
Conclusion
67
Annexes
71
A Glossaire
A.1 Unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Aeronautique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
71
71
72
B Liste des défintions
73
Introduction
Les services du contrôle de la navigation aérienne font face depuis plus de quarante ans
à une augmentation du trafic aérien. Parallèlement les avions sont équipés de moyens de
navigation de plus en plus performants (FMS, GPS), permettant aux avions de tenir de
façon de plus en plus précise des trajectoires. Par contre le contrôle aérien a lui peu évolué
depuis trente ans.
Pour améliorer la capacité du contrôle aérien, on a essentiellement revu le découpage
de l’espace aérien en secteur de taille plus petite. Ces redécoupages ont permis jusqu’à
maintenant d’augmenter la quantité de trafic contrôlée. Mais on ne pourra pas réduire
indéfiniment la taille des secteurs, en effet plus on réduit la taille des secteurs plus les
contrôleurs passent de temps à coordonner3 les avions d’un secteur à un autre.
L’une des méthodes envisagées pour aider le contrôleur est d’effectuer une sorte de
pré-contrôle où la machine changerait légèrement les vitesses des avions afin de rendre le
« trafic chanceux » pour le contrôleur. Ainsi le contrôleur aurait moins de conflits à gérer,
et pourrait donc gérer plus d’avions à la fois.
Pour assister les contrôleurs, différentes approches sont à l’étude concernant la résolution automatique de conflit en utilisant des algorithmes génétiques (méthode stœchastique),
des réseaux de neurones, ou encore des approches s’appuyant sur la programmation par
contraintes. Les méthodes stochastiques s’adaptent bien aux problèmes de grandes tailles,
mais elles ne garantissent pas l’optimalité des solutions, tandis que la programmation par
contraintes garantit l’optimalité des solutions.
Ici nous proposerons des méthodes pour effectuer des résolutions de conflits à l’aide de
régulations en vitesse et de programmation par contraintes. Dans ce mémoire on montrera
l’importance de l’ordre des avions lors de régulations en vitesse ce qui nous conduira à
donner des méthodes s’appuyant sur l’ordonnancement des avions.
3
Chaque contrôleur prévient le contrôleur du secteur suivant de l’arrivée d’un avion dans son secteur.
9
Première partie
Ordonnancement en programmation par
contraintes
11
Chapitre
1
Constraint programming represents one of
the closest approaches computer science has
yet made to the Holy Grail of programming :
the user states the problem, the computer
solves it.
E. Freuder, Constraints, vol. 2 n◦ 1
.
1.1
Introduction
La programmation par contraintes est un paradigme apparu à la fin des années 70,
au début des années 80. Il allie l’efficacité des méthodes de recherche opérationnelle et la
généricité des algorithmes d’intelligence artificielle.
La programmation par contraintes est utilisée dans de nombreux domaines tels que la
résolution de problèmes d’optimisation fortement combinatoires, les problèmes d’ordonnancement, d’allocation de ressource ou encore à la résolution de conflit dans le domaine
du trafic aérien [Barnier 02, Feydy 05a, Feydy 05b]. La résolution d’un problème en utilisant les méthodes de programmation par contraintes se fait en deux étapes. On commence
par modéliser le problème, c’est-à-dire que l’on définit l’espace d’état de nos solutions
(domaines et contraintes). Ensuite on passe à l’étape de résolution avec ou sans critère
d’optimisation.
L’une des clés de la programmation par contraintes est que les contraintes peuvent
être utilisées de façon active pour réduire la taille de l’espace de recherche : on parle de
propagation des contraintes.
Dans ce chapitre on commencera par définir les Problèmes de Satisfaction de Contraintes (ou CSP), on parlera ensuite des méthodes de résolution des CSP, et on finira par
présenter la programmation par contraintes.
13
14
1.2
1.2.1
CHAPITRE 1. PROGRAMMATION PAR CONTRAINTES
Définitions
Problème de satisfaction de contraintes
La résolution d’un Problème de Satisfaction de Contraintes (ou CSP) se fait en attribuant aux variables du problème une valeur satisfaisant toutes les contraintes. On parle
d’étiquetage (ou labeling).
Définition 1 (Domaine fini) On appelle domaine d’une variable x, l’ensemble de cardinal fini Dx des valeurs possibles de x.
Définition 2 (Contrainte binaire en extension) Soit x, y des variables de domaine
Dx et Dy . Soit R ⊂ Dx × Dy . Une contrainte binaire c = (x, y, R) est définie par les 2
variables sur laquelle elle porte et par la relation R, spécifiée en extension par l’ensemble
des valeurs que peuvent prendre simultanément x et y.
L’expression de contraintes en extension est peu expressive et impossible à utiliser sur
des domaines continus : il est impossible d’écrire sur un support fini tous les éléments d’un
ensemble de cardinal infini. C’est pourquoi on utilise également des contraintes en intension
définies à l’aide d’une formule mathématique ou logique.
Exemple 1 Soit x, y dans N. Soit la contrainte :
c = (x, y, {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1),
(3, 2), (3, 3), (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)})
On peut définir c en intension comme la contrainte :
(y ≤ x) ∧ (x ≤ 4)
Ce qui représente le domaine Dx × Dy de la Fig. 1.1.
Définition 3 (CSP sur les domaines finis avec contraintes binaires) Un CSP est
défini par un triplet P = (X , D, C) où X est un ensemble de variable, D est l’ensemble des
domaines associés aux variables de X et C un ensemble de contraintes binaire portant sur
les variables de X
1.2.2
Consistance d’un CSP
Définition 4 (Instanciation partielle) Soit un CSP P = (X , D, C). Une instanciation
partielle I de P est défini par un couple I = (XI , V) où XI est l’ensemble des variables
instanciées (⊂ X ) et V les valeurs prises par les variables instanciées.
Définition 5 (Instanciation totale) Soit un CSP P = (X , D, C). Une instanciation
totale est une instanciation partielle I = (XI , V) telle que XI = X
15
1.3. RÉSOLUTION
Fig. 1.1 – Le domaine défini par Dx × Dy
Notons fc la fonction de satisfaction de la contrainte c = (x, y, R). On note I(x) la
valeur de la variable x dans l’instanciation I
V rai si (I(x), I(y)) ∈ R
fc (I) =
F aux sinon
Définition 6 (Satisfaction) On dit que I satisfait la contrainte c si et seulement si
fc (I) = V rai. On notera I |= c
Remarque 1 On dit que mathcalI viole la contrainte c si fc (I) = F aux.
Définition 7 (Support) Soit x et y deux variables de domaines Dx et Dy . On dit que
xi ∈ Dx a un support dans Dy si pour toutes contraintes c liant x et y, il existe une valeur
yk ∈ Dy telle que xi et yk ne viole pas la contrainte c.
Définition 8 (Instanciation consistante) Une instanciation I = (XI , V) est consistante1 si et seulement si
∀c ∈ C telle que x, y ∈ XI , I |= c où c = (x, y, R)
1.3
1.3.1
Résolution
Recherche systématique
Générer et tester
La résolution de CSP peut se faire à l’aide de plusieurs méthodes [Kumar 92] comme
générer-et-tester (GT). Dans ce cas on va générer toutes les instanciations totales possibles
1
On trouve aussi dans la litterature le terme de cohérence pour parler de la consistance
16
et vérifier lesquelles satisfont les contraintes (i.e. lesquelles sont consistantes). Mais ce type
de méthode n’utilise pas la connaissance des Q
contraintes pour générer les solutions, on
étudie donc un nombre très important de cas ( x∈X card(Dx ))
Exemple 2 Soient les variables entières x, y ∈ {1, 2, . . . , 100} et les contraintes suivantes
x ≤ y − 1 et y ≤ 2. En faisant un « générer et tester » on étudierait les 10000 cas possibles
pour s’apercevoir que seulement 1 cas x = 1 et y = 2 alors qu’en appliquant la deuxième
contrainte on s’aperçoit directement que y ∈ {1, 2} ; si on choisit y = 1 alors on ne peut
pas trouver d’instanciation consistante pour x donc la solution est x = 1 et y = 2. En
utilisant les contraintes dans notre recherche on a très fortement réduit le nombre de cas
étudiés (2 cas contre 10000).
Retour arrière
La méthode par retour arrière (BT) est plus efficace que la méthode « générer et tester »
pour résoudre des CSP. On instancie les variables séquenciellement. Une fois que toutes
les variables liées par une contrainte ont été instanciées on peut vérifier si la contrainte est
satisfaite. Et si une instanciation partielle viole (ne satisfait pas) une contrainte, alors on
effectue un retour arrière : on remet en question le dernier choix effectuer, i.e. on essaye
une nouvelle valeur pour la dernière variable instanciée (voir Fig. 1.2). Mais cette méthode
bien que meilleure que « générer et tester », souffre de mauvaise performance (complexité
exponentielle). Le principal phénomène est le thrashing : répéter plusieurs fois le même
échecs dans différentes parties de l’arbre.
x ∈ {V rai, F aux} y ∈ {1, 2, 3} z ∈ {1, 2, 3}
x = V rai
y=1
$
%
$
%
$
%
$
%
x = F aux
!
!
!
!
y=2
y=3
&
'
(
)
&
'
(
)
z=1
z=2
z=3
échec
"
#
"
#
"
#
"
#
point de choix
retour arrière
Fig. 1.2 – Développement d’un arbre de recherche
1.3. RÉSOLUTION
1.3.2
17
Consistances locales
À chaque point de choix du retour arrière pour éviter le phénomène de thrashing, on peut
assurer certaines formes de consistances locales. Il existe différentes sortes de consistances
locales, certaines étant plus faibles que d’autres (certaines consistances permettent de faire
moins de déduction que d’autres). Généralement les consistances les plus fortes sont les plus
coûteuses à assurer. C’est pourquoi on utilise différentes consistances selon les problèmes
et les contraintes utilisées.
Définition 9 (Arc-consistance) Un arc orienté (x, y) du graphe associé à un CSP P =
(X , D, C), correspondant à une contrainte c = (x, y, R) ∈ C, est arc-consistant si et seulement si toutes les valeurs du domaine de x ont un support dans le domaine de y.
L’algorithme Revise (Algorithme 1) permet de s’assurer de la consistance d’un arc.
Algorithme 1 Revise (arc: (x,y))
change ← F aux
pour tout vx ∈ Dx faire
si il n’existe pas de vy ∈ Dy telle que (vx , vy ) ∈ R(x,y) alors
Dx ← Dx \{vx }
change ← V rai
fin si
fin pour
renvoyer change
Les problèmes de trashing dues à des contraintes unaires se résolvent en retirant les
valeurs ne satisfaisant pas la contrainte du domaine de la variable.
Définition 10 (Arc-consistance d’un CSP binaire) Soit un CSP P = (X , D, C). P
est arc-consistant si et seulement si pour tout c = (x, y, R) ∈ C, les arcs (x, y) et (y, x)
sont arc-consistants.
Remarque 2 Attention, l’arc-consistance est une notion locale, alors que la consistance
est une notion globale. Une instanciation arc-consistante n’est pas obligatoirement consistante (c’est une condition nécéssaire).
Exemple 3 (CSP arc-consistant mais non consistant) Soit x, y, z ∈ {0, 1} et la
contraintes x 6= y ∧ y 6= z ∧ z 6= x. Ce CSP est arc-consistant, mais n’est pas consistant.
Assurer l’arc-consistance d’un CSP peut s’avèrer coûteux. En effet à chaque fois que l’on
modifie un arc, il faut revoir tous les arcs suceptibles d’être affectés par cette modification ;
on utilise pour cela des algorithmes comme AC3 (Algorithme 2) ou d’autres variantes.
18
Algorithme 2 AC3 (CSP: (X , D, C))
S
Q ← (x,y,R)∈C {(x, y), (y, x)}
tant que Q =
6 ∅ faire
(x, y) ∈ Q
Q ← Q\(x, y)
si REV ISE(x,
y) alors
S
Q ← Q {(z, x), ∃c = (x, z, R), z 6= y}
fin si
fin tant que
Remarque 3 Soit m le nombre de contraintes, soit dmax la borne superieure des cardinaux
des domaines des variables, soit T la complexité temporelle de l’algorithme AC3. Alors
T ∈ O(md3max ) [Kumar 92].
Remarque 4 La complexité temporelle optimale des algorithmes de maintients d’arc-consistance est en O(md2max ). La complexité spatiale optimale est elle en O(mdmax ) [Kumar 92].
Définition 11 (Arc-B-Consistance) (Ou encore Bound-Consistency) Soit un CSP P =
(X , D, C). P, soit c = (x, y, R) ∈ C une contrainte binaire, l’arc (x, y) est arc-B-consistant
si et seulement si les bornes du domaine de x ont un support dans le domaine de y qui
satisfait c.
L’arc-B-consistance est moins couteuse à assurer que l’arc-consistance. C’est souvent le
bon compromis pour la propagation des contraintes arithmétiques.
1.4
1.4.1
Propagation des contraintes
Pour résoudre un CSP on peut utiliser les techniques systématiques de recherche de
solution, ou encore utiliser les techniques s’appuyant sur la consistance des contraintes
[Bartak 99]. Mais généralement on utilise plutôt une combinaison des deux approches.
Un solveur de CSP, agira de la façon suivante :
1. définitions des variables, et affectation de leurs domaines ;
2. définitions des contraintes ;
3. vérification de la consistance de chaque contrainte et réduction de domaines si nécéssaire
(on parle aussi de propagation de contrainte) ;
4. si cette contrainte est satisfaite pour toute instanciation alors on l’enlève, si elle peut
être satisfaite alors on la suspend, sinon elle échoue et le problème n’a pas de solution ;
5. on instancie une variable, et on réveille toutes les contraintes qui lui sont associées,
on réduit les domaines, si on ne trouve pas d’inconsistance on recommence, sinon on
effectue un retour arrière.
1.4. PROGRAMMATION PAR CONTRAINTES
1.4.2
19
Heuristiques d’instanciation
Le choix de l’ordre des variables à instancier peut s’avérer très important. Généralement,
on préfère commencer par les variables qui ont le plus de chance de renvoyer un échec, pour
échouer au début de l’arbre de recherche, on parle de first-fail.
Il est courant d’instancier en premier les variables les plus contraintes, on espère alors
faire de plus importantes réductions de domaines. Une autre heuristique que l’on utilise
fréquemment est d’instancier la variable de plus petit domaine, ce qui doit permettre de
détecter plus tôt les inconsistances.
1.4.3
Optimisation
Dans la majorité des cas, on ne cherche pas simplement à obtenir une solution au
problème posé, mais plutôt une bonne solution. On mesure la qualité de chaque solution
à l’aide d’un critère (appelé coût). Le but alors est de trouver une solution qui satisfasse
le problème tout en minimisant (ou maximisant) le coût de la solution. Pour cela on
utilise généralement un algorithme de type « Branch and Bound ». À chaque instanciation
partielle on évalue la solution partielle et on vérifie que la meilleure solution que l’on pourra
générer à partir de cette instanciation partielle est meilleure que des solutions trouvées
précédemment.
1.4.4
Les domaines continus
Dans [Feydy 05a], on trouve une méthode pour étendre FaCiLe (la librairies de programmation par contraintes) aux domaines continus. Cette méthode s’appuye sur l’arithmétique
des intervalles, chaque nombre flottant est représenté par un intervalle ce qui permet de
s’assurer que les réductions inférées incluent toujours toutes les solutions.
Nous utiliserons cette extension dans le chapitre 4 pour écrire les contraintes qui portent
sur des valeurs réelles (ou flottantes).
Chapitre
2
Ordonnancement
2.1
Introduction
L’ordonnancement est défini comme l’organisation dans le temps de certaines tâches
compte tenu de contraintes temporelles (délais, précédences) et de contraintes portant sur la
disponibilités des ressources requises [Baptiste 01][Barták 03]. On considérera un ensemble
de tâches (ou activités) {A1 , . . . , An } et un ensemble de ressources {R1 , . . . , Rm }. Chaque
activité s’execute en un certains temps et utilise certaines ressources, et chaque ressource a
une certaine capacité qui ne doit pas être dépassée. On appelle machine les ressources dont
la capacité est 1. De plus il peut y avoir des contraintes entre plusieurs activités (laquelle
s’executera en premier, etc.), et on ajoute souvent un critère d’optimisation tel que :
– Finir la dernière tâche au plus tot (Makespan)
– Minimiser le retard maximum
– Minimiser la somme des retard
Exemple 4 (Emploi du temps) Réaliser un emploi du temps revient à organiser les
cours d’une promotion avec un certains nombres de professeurs et un nombre de salles
limités. On devra de plus faire attention à programmer les cours dans un ordre cohérent.
On fait souvent la distinction entre les problèmes d’ordonnancement disjonctif où deux
tâches ne peuvent pas être executées en même temps et les problèmes d’ordonnancement
conjonctif. Dans le cas de l’ordonnacement disjonctif, les ressources sont des machines.
On parle de problèmes d’ordonnacement préemptif si les activités sont interruptibles.
Dans la suite de ce document lorsqu’on parlera d’ordonnancement sans préciser c’est qu’on
parlera d’ordonancement non-préemptif.
Dans ce chapitre on présentera les problèmes d’ordonnancement comme des problèmes
de statisfaction de contraintes[Fromherz 01].
21
22
2.2
2.2.1
CHAPITRE 2. ORDONNANCEMENT
Modélisation
Tâches non-interruptibles
Pour chaque tâche (ou activité) Ai d’un problème d’ordonnancement on définit trois
variables :
– start(Ai ) : date de début de la tâche Ai ,
– end(Ai ) : date de fin de la tâche Ai ,
– proc(Ai ) : temps d’execution de la tâche Ai .
Les activités étant non-interruptibles le temps d’execution est égal à la différence entre
la date de fin de l’activité et la date de début de l’activité : proc(Ai ) = end(Ai ) − start(Ai )
Notons ri la date de début au plus tot de l’activité Ai et di sa date de fin au plus tard.
[ri , di ] est la fenêtre temporelle dans laquelle doit s’executer Ai .
De même, notons eeti la date de fin au plus tôt de l’activité Ai et lsti sa date de début
au plus tard. Nous avons donc en terme de contraintes :
proc(Ai ) = end(Ai ) − start(Ai )
ri ≤ start(Ai ) ≤ lsti
eeti ≤ end(Ai ) ≤ di
2.2.2
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Relations temporelles
Des relations de précédences entre les tâches peuvent être défini de façon simple par
des contraintes linéaires. On exprimera que Aj commence après la fin de Ai de la façon
suivante : end(Ai ) ≤ start(Aj ). On utilise l’arc-B-consistance (voir définition 11) pour
propager ce type de contraintes ; intuitivement ce type de contraintes n’agit que sur les
bornes des domaines, l’arc-B-consitance est suffisante.
2.2.3
Les ressources
Les ressources représentent les moyens techniques (salles, outils, etc.) ou humains permettant la réalisation d’une tâche. On notera cap(R) la capacité de la ressource R, et
cap(Ai , R) la quantité de ressources R dont Ai a besoin pour s’executer.
Dans le cas des activités non-interruptibles à tout instant t on ne peut pas utiliser plus
de ressources pour exectuer des activités que la quantité de ressources disponible :
X
cap(Ai , R) ≤ cap(R)
(2.4)
Ai :start(Ai )≤t≤end(Ai )
Définition 12 (Machine) Une machine est une ressource de capacité unaire, c’est-à-dire
que cap(R) = 1.
2.3. ORDONNANCEMENT DISJONCTIF
2.3
23
Ordonnancement disjonctif
Si deux activités nécessites la même machine pour s’executer alors leur execution ne
pourra pas se faire en parallèle, et l’une des deux tâches s’executera après l’autre. On parle
d’ordonnancement disjonctif. On peut généraliser à n tâches, on aura alors n·(n−1)
couples
2
de tâches disjointes. Pour deux tâches Ai et Aj disjointes on a :
end(Ai ) ≤ start(Aj ) ∨ end(Aj ) ≤ start(Ai )
2.3.1
(2.5)
L’Edge-finding
L’Edge-finding sert à propager les contraintes de capacités. Il permet de réduire la taille
de l’espace de recherche en cherchant si une tâche peut s’executer en premier ou non dans
un ensemble de tâches (respectivement en dernier ou non).
Soit Ω un ensemble d’activités. On note Ai Aj (Ai Aj ) la tâche Ai s’execute avant
(après) la tâche Aj . De même Ai Ω (Ai Ω) signifie que Ai s’execute avant (après)
toutes les activités Ω.
Si la durée entre le début au plus tôt de Ω et la fin au plus tard de Ω∪{Ai } est inferieure
au temps d’execution de Ω ∪ {Ai }, alors Ai s’execute avant Ω.
Si la durée entre le début au plus tôt de Ω∪{Ai } et la fin au plus tard de Ω est inferieure
au temps d’execution de Ω ∪ {Ai }, alors Ai s’execute après Ω.
On ∀Ω, ∀Ai 6∈ Ω :
dΩ∪{Ai } − rΩ < pΩ + pi ⇒ Ai Ω
dΩ − rΩ∪{Ai } < pΩ + pi ⇒ Ai Ω
(2.6)
(2.7)
ce qui permet de propager ∀Ω, ∀Ai 6∈ Ω :
Ai Ω ⇒ end(Ai ) ≤ min∅6=Ω0 ⊆Ω (dΩ0 − pΩ0 )
Ai Ω ⇒ start(Ai ) ≥ max∅6=Ω0 ⊆Ω (rΩ0 + pΩ0 )
(2.8)
(2.9)
Remarque 5 L’algorithme d’Edge-Finding effectue des déductions différentes que les contraintes standards de disjonction. Chacune des deux méthodes réussissant des déductions
différentes de l’autre, on peut les utiliser sur un même problème.
Proposition 1 Soit T (n) la complexité temporelle l’algorithme d’Edge-Finding (algorithme
3), alors T (n) ∈ O(n2 )
24
Algorithme 3 Edge-Finding
pour i = 1 à n faire
ri0 := ri
fin pour
pour k = 1 à n faire
P := 0
C := −∞
H := −∞
pour i = n à 1 faire
si di ≤ dk alors
P := P + pi
C := max(C, ri + P )
si C > dk alors
Pas d’ordonnancement possible, exit
fin si
fin si
Ci := C
fin pour
si di ≤ dk alors
H := max(H, ri + P )
P := P − pi
sinon
si ri + P + pi > dk alors
ri0 := max(ri0 , Ci )
fin si
si H + pi > dk alors
ri0 := max(ri0 , C)
fin si
fin si
fin pour
fin pour
ri := ri0
fin pour
25
2.3.2
Not-first, not-last
L’algorithme Not-first, not-last consiste à determiner si une tâche Ai ne peut pas s’executer en premier (ou en dernier) dans un ensemble de tâches Ω∪{Ai }. Si il ne le peut pas on
dit qu’il est Not-first (respectivement Not-last) ce que l’on note ¬(Ai Ω) (respectivement
¬(Ai Ω)).
Si la durée entre le début au plus tôt de Ai et la fin au plus tard de la dernière tâche
de Ω est inférieure au temps d’execution de Ai et Ω, alors Ai ne peut pas s’executer en
premier dans Ω ∪ {Ai }.
Si la durée entre le début au plus tôt des tâches de Ω et la fin au plus tard de la tâche
Ai est inferieure au temps d’execution de Ai et Ω, alors Ai ne peut pas s’executer après Ω.
On a donc ∀Ω, ∀Ai 6∈ Ω :
dΩ − ri < pΩ + pi ⇒ ¬(Ai Ω)
di − rΩ < pΩ + pi ⇒ ¬(Ai Ω)
(2.10)
(2.11)
Et on propage ∀Ω, ∀Ai 6∈ Ω :
¬(Ai Ω) ⇒ start(Ai ) ≥ minA∈Ω (eetA )
¬(Ai Ω) ⇒ end(Ai ) ≤ maxA∈Ω (lstA )
(2.12)
(2.13)
Exemple 5 Soit trois tâches A1 , A2 , A3 disjointes.
– A1 de durée 3, commençant au plus tôt à 0 et finissant au plus tard à 7.
0
1
2
3
4
5
6
7
Fig. 2.1 – Propagation de la règle Not-first
La règle Not-first, nous permet de déduire que l’activités A1 ne peut pas s’exectuer en
première. On en déduit donc que A1 ne peut pas commencer avant t = 2. La règle Not-Last
permettrait de même de déduire que A3 ne peut pas s’excuter en dernière et donc que A3
doit finir au plus tard à t = 4.
26
Pour la mise en oeuvre de cette algorithme on suppose que les (Ai )i=1...n sont triées par
ordre croissant de deadline (fin au plus tard), c’est à dire que si i ≤ j alors di ≤ dj . Le tri
se fait en O(n log n).
On pose Ω(j, k) l’ensemble d’indice m ∈ {1, . . . , k} tel que rj + pj ≤ rm + pm . On
définit :
pΩ(j,k) si j ≤ k
(2.14)
Si,j =
−∞ sinon
∆j,k = minl≤k (dl − Sj,l )
(2.15)
Algorithme 4 Not-first
ri0 := ri
fin pour
pour j = 1 à n faire
Calcule (∆j,k )k∈[1,n]
si ri + pi < rj + pj alors
si ri + pi > ∆j,n alors
ri0 := max(ri0 , rj + pj )
fin si
sinon si ri + pi > ∆j,i−1 or ri > ∆j,n alors
ri0 := max(ri0 , rj + pj )
fin si
fin pour
fin pour
pour i = 1 to n faire
ri := ri0
fin pour
Proposition 2 La complexité temporelle T (n) de cet l’algorithme Not-first appartient à
O(n2 )
Preuve. Il suffit de démontrer que le temps de calcul de (∆j,1 , . . . , ∆j,n ) est en O(n).
Le calcul des Sj,k et ∆j,k se fait en temps constant à partir des valeurs de Sj,k−1 et ∆j,k−1.
Ensuite il reste à vérifier que rj + pj ≤ rk + pk .
Remarque 6 On peut trouver des algorithmes d’Edge-Finding, et Not-first / Not-last avec
des complexité en O(n log n) [Vilim 05]
2.3.3
27
La résolution de problèmes disjonctifs
Le principe du ranking est d’ordonner les tâches d’une machine et d’en déduire des
réductions de domaine à l’aide de contraintes de précédences. Un schéma classique de
résolution est :
1. Sélectionner une machine dans la liste des machines où les tâches ne sont pas complètement ordonnées.
2. Sélectionner une tâche à exécuter en premier parmi les tâches non ordonnées, ajouter
la contrainte de précédence correspondante ; on garde les autres tâches comme des
alternatives pour le retour-arrière.
3. Itérer l’étape 2 jusqu’à ce que toutes les activités de la machine choisies soit ordonnées.
4. Itérer les étapes 1 à 3 jusqu’à ce que toutes les activités de toutes les machines soient
ordonnées.
Dans beaucoup de problème d’ordonnacement, certaines ressources sont plus chargées
que d’autres, on dit qu’elles sont plus critiques. Il est important de commencer par résoudre
le problème pour les ressources les plus critiques. On pourra choisir cette heuristique comme
heuristique de ranking.
Deuxième partie
Régulation en vitesse
29
Chapitre
3
Contexte du trafic aérien
Le but premier du contrôle du trafic aérien
est d’assurer la sécurité du trafic et donc
d’éviter les abordages entre les aéronefs
opérant dans le système, puis d’optimiser les
flux de trafic.
3.1
Introduction
Le but principale du controle du trafic aérien (ATC) est d’assurer la séparation entre les
aéronefs afin d’éviter les abordages en l’air ou au sol1 . Dans un deuxième temps le controle
du trafic aérien doit gérer efficacement le trafic afin de limiter la congestion et les retards.
Le rôle du contrôleur est de guider les avions de façon à assurer la sécurité des vols en
maintenant une séparation réglementaire entre chaque aéronefs. Deux avions sont en conflit
lorsque la séparation n’est plus respectée. On parle de conflit potentiel si les trajectoires
des avions permettent une perte de séparation. Pour l’aider dans son travail le contrôleur
utilise un écran radar (voir Fig. 3.1) qui lui indique les positions des avions ainsi que
les informations principales du vol (altitude, vitesse, indicatif avion) En cas de perte de
séparation, il existe des filets de sauvegardes au sol (STCA) et à bord (ACAS/TCAS, et
GPWS).
Afin de résoudre les conflits éventuels le controleur donne des clairances aux pilotes.
Les clairances ne sont pas des ordres, il s’agit d’instructions et d’autorisations de circuler
dans certaines conditions. Si le pilote les respecte, il est sur que la sécurité de son vol est
assurée (en terme de trafic, cela n’empêche pas les pannes).
On distingue trois différentes catégories de contrôle :
1
L’abordage de deux 747 sur l’aeroport de Teneriffe restant le deuxième plus gros drame de
l’aéronautique après les attentats du 11 septembre 2001.
31
32
CHAPITRE 3. CONTEXTE DU TRAFIC AÉRIEN
Fig. 3.1 – Image radar
1. Le contrôle au sol (TWR pour Tower ou Tour de contrôle) gère le contrôle
des mouvements sur l’aéroport.
2. Le contrôle d’approche (APP) s’occupe essentiellement du séquencement des
avions pour l’atterissage. L’approche gère aussi les avions après leurs décollages qui
se fait généralement en suivant des circuits standards.
3. Le contrôle en-route (ACC pour Air Traffic Control Center) concerne le
reste du trafic.
3.2
Gestion du trafic aerien (ATM)
Avec une croissance annuelle de 5 % depuis plus de 20 ans, certaines zones de trafic
de l’Europe de l’ouest ou de l’Amérique du nord sont saturées. Aujourd’hui il y a chaque
jour environ 26000 vols sur l’espace aérien européen, ce qui représente un retard cumulé
d’environ 30000 minutes ; l’objectif d’Eurocontrol étant d’atteindre un retard de moins
d’une minute par vol [Pozzi 03].
La gestion du trafic aérien ou l’ATM regroupe la partie contrôle (ATC) et la partie
gestion des flux (ATFM).
La gestion des flux de trafic se fait à différent niveau :
– À long terme (au plus 6 mois), il s’agit d’organiser les routes en fonction des flux de
trafic que l’on prévoit. On s’occupe entre autre de la gestion des accords entre trafic
civil et trafic militaire (on parle de FUA pour Flexible Use of Airspace2 ).
– La pré-régulation consiste à organiser une journée de trafic à 48h, 24h ou le jour j
en fonction du trafic des jours précédants, et des plans de vol déposés, la majorité
des plans de vol est alors connue (beaucoup de compagnie dépose leurs plans de
vol de façon systèmatique tous les 6 mois). En Europe c’est le role de la CFMU à
2
Certaines zones militaires sont ouvertes au trafic civil lorsqu’elles ne sont pas réservées par les militaires.
3.3. COMPLEXITÉ DU PROBLÈME DE RÉSOLUTION DE CONFLIT
33
Bruxelle. On effectue des ajustements le jour même en fonction des conditions météo,
des crénaux non utilisés, etc. .
– Le niveau tactique qui fait intervenir les contrôleurs (ATCo) est géré par secteur. La
durée moyenne de traversée d’un secteur est de l’ordre de 15 minutes. Les contrôleurs
sont prévenues quelques minutes à l’avance de l’arrivée d’un avion dans leur secteur
par, entre autre, la création d’un STRIP3 (sur certains secteur la coordination n’est
pas automatique, elle se fait alors par téléphone).
– Le niveau d’urgence qui n’intervient qu’en cas de dysfonctionnement du système
de contrôle. Au sol, on parle de filet de sauvegarde (STCA) ; ce dernier permet de
détecter les conflits proches, en calculant la trajectoire futur des avions. Par contre le
filet de sauvegarde ne donne pas de solution au contrôleur. À bord, le TCAS permet
de résoudre les conflits à 2 avions en donnant une résolution dans le plan vertical.
3.3
Complexité du problème de résolution de conflit
De nos jours, beaucoup de systèmes à bord des avions sont automatisés, par contre, le
contrôle du trafic aérien reste fait par des humains. Ceci est dû en partie à la difficulté de
modéliser le trafic en particulier les incertitudes, et à la difficulté de résolution du problème
qui est fortement combinatoire et qui fait d’ailleurs très certainement parti de la classe de
problème NP-difficile.
*
+
*
+
5Nm
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
1000f t
Fig. 3.2 – Séparations verticale et horizontale
On dit que deux avions sont en conflit si leur séparation horizontale est inférieure à
5Nm et si leur séparation verticale est inférieure à 1000f t (voir Fig. 3.2).
3
Le STRIP est une bandelette de papier avec les indicatifs de l’aéronefs, et son plan de vol (liste des
balises à passer).
34
Définition 13 (Conflit potentiel) Pour une fenêtre temporelle de prévision de trajectoire donnée, on appelle conflit potentiel entre deux avions tout conflit détecté pendant la
durée de la prévision et ce, en tenant compte des incertitudes sur les trajectoires.
Soit R la relation « est en conflit potentiel avec ». On appelle cluster la fermeture
transitive de cette relation, c’est-à-dire que si A R B et B R C, alors A, B et C seront dans
le même cluster. La notion de cluster (voir Fig. 3.3), définit une notion de sous problème
à résoudre. Pour résoudre un problème il suffit de le résoudre pour chaque cluster.
parties des trajectoires en conflit
Avion C
Cluster (A,B,C)
Avion B
Avion isolé D
Avion D
Avion A
Fig. 3.3 – Exemple de cluster
Dans un cluster de n avions on compte jusqu’à
n(n−1)
2
conflits. On peut montrer que
n(n−1)
l’ensemble des solutions dans le plan horizontal contient 2 2 composantes connexes
[Durand 96], ce qui veut dire que si l’on utilise des méthodes locales il faut autant d’exécutions
que de composantes connexes.
3.4
3.4.1
Résolution automatique de conflit
Approche centralisée, ou autonôme
On peut résoudre les conflits de façon centralisée, ou comme le contrôleur humain nous
avons une vision globale des avions dans une certaine zone, ou de façon autonôme, dans ce
3.4. RÉSOLUTION AUTOMATIQUE DE CONFLIT
35
cas c’est chaque avion qui a une vision restreinte à son voisinage qui va tenter de résoudre
les conflits qui le concerne à la façon du TCAS (on rappelle que le TCAS est un système de
bord qui donne des manoeuvres dans le plan vertical si il y a risque d’abordage entre deux
aéronefs). Nous utiliseront une approche centralisée, ce qui permet d’obtenir des solution
globalement meilleures.
3.4.2
Quelques approches théoriques
Les méthodes neuronales
Dans [Gaudière 95, Médioni 98] un algorithme génétique est utilisé pour l’apprentissage d’un réseau de neurones qui agit sur les commandes d’un avion afin d’éviter un conflit.L’extension de la méthode au cas de conflits à trois avions est difficile.
Arithmétique des intervalles
Frédéric Médioni [Médioni 98] utilise une méthode d’optimisation globale déterministe
utilisant l’arithmétique d’intervalle et un algorithme de type Branch and Bound pour
trouver les solutions optimales d’un conflit impliquant quelques avions. Un modèle simple
de manœuvre est défini : l’avion altère son cap de 30 degrés à gauche ou à droite à un
instant t0 donné, avant de revenir sur sa trajectoire sous le même angle à un instant t1 .
Si la méthode s’avère efficace pour les petits conflits (moins de 4 avions), le nombre des
variables devient très rapidement un facteur limitatif pour des conflits plus importants. Par
ailleurs, le modèle utilisé ne peut pas prendre facilement en considération les contraintes
opérationnelles telles que les incertitudes sur les tenues de vitesses, de taux de montée et
de descente.
Algorithmes génétiques
Le projet CATS4 , initié par le CENA5 , a vu le jour en 1996. Dans sa thèse, Nicolas
Durand a montré que le problème de résolution de conflits peut devenir très complexe dès
lors que le nombre d’avions impliqués dépasse trois ou quatre avions. Une étude théorique
assez importante a pu montrer que si l’on refuse la notion de priorité et que l’on recherche
l’optimum global du problème, les techniques d’optimisation classiques ont peu de chance
d’aboutir. Il a pu exhiber une méthode d’optimisation à base d’algorithmes génétiques qui
permet de résoudre des conflits impliquant jusqu’à une vingtaine d’avions. Il définit ainsi
la notion de cluster d’avion, fermeture transitive de conflits élémentaires (impliquant deux
avions seulement). La méthode utilisée, stochastique, ne permet pas de prouver l’optimalité
de la solution exhibée ni de prouver l’absence de solutions si aucune solution n’est trouvée.
4
5
Complete Air Traffic Simulator ou CAML Air Traffic Simulator
Centre d’Études de la Navigation aérienne
36
Automatisation du trafic au sol
Dans [Gotteland 04] Jean-Baptiste Goettland utilise des algorithmes génétiques pour
optimiser le trafic au sol dans les grands aéroports, car l’une des principale cause de retard
est imputable à la circulation au sol des avions.
Méthode utilisant la programmation par contraintes
Thibaut Feydy présente dans [Feydy 05a] deux méthodes de résolution de conflit à
l’aide de programmation par contraintes. La première, s’apparentant à un TCAS dans le
plan horizontal, donne une résolution en cap afin que les avions s’évitent et permet de
résoudre des problèmes jusqu’à 15 avions. Dans la seconde, les avions reviennent sur leurs
trajectoires d’origine ; ce second modèle étant beaucoup plus complexe que le premier son
implémentation ne permet de résoudre optimalement que des problèmes à 2 ou 3 avions.
Chapitre
4
Résolution de conflits
4.1
Introduction
Dans ce chapitre on présentera plusieurs méthodes pour résoudre automatiquement les
conflits entre plusieurs avions à l’aide de résolution en vitesse. L’un des buts de la résolution
de conflits à l’aide de régulation en vitesse [Archambault 04a] est de faire du contrôle subliminale [Villiers 04] afin de rendre le « trafic chanceux » pour le controleur. Pour atteindre
ce but, il faut que les résolutions données soient faibles, afin de respecter les performances
des avions. Les méthodes qui seront présentées s’appuyeront sur la programmation par
contraintes, ce qui permettra d’assurer l’optimalité des solutions.
La régulation en vitesse a l’avantage de garder le support des trajectoires, mais nécessite
une bonne tenue de vitesse et un temps d’anticipation variable en fonction de l’angle entre
les trajectoires.
Définition 14 (Point de conflit) Nous appelons point de conflit entre deux avions en
conflit potentiel, le point de croisement de leurs trajectoires. On notera ci,j le point de
conflit entre l’avion i et l’avion j.
4.1.1
Critères d’optimalité
Nous devons choisir des critères d’optimalité qui nous permettrons de comparer la
qualité des solutions. On pourra par exemple choisir :
– minimiser la moyenne des délais par avions (engendrés par le control),
– minimiser le maximum des délais, car si l’on minimise la moyenne on peut se retrouver
à pénaliser fortement un vol, et pas du tout les autres,
– minimiser la variation moyenne des vitesses,
– minimiser la variation maximale des vitesses,
– minimiser les coûts des compagnies aériennes (consommation en carburant, retards
qui peuvent avoir des impactes sur les correspondances, etc.).
37
38
CHAPITRE 4. RÉSOLUTION DE CONFLITS
Les coûts réels d’un vol étant très difficile à estimer, la consommmation des avions
dépendant du niveau de vol par exemple, on a donc choisit de s’interesser aux délais et aux
variations des vitesses.
4.1.2
Les manoeuvres
Dans ce chapitre on présentera trois modèles différents, deux modèles où les aéronefs
volent en route directe (suivant une demi-droite), et un modèle ou les avions volent en
suivant des routes standards (suivant un plan de vol).
Pour les trois modèles nous ne considéront que les avions stables (qui ne changent pas
de niveau de vol). Les modifications des vitesses seront faites sur la vitesses sol.
4.2
Route directe simple
Dans cette section, les avions se déplacent en route directe de leur point de départ à leur
point d’arrivée. On ne considerera que les avions stable à leur niveau de vol, ce qui nous
donnera un modèle 3D (coordonnées dans le plan horizontal, et temps). On représentera
chaque avion par :
– sa position d’origine (x0 , y0 ),
– sa vitesse (constante après pour t > 0),
– son cap (constant).
4.2.1
Détection de conflits
Pour détecter si deux avions seront en conflit dans le plan horizontal, il faut verifier si
il existe un instant t tel que la distance entre ces deux avions sera inferieure à la séparation
standard (soit à 5Nm).
→
→
Soit −
p1 (t) et −
p2 (t) les vecteurs positions des avions A1 et A2 . On définit Ai et vi comme
la position intiale et la vitesse de l’avion Ai . On a :
−−→
−
→
→
p1 (t) = OA1 + t−
v1
−
−
→
−
→
→
p (t) = OA + t−
v
2
2
2
on pose alors :
−−−→ −
A1 A2 = →
r
−
→
−
→
−
→
v2 − v1 = vr
On écrit alors que la distance entre les deux avions doit être superieure à la séparation
standard D :
39
4.2. ROUTE DIRECTE SIMPLE
Fig. 4.1 – détéction de conflit entre deux avions
→
→
→
→
(−
r + t−
vr )2 ≥ D 2 ⇐⇒ vr2 t2 + 2−
r ·−
vr t + r 2 − D 2 ≥ 0
(4.1)
La résolution de cette équation du second dégré donne les valeurs de t durant lesquelles
les deux avions sont en conflit.
Nous allons décrire les cas dans lesquels il n’y a pas conflit entre les deux avions :
– soit le polynôme du second degré n’a pas de racine réelle,
– soit les racines sont négatives, c’est un cas d’éloignement.
Premier cas :
Le discriminant de l’équation du second degré est négatif ou nul, ce qui signifie que
l’équation a au plus une racine. Si il n’y a pas de racine réelle il n’y a aucun conflit
possible. Si il y a une racine double, alors le conflit éventuel n’existe qu’en un point (de
durée nulle) ; on considerera alors qu’il n’y a pas conflit.
→
→
∆0 = (−
r ·−
vr )2 − vr2 (r 2 − D 2 ) ≤ 0
On pose dans le plan horizontal :
→
∀i ∈ {1, 2}, −
vi =
vi cos(θi )
vi sin(θi )
rx
ry
et :
−
→
r =
40
Ce qui nous permet d’écrire le déterminant sous la forme d’un polynôme en v1 , v2 :
α · v12 + β · v22 + γ · v1 · v2 ≤ 0
(4.2)
Où les coéfficients α, β, et γ sont :
α=
D 2 − rx 2 − ry 2 + rx 2 · cos(θ1 )2 + 2 · rx · ry · cos(θ1 ) · sin(θ1 ) + ry 2 · sin(θ1 )2
β=
D 2 − rx 2 − ry 2 + rx 2 · cos(θ2 )2 + 2 · rx · ry · cos(θ2 ) · sin(θ2 ) + ry 2 · sin(θ2 )2
γ = −2 · (D 2 − rx 2 − ry 2 ) · cos(θ1 − θ2 ) − 2 · rx 2 · cos(θ1 ) · cos(θ2 ) − 2 · rx · ry · cos(θ2 ) · sin(θ1 )
−2 · rx · ry · cos(θ1 ) · sin(θ2 ) − 2 · ry 2 · sin(θ1 ) · sin(θ2 )
Second cas :
Dans le cas où le discriminant est strictement positif, alors il y a exactement 2 racines
t1 et t2 . Pour qu’il n’y ait pas conflit il faut que t1 et t2 soient négatifs ce qui revient à
dire que le conflit est passé, c’est-à-dire que l’on se trouve dans un cas d’éloignement (voir
Fig. 4.2).
Fig. 4.2 – Cas d’éloignement
t1 et t2 sont négatif si et seulement si t1 + t2 ≤ 0 (au moins une des racines est négative)
et t1 t2 ≥ 0 (les deux racines sont de même signe). On a donc :
→
→
(−
r ·−
vr ≥ 0) ∧ (r 2 − D 2 ≥ 0)
Ce qui se développe en :
(v2 (rx cos θ2 + ry sin θ2 ) − v1 (rx cos θ1 + ry sin θ1 ) ≥ 0) ∧ (rx2 + ry2 − D 2 ≥ 0)
(4.3)
Remarque 7 Si t1 et t2 sont de signes opposés alors au temps t = 0 les avions 1 et 2 sont
déjà en conflit.
41
4.2.2
Résolution par PPC
On se place dans le plan horizontal, l’ensemble des variables de décision V = {vi , i ∈
1..n} sont les normes des vitesses des avions.
La méthode de détéction de conflit vue précédemment permet de données un critère
globale pour dire si il y a conflit entre deux avions ou non. Maintenir ce critère pour chaque
paire d’avions permet alors de résoudre les conflits.
Ce qui donne en terme de contraintes :
(α · v12 + β · v22 + γ · v1 · v2 ≤ 0)
_
(λ · v1 + µ · v2 ≥ 0) ∧ (rx2 + ry2 − D 2 ≥ 0)
(4.4)
Remarque 8 Cette contrainte est codée sur les domaines continus, en effet les coéfficients
de cette contraintes font intervenir des formules trigonomètriques, nous ne pouvons pas
utiliser les nombres entiers.
Il suffit donc pour résoudre le conflit de définir les vitesses des avions comme variables
(sur un domaine fini), et de poster la contrainte 4.4 à notre librairie de résolution de
contraintes (FaCiLe). FaCiLe trouvera alors la solution optimale par rapport au critère
d’optimisation que l’on aura choisi.
Stratégies de recherche
La résolution de conflits à n-avions est un problème fortement combinatoire. Il est
difficile de résoudre rapidement de façon efficace des conflits sans une bonne stratégie de
recherche de solution.
La première stratégie de recherche utilisée consiste à instancier en premier les variables
ayant le plus petit domaine. Cette stratégie de type first-fail, part du principe qu’il est
interessant de découvrir rapidement qu’une valeur ne satisfait pas les contraintes, plutôt
que de le découvrir à la fin.
La stratégie précédente améliore la rapidité, mais ne permet pas de résoudre de gros
problèmes. Nous sommes restés bloquer sur un conflit à 5 avions sur un cercle1 . Nous
avons alors décidé de commencer par donner un ordre entre les avions (entre les avions
risquant d’être en conflit de croisement), et de profiter de la connaissance de l’ordre de
passage des avions pour réduire les domaines des vitesses des deux avions. Comme le
montre [Nguyen 04], on peut calculer la durée qui doit séparer le passage de deux avions
au point de croisement de leur trajectoire pour qu’il n’y ait pas conflit.
On note αij l’angle formé par les trajectoires de Ai et Aj , tiij (resp. tjij ) l’instant auquel
la trajectoire de l’avion Ai (resp. Aj ) coupe celle de l’avion Aj (resp. Ai ). Iiji (resp. Iijj est
la distance séparant l’avion Ai (resp. Aj ) de l’avion Aj (resp. Ai ) lorsque ce premier passe
au point d’intersection de leurs trajectoires (voir figure 4.3).
1
n-avions sur un cercle est très certainement l’une des situations les plus complexe lorsqu’on fait de la
résolution en vitesse
42
Ai
αi,j
.
/
2
0
1
2
2
2
.
/
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
2
2
3
3
3
Ij,i
2
2
3
3
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
0
1
Aj
Fig. 4.3 – Interval entre deux avions
on a :
|tiij
−
tjij |
Iijj
Iiji
=
=
vj
vi
Pour trouver |tiij − tjij | il suffit de calculer Iiji , pour cela écrivons la position des avion
Ai et Aj à l’instant t :
vi · t
– la position de l’avion Ai
,
0
(vj · t − Iiji ) cos αij
– la position de l’avion Aj
(vj · t − Iiji ) sin αij
Le carré de la distance de Ai à Aj vaut :
2 2
−
−−→
||AiAj ||2 =
vj · t − Iiji cos αij − vi · t + vj · t − Iiji sin αij
2
= vi2 + vj2 − 2vj vj cos αij t2 + 2Iiji (vi cos αij − vj ) t + Iiji
Posons :
A =
vi2 + vj2 − 2vj vj cos αij
B = 2Iiji (vi cos αij − vj )
C = Iiji
2
On a donc :
−
−−→
||AiAj ||2 = At2 + Bt + C
(4.5)
43
où A > 0 car A = (vi − vj )2 + 2vi vj (1 − cos αij ) > 0 (on ne considère pas les face-à-face
et les rattrapages). L’équiation 4.5 est minimale pour la racine − B
. Pour qu’il n’y ait pas
A
conflit il faut que ce minimum soit supérieur ou égal à D la séparation standard. Soit :
B2
+C
A
q
D
⇒ Iiji =
vi2 + vj2 − 2vi vj cos(αij )
vi |sin(αij )|
D
−
=
d’où :
|tiij
−
tjij |
q
D
=
vi2 + vj2 − 2vi vj cos(αij )
vi vj |sin(αij )|
(4.6)
On notera rij la valeur minimale que doit prendre |tiij − tjij | pour qu’il n’y ait pas conflit
entre les avions Ai et Aj . Avec l’hypothèse Ai passe en premier au point d’intersection des
trajectoires de Ai et Aj on a la contrainte :
tiij + rij ≤ tjij
Soit
q
djij
diij
D
2
2
+
vi + vj − 2vi vj cos(α) ≤
vi
vi vj |sin(α)|
vj
4.2.3
(4.7)
Résolution par ordonnancement
Le principe de la résolution de conflit par ordonnancement est de créer pour chaque
paire d’avion en conflit une tâche qui materialisera le passage de l’avion au point de conflit.
Ces deux tâches ne pourront pas s’executer en même temps, et le temps d’execution de
chaque tâche permettra d’assurer la séparation entre les aéronefs. Enfin le fait de trouver
le temps de début de chacune des tâches nous permettra de trouver la vitesse des aéronefs.
Pour detecter les conflits potentiels entre deux avions i et j il suffit de verifier si pour
toutes les valeurs possibles de (vi , vj ) il en existe une ou il y a conflit.
Modélisation du problème
Pour chaque conflict potentiel entre deux avions i et j on créera deux tâches disjointes
(qui ne peuvent s’executer en même temps) :
– Ei,j : L’avion i passe au point de conflict alors que l’avion j n’y passe pas,
– Ej,i : L’avion j passe au point de conflict alors que l’avion i n’y passe pas.
On note D la séparation réglementaire. La durée de ces deux tâches doit permettre d’assurer
la séparation entre les 2 avions. La durée de Ei,j est égale à rij .
44
A3
A1
A2
Fig. 4.4 – Exemple de cluster à 3 avions
Remarque 9 Le simple fait que les tâches Ei,j et Ej,i soient disjointes permet de résoudre
le conflit entre les deux avions. En effet cela permet de maintenir la séparation D entre les
deux avions [Nguyen 04].
Notons di,j la distance de l’avion i au point d’intersection de sa trajectoire avec celle
de l’avion j, alors start(Ei,j ) verifie :
start(Ei,j ) =
di,j
vi
(4.8)
Contraintes temporelles
Soit Ei,j et Ei,k deux tâches consécutives d’un même avion i. Supposons que Ei,j doivent
s’executer en premier, alors :
start(Ei,k ) = start(Ei,j ) +
di,j,k
vi
(4.9)
où di,j,k est la distance séparant les points d’intersections.
Stratégies de recherche
Il est important de commencer par donner un ordre de passage à chaque paire d’avions
en conflit, en effet cela permet de réduire les domaines des vitesses. Pour cela nous utilis-
45
erons l’algorithme de ranking de FaCiLe.
Ensuite on pourra faire l’ordonnancement des tâches et donc d’instancier la date du
début de chacune de ces tâches. Instancier le début d’une tâche revient à instancier la vitesse
d
de l’avion en question. En effet start(Ei,j ) = vi,ji . Nous avons donc choisit d’instancier
directement les vitesses des avions plutôts que d’instancier les dates de début (dont le
domaine est généralement plus grand).
On remarque que les algorithmes d’Edge-Finding et Not-First (ou Not-Last) ne sont
pas efficace sur ce problème ; en effet, il n’y a seulement que deux tâches en concurrence
sur chaque machine, et on ne peut pas vraiment prévoir trop à l’avance qu’une tâche ne
pourra pas s’executer en premier sur une machine (ou en dernier). Ces algorithmes dont
la complexité temporelle est en O(n2 ), apporteront en fait peu de déductions interessantes
dans notre modèle.
4.2.4
Résultats
On a testé l’efficacité des différents modèles étudiés sur un problème de n avions sur
un cercle (figure 4.5). Il y a donc n(n−1)
conflits à résoudre.
2
Fig. 4.5 – n avions sur un cercle
On observe que :
– La méthode par PPC (sans ranking) permet de résoudre le problème jusqu’à 4 avions
soit 6 conflits.
– La méthode par PPC et ranking permet de résoudre le problème jusqu’à 7 avions
soit 21 conflits.
– La méthode par ranking et ordonnancement permet de résoudre le problème jusqu’à
10 avions soit 45 conflits.
On remarque que le ranking joue une grande influence dans la résolution de ce problème.
En effet choisir l’ordre de passage des avions permet de casser les symétries du problème
et de réduire les domaines des variables.
46
4.3
Route directe avec changements de vitesse
4.3.1
Définitions
Dans cette partie nous ne nous limiterons plus à un seul changement de vitesse par
aéronefs. Nous verons une méthode permettant de faire pour chaque avion un changement
de vitesse par conflit.
xi (2)
ci (1)
xi (0)
Fig. 4.6 – Points de conflit
Pour chaque avion, on définit le tableau Ii = {xi (0), xi (1), . . .} de ses points de conflit
(figure 4.6) avec d’autres trajectoires. Pour chaque point de conflit xi (j) on définit le point
x0i (j) à partir duquel le conflit est terminé au plus tard (il se trouve à un distance de sinDα
du point de croisement, avec α l’angle entre les trajectoires en conflit).
On définit alors l’ensemble V = {vi (0), vi(1), . . .} des vitesses d’un avion (figure 4.7) où
vi (k) est la vitesse de l’avion i sur le segment [x0i (k − 1), x0i (k)].
Remarque 10 On considère que x0i (0) = xi (0) et sont confondus avec la position initiale
de l’avion.
x0i (0)
x0i (1)
xi (0)
vi (0)
x0i (2)
xi (1)
vi (1)
xi (2)
vi (2)
Fig. 4.7 – Différents changements de vitesse pour un avion
vi (0)
47
4.4. ROUTE STANDARD
4.3.2
Modélisation du problème
Pour chaque point de conflit, disons entre l’avion i et l’avion j, on définit 2 tâches
disjointe :
– Ei,j : L’avion i passe au point de conflict alors que l’avion j n’y passe pas,
– Ej,i : L’avion j passe au point de conflict alors que l’avion i n’y passe pas.
Comme nous l’avons déjà vu la durée de la tâche Ei,j est égale à celle de la tâche Ej,i
et vaut :
q
D
rij =
vi (ki )2 + vj (kj )2 − 2vi (ki )vj (kj )cos(α)
vi (ki )vj (kj )|sin(α)|
où ki et kj sont les indices des ségments sur lesquels se trouvent les avions i et j.
4.3.3
Contraintes
Soit le pourcentage maximum de changement de vitesse pour un aéronefs. On a alors :
∀(i, j), (1 − ) · vi (0) ≤ vi (j) ≤ (1 + ) · vi (0)
∀(i, j), (1 − ) · v( i)(j) ≤ vi (j + 1) ≤ (1 + ) · vi (j)
Si la trajectoire de l’avion i et de l’avion j se coupe en xi (k) (= ci,j ), alors on définit
deux tâches disjointes :
Soit Ei,j et Ei,k deux tâches consécutives de l’avion i. On note xi (n) et xi (n + 1) les
points de croisement correspondant (di,n,n+1 est la distance entre ceux deux points). On a
alors :
Si di,n,n+1 <
Alors
D
sin αi,j
+
D
sin αi,k
vi,n = vi,n+1 et start(Ei,k ) = start(Ei,j ) +
Sinon
start(Ei,k ) = start(Ei,j ) +
4.4
di,n,n+1
vi,n
D
di,n,n+1 sin αi,j − D
+
vi,n sin αi,j
vi,n+1 sin αi,j
(4.10)
(4.11)
Route standard
Dans cette partie on cherche à représenter la trajectoire de chaque avion de façon assez
fidèle, en la discrétisant. Chaque avion est représenté par une suite de point. Chaque point
étant espacé dans le temps d’un interval de temps fixe (de 8 ou 15 secondes).
48
>
=
>
?
=
?
<
:
;
<
:
;
8
9
8
9
6
7
6
7
4
5
4
5
Fig. 4.8 – Modèle de trajectoire en conflit
4.4.1
Détection de conflits
On notera Wi (resp. Si ) l’ensemble des points de la trajectoire de l’avion i (resp. l’ensemble des vitesses) (voir Fig. 4.8).
Définition 15 (Trajectoire) Une trajectoire est une suite de couples (position, vitesse) ∈
Wi × Si .
Dans ce cas précis la détéction des conflits potentiel se fait point à point. il suffit de
verifier :
– soit que les deux points sont séparés horizontalement de plus de 5Nm (la séparation
standard),
– soit que les deux aéronefs ne pourront se trouvé en ces points en même temps.
4.4.2
Résolution par ordonnancement
On modélise chaque point de passage d’un aéronefs par une tâche. Afin de résoudre
les conflits, pour chaque paire d’avions, les points de passage pouvant être en conflit sont
modélisés par des tâches disjointes c’est-à-dire que l’avion i ne pourra pas être sur un point
qui est dans un rayon de moins de 5Nm de l’avion j (voir Fig. 4.9).
– le début de la tâche correspond au passage du point par l’avion,
– le temps d’execution de la tâche est le temps que l’avion met pour aller de ce point
au prochain point,
– la fin de la tâche correspond elle à l’arrivée de l’avion au point suivant.
Pour chaque point de la trajectoire d’un avion i on fait calcul la liste des points où
l’avion j ne doit pas se trouver (pour respecter les séparations).
49
4.4. ROUTE STANDARD
5Nm
Fig. 4.9 – Modèle de point en conflit
Contraintes
On notera Pi (j) la tâche correspondant au passage de l’avion i au point j.
On remarquera donc que
∀j = 1 . . . n − 2, start(Pi (j + 1)) = end(Pi (j))
⇔ start(Pi (j + 1)) = start(Pi (j)) + proc(Pi (j))
De plus si l’avion i et l’avion j sont en conflit au point ki et kj :
(Pi (ki) Pj (kj )) ∨ (Pi (ki ) Pj (kj ))
On note Ci,j (k) l’ensemble des points de la trajectoires de l’avion
S j en conflit avec le
point k de la trajectoire de l’avion i. L’ensemble des tâches Ci,j (k) {Pi (k)} forment un
ensemble de tâches disjointes (elles s’executent sur la même machine).
On remarque aussi que soit Pi (k) s’exécute après toutes les tâches de Ci,j (k) ou avant
toutes les tâches de Ci,j (k) :
Ci,j (k) Pi (k) ∨ Pi (k) Ci,j (k)
Résultats
Sur des données de trafic réel nous arrivons à résoudre des conflits à deux avions, mais
la combinatoire du problème nous empêche de résoudre des problèmes plus gros. Cette
50
méthode est tout de même très interessante car sur une journée de trafic la majorité des
conflits sont des conflits à deux avions.
Chapitre
5
Anticipation
Dans ce chapitre nous allons nous intéresser aux problèmes d’anticipation. En effet, pour
résoudre un conflit de façon efficace il un faut temps d’anticipation variable selon l’angle de
conflit et la complexité du conflit. Nous allons ici étudier les temps d’anticipation nécessaire
à la régulation en vitesse, en supposant que les avions arrivent à tenir parfaitement leur
trajectoires 4D.
Nous verrons donc dans ce chapitre l’influence de l’anticipation sur la qualité des solutions, et l’influence de l’angle entre les trajectoires des avions, et de la taille du problème
à résoudre sur la taille de la fenêtre d’anticipation.
5.1
Influence de la fenêtre d’anticipation sur la qualité
de la solution
Pour mesurer l’importance de l’anticipation sur la résolution optimale nous nous sommes
placés dans l’hypothèse la plus pénalisante, c’est-à-dire les deux avions doivent arriver au
point de croisement de leur trajectoire (ou point de conflit) au même instant, et nous avons
fait varier la distance au point de conflit (au moment de la résolution).
Ce qui nous donne comme hypothèse :
– Les avions volent à 420kt avant la résolution
– Les avions sont à égale distance du point de conflit.
– Les routes sont séparés d’un angle de 20◦
On observe logiquement sur la Fig. 5.1 que plus les avions sont éloignés du point de
conflit, plus l’amplitude de la manoeuvre en vitesse est faible. On s’aperçoit aussi que sur
cette exemple, si on veut avoir des régulations de l’ordre de 2% (ce qui équivaut à 8kt ou
15km/h pour une vitesse de 400kt), il faut un temps d’anticipation d’environ 17 minutes,
soit en terme de distance une distance de 120Nm (plus de 220km) avant le point de conflit.
51
52
CHAPITRE 5. ANTICIPATION
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
40
60
80
100
120
140
160
Fig. 5.1 – Résolution (en %) en fonction de la distance au point de conflit (en Nm)
5.2
Incidence entre les trajectoires
Pour mesurer l’influence de l’angle entre les trajectoires sur la distance d’anticipation
du conflit nous avons fixé une amplitude de régulation acceptable à 2%.
700
600
distance
500
400
300
200
100
0
20
40
60
80
100
120
140
160
angle
Fig. 5.2 – Fenêtre d’anticipation en fonction de l’angle pour deux avions à 420kts
Comme le montre la Fig. 5.2 plus l’angle est grand entre les avions, plus la taille de la
fenêtre d’anticipation doit être grande. En effet, plus les avions sont proche d’une situation
de face-à-face, plus le problème est difficile à résoudre ce qui implique qu’il faut plus de
temps (ou de distance) pour résoudre le problème.
53
5.3. TAILLE DU PROBLÈME
Dans cet exemple pour un angle entre 10◦ et 100◦ , il nous faut une fenêtre d’anticipation
de 18 à 28 minutes. Ces résultats sont cohérent avec les résultats de Nicolas Durand qui
montre dans [Durand 96] que la fenêtre d’anticipation doit généralement être supérieur à
20 minutes pour obtenir des régulation pas trop importantes.
La résolution de conflit par modification des vitesses des aéronefs pour des avions dont
l’angle entre les trajectoires est élevé donne de mauvais résultats, il faudra donc envisager
d’autres méthodes dans ces cas là [Feydy 05b, Granger 02, Chansou 95, Durand 96]
5.3
Taille du problème
Pour tester l’influence du nombre d’avions sur l’amplitude de la régulation maximale,
nous avons utilisé le problème de n avions sur un arc de cercle (figure 4.5). Les avions ont
initialement la même vitesse, et leur trajectoire sont séparées d’un angle de 20◦ .
Ce problème est un problème difficile : tous les avions sont en conflits deux à deux
Pn−1
( k=1 k conflits au total), de plus le problème est symétrique (on peut échanger l’avion i
et l’avion n + 1 − i sur le cercle sans changer le problème).
Résultats
On observe (figure 5.3) que l’amplitude maximum de résolution, pour des problèmes de
tailles raisonnables (conflits de 2 à 7 avions), est linéaire avec le nombre d’avions en conflit.
Ce résultat peu paraitre décourageant pour effectuer des résolutions de conflit en vitesse,
cependant la taille d’un cluster en nombre d’avions n’est pas équivalent à la complexité du
cluster ; un meilleur indicateur serait le nombre de conflit, ou la durée total des conflits :
dans le cas des n avions sur un cercle il y a n(n−1)
conflits.
2
20
18
16
resolution max en %
14
12
10
8
6
4
2
2
3
4
5
6
7
nombre d’avions
Fig. 5.3 – Regulation maximum en fonction du nombre d’avions
54
5.4
CHAPITRE 5. ANTICIPATION
Conclusions
En premiers nous avons constaté qu’il faut une fenêtre d’anticipation très grande (plus
de 20 minutes) pour résoudre des conflits à l’aide de régulations en vitesse. Cela veut dire
que l’on dispose d’outils permettant de prédire précisemment la trajectoires en 4D et que
les FMS tiennent aussi précisémment que possible les trajectoires demandées.
Nous avons vu que nous ne pouvont pas résoudre efficacement des conflits où l’angle
entre les avions est élevé. Le cas des avions en face à face lui ne peut clairement pas être
résolu à l’aide de régulation en vitesse, on choisira plutôt dans ce cas là de résoudre le
conflit à l’aide de changements de cap ou d’altitude.
Troisième partie
Optimisation
55
Chapitre
6
Différents critères d’optimisation
Dans ce chapitre, nous avons essayer de comparer les différents critères d’optimisation
vu au chaptire 4. Dans ce précédent chapitre nous avions décidé de nous interesser aux
variations en vitesse, et en particulier à la moyenne1 et au maximum des variations.
6.1
Les critères
Soit Ω = {A1 , A2 , . . . , An } un ensemble de n avions, où vi0 (respectivement vi ) est la
vitesse de l’avion Ai avant (respectivement après) la régulation.
Écart maximal
C’est le premier critère que l’on a envisagé, car c’est le critère qui peut paraı̂tre le moins
injuste. en effet on essaye de pénaliser le moins possible l’avion qui sera le plus pénalisé.
|vi − vi0 |
i∈{1,...,n}
vi0
coutmax (Ω) = max
Écart moyen
C’est le deuxième critère que l’on a envisagé, pour trouver des solutions globalement
meilleures que celles trouvées avec le critère précédent.
coutsomme (Ω) =
1
n
X
|vi − vi0 |
vi0
i=1
La moyenne des variations est équivalente à la somme des variations
57
58
CHAPITRE 6. DIFFÉRENTS CRITÈRES D’OPTIMISATION
Écart maximal, puis écart moyen
Ce troisième critère, nous permet de prendre en compte l’écart maximal puis l’écart
moyen ce qui permet de classer les solutions équivalentes trouvées avec coutmax . Ce critère
permettra de qualifier la qualité des solutions de façon « plus précise » que coutmax .
|vi − vi0 |
coutmax,somme (Ω) = n ·
max
i∈{1,...,n}
vi0
2
n
X
|vi − vi0 |
+
vi0
i=1
Somme des carrés des écarts
L’utilisation de la somme des carrés des écarts en tant que fonction objectif pénalise
plus vite les mauvais éléments que le critère coutsomme . On espère donc avoir une meilleure
efficacité (en temps de calcul) avec ce critère.
2
n X
|vi − vi0 |
coutsquare (Ω) =
vi0
i=1
6.2
Les résultats
n avions sur un cercle
– La vitesse des avions est de 420kt.
– La distance au point d’impact est de 150Nm.
Ce premier exemple nous a servi à voir de façon qualitative comment réagissaient les
différents critères. On s’aperçoit que les temps de calcul des solutions (Tab. 6.1) sont
différents selon les critères utilisés : cela est dû au fait qu’il est plus ou moins simple
de borner certain critère par rapport à d’autres. Par exemple la fonction max permet
généralement de couper plus vite dans l’arbre de recherche d’un algorithme de Branch and
Bound que la fonction somme.
Comme on peut le voir sur la Fig. 6.1 les 3 critères sont très proches en ce qui concerne
les valeurs des solutions trouvées. Ceci est vraisemblablement dû aux nombreuses symétries
du problème.
Cette expérience nous a donc permis de mettre en évidence les différences d’efficacité
des différents critères en terme de temps de calcul mais ne nous permet pas de conclure
par rapport aux autres points que l’on souhaitait évaluer.
n avions
Afin de casser des symétries dans le problème précédent on décide, de rajouter du bruit
aux positions d’origine des avions par rapport à l’expérience précédente. De même la vitesse
59
6.2. LES RÉSULTATS
160
max
somme
max et somme
140
variation maximale en /1000
120
100
80
60
40
20
0
2
3
4
5
6
nombre d’avions
7
8
9
10
900
max
somme
max et somme
800
somme des variations en /1000
700
600
500
400
300
200
100
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
nombre d’avions
Fig. 6.1 – n avions sur un cercle : coût des meilleurs solutions
60
CHAPITRE 6. DIFFÉRENTS CRITÈRES D’OPTIMISATION
35
max
somme
max et somme
maximum des variations en /1000
30
25
20
15
10
5
0
2
2.5
3
3.5
nombre d’avions
4
4.5
5
80
max
somme
max et somme
70
somme des variations en /1000
60
50
40
30
20
10
0
2
2.5
3
3.5
4
4.5
nombre d’avions
Fig. 6.2 – n avions : coût des meilleurs solutions
5
61
6.3. CONCLUSIONS
nb d’avions
2
3
4
5
6
7
8
9
10
max somme
0
0
0
0.2
0.2
8.3
2.1
135
3.6
1870
57
∞
405
∞
1322
∞
4465
∞
max et somme somme des carrés
0
0.03
0
0.18
0.9
2.75
2.7
19.43
13
499.89
80
5223
722
∞
1243
∞
∞
∞
Tab. 6.1 – Temps de calcul des solutions avec différents critères
de l’avion est soit de 410kt soit de 420kt. Nous avons ensuite réalisé la moyenne sur des
échantillons de 100 individus.
Cette expérience met en évidence des différences significatives entre les différents critères
(voir Fig. 6.2). Le critère coutmax,somme s’avère presque aussi efficace pour minimiser la
somme des variations que de coutsomme et est bien plus rapide.
6.3
Conclusions
Les critères coutmax et coutmax,somme s’avèrent beaucoup plus efficace en terme de temps
de calcul que coutsomme et coutsquare . Cela est dû au fait que l’on peut minorer facilement
une évaluation partielle de la fonction max par le maximum des valeurs déjà instanciées,
ce qui n’est pas faisable avec la fonction somme. Le fait de sommer sur les carrés des écarts
permet de réduire ce phénoméne.
En prenant la somme des puissances n-ème des écarts on gagne encore plus en vitesse de
calcul, mais malheureusement, on dépasse rapidement le maximum des entiers en OCaml.
Le critère d’optimisation coutmax,somme semble être un bon compromis entre vitesse de
calcul et qualité de la solution, effet ce critère pénalise autant l’avion le plus pénalisé que
coutmax et pénalise moins en moyenne les autres avions.
Chapitre
7
Utilisation d’un algorithme glouton
Dans ce chapitre, nous allons présenter un algorithme permettant de trouver une solution admissible rapidement. Le coût de cette solution pourra ensuite être utilisé comme
borne supérieure du coût du problème de résolution de conflit.
7.1
L’algorithme glouton
Un « algorithme glouton » est un algorithme qui fait le meilleur choix a priori à chaque
point de choix. On espère ainsi se rapprocher de l’optimum global. Dans ce chapitre, nous
allons présenter un algorithme de type « 1 contre n » : on calcule séquentiellement les
trajectoires des avions en prenant en compte les trajectoires précédemment calculées.
L’algorithme 5 permet de tester si avec la vitesse vi la trajectoire de l’avion i n’est pas
conflictuelle avec les trajectoires des i − 1 avions précédents dont on a déjà choisi la vitesse.
Algorithme 5 Tester (vitesse: vi , indice: i)
test ← V rai
conf lit(x, y) : est le prédicat l’avion x et l’avion y sont en conflit.
pour j = 1 à i faire
test ← test ∧ ¬(conf lit(i, j))
fin pour
L’algorithme 6 tente d’affecter à chaque avion la vitesse (avec la variation minimale)
qui lui permet de ne pas être en conflit avec les avions déjà traités.
Remarque 11 La complexité temporelle de l’algorithme 6 est en O(n2 ), alors que les
méthodes optimales présentées au chapitre 4 ont des complexités temporelles exponentielles.
63
64
CHAPITRE 7. UTILISATION D’UN ALGORITHME GLOUTON
Algorithme 6 Glouton
∆v ← 0
vi ← vi0
tant que V rai faire
∆v ← ∆v + 1
vi ← vi0 + ∆v
si T ester(vi , i) alors
sortir de la boucle tant que
fin si
vi ← vi0 − ∆v
si T ester(vi , i) alors
sortir de la boucle tant que
fin si
fin tant que
fin pour
7.2
Ordronnancement
L’ordre des avions dans la résolution est un facteur primordial (voir chapitre 4) pour
l’efficacité de la solution. En effet, un mauvais choix en ce qui concerne l’ordre des avions
peut donner une solution peu efficace ou dans le pire des cas la résolution peut ne pas
aboutir.
Le but est de trouver le meilleur ordre possible. Pour cela on peut soit parcourir de façon
exhaustive les n! ordres différents, soit s’appuyer sur des heuristiques telles que le nombre
de conflits, la manœuvrabilité, le numéro CAUTRA (identifiant du vol dans le système
CAUTRA) de l’avion. En général, on utilise la combinaison de plusieurs heuristiques pour
pouvoir comparer les avions entre eux. On les utilise de façon séquentielle, un peu comme
« un ordre lexicographique ». Nicolas Archambaut et Nicolas Durand utilise le numéro
CAUTRA comme dernières heuristiques [Archambault 04b], ce qui permet d’assurer que
l’on obtient un ordre total entre tous les avions.
7.2.1
Parcours exhaustif
Dans un premier temps, nous avons essayé la méthode par parcours exhaustif de tous
les ordres possibles (voir Tab. 7.1). Ainsi on est certain de tester l’ordre qui minimise le
critère d’évaluation.
65
7.2. ORDRONNANCEMENT
nombre d’avions
2
3
4
5
6
7
8
9
nombre d’ordres
2
6
24
120
720
5 040
40 320
362 880
temps de résolution
0
0
0.02
0.13
1.51
14.27
160
∞
Tab. 7.1 – Parcours exhaustif des différents ordres.
7.2.2
Utilisation d’heuristiques
Le parcours exhaustif s’avère trop coûteux, ce qui était sans doute prévisible du fait
que le nombre d’ordres augmente très rapidement (il y a exactement n! ordres différents).
Il est donc impossible de parcourir tous les ordres, nous allons donc essayer de classer
les avions à l’aide des heuristiques suivantes par exemple :
– t : temps au premier conflit,
– m : manœuvrabilité de l’aéronef,
– c : nombre de conflits,
– id : numéro de CAUTRA.
À partir des heuristiques (h0 , h1 , . . . , hn ), on peut définir la relation d’ordre ≺ sur
l’ensemble Ω = {A0 , A1 , . . . , Am } des avions du problème de la façon suivante : Ai ≺ Aj si
il existe k tel que pour tout p < k : hp (Ai ) = hp (Aj ) et hk (Ai ) < hk (Aj )
Remarque 12 Il suffit que l’une des heuristiques définisse une relation d’ordre total sur
Ω pour que ≺ définisse une relation d’ordre total sur Ω.
Pour obtenir un ordre total, on utilise une combinaison des plusieurs heuristiques avec
id comme dernière heuristique.
7.2.3
Comparaison entre heuristiques et parcours exhaustif
Pour effectuer nos comparaison nous avons utilisé les heuristiques suivantes :
– t, m, c, id
– t, c, m, id
– m, t, c, id
– m, c, t, id
– c, t, m, id
– c, m, t, id
66
CHAPITRE 7. UTILISATION D’UN ALGORITHME GLOUTON
On a comparé les résultats obtenus grâce au parcours exhaustif et à l’utilisation d’heuristiques. Nous avons regroupé dans le tableau Tab. 7.2 le meilleur résultat obtenu à l’aide
d’une des 6 heuristiques testées et le meilleur résultat obtenu à l’aide du parcours exhaustif
de tous les ordres. On s’aperçoit que les heuristiques utilisées ne sont pas très efficaces dès
que la taille du problème augmente.
taille du cluster
2 avions
3 avions
4 avions
exhaustif
16.91
18.83
22.98
heuristiques
17.18
21.58
31.31
% erreur
1.5
14.6
36.2
taille du cluster
2 avions
3 avions
4 avions
exhaustif
16.91
22.83
40.48
heuristiques
17.18
25.53
49.16
% erreur
1.5
11.8
21.5
Tab. 7.2 – Comparaison ordonnancements : le premier tableau est fait avec coutmax et le
second avec coutsomme
Les heuristiques choisies ne semblent pas être de très bonnes qualités, et le parcours
exhaustif est lui trop coûteux en temps de calcul, c’est pourquoi nous avons envisagé
d’utiliser un parcours en temps borné, c’est-à-dire que l’on fixe le temps de parcours des
différents ordres possibles.
7.2.4
Parcours en temps borné
On s’aperçoit (voir Tab. 7.3) que l’utilisation de l’algorithme glouton n’est pas efficace
sur des petits clusters mais qu’elle permet de réduire fortement le temps de calcul sur des
clusters de taille importante (à partir de 8 avions).
taille du cluster
7 avions
8 avions
9 avions
sans avec
33
36
627 155
1347 322
Tab. 7.3 – Temps de résolution du problème n avions sur un cercle de rayon 160Nm sans
ou avec utilisation d’algorithme glouton (et parcours en temps borné = 5s)
Conclusion
Cette étude a permis d’envisager des méthodes exactes pour la résolution de conflit
par régulation en vitesse. Dans la première partie du document nous avons présenté les
méthodes de résolution de problème d’ordonnancement à l’aide de programmation par
contraintes. Dans la deuxième partie, nous avons présenté des méthodes de résolution de
conflits en vitesse par ordonnancement. Dans cette partie nous avons mis en évidence le
lien étroit entre l’ordonnancement et la résolution de conflits par régulation en vitesse.
La programmation par contraintes nous a permis de garantir l’optimalité des solutions
trouvées.
Nous avons ensuite pu étudier certaines limites de la régulation en vitesse. On a montré
que plus l’angle entre les avions était élevé plus la régulation était grande (le problème
n’a pas de solution pour les cas de face-à-face ou de rattrapage). Nous avons aussi mis en
avant le fait qu’il faille une grande fenêtre d’anticipation pour pouvoir résoudre de façon
efficace ce problème, ce qui implique la nécessité d’une grande précision sur la prévision des
trajectoires des avions. Enfin l’amplitude des régulations augmentant linéairement avec le
nombre d’avions d’un cluster, la fenêtre d’anticipation doit augmenter elle aussi avec le
nombre d’avions du problème pour garantir que l’on aura des solutions acceptables.
Enfin nous avons coupler notre programme de résolution avec l’utilisation d’un algorithme glouton qui nous permet de trouver une première solution admissible. À l’aide de
cette solution admissible, on peut réduire la taille des domaines des variables de décision
et majorer le critère d’optimisation.
Nous n’avons pas évoqué les problèmes d’incertitude sur les tenues de vitesse des avions.
Il est clair que si les avions ne peuvent tenir leur vitesse de façon précise, la régulation en
vitesse devient difficile. Nous avons très souvent considéré les conflits dans le pire des
cas, à savoir lorsque les deux avions sont supposés passer par le point d’intersection de
leurs trajectoires au même instant. Il est clair que si deux avions sont déjà partiellement
séparés, une régulation en vitesse peut permettre de les séparer complètement facilement.
Néanmoins, plus l’anticipation de la régulation en vitesse est grande, plus l’incertitude
joue un rôle important ; à 460kts une erreur de 1% pendant une demi-heure équivaut à une
distance de 2.3Nm ce qui explique pourquoi les contrôleurs utilisent peu la régulation en
vitesse pour séparer les avions.
67
Annexes
69
Annexe
A
Glossaire
A.1
Unités
– 1 mile nautique (Nm) = 1.852km
– 1 pied (f t) = 0.3048m
A.2
Aeronautique
ACAS : Airborne Conflict Avoidance System. Désigne les systèmes d’anti-collision
embarqué sur les aéronefs.
ATC : Air Traffic Control ou control de la navigation aérienne.
ATCo : Air Traffic Controler ou controleur de la navigation aérienne.
ATFM : Air Traffic Flow Management désigne la gestion des flots de trafic.
ATM : Air Traffic Management ou gestion du trafic aérien.
CAUTRA : Coordonnateur AUtomatique du TRafic Aérien. Système assurant les t
raitements et la diffusion des plans de vol aux contrôleurs.
Clairance : Autorisation donnée par le contrôleur à un pilote pour le roulage, le
décollage, atterissage
Conflit : Risque de perte de séparation
CFMU : Central Flow Management Unit. Cellule européenne de régulation des f lux
de trafic.
CRNA : Centre en-Route de la Navigation Aérienne. Il y en a 5 en France métropolitaine :
Aix-en-provence, Athis-Mons, Bordeaux, Brest, et Reims.
CCR : Centre de Contrôle Régional.
DGAC : Direction Général de l’Avition Civile
ENAC : École Nationale de l’Aviation Civile
ERASMUS : En Route Air traffic Soft Management Ultimate System projet européen
d’automatisation du trafic (à l’aide par exemple de contrôl subliminal)
EUROCONTROL : European Organisation for the Safety of Air Navigation. Organ
71
72
ANNEXE A. GLOSSAIRE
isme Européen chargé de la gestion du trafic aérien en Europe.
FMS : Flight Management System. Ordinateur de bord permettant de gérer le plan de
vol du pilote automatique.
FUA : Flexible Use of Airspace, principe de collaboration civil/militaire pour une
meilleur utilisation de l’espace aérien.
GPS : Global Positionning System. Système de positionnement par satellite p rovenant
du département de la défense américaine.
GPWS : Ground Proximity Warning System. Ce système emet une alerte sonore dans
le cockpit en cas de proximité dangereuse avec le sol.
LEEA : Laboratoire d’Économie et d’Économétrie de l’Aérien. Structure d e recherche
commune à l’ENAC et à la SDER.
LOG : Laboratoire d’Optimisation Globale. Structure de recherche commune à l’ENAC
et à la SDER.
SDER : Sous Direction Études et Recherche appliquée
STCA : Short Term Conflict Alert. C’est le filet de sauvegarde des controleurs aériens,
il avertit le contrôleur en cas de rapprochement dangereux d’aéronefs par une alerte
visuelle matérialisée sur l’interface radar.
Strips : Supports papier de format prédéfini permettant le suivi d’un avio n par les
contrôleurs.
TCAS : Trafic Conflict Avoidance System. Système anti-collision embarqué
A.3
Informatique
CP : Constraint Programming
CSP : Constraint Satisfaction Problem
PPC : Programmation par Contraintes
Annexe
B
Liste des défintions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Domaine fini . . . . . . . . . . . . . . . .
Contrainte binaire en extension . . . . . .
CSP sur les domaines finis avec contraintes
Instanciation partielle . . . . . . . . . . .
Instanciation totale . . . . . . . . . . . . .
Satisfaction . . . . . . . . . . . . . . . . .
Support . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Instanciation consistante . . . . . . . . . .
Arc-consistance . . . . . . . . . . . . . . .
Arc-consistance d’un CSP binaire . . . . .
Arc-B-Consistance . . . . . . . . . . . . .
Machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conflit potentiel . . . . . . . . . . . . . .
Point de conflit . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
. . . . .
. . . . .
binaires
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
14
14
14
14
15
15
15
17
17
18
22
33
37
48
Bibliographie
[Alliot 98]
Jean-Marc Alliot et Nicolas Durand. Faces : A free flight autonomous and coordinated embarked solver. 2nd USA/EUROPE ATM
R & D seminar. 1998.
[Alliot 03]
Jean-Marc Alliot et Dominique Colin de Verdière. L’ATM : 20
ans d’effort et perspectives. Rapport technique, CENA, novembre 2003.
[Archambault 04a] Nicolas Archambault. Speed uncertainty and speed regulation in conflict resolution. Rapport technique, LOG (CENA ENAC) / EEC, 2004.
[Archambault 04b] Nicolas Archambault et Nicolas Durand. Scheduling heuristics for
on board sequential air conflict solving. 23rd DASC. 2004.
[Baptiste 01]
Philippe Baptiste, Claude Le Pape et Wim Nuijten. ConstraintBased Scheduling, Applying Constraint Programming to Scheduling
Problems. Kluwer’s INTERNATIONAL SERIES, 2001.
[Barnier 02]
Nicolas Barnier. Application de la programmation par contraintes
à des problèmes de gestion du trafic aérien. Thèse : Thèse doctorat
informatique de l’INP Toulouse, 2002.
[Bartak 99]
R. Bartak. Constraint programming : In pursuit of the holy grail,
1999.
[Barták 03]
Roman Barták. Constraint based scheduling : An introduction for
newcomers. 7th IFAC Workshop on Intelligent Manufacturing Systems.
2003.
[Chansou 95]
Olivier Chansou. Utilisation des Algorithmes Génétiques pour la
Résolution de conflits aériens. Rapport DEA : Rapport DEA IFP.,
1995.
[Durand 96]
Nicolas Durand. Optimisation de trajectoires pour la résolution de
conflits. Thèse : Thèse doctorat informatique INPT, 1996.
[Durand 03]
Nicolas Durand et Geraud Granger. A traffic complexity approach
through cluster analysis. ATM2003. 2003.
75
76
BIBLIOGRAPHIE
[Feydy 05a]
Thibaut Feydy. Programmation par contraintes sur les domaines continus, mise en oeuvre et application à la gestion du trafic aérien. Rapport DEA : École Nationale de l’Aviation Civile, 2005.
[Feydy 05b]
Thibaut Feydy, Nicolas Barnier, Pascal Brisset et Nicolas Durand. Mixed conflict model for air traffic control. Principles and
Practice of Constraint Programming (CP 2005). 2005.
[Fromherz 01]
Markus P.J. Fromherz. Constraint based scheduling. American Control Conference. 2001.
[Gaudière 95]
Gervais Gaudière. Résolution de Conflits Aériens par Réseaux de
Neurones. Rapport DEA : Rapport DEA IFP., 1995.
[Gotteland 04]
Jean-Baptiste Gotteland. Optimisation du trafic au sol sur les
grands aéroports. Thèse : Thèse doctorat informatique de l’INPT, 2004.
[Granger 02]
Géraud Granger. Détection et résolution de conflits aériens :
modélisations et analyse. Thèse : Thèse doctorat informatique de
l’Ecole Polytechnique, 2002.
[Kumar 92]
Vipin Kumar. Algorithms for constraint satisfaction problems : A
survey. AI Magazine, 1992, vol 13, p 32–44.
[Médioni 98]
Frédéric Médioni. Méthode d’optimisation pour l’évitement aérien :
systèmes centralisés, systèmes embarqués. Thèse : Thèse doctorat informatique de l’Ecole Polytechnique, 1998.
[Nguyen 04]
Huy-Hoang Nguyen. Coordination des Avions pour la resolution de
Conflits : Une Approche Basee sur le Graphe de PERT Disjonctif.
Thèse : Universite de Technologie de Compiegne, 2004.
[Pozzi 03]
Sandro Pozzi. 2002, the year that revolutionised european airspace
architecture. Skyway, the EUROCONTROL Magazine, 2003, vol 7,
n◦ 28.
[Vilim 05]
Petr Vilim, Roman Bartak et Ondrej Cepek. Extension of
O(n log n) filtering algorithms for the unary resource constraint to optional activities. Constraints, An International Journal, 2005, vol 10,
n◦ 4.
[Villiers 04]
Jacques Villiers. ERASMUS : Une voie conviviale pour franchir le
mur de la capacité. Rapport technique, ITA, 2004.

- Accueil POM

Transcription

Documents pareils

Autrefois, le nom courant pour désigner un avion était .......... Un

La plus grande illusion

Centen`air

Visits to Victoria

L`aéro-forum, un forum pour tous

Communiqué de presse - Musée de l`Air et de l`Espace

Lire la suite

turquie iran koweit bahrein arabie saoudite syrie liban

Solving the Aircraft Landing Problem with time