Matrices et applications linéaires - Arthur Lannuzel

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le 18 Février 2010 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL
http ://mathutbmal.free.fr
Matrices et applications linéaires
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Matrice d’une application linéaire.
A partir de maintenant, soit E et F , 2 espaces vectoriels sur K = R ou C de dimensions
finies respectives n et p munis de bases respectives B = {e1 , e2 , ..., en } et U =
{u1 , u2 , ..., up }.
Soit f : E −→ F une application lineaire.


x1
 x2 

Soit x ∈ E alors x = x1 .e1 +x2 .e2 +...+xn .en (écriture unique) et, dans la base B, xB = 
 ... .
xn
Question 1.1 Quelles sont les coordonnées de f (x) dans la base U ?
f (x) = f (x1 .e1 + x2 .e2 + ... + xn .en ) = x1 .f (e1 ) + x2 .f (e2 ) + ... + xn .f (en ) que que soit x ∈ E
donc f est définie de façon unique par la donnée de {f (e1 ), f (e2 ), ..., f (en )}.


a1,1
 a2,1 

Mais f (e1 ) = a1,1 .u1 + a2,1 .u2 + ... + ap,1 .up (i.e. f (e1 )U = 
 ... ),
a
 p,1 
a1,2
 a2,2 

f (e2 ) = a1,2 .u1 + a2,2 .u2 + ... + ap,2 .up (i.e. f (e2 )U = 
 ... ),
ap,2
...


a1,n
 a2,n 

f (en ) = a1,n .u1 + a2,n .u2 + ... + ap,n .up (i.e. f (e1 )U = 
 ... ),
ap,n
Donc
f (x) = x1 (a1,1 u1 + a2,1 u2 + ... + ap,1 up ) + x2 (a1,2 u1 + a2,2 u2 + ... + ap,2 up ) + ... + xn (a1,n u1 +
a2,n u2 + ... + ap,n up )
= (x1 a1,1 + x2 a1,2 + ... + xn a1,n ).u1 + (x1 a2,1 + x2 a2,2 + ... + xn a2,n ).u2 + ... + (x1 ap,1 + x2 ap,2 +
... + xn ap,n ).up .
2

x1 a1,1 + x2 a1,2 + ... + xn a1,n
 x1 a2,1 + x2 a2,2 + ... + xn a2,n
Donc f (x)U = 

...
x1 ap,1 + x2 ap,2 + ... + xn ap,n

a1,1 a1,2
 a2,1 a2,2
On remarque alors que f (x)U = 
 ... ...
ap,1 ap,2


.

 
... a1,n
x1


... a2,n   x2
.
... ...   ...
... ap,n
xn


.

Conclusion 1.2 Étant choisies une base de E et une base de F , on a une correspondance
bijective entre les matrices de Mp,n (K) et les applications linéaires de E dans F .
Définition 1.3 Soient E, F K-e.v. de bases respectives B = {e1 , e2 , ..., en } et U = {u1 , u2 , ..., up }.
Soit f : E −→ F une application linéaire.
On appelle matrice de l’application linéaire f relativement aux bases B et U , la matrice
dont les colonnes sont les f (ei )U :
(
)
Mf,B,U = M (f, B, U) := f (e1 )U | f (e2 )U | ... | f (en )U ∈ Mp,n (R).
On a
∀V ∈ E, f (V )U = Mf,B,U .VB .
Exemples 1.4 i) Soit D : R3 [X] −→ R2 [X]
P (X) 7→ P ′ (X)
Soient B = {1, X, X 2 , X 3 } base de R3 [X] et U = {1, X, X 2 } base de R2 [X].
Exo. : Faire la même chose avec B′ = {1 + X, X + X 2 , X 2 + X 3 , X 3 } et U ′ = {1 + X, X 2 , X}.


1
b :  R3  −→
ii) u =  2 . Soit u
3
x
 y  7→
z
Quelle est la matrice
de
u
b
dans
   les
 bases

1
2
0
Et dans B = U = { 1  ,  1  ,  1
0
0
1
3
.
 R
x
 y ∧u
z
canoniques
?

} ?
Propriétés 1.4.1 E, F , G K-espaces vectoriels de dim. finies et de bases respectives B, U, V.
i) Pour f, g : E −→ F linéaires, Mf +g,B,U = Mf,B,U + Mg,B,U ,
ii) pour λ ∈ K et f : E −→ F linéaire, Mλ.f,B,U = λ.Mf,B,U ,
iii) si f : E −→ F et g : F −→ G linéaires alors g ◦ f : E −→ G est linéaire et Mg◦f,B,V =
Mg,U,V × Mf,B,U .
iv) pour f : E −→ E, Mf,B,B = I ⇐⇒ f = idE .
3
Preuve en exo.
2
Isomorphismes et matrices.
On a vu que F ≃ G ⇐⇒ dim F = dim G.
Soient E, F des e.v. de dim. n, f : E −→ F linéaires, g : F −→ E On a vu que
f ◦ g = Id ⇐⇒ Mf × Mg = In .
On en déduit le
Théorème 2.1 Soient E, F des e.v. de dim. n et de bases respectives B et B′ et f : E −→ F
linéaire :
f bijective ⇐⇒ Mf,B,B′ est inversible
−1
et, dans ce cas Mf,B,B
′ = Mf −1 ,B ′ ,B
Définition 2.2 (rang d’une matrice)
Le rang d’une matrice est le rang de l’application linéaire associée :
rang(M ) = rang(fM ) = dim(Im(fM )).
C’est le rang de la famille constituée des vecteurs colonnes.
Remarque 2.3 pour A matrice,
Rang(A) = 0 ⇐⇒ A = 0.
Corollaire 2.4 A ∈ Mn (R) est inversible ssi rang(A) = n.
Remarque 2.5 On sait (voir TD de MT11) que (t A)−1 =t (A−1 ), donc
A inversible ⇐⇒ la f amille constituée des vecteurs ligne de A est libre.
3
3.1
Matrice d’un endomorphisme et matrice de passage.
Cas d’un endomorphime.
f : E −→ E endomorphisme.
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Deux cas se présentent :
1er cas : On prend la même base B au départ et à l’arrivée.
f : E −→ E, B = {e1 , e2 , ..., en } base de E.
Mf,B := Mf,B,B =
(
f (e1 )B | f (e2 )B | ... | f (en )B
)
∈ Mn (K)
nous donne les coordonnées de l’image de x dans B en fonction des coordonnées de x dans B :
f (x)B = Mf,B .xB .
2ème cas : On prend deux bases différentes au départ (B = {e1 , e2 , ..., en }) et à l’arrivée (B ′ =
{e′1 , e′2 , ..., e′n }).
f : E −→ E.
Mf,B,B′ =
(
f (e1 )B′ | f (e2 )B′ | ... | f (en )B′
)
∈ Mn (K)
nous donne les coordonnées de l’image de x dans B ′ en fonction des coordonnées de x dans B :
f (x)B′ = Mf,B,B′ .xB .
Exemples 3.1 Soit
f :  R3  −→
x
 y  7→
z
 
 

1
0
0





0 , e2 =
1 , e3 =
0
Soient B = {e1 =
0
0
1
 
 
 
0
1
1
′
′
′
′ 




1 , e2 =
1 , e3 1 }.
B = {e1 =
1
1
0
R3 
x + 2y
 y + 3z 
0


}
On cherche Mf,B,B′ .
3.2
Changement de base.
Soit E un K-espace vectoriel de dim. finie n muni de 2 bases B = {e1 , e2 , ..., en } et B ′ =
{e′1 , e′2 , ..., e′n }.
Soit V ∈ E. On veut déterminer les coordonnées de V dans B′ en fonction des coordonnées de
V dans B.
Exemples 3.2 Prenons E = R2 [X] muni de 2 bases B = {1, X, X 2 } et B ′ = {1 + X, X, X +
X 2 }.
 


1
1
(1 + 2X + 3X 2 )B =  2  et (1 + 2X + 3X 2 )B′ =  −2 
3
3
5
But : trouver la matrice qui permet de passer d’une base à l’autre.
Idée : chercher la matrice de l’application identité (linéaire) de E dans E avec au départ la
base B et à l’arrivée la base B ′ .
MidE ,B,B′ nous donnera alors, pour V ∈ E, les coordonnées de idE (V ) = V dans la base B ′ en
fonction des coordonnées de V dans la base B.
Définition 3.3 (matrice de passage)
Soit E, K-espace vectoriel de dim. n.Soient B = {e1 , e2 , ..., en } et B′ = {e′1 , e′2 , ..., e′n }, 2 bases
de E.
On appelle matrice de passage de B′ à B, la matrice PB′ ,B ∈ Mn (K) telle que
∀V ∈ E, VB′ = PB′ ,B .VB .
Donc
PB′ ,B := MidE ,B,B′ =
(
(e1 )B′ | (e2 )B′ | ... | (en )B′
)
.
Remarque 3.4 Le nom matrice de passage de B′ à B est justifié par le fait que :
(e1 , e2 , ..., en ) = (e′1 , e′2 , ..., e′n ).PB′ ,B .

    
1
1
0
3





Exercice 3.5 Soit E = R avec sa base canonique. Soient B = { 1 , 0 , 0 } et
0
1
1
     
1
1
1
′





B = { 1 , 1 , 0 }.
0
0
1
1) Trouver PB′ ,B et PB,B′ .
2) Que constatons-nous ?
3.3
Matrices de passage et applications linéaires.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dim. finie respective n ∈ N et p ∈ N.
Soient B et B′ deux bases de E.
Soient C et C ′ deux bases de F .
Soit f : E −→ F une application linéaire.
Question : quelle est la relation entre Mf,B,C et Mf,B′ ,C ′ ?
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Soit X ∈ E, on a, par définition :
f (X)C = Mf,B,C .XB ,
f (X)C ′ = Mf,B′ ,C ′ .XB′ ,
XB = PB,B′ .XB′ ,
f (X)C = PC,C ′ .f (X)C ′ ,
Donc
−1
Mf,B,C = PC,C ′ .Mf,B′ ,C ′ .PB,B
′.
Théorème 3.6 Soient f ∈ L(E, F ) avec E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie
alors
−1
Mf,B,C = PC,C ′ .Mf,B′ ,C ′ .PB,B
′.
Exercice 3.7 Soit f : R3 −→ R3 . Soit C la base canonique de R3 . Supposons


1 1 0
Mf,C =  −1 2 1  .
2 1 −1

 
  
−1
−1
0
Ecrire la matrice de f dans la base B = { 1  ,  1  ,  1 }.
−1
0
1


2
4
4
Solution : Mf,B =  −2 −4 −5 .
2
3
4