Diagramme de Voronoi et triangulation de delaunay.

I. Diagramme de Veronoi et Triangulation de Delaunay :
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Position du problème:
Reconstruire une surface à partir d’un nuage de points qui l’échantillonnent est un
problème que l'on rencontre souvent, qu'il s'agisse d'exploitation géologique,
d'imagerie médicale ou industrielle, ou la modélisation des réseaux tels que ceux
du gsm. Pour résoudre ce problème, la grande majorité des algorithmes utilisent un
outil central en géométrie algorithmique : la triangulation de Delaunay, nommée
d’après Boris Delone, mathématicien russe dont le nom a été francisé en Delaunay .
La triangulation d'une surface plane ou volumique est la subdivision de celle-ci en
un ensemble de triangles ou tétraèdres caractérisés par leurs sommets en vue de
leur modélisation informatique. Lorsque l'échantillonnage est suffisament dense,
on peut fournir des approximations précise de la surface.
La triangulation de Delaunay se définit naturellement à partir de ce qu’on appelle le
diagramme de Voronoi, du nom du mathématicien russe Georgi Voronoi.
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Diagramme de Voronoi
1) Définition:
Soit
S={ M 1, .. , M n } un ensemble de n points du plan euclidien distincts deux
à deux. Ces points sont couramment appelés germes.
Il s’agit de décomposer l’espace en régions autour de chaque point p de
S, telles que tous les points dans la région contenant p soient plus près
de p que de n’importe quel autre point de S.
Il s’agit donc de s’intéresser aux médiatrices de points voisins de S.
→ La médiatrice des points M i et M
j
sépare le plan en deux
demi-plans; on note D( M i , M j ) le demi-plan contenant M i .
D M i , M j={M ∈E , d  M , M id  M , M j }
où d représente la distance euclidienne.
→ On appelle la région ou cellule de Veronoi du point M i :
R M i = ∩M ∈S D M i , M j 
j
On a alors :
R M i ={M ∈E , ∀ M j ∈S , d  M , M i d  M , M j }
→ Alors le diagramme de Veronoi est :
D=∪ R M i ∩ R  M j 
C'est donc le diagramme planaire formé par les frontières des cellules de
Voronoi.
Pour mieux comprendre le diagramme de Voronoi, nous allons le représenter en
partant de deux points et trois points.
Consrtruction d’un diagramme de veronoi :
→ A partir de deux points :
Fig1. M, le milieu de (AB), est aussi proche de A que de B.
Les points en bleu sont plus proches de A que de B, au contraire des points en rouge.
Fig2.Construction d'un diagramme de Voronoi de 2 points:
Dans la zone bleue: les points du carré plus proches de A que de B; en rouge ceux qui sont plus près de B que
de A. La frontière entre les deux est la médiatrice de (AB), soit la perpendiculaire à (AB) passant par M
→ A partir de 3 points :
Fig2. Construction d'un diagramme de Voronoi de 3 points.
Chaque zone de couleur correspond à un ensemble de points plus près d'un des trois points que des deux
autres. Les frontières entre ces zones sont sur les trois médiatrices du triangle ABC
→ A partir de plusieurs points :
Chaque zone de couleur correspond à l'ensemble des points plus proches du point noir contenu dans cette zone que tous
les autres points noirs.
2) Propriétés immédiates du diagramme de Voronoï :
→ Chaque région de Voronoï est un polygone convexe. Il s’agit en
effet de l’intersection d’ensembles convexes : des demi-plans.
→ Le diagramme de Voronoï de n points partitionne donc le plan en
polygones convexes : chaque polygone contient exactement un
point de S et chaque point d’un polygone est plus près de son
point central que de tout autre.
→ Tout sommet de Voronoï est de degré au moins 3 (plus de trois si
plus de 3 points voisins sont cocycliques).
→ Pour chaque sommet du diagramme de Voronoï, le cercle passant
par les points de S voisins de ce sommet ne contient aucun autre
point de S.
→ Si on imagine des cercles dont le rayon augmente à la même
vitesse, centrés aux points de S, un point x est atteint par un,
deux ou trois cercles selon qu’il est à l’intérieur d’une région, sur
une arête ou à un sommet de Voronoï.
→ Les centres des grands cercles vides sont alors les sommets du
diagramme de Voronoï.
Le diagramme de Voronoï définit donc bien une partition du plan, chaque zone
étant définie comme l’ensemble des points les plus proches d’un point donné.
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Triangulation de Delaunay :
1) Définition
Delaunay était un autre mathématicien russe qui a étendu les
travaux de Voronoï. La triangulation de Delaunay est un type de
partitionnement d'un ensemble de points E
positionnés dans un plan formé de triangles dont les sommets sont des
objets, et qui à eux tous constituent une partition de l'enveloppe
convexe de ces objets.
Soit S un ensemble de n points, un pavage de Delaunay de S est obtenu
de la manière suivante: deux points de S sont reliés par une arête s’ils
sont dans des régions de Voronoï ayant une arête commune.
La triangulation de Delaunay consiste donc à former des triangles
dont les sommets sont des points de S en reliant par des segments
de droite les points de E dont les cellules de Voronoi sont
adjacents. L'ensemble de ces segments constitue la triangulation
de Delaunay de S.
2) Les propriétés de la triangulation de Delaunay :
→ La triangulation de Delaunay a deux propriétés principales, Le
"critère du cercle": un triangle de Delaunay est un triangle qui a
comme sommet trois objets,
et tel que son cercle
circonscrit n'ait en son intérieur aucun autre objet.
→ La triangulation de Delaunay est parmi toutes les
triangulations de E celle qui maximise l'angle minimum de tous
les triangles.
4 Intérêt et un mot sur les algorithmes.
Quel est l'intérêt des diagrammes de Voronoï et des triangulations de
Delaunay ? Si E est un échantillon de n points pris sur une surface S, on peut
montrer que son diagramme de Voronoï et la triangulation de Delaunay
correspondante contiennent beaucoup d'informations sur cette surface.
Lorsque l'échantillonnage est suffisamment dense, on peut fournir des
approximations précises de la surface. Par exemple, le vecteur qui joint un
point P de E au sommet le plus éloigné de sa cellule de Voronoï est une bonne
approximation de la normale à la surface S au point P.
C'est ainsi que l'on connaît aujourd'hui plusieurs algorithmes de reconstruction
capables, à partir d'un échantillon fini de points d'une surface S, de construire
une surface S' qui approxime correctement la surface réelle S. Néanmoins il
important de savoir si la quantité de calculs que nécessite la triangulation de
Delaunay restera ou non dans une limite raisonnable. Dans les cas les plus
défavorables, le nombre T d'étapes de calcul peut être quadratique ;
autrement dit, T est au pire proportionnel au carré du nombre de points de
l'échantillonnage. On suppose toutefois que cette situation ne se produit pas
dans le cas de surfaces bien échantillonnées. Des résultats plus précis ont été
démontrés récemment dans le cas de surfaces S polyédriques, c'est- à-dire
constituées uniquement de facettes polygonales : pour de telles surfaces et
pour des conditions d'échantillonnage faibles, la taille du calcul de triangulation
est, au pire, proportionnelle au nombre de points échantillonnés. Le cas des
surfaces lisses est plus délicat ; il fait actuellement l'objet de recherches
actives.
Aujourd'hui, on réalise le calcul exact de la triangulation de Delaunay
tridimensionnelle de un million de points en une minute (avec un processeur à
1,7 GHz et 1 gigaoctet de mémoire). Si calculer vite est important, calculer de
manière fiable l'est encore plus. Cette question est délicate, car les
ordinateurs ne savent généralement représenter le nombres qu'avec une
précision finie (un nombre fini de décimales). L'accumulation des erreurs
d'arrondis peut alors conduire à un comportement anormal des programmes. Si
ces comportements sont bien connus, ils sont difficiles à maîtriser, et la
réalisation et la maintenance d'algorithmes fiables sont très coûteuses. Une
part importante de la recherche récente en géométrie algorithmique porte sur
ces questions et mêle algorithmique, calcul formel (où l'ordinateur manipule
des symboles, et non des nombres explicites) et arithmétique des ordinateurs.
Elles ont d'ores et déjà débouché sur le développement de bibliothèques de
logiciels permettant une programmation facile, efficace et sûre, telle que la
bibliothèque CGAL
(Computational Geometry Algorithms Library)
développée par une collaboration internationale d'universités et d'organismes
de recherche.
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Diagrammes de Vornonoi dans la nature
De manière étonnante, les diagrammes de Voronoï apparaissent dans la nature,
par exemple, sur le cou d’une girafe réticulée ou sur la carapace d’une tortue.
En effet en observant une girafe réticulée, on a pu montrer que ce motif est
effectivement de voronoi avec une approximation safisfaisante, et on trouve
une proposition d'un modèle biologique qui rend compte de ce phénomène, ou
deux types de cellules ont une vitesse de division différent, l'un des deux
types de cellules repoussant l'autre selon un phénomène de <<feu prairie>> qui
construit un diagrammede Voronoi.
Le même phénomène est observée lorsqu’on dispose des échantillons de bact
éries sur une planche nutritive, on a une croissance centrifuge qui s’arrete
lorsque deux échantillons se rejoignent. Si toutes les bactéries se développent
à la meme vitesse, on obtient ainsi le diagramme de Voronoi des points
correspondant à l’emplacement initial des échantillons (fig. 6).
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Les diagrammes de Voronoi et la triangulation de Delaunay comme modèle et
applications:
1)Déplacement d'un robot
Comment un robot doit-il se déplacer d’un point à un autre en se situant à la
plus grande distance possibles d’obstacles, représentés par des segments ou
des polygones ? La distance minimale du robot aux obstacles à chaque instant
doit être maximale; en gros, cela implique que le robot suive des arêtes
(droites ou non) du diagramme de Voronoï des obstacles.
Graphe
2)Frontière maritime
en l’absence d’autres circonstances, « la frontière maritime est la ligne
médiane, pour laquelle chaque point est équidistant des points les plus
proches des lignes de base à partir desquelles est mesurée la largeur des
mers territoriales de chaque état » (Convention de Genève 1958, citée dans
www.fig.net/pub/fig_2003/TS_20/PP20_1_Cosquer_Hangouet.pdf)
C’est précisément la définition d’un chemin dans un diagramme de Voronoï.
3)Imagerie médicale:
Diagrammes ou triangulations sont également utilisés dans le domaine
de l’imagerie médicale, où les données sont souvent constituées par une série
de coupes parallèles. Après avoir extrait dans chaque coupe les contours de
l’objet à reconstruire, il est possible de construire une triangulation de chaque
tranche de cet objet comprise entre deux coupes successives. Puis en traitant
toutes les paires de coupes successives, on obtient une représentation
volumique de l’objet.
4)Problème du bureau de poste. Soit S un ensemble de points dans le plan repr
sentant les localisations des bureaux de poste dans une ville. Les habitants
́
de cette ville ont pour habitude de se rendre au bureau de poste le plus
proche de chez eux, la notion de proximité d’un bureau de poste étant mesur
e par la distance euclidienne. Il est clair que la répartition des utilisateurs
́
des bureaux de poste suit le diagramme de Voronoi de S. La connaissance
des diagrammes de Voronoi permet alors de répondre à deux problèmes :
− étant donn é un point, quel est le bureau de poste le plus proche. La
réponse naive (consistant à ` tester ` chaque fois tous les points de S) requiert
un temps lin aire
́
pour chaque demande, tandis que si le calcul du diagramme de
Voronoi est effectu é comme pré-traitement, on peut répondre en temps O(ln n).
− quelle va être la répercussion de l’installation d’un nouveau bureau
de poste sur la répartition des utilisateurs.