Exercice D4 - XMaths

Exercice D4
1°) a) La situation peut être modélisée par l'arbre de probabilités ci-dessous :
On sait que lorsqu’un étudiant choisit un livre, ce livre est une bande dessinée avec une probabilité
égale à 0,3 ou un roman une fois sur cinq.
On a donc p(B) = 0,3 et p(R) = 1 = 0,2
5
Lorsque l’étudiant choisit un roman, il prend aussi un magazine une fois sur deux, donc pR(M) = 0,5
Lorsqu’il prend un livre de cours, il n’emprunte pas de magazine, donc pC(M) = 0
M
B
M
0,3
0,5
0,2
M
R
M
0
M
C
M
NB : l'avant-dernière branche de l'arbre pourrait ne pas apparaître puisque pC(M) = 0 .
b) On sait que lorsque l'étudiant ne choisit ni une bande dessinée ni un roman, il choisit un livre de cours.
On a donc p(C) = 1 - p(B) - p(R) = 1 - 0,3 - 0,2
La probabilité que l'étudiant choisisse un livre de cours est p(C) = 0,5 .
c) La probabilité que l'étudiant emprunte un magazine sachant qu’il a pris une bande dessinée est pB(M).
On sait que la probabilité qu’il emprunte à la fois une bande dessinée et un magazine est 0,24
c'est-à-dire p(B ∩ M) = 0,24
D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a
pB(M) = p(B ∩ M) = 0,24
donc pB(M) = 0,8 .
p(B)
0,3
d) La probabilité que l'étudiant reparte avec un magazine est p(M).
La formule des probabilités totales avec la partition B , R , C permet d'écrire :
p(M) = p(B ∩ M) + p(R ∩ M) + p(C ∩ M)
On sait que p(C ∩ M) = 0 (Un étudiant n'emprunte jamais un livre de cours et un magazine)
et p(B ∩ M) = 0,24
Donc p(M) = 0,24 + p(R ∩ M) = 0,24 + pR(M) x p(R) = 0,24 + 0,5 x 0,2 = 0,24 + 0,1
Donc p(M) = 0,34 .
e) La probabilité que l'étudiant emprunte un roman sachant qu’il a pris un magazine est pM(R) .
p (M) x p(R) 0,5 x 0,2
On peut écrire pM(R) = p(R ∩ M) = R
=
p(M)
p(M)
0,34
0,1
; pM(R) ≈ 0,294 .
Donc pM(R) =
0,34
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2°) a) Trois étudiants sont entrés en même temps et choisissent, de manière indépendante, des ouvrages.
On note X le nombre total de magazines qu’ils empruntent.
Il s'agit d'un schéma de Bernoulli.
Pour chaque étudiant, la probabilité de choisir un magazine est p(M) = 0,34 .
La loi de probabilité du nombre X de magazines empruntés est donc la loi binomiale de paramètres 3
et 0,34 .
L'événement « les 3 étudiants empruntent un magazine chacun » a pour probabilité :
 3  x p(M)3 x (1 - p(M))3-3 = 0,343
3
La probabilité que les trois étudiants empruntent un magazine chacun est 0,343 ≈ 0,039 .
b) X est le nombre total de magazines que les trois étudiants empruntent.
X peut prendre les valeurs 0 ; 1 ; 2 ; 3.
c) D'après la question a) on a p(X = 3) = 0,343 ;
3
On a
p(X = 2) =   x p(M)2 x (1 - p(M))3-2 =
2
3
p(X = 1) =   x p(M)1 x (1 - p(M))3-1 =
1
3
p(X = 0) =   x p(M)0 x (1 - p(M))3-0 =
0
On obtient :
xi
p (X = xi )
0
0,287
1
0,444
p(X = 3) ≈ 0,039
3 x 0,342 x 0,66
;
p(X = 2) ≈ 0,229
3 x 0,34 x 0,662
;
p(X = 1) ≈ 0,444
0,663
;
p(X = 0) ≈ 0,287
2
0,229
3
0,039
NB : la somme des probabilités est égale à 1 (aux erreurs d'arrondi près)
d) L’espérance de cette loi est :
E = 0 x p(X = 0) + 1 x p(X = 1) + 2 x p(X = 2) + 3 x p(X = 3)
Donc E ≈ 0,287 + 1 x 0,444 + 2 x 0,229 + 3 x 0,039 donc E ≈ 1,019 .
(NB : D'après les résultats généraux sur la loi binomiale on a E = 0,34 x 3 = 1,02)
On en déduit que lorsque trois étudiants se présentent, il y a en moyenne 1 magazine emprunté .
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