B - Loa
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PARTIE 2 MAGNÉTOSTATIQUE 89 GB Chapitre I ÉLÉMENTS D’ÉLECTROCINÉTIQUE 1/ Définitions La plupart des applications de l’électricité : charges en mouvement dans les conducteurs ⇒ électrocinétique + + + + + + VA + + + + A + + + + + V 2/ Rupture d’équilibre électrostatique Deux conducteurs A et B isolés, très éloignés l’un de l’autre et en équilibre Q A = CiA VA ⇒ Q = C V A au potentiel VA et porte une charge QA iB B B au potentiel VB et porte une charge QB ( VA > VB) B Q ' = C V A et B reliés par un fil conducteur iA ⇒ A ⇒ ensemble à un potentiel unique V Q ' = C V B iB ⇒ nouvelle répartition de charges (Q’A , Q’B ) Variation de charge de A : ∆Q A = Q 'A − Q A + + + + + + + + B + VB ++ + + + Ci : capacité du conducteur isolé ' Variation de charge de B : ∆Q B = Q B − Q B Système isolé ⇒ conservation de la charge Q A + Q B = Q 'A + Q 'B ⇒ ∆Q B = −∆Q A Charge perdue par A est gagnée par B •/• 90 ( ( ∆Q A = CiA V − VA ∆Q = C V − V B iB B V − VB = V − VA = ) ) ⇒ potentiel à l’équilibre (CiA VA + CiBVB )− (CiA + CiB ) VB = CiA + CiB CiB CiA + CiB CiA CiA + CiB V= GB CiA VA + CiB VB CiA + CiB (VA − VB ) > 0 (VB − VA ) < 0 VA ⇒ VA > V > VB ∆QA < 0 V ∆Q A < 0, ∆Q B > 0 ∆QB > 0 VB ⇒ transport de charges Assimilé à un fluide qui s’écoule du conducteur au potentiel le plus élevé vers celui au potentiel le plus faible Analogie : eau qui s’écoule dans un tuyau reliant deux réservoirs inégalement remplis VA V A B VB Phénomène transitoire : cesse lorsque les potentiels s’équilibrent •/• 91 GB 3/ Le courant continu Régime permanent ⇒ utilisation d’un générateur Maintien d’une ddp constante VA − VB entre A et B VA A B VB Écoulement continu de charges dans le conducteur qui les relie Convention - sens du courant : du potentiel le plus élevé vers le moins élevé ⇒ ≡ sens du champ E En présence de E : charges libres q (< 0 ; électrons de conduction) soumises à F = q E ⇒ mouvement de dérive ⇒ courant électrique Sens de déplacement des charges : sens opposé à E ⇒ Sens du courant : opposé au sens de déplacement des porteurs de charges •/• 92 GB 4/ Vecteur densité de courant de conduction et intensité a – Définition Déplacement ordonné de charges de vitesse v Densité de charges mobiles : nq n : densité des porteurs de charge q : charge d’un porteur (électron) Durant dt : Distance parcourue par les porteurs : dl = v dt Volume de la distribution de charges qui traverse dS : dV = dS × (dl cos θ) = dS • dl = dS • v dt Charge qui traverse dS : nq dS • v dt dQ = Pendant l’unité de temps : dt Charge totale qui traverse S :dQ = ∫∫ nq dS v dt • S ∫∫ nq v dS dS dl • S Vecteur densité de courant de conduction : j = nq v Définition : Intensité du courant qui traverse S : I = dQ = dt ⇒ dQ = dt ∫∫ j • ∫∫ j • dS θ dS S dS S Intensité du courant : Flux de j à travers S Unité d’intensité du courant électrique I : Ampère (A) de densité de courant j : A/m2 •/• 93 GB b – Principe de conservation de la charge Régime stationnaire : Système reste identique à lui même au cours du temps Pas de variation de charge dans un volume donné Régime non stationnaire : Variation de charge dans un volume donné Si ∃ un courant sortant d’une surface fermée ⇒ la charge à l’intérieur de cette surface doit diminuer dQ d’une quantité correspondante :∫∫ j • dS = − i V dQi = dt dS dt S Or Qi = ∫∫∫ ρ dτ (V : volume enfermé par S) ⇒ j ∫∫∫ V ∂ρ dτ ∂t Qi − dQi dt S Théorème de la divergence : ∫∫ j • dS = ∫∫∫ div j dτ S ⇒ ∫∫∫ V ∂ρ div j + dτ = 0 ∂t ⇒ div j + V ∂ρ =0 ∂t Principe de conservation de la charge •/• 94 GB 5/ Loi d’Ohm locale a – Définition Deux surfaces d’un conducteur aux potentiels VA et VB (VA > VB) ⇒ E dans le conducteur Mouvement d’un élément de volume dτ d’une distribution de charges mobiles de densité nq - Force de Coulomb : df e = nq dτ E - Interactions charges mobiles - ions fixes du réseau cristallin : df f = −a dτ v (s’opposent au mouvement des charges mobiles. Se comportent comme une force de frottement - modèle de Drude) a ≡ coefficient de frottement par unité de volume) Principe fondamental de la dynamique VA > VB VB VA dv dm = nq dτ E − a dτ v dt nqdτ (q < 0) df e E masse des porteurs de charge dans dτ : dm = δ dτ (δ : masse spécifique) nq dv nq dv a E = 0 ⇒ vl = E Régime permanent : + v= a dt dt δ δ n 2q 2 E ⇒ loi d’Ohm locale j = γ E Avec j = nq v ⇒ j = a ⇒ n 2q 2 : Conductivité du conducteur (ne dépend que du matériau) γ= a •/• 95 GB Remarques : - vitesse limite atteinte au bout d’un temps extrêmement court - j et E toujours de même sens ( ∀ signe des porteurs de charge) - j et v l de sens opposés si les porteurs de charge sont des électrons - E ⊥ équipotentielles ⇒ j également b – Temps de relaxation diélectrique Principe de conservation de la charge + loi d’Ohm locale ( ) ∂ρ ∂ρ j =γE =0 ⇒ div γ E + =0 ∂t ∂t ρ Théorème de Gauss : div E = + hypothèse de conducteur homogène (γ constant) εo t − ε γ ∂ρ τ ⇒ Solution ρ ( t ) = ρ o e D τ D = o : constante de temps ⇒ ρ+ =0 γ εo ∂t div j + ( ε o ≈ 8,85 10 −12 F/m et ⇒ ρ ( t ) et 1 ≈ 10 −8 SI pour le cuivre par exemple ⇒ τ D << 1 s ) γ ∂ ρ(t ) rapidement négligeables ∂t ⇒ div j ≈ 0 : Approximation du régime quasi-stationnaire j est à flux conservatif dans un conducteur •/• 96 GB c – Flux conservatif ? Tube de courant : surface fermée S = S A + S B + Σ Théorème de la divergence : appliqué à j et étendu à S Surface latérale Σ infranchissable par les charges en mouvement ⇒ flux de j à travers Σ ≡ 0 ∫∫ ⇒ j • dSA + SA ⇒ ∫∫ j SB ∫∫ • dSB = − ∫∫ j • dSA = SA ∫∫ j • dS = ∫∫∫ div j dτ = 0 S V j dS B Σ SA dS'A dS A j • dSB = 0 SB ∫∫ j SB j • dS'A SA Courant qui traverse (qui sort de) SB : I B = ∫∫ j • dSB SB Courant qui entre dans SA : ⇒ I A = I B ∀ SA et SB I A = ∫∫ j • dS'A SA •/• 97 GB 6/ Résistance d’un conducteur a – Forme intégrale de la loi d’Ohm Conducteur avec extrémités de sections SA et SB aux potentiels VA et VB ( VA > VB ) ∀ M ∈ conducteur, ∃ j (M ) Ligne de courant C qui passe par M est également ligne de champ B B Le long de C : VB − VA = − ∫ E • dr ⇒ ∆V = VA − VB = A ∫ j • dr γ VA > VB SB A Or I = ∫∫ j • dS j : vecteur à flux conservatif ( div j ≈ 0) SA C M VA dS S dr j VB S (Intensité ≡ ∀ la section du conducteur) Si en tout point j → α j ⇒ I → I' = αI et ∆V → ∆V ' = α∆V Donc ∆V' ∆V = = cste R : constante de proportionnalité nommée résistance électrique I' I du conducteur ∆V = RI : loi d’Ohm intégrale 1 volt Unité : ohm (Ω) 1 ohm = 1 ampère Symbole : ⇒ Unité de conductivité γ : Ω-1m-1 (j = γE) R •/• 98 GB b – Cas du conducteur homogène filiforme rectiligne Conducteur longueur L et section S soumis à une ddp ∆V I = jS = γ E S ∆V = E L = Résistivité du conducteur : I L γS ⇒R= 1L γ S 1 = inverse de la conductivité. Unité de résistivité : Ωm γ Remarque : Mesure de la conductivité d’un conducteur ⇒ Mesure du courant et de la ddp à ses bornes : γ = L I S ∆V Exemple du fil conducteur : L=100 m, S =1 mm2 soumis à une ddp ∆V = 1 V ⇒ I = 0,58 A ⇒γ= 100 0,58 7 −1 -1 ≈ 5,8 10 Ω m -6 1 10 c – Résistance du corps humain Résistance courante du corps humain (entre les deux mains) ≈5 kΩ (de 1 kΩ à 100 kΩ) Courant continu de 50 mA est fatal ⇒ ddp entre 50 V et 5000 V 25 V : Valeur de sécurité retenue •/• 99 GB d – Association de résistances 1/ ASSOCIATION EN SÉRIE Même courant et les ddp s’ajoutent : U = ∑ R i I = R éq I ⇒ R éq = ∑ R i i R1 i R2 2/ ASSOCIATION EN PARALLÈLE ddp identique U = R 1I1 = R 2 I 2 = ... Les intensités s’ajoutent : I = ∑ Ii i ⇒I=∑ i U U 1 1 = ⇒ =∑ R i R éq R éq i Ri R1 R2 •/• 100 GB 7/ Energie - Effet Joule a – Forme locale Action de E ⇒ charges mobiles (densité volumique nq) dans dτ soumises à df e = nq dτ E Déplacement élémentaire dl de dτ à vitesse v durant dt : dl = v dt Travail élémentaire effectué par dF : dT = df e • dl = nq dτ E • v dt Avec j = nq v ⇒ dT = j • E dτ dt 2 Par unité de temps et de volume ⇒ Densité de puissance : p = j • E = γ E = j γ 2 Positive ⇒ puissance reçue par le conducteur C’est le générateur (en soumettant les extrémités du conducteur à une ddp) qui fournit de l’énergie aux charges - Ces charges se déplacent en luttant contre les forces de frottement - Le travail des forces de frottement est dissipé en chaleur - Cet effet calorifique est l’effet Joule •/• 101 GB b – Forme intégrale Conducteur de volume V et ddp VA − VB aux bornes Puissance totale dissipée dans le conducteur : P = ∫∫∫ j • E dτ dl V Élément de tube de courant entourant j : longueur dl , surface de base dS (avec j // dl ) ( ⇒Volume dτ = dl • dS ⇒ P = ∫∫∫ j • E dl • dS ) V Puisque j // dl ⇒ P = ∫∫∫ ( ) E • dl j • dS = V dτ ∫ ∫∫ C A→B B dS j S dS j • dS E • d l = I ∫ E • dl = I (VA − VB ) dl (Puisque I est constant) A 2 Avec VA − VB = RI ⇒ Puissance totale dissipée dans le conducteur P = RI C’est la forme intégrale de l’effet Joule Unité : watt (W) •/• 102 Chapitre II GB INDUCTION MAGNÉTIQUE CRÉÉE PAR LES COURANTS 1/ Historique et premières définitions a – Observations Jusqu’en 1820, magnétisme uniquement produit par des aimants naturels à base de magnétite. Ørsted (1821) montra (par hasard) qu'un fil conducteur parcouru par un courant électrique influence l'aiguille d'une boussole située à proximité Il fut incapable d'expliquer ce phénomène Ampère : ‘Si un courant dans un fil exerce une force sur une aiguille de boussole, deux fils parcourus chacun par un courant doivent interagir’ Expérimentalement, il montre que cette interaction est simple : des courant parallèles s'attirent, des courants de sens contraire se repoussent. •/• 103 GB b – Force magnétique Force entre deux fils parcourus par des courants Intensité de la force : dépend de la distance entre les fils, de la longueur de ceux-ci et de l’intensité des courants Sens : dépend de la direction relative des courants • Fils // ∈ plan ⇒ force maximum Courants de même sens ⇒ attraction i1 i2 • Fils ⊥ ⇒ force nulle Sens inversé ⇒ répulsion i1 i2 i1 i2 - Champ E : Rend compte de l’action à distance entre charges statiques (loi de Coulomb) - Comportement des forces ici observées ⇒ champ vectoriel : induction magnétique B créé par un circuit au voisinage du second •/• 104 GB c – Champ d’induction magnétique – Loi de Laplace Idl Force magnétique sur le circuit C1 : proportionnelle à dFm i - Intensité i du courant qui traverse C0 C0 C1 - Longueur de C1 - Intensité I du courant qui traverse C1 - Perpendiculaire à C1 ⇒ Caractérisation d’un élément de courant : vecteur élémentaire I dl colinéaire et de même sens que I qui parcourt C1 I dl x B11 Soit Idl = I dl y Force magnétique sur Idl x : dF1 = I dl x B12 B I dl 13 z B31 B21 De même pour Idl y et Idl z : dF2 = I dl y B22 dF3 = I dl z B32 B B 23 33 B ij caractérisent le champ d’induction magnétique créé en I dl par le circuit C0 B11 dl x + B21 dl y + B31 dl z ⇒ force dF m = dF1 + dF 2 + dF 3 ⇒ dF m = I B12 dl x + B22 dl y + B32 dl z B dl + B dl + B dl 23 y 33 z 13 x B11 B21 B31 dl x ⇒ Induction magnétique ⇒ dFm = I [B] dl ⇒ dF m = I B12 B22 B32 dl y caractérisée par la matrice [B] B •/• 13 B23 B33 dl z 105 GB Expérimentalement : dF m ⊥ dl ⇒ dF m • dl = 0 I dl ⇒ ∀ dl : dF m B11 dl 2x + B 22 dl 2y + B33 dl 2z + (B12 + B 21 ) dl x dl y + (B 23 + B32 ) dl y dl z + (B31 + B13 ) dl x dl z ≡ 0 B11 = B22 = B33 = 0 B = − B 21 ⇒ 12 B13 = −B31 B23 = −B32 0 ⇒ [B] = − Bz By Bz 0 − Bx Bx Notation : B = B y B z B21 0 ⇒ [B] = − B21 0 B 13 − B32 − B13 B32 0 B x = B32 On pose B y = B13 Bz = B21 B − By Bx 0 Bz dl y − B y dl z ⇒ dFm = I B x dl z − Bz dl x B dl − B dl x y y x dl x B x ⇒ dFm = I dl y ∧ B y dl B z z Idl C dF m ⇒ dF m = Idl ∧ B ⇒ Loi de Laplace B est le champ d’induction magnétique en I dl créé par le circuit Co Traduit l’observation : dF m ⊥ I dl , I dl change de sens ⇒ dF m change de sens •/• 106 GB d – Nature du vecteur champ d’induction magnétique B dF m et I dl : vecteurs polaires, Πs plan de symétrie I dl et B // ∈ Πs dF m = Idl ∧ B dF m α Πs B// Symétrie ⇒ Πs I dl B'// π−α I dl ' ' dF m dFm' = Idl B'// sin (π − α ) = Idl B'// sin α dFm = Idl B// sin α ⇒ B'// = − B // Composante // plan de symétrie change de signe dF m ∈ Πs , B ⊥ Πs dFm = dF'm B⊥ α Πs B'⊥ I dl dF m dFm = Idl B⊥ sin α Symétrie ⇒ Πs Idl ⇒ Idl ' ⇒ Sens de B⊥ inchangé dFm' = Idl B'⊥ sin (π − α ) = Idl B'⊥ sin α ' dF m α I dl ' ⇒ B'⊥ = B ⊥ Composante ⊥ plan de symétrie inchangée ⇒ Vecteur induction magnétique : vecteur antisymétrique (vecteur transformé en l’opposé de son symétrique) Vecteur axial •/• 107 GB 2/ Règles de symétrie pour les vecteurs axiaux (pseudo-vecteurs, vecteurs anti-symétriques) Sens : pas prédéterminé ⇒ Convention liant une translation à une rotation Résultat d’un produit vectoriel de deux vecteurs polaires Exemples : moment cinétique , vitesse de rotation instantanée Notés A Transformation du vecteur axial par rapport à un plan de symétrie Conservation de la composante ⊥ au plan de symétrie Inversion des composantes // au plan de symétrie Πs Πs ⇒Dénomination de vecteur antisymétrique : transformé en l’opposé de son symétrique •/• 108 GB Remarque : Plan d’antisymétrie (Anti –miroir) Transformation d’un vecteur axial par rapport à un plan d’anti-symétrie Conservation des composantes // au plan d’antisymétrie Πa Πa Inversion de la composante ⊥ au plan d’antisymétrie Rappel : Principe de Curie Si un système physique (source) admet une symétrie, les grandeurs (en particulier les vecteurs) qui permettent d’analyser les effets produits par ce système, admettent aussi cette symétrie •/• 109 GB (i) Cas du plan de symétrie A(M ) A(M ) A' (M) Système physique M • Trace de ΠS créant A(M) Πs : plan de symétrie du système et M ∈ Πs Soit A(M ) caractérisant l’effet produit par ce système (exemple : champ magnétostatique créé par des courants) A(M ) orienté a priori de façon quelconque par rapport à Πs Symétrie •⁄ • Πs : A(M ) A' (M ) (Antisymétrique de A(M ) par rapport à Πs) Opération de symétrie système physique reste inchangé A(M ) doit être aussi inchangé A(M ) = A' (M ) ⇒ A(M ) ⊥ Πs Lorsqu’un système physique créant un champ A possède un plan de symétrie Πs ⇒ ∀ M ∈ Πs , nécessairement A(M) ⊥ Πs Recherche des plans de symétrie du système ⇒ Détermination de la direction des champs produits •/• 110 GB (ii) Cas du plan d’antisymétrie A(M ) Système physique M • A(M ) Trace de Πa créant A(M) A' (M) Πa plan d’antisymétrie, M ∈ Πa et A(M ) caractérise l’effet produit par ce système Opération d’antisymétrie •⁄ • Πa : (Antisymétrie de A(M ) par rapport à Πa + inversion de sens) ⇒ A(M ) A' (M ) A(M ) invariante par cette opération : A(M ) = A' (M ) ⇒ A(M ) ∈ Πs Lorsqu’un système physique créant un champ A possède un plan d’antisymétrie Πa ⇒ ∀ M ∈ Πa , nécessairement A(M) ∈ Πa RÉSUMÉ ⇒ Vecteurs polaires M ∈ Πs ⇒ P (M )∈ Πs M ∈ Πa ⇒ P (M )⊥ Πa Vecteurs axiaux M ∈ Πs ⇒ A(M ) ⊥ Πs M ∈ Πa⇒ A(M ) ∈ Πa •/• 111 GB 3/ Force de Laplace Remarques préliminaires 1. - Tube élémentaire de courant : Section dS , Longueur dl ,Vecteur densité de courant j En tout point de ce tube I = j • dS dl ( ) ⇒ I dl = j • dS dl dS ( ) j Puisque dl // j ⇒ Idl = dl • dS j ⇒ Idl = j dτ 2. - De plus j dτ = nqdτ v = dQv ( dQ : charge de conduction dans dτ ) ⇒ dF m = Idl ∧ B ou dFm = j ∧ B dτ ou dFm = dQ v ∧ B (non relativiste v <<c) ⇒ Charge Q animée d’une vitesse v ⇒ soumise à la force de Laplace Fm = Q v ∧ B v ∧ B : même rôle que le champ E c’est le champ de Lorentz E L = v ∧ B Fm = Q E L Fe = Q E REMARQUES : - Puisque F m ⊥ v ⇒ F m n’effectue aucun travail ⇒ ne peut servir à faire varier l’énergie cinétique de la particule - Unité de l’induction magnétique : le Tesla (T) •/• 112 GB 4/ Forces sur les électrons de conduction – Magnétorésistance a – Définitions : Champ électromagnétique – Force de Lorentz ( ) - Lorsque E et B co-existent dans une région ⇒ E, B : champ électromagnétique ( ) - Particule de charge Q placée dans une région ou règne E, B : ⇒ soumise à une force totale F = Q E + v ∧ B : Force de Lorentz ( ) b – Magnétorésistance Conducteur : porteurs mobiles : électrons de conduction nq : densité de charge des porteurs mobiles (n : densité des porteurs, q : charge d’un porteur - Pour un électron q = −e) ( ) Conducteur soumis à E , B : charges mobiles dans dτ soumises à : ( ) - Force de Lorentz dFL = nq E + v ∧ B dτ ( v: vitesse des charges) - Interaction avec ions fixes ⇒ force de frottement fluide dFf = −a v dτ (a ≡ coefficient de frottement par unité de volume) Régime stationnaire ( v : vitesse limite constante) ⇒ dFL + dFf = 0 •/• 113 a ⇒E+v∧B= v nq GB a ⇒ v doit satisfaire à : E = v−v∧B nq Vecteur densité de courant : j = nq v n 2q 2 Conductivité du milieu (en l’absence de champ ) : γ = a ⇒ j 1 =E+ j ∧B γ nq ⇒ j n’a plus la direction de E ⇒ conductivité du matériau modifiée : magnétorésistance 1 j ∧B nq E, B nqdτ j 1 j ∧ B et ∈ au même plan P γ nq j ∧B ⊥ E⊥ E // = j γ j γ j et j ∧ B ∈ P E ⇒B ⊥ P P ⇒ Introduction de deux champs – l’un // à j (champ ohmique) : E // = j γ – l’autre ⊥ à j : Champ de Hall E ⊥ = − // 1 j ∧B nq ⇒E =E +E ⊥ Magnétorésistance longitudinale et magnétorésistance transverse •/• 114 GB B c – Champ de Hall + Ruban conducteur parcouru par un courant suivant sa longueur Régime stationnaire : courant caractérisé par j = nq v Charges mobiles nqdτ (< 0) B ⊥ plan du ruban ( + + + + + l ) j dF H dτ _ _ EH _ dF _ _ _ dτ soumis à dF = nq v ∧ B dτ = j ∧ B dτ L ⇒ Polarisation du conducteur : Accumulation d’électrons (charges < 0) sur la face Face , dépeuplée d’électrons, se charge > 0 ⇒ Apparition d’un champ induit E H (champ de Hall) ⇒ E H exerce à son tour sur dτ une force dFH = nq E H dτ qui s’oppose à dF Régime permanent : dFH + dF = 0 ⇒ nq E H + j ∧ B = 0 ⇒ EH = − 1 j ∧B nq Exemple d’application : ddp V entre et : V = L E H En norme : j B = ne E H courant qui traverse la plaque : I = j l L ⇒ Densité des porteurs de charges : n = IB l Ve •/• 115 GB 5/ Expressions de l’induction magnétique créée par des courants a – Loi de Biot et Savart M• Provient de l’expérimentation I II dB I 2 dl 2 I 2 dl 2 • M I 2 dl 2 dF m = I 2 dl 2 ∧ dB • Idl - dF m maxi pour I dl // I 2 dl 2 P M - dF m = 0 si I dl ⊥ I 2 dl 2 I et II compatibles si dB ⊥ Idl dB • M dF m = 0 Idl P (r : distance - ) ⇒ dB = K ' dB u r ⇒ dB suivant Idl ∧ u ( u : vecteur unitaire sur PM) r ( K’ = constante : dépend du milieu) dF m I 2 dl 2 r 2 r 1 dF m P - Nulle pour dB // I 2 dl 2 De plus : Force ~ dB Action de l’induction dB créée sur (I2dl2) : - Maxi pour dB ⊥ I 2 dl 2 dF m = 0 Idl dB Idl ∧ u r 2 I 2 dl 2 • M dF m •/• 116 GB ⇒ Induction magnétique en M créée par n’importe quel circuit C parcouru par un courant I BM = K ' ∫ I dl ∧ u r2 C ⇒ loi de Biot et Savart BM •M r P • u Idl C •/• 117 GB b – Calcul de l’induction magnétique créée par quelques distributions de courant (i) Induction créée par un fil infini rectiligne parcouru par un courant ( Symétrie cylindrique : Repère u ρ , u θ , u z ( Plan de symétrie : u ρ , u z ) en M ) B(M ) suivant u θ ∀ P, direction constante pour dB(M ) : ⊥ plan Idl, u + même sens ⇒ suivant u θ ⇒ Somme des normes des dB(M ) créés par tous les Idl Pour Idl en P : dB(M ) = K ' Idl sin β dα l l = a tan α ⇒ d = a cos 2 α a a2 2 cos α = r ⇒ r = cos 2 α I ⇒ B(M ) = K ' a π2 ∫ r2 = K' Idl cos α r2 a I ⇒ B(M ) = 2K ' u θ a M α u θ dB B(M ) uρ l r I cos α dα = K ' [sin α ]+− ππ 22 a −π 2 uz I β Idl P u Lignes de champ : Cercles ayant pour axe le fil rectiligne •/• 118 GB (ii) Induction créée en un point de l’axe d’une boucle circulaire parcourue par un courant Tous les plans contenant l’axe de la boucle sont des plans d’antisymétrie B ∈ à ces plans B est nécessairement sur l’axe ∀ P sur la boucle : Idl ⊥ u ⇒ dB(M ) = K ' B z (M ) Idl r2 Composante effective : dBz (suivant u z ) dB(M ) Norme : dBz (M ) = dB(M ) cos α ⇒ Bz (M ) = K ' R cos α = r 2 2 2 r = z + R I r 2 • 2 πR cos α R ∫ dl = 2πK' I r 2 cos α (z R2 r u α R 2 +R ) 2 32 uz P M uz • O B z (M ') 3 • M’ Induction sur l’axe de la boucle à grande distance de celle-ci : Bz (M ) = 2πK ' I (z >> R au premier ordre en z/R) ● I Idl cos α uz R Remarque : Signe de B inchangé si z < 0 Car vecteur axial : plan de la boucle est plan de symétrie Composante normale au plan de symétrie inchangée = 2πK ' I Lignes de Champ B z 0 ⇒ Bz (M ) = 2πK ' I dB z (M ) α R2 z 3 uz •/• 119 GB c – Système d’unité rationalisé L’ampère : Intensité du courant telle que deux fils rectilignes // placés dans le vide à 1 m l’un de l’autre exercent entre eux une force de 2 10-7 N par mètre de fil Norme de B créé par un fil parcouru par I1 à distance a de celui-ci : B = 2K ' l Pour une longueur l2 : Fm = I 2 l 2 B = 2K ' I1I 2 2 a ⇒ K ' = 10 −7 N A −2 I1 Introduction de µo : perméabilité magnétique du vide K ' = I1 a B a dF m I 2 dl 2 µo 4π Valeur numérique : µ o = 4π 10 −7 N A −2 Remarques : - Perméabilité magnétique µ des milieux ‘usuels’ est proche de celle du vide : µ = µ o ⇒ Biot et Savart pour un circuit C parcouru par I : B = µo 4π ∫ C I dl ∧ u r2 •/• 120 GB d – Expression de l’induction magnétique en fonction de la distribution de la densité de courant µ j ∧u Tube élémentaire de courant : dIdl = j dτ ⇒ Loi de Biot et Savart dBM = o 2 dτ 4π r r r 1 µ 1 Avec u = et grad = − 3 ⇒ dB M = o grad ∧ j dτ dB M r r r 4π r W 1 µ o j 1 Or rot = rot W + grad ∧ W ⇒ dBM = rot 4π r r r r M 1 − rot j dτ r r j dτ j µo rot dτ j = γ E et rot E = 0 (régime permanent) ⇒ dBM = 4π r Intégration dans tout l’espace D∝ comprenant des distributions de courant BM = µo j ∧u dτ ∫∫∫ 2 4π D r ∞ ou BM = j µo rot ∫∫∫ r 4π D ∞ u P dτ •/• 121 GB 6/ Propriétés fondamentales de l’induction magnétique a – Expression locale µ Induction créée en un point : B = o ∫∫∫ rot 4π D ( ) Or ∀ W, div rot W ≡ 0 j r dτ j µo ⇒ div B = div rot dτ ∫∫∫ 4π D r ⇒ div B = 0 b – Expression intégrale Flux de B à travers une surface fermée Σ : ∫∫ B dS • Σ Théorème de la divergence : ∫∫ Σ B • dS = ∫∫∫ D div B dτ ⇒ ∫∫ B dS = 0 • Σ B est un vecteur à flux conservatif (Propriété intrinsèque de B ) •/• 122 GB c – Nature des forces de Laplace dS Circuit filiforme C parcouru par i constant et soumis à B uniforme C i dl Chaque i dl de C est soumis à df = i dl ∧ B dl ' Déplacement de C d’un chemin élémentaire dl' ( ) B ( ⇒ Travail de df : dT = df • dl' = i dl ∧ B • dl'= i B • dl' ∧ dl ( ) ( ) ) [règle du produit mixte :V1 • V 2 ∧ V3 = V1 ∧ V 2 • V3] dl' ∧ dl : aire dS balayée par dl au cours du déplacement dl' ⇒ dT = i B • dS Circuit C complet (déplacement quelconque de C ) ⇒ Σ aire totale balayée ⇒ T = i Déplacement global de C le long d’une trajectoire fermée L : C balaye une surface S fermée ⇒T = i ∫∫ B dS ∫∫ B • dS Σ L C dl ' • Σ ⇒ T = 0 Forces de Laplace sont conservatives (Travail ne dépend pas du chemin suivi) d – Remarque - Électrostatique : div E = ρ ε o Magnétostatique : div B = 0 ⇒ Pas de ‘charges magnétiques’ Lignes de champ magnétique : ne peuvent jamais sortir ni s’arrêter se referment sur elles-mêmes en boucles •/• 123 GB Chapitre III POTENTIEL-VECTEUR DE L’INDUCTION MAGNÉTIQUE 1/ Définition Électrostatique, propriété fondamentale : rot E = 0 ⇔ E = − grad V ( ( ) ) Propriété fondamentale de l’induction magnétique B : div B = 0 ⇔ B = rot A div rot A = 0 ⇒ On peut toujours relier B à un champ A appelé potentiel-vecteur de l’induction 2/ Expression du potentiel-vecteur en fonction des sources µ Puisque B(M ) = o 4π ∫∫∫ D j (P ) dτ p = rot µ o rot r 4π µ avec B = rot A ⇒ A(M ) = o 4π ∫∫∫ D j (P ) dτ p r ∫∫∫ D P dτp j (P ) dτ p r r j(P ) Propriétés : A → 0 lorsque r → ∞ A : vecteur polaire (de même nature que j ) M • A(M) D •/• 124 GB 3/ Expression du potentiel-vecteur dans le cas d’un circuit filiforme µ A (M ) = o 4π ∫∫∫ j (P ) µ dτ p = o r 4π D dl S C C ∫ ∫∫ S dl j • ds r ⇒ A(M ) = µo I 4π ∫ C dl r dS j •/• 125 GB 5/ Relation entre le potentiel-vecteur et les sources Projection de A sur l’axe Ox d’un repère cartésien ⇒ A x = µo 4π ∫∫∫ jx dτ r V∞ 1 Analogie avec l’expression du potentiel scalaire de l’électrostatique : V = 4πε o µo 1 avec ρ → jx et → 4πε o 4π ∫∫∫ ρ dτ r V∞ ∆A x + µ o j x = 0 ρ = 0 (Équation de Poisson) ⇒ par identification : ∆A y + µ o j y = 0 Puisque ∆V + εo ∆A z + µ o jz = 0 () ⇒ Équation vectorielle ∆ A + µ o j = 0 •/• 126 GB 6/ Jauge de Coulomb Électrostatique : E = − grad V ⇒ V à une constante près Si V' = V + C (C = constante), on retrouve E ( grad C = 0 ) Magnétostatique : différents A peuvent redonner les mêmes B Soit B = rot A et B = rot A' ( ) Or rot grad Φ ≡ 0 ⇒ ∀ Φ ( ) ⇒ rot A' − A = 0 A' = A + grad Φ (Changement de jauge) ⇒ A défini à un gradient d’une fonction scalaire quelconque près Le choix de Φ est un choix de jauge ( B ne dépend pas de ce choix) ⇒ A est indéterminé On s’appuie sur cette indétermination pour lui imposer une condition supplémentaire On convient de prendre div A = 0 : jauge de Coulomb (On verra que cette condition simplifie certains calculs en magnétostatique) B = rot A ⇒ A complètement défini par : div A = 0 •/• 127 GB Chapitre IV THÉORÈME D’AMPÈRE 1/ Forme locale du théorème d’Ampère Théorème Gauss ⇒ une des relation fondamentales de l’électrostatique : div E = ∃ relation similaire en magnétostatique ( ) ( ρ ε ) ( ) Pour tout champ de vecteur W ⇒ rot rot W = grad div W − ∆ W () Appliquée au potentiel-vecteur A ⇒ rot B = −∆ A () Or ∆ A + µ o j = 0 ⇒ rot B = µ o j ⇒ Forme locale du théorème d’Ampère On avait associé E aux densités de charges ρ On associe ici B aux densités de courants j •/• 128 GB 2/ Forme intégrale du théorème d’Ampère j (P) Théorème de Stokes : ∀ S sur un contour fermé C : ∫∫ rot B • S dS(P) P B(M) dS = µ o ∫∫ j • dS = ∫ B • dl S S C M dl(M) C ⇒ Forme intégrale du théorème d’Ampère ∫∫ j • I1 dS : courant total entouré par C I2 I3 I4 I5 B(M) S dl C Courants Ii passant dans des circuits filiformes entourés par C ⇒ Autre expression du théorème d’Ampère : ∫B • dl = µ o C Courants > 0 s’ils obéissent à la règle du trièdre direct ∑I i i M • + < 0 sinon •/• 129 GB 4/ Exemples d’application du théorème d’Ampère a – Fil infini z uz Symétrie cylindrique I Plan passant par M et contenant le fil est plan de symétrie z O B (vecteur axial) est ⊥ à ce plan ⇒ dirigé suivant u θ x Tout plan ⊥ au fil est plan d’antisymétrie A (vecteur polaire) est ⊥ à ce plan ⇒ dirigé suivant u z Invariances : en rotation suivant θ et en translation suivant z ⇒ Chemin le plus adéquat : cercle d’axe Oz de rayon ρ uθ ρ uρ M y θ B = B(ρ) u θ A = A(ρ) u z I B tangent en tout point de ce cercle (tout comme dl ) avec norme constante en tout point de ce cercle ⇒ ∫ B • dl = µ o I ⇒ 2πρB = µ o I ⇒ B = C Puisque B = rot A ⇒ B = − µoI uθ 2π ρ µ I dA z dA uθ ⇒ o = − z 2π ρ dρ dρ B ρ dl ⇒ A(ρ) − A(ρo ) = ρ µo I ln o u z 2π ρ •/• 130 ( ) Plan d’antisymétrie : u ρ , u z I uθ M uρ θ y ⇒ B suivant u z ) ⇒ A suivant u θ B = B(ρ ) u z Invariances : en rotation suivant θ et en translation suivant z ⇒ A = A(ρ ) u θ B uz ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ( ρ z O x Plan de symétrie : u ρ , u θ uz b – Solénoïde infini z n spires jointives par unité de longueur parcourues par un courant I Symétrie cylindrique M(ρ, θ, z) GB I (i) Induction sur l’axe µ o cos 3 α uz I Rappel : 1 spire parcourue par I : Bz (M ) = 2 R Longueur dz du solénoïde : ndz spires dB = µo cos α nIdz uz 2 R B • 3 z = R tan α ⇒ dz = R axe dB µ = o nI u z 2 +π 2 z dα cos α 2 dB = ∫ cos α dα = µ nI u o −π 2 M µo nI cos α dα u z 2 uz α O R dz z I •/• 131 GB (ii) Induction en tout point (utilisation du théorème d’Ampère) ∫ B int • [ ] [ ] ∆l dl = 0 = Baxe − Bint (ρ1 ) ∆l = µ o nI − Bint (ρ1 ) ∆l C ⇒ Bint (ρ1 ) = µ o nI ⇒B int C B ext =0 = µ o nI u z - Circuit C ‘à cheval’ sur les spires ∫ [ ] ext B • dl = µ o n∆l I = µ o nI − B ∆l ⇒ B ext =0 C (iii) Potentiel-vecteur B = rot A ⇒ ∫∫ Σ ∫ B • ds = A • dl πρ 2 Bint = 2π ρA int (ρ) ⇒ A int πR B int = 2 π ρA ext (ρ) ⇒A A ext int B = cste A int C ρ1 ∆l uz (ρ) = µ o n I ρ 2 L 2 Baxe ext ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ - Circuit C entièrement situé à l’intérieur avec un des côtés du rectangle confondu avec l’axe (largeur ρ1 ) Circuit adéquat C : Rectangle avec grands côtés ( longueur ∆l ) // à l’axe B ext =0 uθ R2 (ρ) = µ o n I uθ 2ρ •/• 132 GB B µonI ρ 0 R A µ o nI R 2 ρ 0 R •/• 133 z c – Bobine toroïdale GB C N spires jointives parcourues par un courant I Symétrie cylindrique M(ρ, θ, z) ( Plan de symétrie : u ρ , u z z C uz ) ρ z O ⇒ B suivant u θ C C uθ Bint uρ M y x θ Invariances : en rotation suivant θ ⇒ B = B(ρ, z ) u θ C Circuit adéquat : Cercle C d’axe z’z I - Circuit C entièrement situé à l’extérieur du tore C Toute surface Σ s’appuyant sur C peut très bien ne ∫ couper aucune spire ⇒ B ext • dl = 0 ⇒ B ext I C + R C +a z' =0 C - Circuit C entièrement situé à l’intérieur du tore ∫ C B int • dl = µ o NI Bint = B(ρ, z ) u θ dl = dl u θ ⇒B Remarque : Si a << R : Bint constant B int int ≈ ( ρ) = µ o NI u θ 2πρ µ o NI uθ 2πR •/• 134 GB d – Plaque conductrice infinie parcourue par un courant de densité j Repère Oxyz avec plan xOy // plaque et situé à mi-épaisseur ( Plan de symétrie : u x , u z ) ⇒ B suivant u y Invariances en x et y z B axial ⇒ B (− z ) = − B (z ) B(z ) uz C ux y uy O ⇒ B = B(z ) u y e/2 j j e/2 x ∆l B(− z ) Contour adéquat : Rectangle avec côtés // à u y et u z Entre les cotes +z et −z ∆l : longueur suivant u y ∫ ∫B B ext • C C dl = Bext (z )∆l + Bext (− z )∆l = µ o j e ∆l ⇒ B dl = 2Bint (z )∆l = 2 µ o j z ∆l ⇒ B int int • ext (z ) = −µ o j e u y 2 (z ) = −µo j z u y •/• 135 GB B µo j e 2 e/2 −e/2 0 − µo j e 2 z