Brevet blanc de mathématiques – avril 2015 1

Brevet blanc de mathématiques – avril 2015
Durée de l’épreuve : 2 h 00
___________
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4.
Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Maîtrise de la langue
6 points
6 points
10 points
4 points
7 points
3 points
4 points
Exercice 1 :
Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Justifier.
1) La moitié de
5
5
est .
6
3
2) ( 3 – 2)( 3 + 2) est un nombre entier.
3) Pour tous les nombres x, on a (x + 5)² - (x - 5)² = 20x.
4) Pour tous les nombres x, on a (3x)² - 3x² = O.
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Brevet blanc de mathématiques – avril 2015
Exercice 2 :
Guillaume et Elsa habitent tous les deux à Marseille et doivent se rendre à Paris.
Guillaume fait le trajet en train et Elsa, en voiture.
Les documents ci-dessous donnent différentes informations concernant leur voyage.
La Ligne Grande Vitesse Paris-Marseille a une longueur de 750 km.
Guillaume a choisi le tarif le moins élevé lui permettant d'arriver avant 14 h à Paris.
Comparez le coût de chacun de ces trajets.
Vous présenterez votre démarche en faisant figurer toutes les pistes de recherche même si
elles n'ont pas abouti.
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Brevet blanc de mathématiques – avril 2015
Exercice 3 :
Pour emprunter des livres dans une bibliothèque, on a le choix entre trois formules :



Formule A : payer une participation de 0,50 euro par livre emprunté.
Formule B : acheter une carte rose de bibliothèque à 7,50 euros par an et ne payer qu’une
participation de 0,20 euro par livre emprunté.
Formule C : acheter une carte verte de bibliothèque à 15,50 euros par an et emprunter
autant de livres que l’on veut.
1) Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre de livres empruntés par an
10
30
45
Prix à payer avec la formule A en euros
Prix à payer avec la formule B en euros
Prix à payer avec la formule C en euros
2) On appelle x le nombre de livres empruntés par une personne en un an.
Soit PA le prix à payer avec la formule A.
Soit PB le prix à payer avec la formule B.
Soit PC le prix à payer avec la formule C.
Exprimer PA(x) et PB(x) en fonction de x.
3) Résoudre l’équation 0,5x = 7,5 + 0,2x
Donner une interprétation de la solution trouvée.
4) a) Tracer un repère orthogonal (O ;I,J), O étant placé en bas à gauche.
On prendra les unités suivantes :
- 1 cm pour 5 livres sur l’axe des abscisses
- 1 cm pour 1 euro sur l’axe des ordonnées.
b) Tracer dans ce repère:
- la droite DA qui représente la fonction x  0,5x ;
-la droite DB qui représente la fonction x  0,2x + 7,5 ;
-la droite DC qui représente la fonction x  15,5.
5) En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :
a)
Quelle est la formule la plus intéressante si on emprunte 20 livres en un an?
b) A partir de combien de livres empruntés par an la formule C est-elle plus
intéressante?
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Brevet blanc de mathématiques – avril 2015
Exercice 4 :
On donne les égalités suivantes :
A) (5x + 4)² = 25x² + 16
B) (x – 6)(1 – 2x) = 7x + 6(x – 1) – 2x²
1) Dire si chaque égalité est vraie ou fausse.
Si elle est vraie, écrire les étapes des calculs qui permettent de l’obtenir.
Si elle est fausse, la corriger pour qu’elle devienne vraie.
2) Résoudre l’équation 7x + 6(x – 1) – 2x² = 0
Exercice 5:
La figure ci-dessous, qui n'est pas dessinée en vraie grandeur, représente un cercle (C) et
plusieurs segments.
On dispose des informations suivantes:

[AB] est un diamètre du cercle (C) de
centre O et de rayon 7,5 cm.

K et F sont deux points extérieurs au
cercle (C).

Les segments [AF] et [BK] se coupent
en un point T situé sur le cercle (C).

AT = 12 cm, BT = 9 cm, TF = 4 cm,
TK=3 cm.
1)
Démontrer que le triangle ATB est rectangle.
2) Calculer la mesure de l'angle 
BAT arrondie au degré près.
3) Les droites (AB) et (KF) sont-elles parallèles?
4) Calculer l'aire du triangle TKF.
Exercice 6 :
Un paysagiste souhaite clôturer la surface cicontre.
ABCD est un carré de côté 9 m.
E, F, H et I sont les milieux des quatre côtés
du carré.
Calculer la longueur de la clôture au
centimètre près.
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CORRECTION
Exercice 1 :
Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Justifier.
1) La moitié de
5
5
est .
6
3
2) ( 3 – 2)( 3 + 2) est un nombre entier.
3) Pour tous les nombres x, on a (x + 5)² - (x - 5)² = 20x.
4) Pour tous les nombres x, on a (3x)² - 3x² = O.
1) Faux la moitié de
5
5
est .
6
12
2) Vrai : ( 3 – 2)( 3 + 2) = 3² - 2² = 3 – 4 = -1 qui est bien un nombre entier.
3) Vrai : (x + 5)² - (x – 5)² = [(x + 5) + (x – 5)][(x + 5) – (x – 5)] = 2x(5 + 5) = 20x
4) Faux : (3x)² - 3x² = 9x² - 3x² = 6x² (faux par exemple pour x = 1).
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CORRECTION
Exercice 2 :
Guillaume et Elsa habitent tous les deux à Marseille et doivent se rendre à Paris.
Guillaume fait le trajet en train et Elsa, en voiture.
Les documents ci-dessous donnent différentes informations concernant leur voyage.
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Brevet blanc de mathématiques – avril 2015
CORRECTION
La Ligne Grande Vitesse Paris-Marseille a une longueur de 750 km.
Guillaume a choisi le tarif le moins élevé lui permettant d'arriver avant 14 h à Paris.
Comparez le coût de chacun de ces trajets.
Vous présenterez votre démarche en faisant figurer toutes les pistes de recherche même si
elles n'ont pas abouti.
Cout du trajet d’Elsa :

Longueur du trajet = 24 344 – 23 568 = 776 km

Consommation en L 8,3/100  776 = 64,408 L

Prix du carburant : 64,4081,35 = 86,9508 €

Cout total (carburant + péage) = 86,9508 + 55,80  142,75 €
Cout du trajet de Guillaume :
Une baisse de 40% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 –
40
= 0,6
100
Une baisse de 25% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 –
25
= 0,75
100

Trains possibles arrivant avant 14 h :
o TGV 6108 : 105  0,60 = 63 €
o TGV 6112 : 1100,75 = 82,5 €
o TGV 6114 : 970,75 = 72,75 €
Guillaume choisit donc le TGV 6108 et paiera 63 €.
Le tarif en train est nettement plus avantageux.
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CORRECTION
Exercice 3 :
Pour emprunter des livres dans une bibliothèque, on a le choix entre trois formules :



Formule A : payer une participation de 0,50 euro par livre emprunté.
Formule B : acheter une carte rose de bibliothèque à 7,50 euros par an et ne payer qu’une
participation de 0,20 euro par livre emprunté.
Formule C : acheter une carte verte de bibliothèque à 15,50 euros par an et emprunter
autant de livres que l’on veut.
1) Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre de livres empruntés par an
10
30
45
Prix à payer avec la formule A en euros
Prix à payer avec la formule B en euros
Prix à payer avec la formule C en euros
2) On appelle x le nombre de livres empruntés par une personne en un an.
Soit PA le prix à payer avec la formule A.
Soit PB le prix à payer avec la formule B.
Soit PC le prix à payer avec la formule C.
Exprimer PA(x) et PB(x) en fonction de x.
3) Résoudre l’équation 0,5x = 7,5 + 0,2x
Donner une interprétation de la solution trouvée.
4) a) Tracer un repère orthogonal (O ;I,J), O étant placé en bas à gauche.
On prendra les unités suivantes :
- 1 cm pour 5 livres sur l’axe des abscisses
- 1 cm pour 1 euro sur l’axe des ordonnées.
b) Tracer dans ce repère:
- la droite DA qui représente la fonction x  0,5x ;
-la droite DB qui représente la fonction x  0,2x + 7,5 ;
-la droite DC qui représente la fonction x  15,5.
5) En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :
a)
Quelle est la formule la plus intéressante si on emprunte 20 livres en un an?
b) A partir de combien de livres empruntés par an la formule C est-elle plus
intéressante?
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CORRECTION
1)
Nombre de livres empruntés par an
10
30
45
Prix à payer avec la formule A en euros
100,5 = 5
300,5 = 15
450,5 = 22,5
Prix à payer avec la formule B en euros
100,2 + 7,5 =
9,5
300,2 + 7,5
=13,5
450,2 + 7,5 =
16,5
Prix à payer avec la formule C en euros
15,5
15,5
15,5
2)
PA(x) = 0,5x
PB(x) = 0,2x + 7,5
3)
0,5x = 0,2x + 7,5
0,5x – 0,2x = 0,2x + 7,5 – 0,2x
0,3x = 7,5
0,3x 7,5
=
0,3 0,3
x = 25
La solution de l’équation 0,5x = 0,2x + 7,5 est 25.
Interprétation : pour 25 livres achetés les formules A et B ont le même tarif.
4) a) b)
5) a)
Si on emprunte 20 livres par ans, la formule la plus avantageuse est la A.
En effet, par mi les 3 points A, B et C d’abscisse 20, celui qui a l’ordonnée la plus
petite est A.
b)
La formule C est la plus intéressante à partir de 40 livres achetés par an.
Ce qui correspond à l’abscisse du point D du graphique.
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CORRECTION
Exercice 4 :
On donne les égalités suivantes :
A) (5x + 4)² = 25x² + 16
B) (x – 6)(1 – 2x) = 7x + 6(x – 1) – 2x²
1) Dire si chaque égalité est vraie ou fausse.
Si elle est vraie, écrire les étapes des calculs qui permettent de l’obtenir.
Si elle est fausse, la corriger pour qu’elle devienne vraie.
2) Résoudre l’équation 7x + 6(x – 1) – 2x² = 0
1) L’égalité A est fausse : (5x + 4)² = (5x)² + 25x4 + 4² = 25x² + 40x + 16
(x – 6)(1 – 2x) = x – 2x² - 6 + 12x = -2x² + 13x – 6
7x + 6(x – 1) – 2x² = 7x + 6x – 6 – 2x² = -2x² + 13x – 6
Donc l’égalité B est vraie.
2) 7x + 6(x – 1) – 2x² = 0  (x – 6)(1 – 2x) = 0
Un produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
x – 6 = 0 ou 1 – 2x = 0
x – 6 + 6 = 0 + 6 ou 1 – 2x - 1 = 0 - 1
x = 6 ou -2x = -1
x = 6 ou x =
-2x -1 1
=
=
-2 -2 2
Les solutions de cette équation sont donc
1
et 6.
2
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CORRECTION
Exercice 5:
La figure ci-dessous, qui n'est pas dessinée en vraie grandeur, représente un cercle (C) et
plusieurs segments.
On dispose des informations suivantes:

[AB] est un diamètre du cercle (C) de
centre O et de rayon 7,5 cm.

K et F sont deux points extérieurs au
cercle (C).

Les segments [AF] et [BK] se coupent
en un point T situé sur le cercle (C).

AT = 12 cm, BT = 9 cm, TF = 4 cm,
TK=3 cm.
1)
Démontrer que le triangle ATB est rectangle.
2) Calculer la mesure de l'angle 
BAT arrondie au degré près.
3) Les droites (AB) et (KF) sont-elles parallèles?
4) Calculer l'aire du triangle TKF.
1) Le triangle ATB étant inscrit dans le cercle de diamètre [AB] est rectangle en T.
2) Dans le triangle ATB rectangle en T, on a :
tan 
BAT =
BT 9 3
=
=
AT 12 4
A l’aide de la touche ArcTan de la calculatrice, on obtient 
BAT  37°.
3)
TF 4 1
TK 3 1
=
= et
= =
AT 12 3
TB 9 3
TF TK
=
;
AT TB
donc selon la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (KF) sont parallèles.
Les points A, T, F d’une part et les points K, T, B sont alignés dans cet ordre et
4) Le triangle TKF est rectangle en T.
KTTF 34
Donc Aire(TKF) =
=
= 6 cm².
2
2
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CORRECTION
Exercice 6 :
Un paysagiste souhaite clôturer la surface cicontre.
ABCD est un carré de côté 9 m.
E, F, H et I sont les milieux des quatre côtés
du carré.
Calculer la longueur de la clôture au
centimètre près.
Le cercle a pour rayon DE =
AD 9
= m.
2
2
Le périmètre d’un cercle de rayon R est 2R.
9
Le périmètre du cercle de la clôture est donc 2 = 9
2
La partie circulaire de la surface est représentée par les
3
de ce cercle.
4
3
27
Soit une longueur de 9 =
 m.
4
4
Le périmètre de la surface délimitée à partir du carré est :
9
EA + AI + IH + HC + CF = 4AI + IH = 4 + IH = 18 + IH
2
Calcul de IH :
Dans le triangle IBH rectangle en B, appliquons le théorème de Pythagore :
9²
81 81
IH² = BI² + BH² = 2BI² = 2  = 2  =
2
2
 
4
Donc IH =
81
=
2
81
2
=
9
2
=
9 2
m
2
Finalement la longueur de la clôture est :
27
9 2
 + 18 +
 45,57 m
4
2
12