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IMAFA 2013 - Modèles Mathématiques Continus pour la Finance TD5 - EDS, Formule de Black et Scholes Dans la suite, Ω, F, {Ft }t∈R+ , P désigne un espace probabilisé fı̂ltré de référence où {Ft }t∈R+ est une filtration vérifiant les conditions habituelles. Exercice 1 : Processus d’Ornstein-Uhlenbeck (suite) 1. Intégrer le processus de diffusion suivant : Xo ∈ L2 (P) indépendant de W. dXt = (a − bXt ) dt + σ dWt On pourra considérer le processus Yt = ebt Xt . 2. Calculer E[Xt ] et E[Xt2 ]. Quelle est la loi de Xt ? 3. Étudier la convergence en loi de Xt lorsque t tend vers l’infini. Exercice 2 : Contrat forward On considère le contrat forward sur l’actif risqué S et de maturité T . Selon les termes du contrat, le dnteur du contrat paye turité la quantité déterministe K et reçoit ST . Rien n’est payé au temps t où le contrat est établi. On note K = f (t; T, S). Calculer f (t; T, S), le prix forward de ST ’instant t. Exercice 3 : Parité call-put asiatique En s’inspirant de l’exercice 5 du TD4, établir une relation de parité call put pour les options asiatiques (options sur moyenne). On rappelle que le call asiatique de strike K et de maturité T est défini par le payoff : 1 Z T h= Ss ds − K . T 0 + Pour simplifier, on se place dans le cadre d’un marché où l’actif sans risque a un rendement déterministe r constant. Exercice 4 : Valorisation d’options asiatiques On se place dans le cadre du modèle de Black & Scholes n actif risqué St . On étudie l’évaluation et la couverture de l’option asiatique définie par la variable FT mesurable et positive 1 Z T h= Ss ds − K . T 0 + Ce type d’option qui porte sur la moyenne du cours de l’actif risqué sur [0, T ] a été introduit pour remédier aux éventuelles manipulations de cours ’échéance. 1 1. Écrire l’équation diffŕentielle stochastique satisfaite par (St ) sous P∗ et donner la forme explicite de St . Rt 2. On pose It = 0 Su du. Montrer que le processus (It , St ) est un processus d’Ito et écrire l’EDS (multidimensionnelle) satisfaite par ce processus. 3. On remarque que h = f (T, IT ), avec f (t, y) = ( 1t y − K)+ . Justifier que E∗ [h2 ] < ∞. 4. On définit le processus (Ṽt , t ∈ [0, T ]) par Ṽt = exp(−rT )E∗ [h|Ft ]. Montrer que (Ṽt , t ∈ [0, T ]) est une P∗ martingale. 5. On admet que Ṽt dépend uniquement de (It , St ) (ceci est du au caractère markovien du couple (I, S)) et que l’on peut écrire Ṽt = G(t, St , It ), où G(t, s, y) est une fonction C 1,2 ([0, T ] × R2 ). Appliquer la formule d’Ito G(t,St , It ). 6. Proposer une stratégie de couverture Ht de l’option de flux h. Quelle EDP la fonction G doit-elle satisfaire pour éviter les opportunités d’arbitrages ? 2