ELE115-Propagation

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ELE115-Propagation

Conservatoire National des Arts et Métiers
Cours du Conservatoire National des Arts et Métiers
Propagation
Version 7.0
Michel Terré
2005-2006
1/59
TABLES DES MATIERES
1
INTRODUCTION .................................................................................................................................................... 3
1.1
1.2
2
PROPAGATION EN ESPACE LIBRE.................................................................................................................. 5
2.1
2.2
3
LES ANTENNES .................................................................................................................................................... 5
GAIN ET AIRE EQUIVALENTE D'UNE ANTENNE ...................................................................................................... 5
PROPRIETES GENERALES DES ONDES PLANES ....................................................................................... 10
3.1
3.2
3.3
4
LA PROPAGATION EN VISIBILITE .......................................................................................................................... 4
LA PROPAGATION EN NON VISIBILITE................................................................................................................... 4
EXPRESSION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE D’UNE ONDE PLANE ................................................................. 10
POLARISATIONS ................................................................................................................................................. 12
RAPPELS DES PRINCIPALES RELATIONS .............................................................................................................. 12
LA REFLEXION .................................................................................................................................................... 13
4.1
FORMULES DE FRESNEL ..................................................................................................................................... 16
4.2
REMARQUES SUR QUELQUES ANGLES D’INCIDENCE ........................................................................................... 19
4.3
LA REFLEXION SUR UN OBSTACLE ..................................................................................................................... 20
4.3.1
Facteur de divergence............................................................................................................................... 21
4.3.2
Critère de Rayleigh................................................................................................................................... 21
4.4
LA MODELISATION DES MULTITRAJETS .............................................................................................................. 23
5
LA REFRACTION................................................................................................................................................. 26
6
LA DIFFRACTION................................................................................................................................................ 30
6.1
GENERALITES .................................................................................................................................................... 30
6.2
ZONES DE FRESNEL ........................................................................................................................................... 30
6.3
APPLICATIONS AUX FAISCEAUX HERTZIENS...................................................................................................... 32
6.4
DIFFRACTION PAR UN OBSTACLE ....................................................................................................................... 35
6.5
DIFFRACTION PAR PLUSIEURS OBSTACLES ......................................................................................................... 37
6.6
DIFFRACTION SPHERIQUE ET DIFFRACTION SOL ................................................................................................. 38
6.6.1
Formules générales................................................................................................................................... 38
6.6.2
Formules approchées pour la diffraction sol............................................................................................ 40
7
LA DIFFUSION...................................................................................................................................................... 41
7.1
ASPECTS MACROSCOPIQUES .............................................................................................................................. 41
7.1.1
Diffusion troposphérique .......................................................................................................................... 41
7.2
ASPECTS MICROSCOPIQUES ............................................................................................................................... 42
7.2.1
Diffusion par une particule isolée............................................................................................................. 42
7.2.2
Diffusion par un ensemble de particules................................................................................................... 43
7.3
APPLICATION, ATTENUATION EN NON VISIBILITE ............................................................................................... 44
7.4
APPLICATION, ATTENUATION EN VISIBILITE ...................................................................................................... 46
7.5
LA DEPOLARISATION ......................................................................................................................................... 46
7.6
DIFFUSION ET ABSORPTION PAR LA PLUIE .......................................................................................................... 48
7.6.1
Absorption par l'atmosphère..................................................................................................................... 48
7.6.2
Absorption par la vapeur d'eau ................................................................................................................ 48
7.6.3
Les nuages ................................................................................................................................................ 49
7.6.4
La pluie ..................................................................................................................................................... 49
8
FORMULES APPROCHEES PAR GAMME DE FREQUENCE..................................................................... 52
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
9
RELATION CHAMP / TENSION / PUISSANCE ......................................................................................................... 52
ONDES KILOMETRIQUES (0 A 300 KHZ) ............................................................................................................. 52
ONDES HECTOMETRIQUES (300 A 3000 KHZ) .................................................................................................... 53
ONDES DECAMETRIQUES (3 MHZ – 30 MHZ) .................................................................................................... 53
ONDES DE FREQUENCES SUPERIEURES A 30 MHZ .............................................................................................. 53
LES DIFFERENTES GAMMES DE FREQUENCE .......................................................................................... 58
2/59
1 Introduction
Ce cours aborde le problème de la propagation des ondes électromagnétiques. Les formules d'électromagnétisme qui
permettent d'étudier les phénomènes de propagation se déduisent des équations de Maxwell. Cependant, on obtient
alors, dans bien des cas pratiques, des jeux d'équations extrêmement compliqués à résoudre. L'objectif de ce cours est
d'arriver rapidement à l'établissement d'un bilan de liaison entre un émetteur et un récepteur. Le bilan de liaison est un
résumé chiffré exhaustif des influences des différents phénomènes physiques qui interviennent lors de la propagation de
l'onde électromagnétique.
On parle de propagation lorsqu'un phénomène produit par une source S à un instant t 0 arrive à un instant ultérieur
t 1 = t 0 + τ en un point M situé à une distance d de la source S.
A tout instant on peut décomposer l'espace en deux régions : l'une située à proximité de la source où le phénomène est
arrivé, l'autre située à grande distance de la source où le phénomène n'est pas encore arrivé. La frontière entre ces deux
domaines est définie par une équation en x, y, z , t . Cette frontière se déplace avec une certaine vitesse et s'appelle le
front d'onde avant. Si le phénomène cesse on voit alors aussi apparaître un front d'onde arrière.
z
P
r
v
front d'onde avant
x
S
front d'onde arrière
y
On peut alors aboutir aux définitions suivantes :
•
La propagation est un transfert d'énergie sans transfert de matières, résultat de l'évolution dans le temps de la
distribution spatiale d'un champ dans le milieu où se produit le transfert.
•
La propagation par onde est un type de propagation possédant une vitesse définie.
On distingue alors la propagation en visibilité et la propagation en non visibilité.
3/59
1.1
La propagation en visibilité
Elle concerne des liaisons pour lesquelles la propagation est de type "optique" ou quasi optique. Ces liaisons utilisent
des fréquences élevées dans le domaine des ondes centimétriques ou millimétriques. Bien que l'émetteur et le récepteur
soient en visibilité l'un par rapport à l'autre, des perturbations, induites par la présence du sol ou de l'atmosphère
peuvent intervenir. Deux grandes familles de liaisons appartiennent à cette classe :
•
Les liaisons sol-sol, de type faisceaux Hertziens.
•
Les liaisons sol-espace, utilisées par les systèmes de transmissions par satellites.
1.2
La propagation en non visibilité
Elle concerne des liaisons pour lesquelles un obstacle est interposé entre l'émetteur et le récepteur. Le signal émis va
alors se propager grâce à différents phénomènes :
•
La diffraction (ang.diffraction) se produit lorsque la ligne de visée (ang. Line of Sight : LOS) entre l'émetteur et le
récepteur est obstruée par un obstacle opaque dont les dimensions sont plus grandes que la longueur d'onde du
signal émis.
•
La diffusion (ang. scattering) se produit dans le même cas que la diffraction mais lorsque les dimensions des
obstacles sont comparables à la longueur d'onde.
•
La réflexion (ang. reflection) se produit lorsque l'onde émise rencontre un obstacle dont les dimensions sont très
largement supérieures à la longueur d'onde. La réflexion peut avoir pour effet une augmentation ou une diminution
du niveau du signal reçu. Lorsqu'il y a un grand nombre de réflexions le niveau du signal reçu peut devenir instable.
•
La transmission (ang transmission) se produit lorsque l'obstacle est en partie "transparent" vis à vis de l'onde émise
•
La réfraction (ang refraction) provient du fait que la variation de l'indice atmosphérique entraîne une propagation
"courbée" de l'onde émise.
Quelques exemples :
Phénomènes de diffraction par le sol :
-
diffraction sur un sol sphérique, cas des grandes ondes (de 10 kHz à quelques dizaines de MHz)
-
diffraction sur une arête, cas des ondes centimétriques par exemple
Phénomènes de diffusion dans les couches de l'atmosphère :
-
couches basses, diffusion troposphérique, utilisée pour les liaisons à usage militaire de longue portée (quelques
centaines de km) à des fréquences de quelques centaines de MHz à 1 GHz environ.
-
couches élevées, diffusion ionosphérique, utilisée pour des liaisons à très grandes distances avec des
fréquences entre 30 et 60 MHz.
Phénomènes de réflexion ionosphérique :
-
Il s'agit en fait de réfraction dans la ionosphère, utilisée pour de liaisons à très grande distance. Plusieurs
réflexions peuvent avoir lieu. Avec une seule réflexion on peut atteindre des distances d'environ 3500 km, avec
3 réflexions on peut aller jusqu'à 10.500 km. Les fréquences utilisées se situent entre 2 et 30 MHz.
4/59
2 Propagation en espace libre
Lors de la définition d'un système de communications, il est nécessaire de déterminer le type et la taille des antennes
d'émission et de réception, la puissance d'émission, l'ensemble des pertes et affaiblissements que va subir l'onde émise
et enfin le rapport signal à bruit nécessaire pour pouvoir effectuer la transmission avec la qualité requise. Effectuer cet
ensemble de déterminations constitue l'établissement du Bilan de Liaison (ang. Budget Link).
2.1
Les antennes
On considère en général deux types de liaison radioélectriques avec deux familles d'antennes :
Les liaisons dont les antennes sont à des hauteurs au dessus du sol très largement supérieure à la longueur d'onde. C'est
le cas pour toutes les ondes dont la longueur d'onde est inférieure au mètre. Les antennes de référence sont alors :
1.
Le doublet élémentaire de Hertz qui est un élément de courant de longueur très inférieure à la longueur d'onde pour
laquelle il fonctionne. Le diagramme de rayonnement en champ d'un tel doublet est un tore qui a pour centre le
doublet et dont le rayon au centre est nul.
2.
Le doublet demi-onde est un élément rayonnant filiforme dont la longueur est égale à la moitié de la longueur
d'onde sur laquelle il fonctionne.
3.
L'antenne isotrope est une antenne qui rayonne de la même façon dans toutes les directions. Son diagramme de
rayonnement est une sphère centrée sur l'antenne. Une telle antenne est irréalisable cependant elle est en général
utilisée comme antenne de référence.
Les liaisons dont les antennes sont à une hauteur au dessus du sol très inférieure à la longueur d'onde. C'est le cas pour
les grandes longueurs d'onde (ex VLF, LF). Seule la polarisation verticale est alors utilisable et l'on rencontre :
1.
L'antenne verticale courte au dessus d'un sol supposé infiniment conducteur. C'est la moitié d'un doublet de Hertz.
2.
L'antenne verticale quart d'onde au dessus d'un sol supposé infiniment conducteur. C'est donc la moitié d'un doublet
demi-onde.
2.2
Gain et aire équivalente d'une antenne
Lorsque l'on utilise une antenne quelconque au lieu de l'antenne isotrope, considérée comme l'antenne de référence,
cette antenne concentre la puissance rayonnée dans certaines directions de l'espace, repérées, dans un système de
coordonnées polaires, par un couple (θ, ϕ) .
On peut alors introduire la directivité de l'antenne d'émission G e (θ, ϕ ) et tout se passe dans une direction (θ, ϕ) comme
si l'on utilisait une antenne isotrope mais que la puissance Pe de l'émetteur était remplacée par :
Pe' = G e (θ, ϕ ) Pe
5/59
S
θ
ϕ
d
θ
δS
En considérant la propagation sans perte d'une onde sphérique, le flux de puissance (en W/m²) à une distance d de
l'antenne s'écrit :
φ(d ) =
Pe
4.π.d 2
La puissance captée par un élément de surface δS placé à la distance d de l'antenne et dont la normale est dirigé vers
cette antenne d'émission est alors égale à φ( d ) δS . En intégrant sur la surface de la sphère de rayon d on doit retrouver
la puissance émise Pe :
Pe =
θ = 2π π
∫
∫
d 2 sin (ϕ ) Ge (θ,ϕ )
θ =0 ϕ =0
Pe
4 πd 2
.dϕ.dθ
Une antenne de réception possède une aire équivalente Ar . Cette antenne reçoit ainsi une puissance :
Pr = φ( d ) Ar
Dans le cas d'une antenne qui possède une ouverture (ex antenne parabolique), l'aire équivalente Ar n'est pas
obligatoirement égale à l'ouverture de l'antenne mais elle est en général proportionnelle à celle ci à travers un coefficient
η appelé efficacité. Ce coefficient varie en général entre 0.5 et 0.7.
Supposons maintenant que l'antenne soit directive et rayonne principalement dans une direction définie par un azimut et
une élévation (θ 0 , ϕ 0 ) . Par rapport à l'antenne isotrope, le flux de puissance dans cette direction sera multiplié par un
coefficient Ge (θ0 ,ϕ 0 ) , qui représente donc la valeur maximale de la directivité et que l'on appellera le gain
d'antenne.
Pour simplifier les écritures, nous supposerons dans la suite que l'on s'intéresse à cette direction privilégiée (θ 0 , ϕ 0 ) et
l'on omettra de le préciser dans l'expression du gain : Ge .
Nous avons ainsi défini le gain pour l'antenne d'émission et l'aire équivalente pour l'antenne de réception. La même
antenne peut être utilisée à l'émission ou à la réception. La relation suivante permet de relier l'aire équivalente et le
gain :
Ar =
λ2
Ge
4π
Ainsi, on peut toujours calculer l'aire équivalente d'une antenne (exemple: l'antenne non directive (gain linéaire égal à 1)
d'un téléphone GSM à 900 MHz a donc une aire équivalente égale à : 8.8 10-3 m². Cette aire est équivalente est égale à
celle d'un disque de 5 cm de rayon).
6/59
Le gain d'antenne est souvent exprimé en décibel par le calcul de 10 log (G e ) . Ce gain est alors exprimé en dBi (dB par
rapport à une antenne isotrope de gain égal à 1).
Le flux de puissance à une distance d est égal à :
Ge Pe
4 πd 2
Watts / m2
Le produit G e Pe est appelé la Puissance Isotrope Rayonnée Equivalente : PIRE (Effective Isotropic Radiated Power :
EIRP). On rappelle que la PIRE est la puissance rayonnée par rapport à une antenne isotrope pour laquelle G e = 1
La puissance Pr reçue par une antenne de réception, dirigée dans la direction de rayonnement principal de l'antenne
d'émission, va être égale à une fraction de la puissance rayonnée. Cette fraction est proportionnelle à la surface de
l'antenne de réception et à son orientation par rapport à la direction de propagation de la puissance émise. En supposant
les antennes d'émission et de réception parfaitement alignées, la puissance reçue s'écrit :
Pr =
Pe Ge Ar
4 πd 2
En utilisant la relation entre l'aire effective et le gain de l'antenne de réception : Ar =
G r λ2
, la puissance reçue par
4π
l'antenne s'écrit finalement :
Pr =
Pe Ge G r
 4 πd 


 λ 
2
2
 λ 
On introduit alors le facteur L s = 
 qui est appelé la perte en espace libre (free-space path loss).
 4 πd 
La puissance reçue s'écrit alors :
Pr = Pe Ge G r Ls
En prenant en compte des pertes de propagation atmosphérique sous la forme d'un terme La , la puissance reçue
devient :
Pr = Pe Ge G r Ls La
Prise en dB cette expression devient :
(Pr )dB = (Pe )dB + (Ge )dBi + (G r )dBi + (Ls )dB + (La )dB
Pour terminer le bilan de liaison il faut prendre en compte le bruit additif du canal et du récepteur. Le bruit thermique
est défini par sa densité monolatérale de puissance :
N 0 = kT Watts/Hz
avec k : constante de Boltzmann : k = 1,38.10 −23 JK −1 et T température de bruit en Kelvin.
La puissance de bruit N dans une bande de fréquence W est alors égale à :
N = N 0W
En introduisant l'énergie par bit E b dans la bande de réception et le débit binaire Rb , il vient :
Pr = E b Rb
7/59
Le rapport
Eb
est alors égal à :
N0
Eb
1 Pr
=
N 0 Rb N 0
Pour obtenir un taux d'erreur spécifié lors de la démodulation, il est nécessaire d'avoir un rapport
E
note  b
 N0
Eb
requis que l'on
N0

 . Il faut donc ajuster les puissances d'émission et les tailles des antennes afin que :

 req
E
Pr
= Rb  b
N0
 N0


 req
En remplaçant Pr par sa valeur ainsi que N 0 dans cette expression, on obtient :
PG L L G
Pr
= e e s a r
N0
k
T
On voit alors faire apparaître le terme
Gr
qui est une caractéristique très importante pour qualifier la chaîne de
T
réception.
Exemple:
Considérons un satellite Géostationnaire avec une puissance rayonnée de 100 Watts (20 dBW). L'antenne d'émission a
un gain de 17 dB. La PIRE est alors égale à 37 dBW.
L'antenne de réception de la station terrienne est une parabole de 3 mètres de diamètre avec une efficacité de 50%. La
fréquence porteuse est égale à 4 GHz.
Le gain de l'antenne de la station terrienne est donc égal à G r = 39 dB
La perte en espace libre est égale à L s = 195.6 dB
On suppose qu'il n'y a ici aucune autre perte atmosphérique à prendre en compte. La puissance reçue est égale à :
(Pr )dBW
= 20 + 17 + 39 − 195.6
(Pr )dBW
= −119.6 dBW
La température de bruit du récepteur est égale à 300 K . La densité de bruit est alors :
N 0 = 4,1.10 −21 W / Hz ou encore −203 dBW / Hz (note: dBW / Hz ≡ dBJ )
D'où :
Pr
= −119.6 + 203.9 = 84.3 dBHz
N0
E
Supposons que le rapport  b
 N0


= 10 dB

 req
Le débit maximum sera alors égal à :
(Rb )dB
= 84.3 − 10 = 74.3 dBHz
D'où :
8/59
Rb = 10 7.43 = 26.9 Mbit / s
Donc, avec ces antennes et avec cette puissance d'émission, ce satellite Géostationnaire peut transmettre au plus
26.9 Mbit/sec. Si l'on souhaite augmenter cette valeur, on peut augmenter la puissance émise par le satellite, augmenter
la taille de l'antenne du satellite ou enfin augmenter la taille de l'antenne de la station terrienne.
Note :
 πD 
Pour une antenne parabolique de diamètre D le gain est donné par la formule G r = η

 λ 
Ar = η
2
et l'aire effective
πD 2
, avec η égal à 50-60%.
4
Pour une antenne cornet avec une aire A, le gain est donné par Gr =
10 A
λ2
et l'aire effective est Ar = ηA avec η égal à
80%.
9/59
3 Propriétés générales des ondes planes
r
r
Une onde électromagnétique est plane si les champs électrique E et magnétique B ne sont fonctions que d’une
r
r
coordonnée d’espace (l’abscisse x d’un point M par exemple) et du temps t. Les champs E (x , t ) et B ( x, t ) de l’onde
plane qui se propage dans le vide suivant Ox sont liés, d’après les équations de Maxwell, par les relations :
r
r
r
E ( x , t ) = cB ( x , t ) ∧ u x
et
r
r
1r
B ( x, t ) = u x ∧ E ( x, t ) ,
c
r
expressions dans lesquelles u x représente un vecteur de norme 1 sur l’axe Ox .
Ces équations traduisent les propriétés suivantes de l’onde plane électromagnétique :
-
r
r
r
r
r
r
Les champs E( x , t ) et B( x , t ) sont transversaux E( x ,t ) ⊥ u x et B( x ,t ) ⊥ u x
r
r
r
r
Les champs E (x , t ) et B( x , t ) sont transversaux E (x ,t ) ⊥ B (x ,t )
r
r
r
r
r
Les champs E (x , t ) et B( x , t ) sont tels que E (x ,t ) , B(x ,t ) , u x forme un trièdre direct
-
r
E ( x, t )
Le rapport des modules des champs est constant et égal à c : r
=c=
B( x, t )
-
r
r
E ( x, t )
E ( x, t )
µ0
L’impédance d’onde est Z = r
= r
=
= 120 π
ε0
H ( x, t )
B ( x, t )
µ0
-
r
r E( x , t )
Le vecteur de Poynting est R =
cµ 0
-
La densité volumique d’énergie électromagnétique est :
ϖ=
-
ε0 µ 0
2
r
ε 0 E ( x, t )
r
ux
2
+
2
r
B ( x, t )
2µ 0
2
r
= ε 0 E ( x, t )
2
r
B( x, t )
=
2
µ0
L’action de l’onde plane sur une charge q en mouvement animée d’une vitesse v << c s’écrit :
r
r
r
r
r
r r
r
v
r

f = q E ( x, t ) + v ∧ B( x, t ) = q E ( x, t ) + ∧ u x ∧ E ( x, t )  ≈ qE ( x, t )
c


(
3.1
1
)
(
)
Expression du champ électromagnétique d’une onde plane
r
ω
Le champ E( x , t ) d’une onde plane sinusoïdale monochromatique, de fréquence f =
, qui se propage suivant la
2π
direction Ox dans le vide est donné par l’expression suivante :
r
r
 x
E( x , t ) = E0 cos ω t − 
 c
r
r
2π ω
Si on introduit le vecteur d’onde k = k u x , avec, dans le vide, k =
= , il vient :
λ
c
r
r
E( x , t ) = E0 cos(ωt − kx )
10/59
r
Le champ magnétique B ( x, t ) s’obtient alors à travers la relation :
r
r
k r
B ( x, t ) = ∧ E ( x, t )
ω
Vitesse de phase
On introduit aussi la vitesse de déplacement du plan d’onde. Cette vitesse que l’on notera v φ par la suite est appelée
vitesse de phase, c’est la vitesse que devrait avoir le plan d’onde pour que sa phase φ = ωt − kx reste constante.
 dx 
vφ =  
 dt  φ=Cte
d’où :
vφ =
ω
k
La vitesse de phase peut être supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide c.
Dans le vide illimité, on a k =
ω
ω
donc v φ = = c , le milieu est dit non dissipatif.
c
k
Dans le vide limité par des conducteurs (guides d’onde par exemple), k ≠
ω
donc v φ ≠ c , le milieu est dit dissipatif.
c
Vitesse de groupe
La vitesse de notée v g est la vitesse de propagation de l’énergie. Elle est différente de v φ .
vg =
dω
dk
La vitesse de groupe est toujours inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide c.
Dans le vide illimité, on a k =
ω
donc v φ = v g = c .
c
Dans le vide limité par des conducteurs les deux vitesses ne sont plus égales et c’est une relation de dispersion k ( ω )
qui donne v φ et v g
→
r
De manière plus générale, le champ en un point M / OM = r s'écrira :
rr
r
r
E( x , t ) = E 0 cos ωt − k .r
(
)
ou encore en notations complexes :
rr
r
r
E( x , t ) = E0 e j( ωt − k .r )
le champ magnétique s'écrivant pour sa part :
rr
r
r
B( x , t ) = B0 e j( ωt − k .r )
sachant que les champs reçus sont les parties réelles de ces écritures en complexe.
11/59
3.2
Polarisations
ω
et qui se propage suivant
2π
r
r
la direction 0 x , les composantes du champ électrique E( x , t ) dans le plan d’onde (contenant les champs E( x , t ) et
r
r
B( x , t ) et normal à k ) sont de la forme suivante :
Pour une onde électromagnétique plane, sinusoïdale monochromatique de fréquence f =
E x ( x , t ) = 0
r

E( x , t ) =  E y ( x , t ) = E0 y cos(ωt − kx + ϕ 1 )

 E z ( x , t ) = E 0 z cos(ωt − kx + ϕ 2 )
r
Dans le plan d’onde x = Cte , l’extrémité du vecteur champ E( x , t ) décrit une courbe dont la forme dépend du
r
r
r
déphasage ϕ 2 − ϕ 1 entre les composantes E y ( x , t ) et E z ( x , t ) de E( x , t )
r
Si ϕ 2 − ϕ 1 = 0 ou π , l’extrémité de E( x , t ) décrit une droite, donc le champ conserve une direction fixe, l’onde est
dite polarisée rectilignement.
r
Si 0 < ϕ 2 − ϕ 1 < 2 π , l’extrémité de E( x , t ) décrit une ellipse dans le plan d’onde, l’onde est dite polarisée
elliptiquement.
Si ϕ 2 − ϕ 1 =
r
π
3π
et si E0 y = E 0 z l’extrémité de E( x , t ) décrit un cercle dans le plan d’onde, l’onde est dite
ou
2
2
polarisée circulairement.
On distingue les états de polarisation gauche et droite :
Polarisation gauche si l’extrémité du vecteur champ décrit l’ellipse ou le cercle dans le sens trigonométrique.
Polarisation droite si l’extrémité du vecteur champ décrit l’ellipse ou le cercle dans le sens trigonométrique inverse.
3.3
Rappels des principales relations
Cas général
c=
1
ε0 µ0
La vitesse de phase peut-être écrite de différentes manières :
vφ =
1
εµ
, vφ =
ω
c
, vφ =
k
n
On rappelle enfin la définition de l'indice du milieu :
n=
Cas particulier du vide
ε = ε0 , µ = µ0 , n = 1
vφ = c
k=
2π ω
=
λ
c
εµ
ε0 µ0
Onde plane dans un milieu quelconque sans perte
µ
E
=
et B = µ H
H
ε
d'où
E 1 E
=
=
B µ H
1
εµ
= vφ , B =
1
E
vφ
12/59
4 La réflexion
Un paramètre d'une importance primordiale dans le choix de la méthode à utiliser pour traiter un problème de
propagation est le rapport entre la longueur d'onde considérée et les dimensions caractéristiques du milieu de
propagation.
A chaque fois que le milieu de propagation varie lentement à l'échelle de la longueur d'onde, on peut utiliser les
approximations "hautes fréquences" inspirées de l'optique géométrique et qui privilégient la notion de rayon comprise
comme trajectoire de l'énergie électromagnétique. Dans un milieu homogène, les rayons suivent des lignes droites. Dans
un milieu hétérogène, les trajectoires des rayons diffèrent d'une ligne droite et on dit qu'il y a réfraction.
La présence d'un obstacle, discontinuité brutale du milieu, entraîne une discontinuité également brutale du champ
électromagnétique qui diffère alors de ce que prédit l'approximation des rayons : il y a diffraction. On dispose en
français des deux termes de diffraction et de diffusion dont la différence de sens n'est pas claire, et qui recouvrent
fondamentalement une même réalité physique. De manière générale, on emploie plutôt le terme de diffraction lorsque
les obstacles sont grands par rapport à la longueur d'onde. Le terme de diffusion est plutôt réservé à l'effet d'une
population de petits obstacles dont la taille est inférieure à ou de même ordre de grandeur que la longueur d'onde. (On
rencontrera à peu près le même problème en anglais avec les termes "diffraction" et "scattering").
On considère ici deux milieux homogènes semi-infinis.
Le champ électromagnétique doit vérifier les équations de Maxwell en tout point n'appartenant pas à la surface de
séparation et les conditions aux limites sur cette surface.
On introduit les indices 1 et 2 pour les deux milieux. On considère un plan de séparation (Ox, Oy ) entre les deux
milieux.
z
Av
BH
AH
ki
kr
θi
θi
Bv
1
O
x
2
θt
Cv
CH
r
On considère alors une onde harmonique plane, de pulsation ω , et de vecteur d'onde k i se propageant dans le milieu 1
suivant les z négatifs et atteignant la surface de séparation.
Le plan d'incidence est le plan (Ox, Oz ) perpendiculaire à la surface de séparation (Ox, Oy ) .
r
r
Le vecteur k i appartient au plan d'incidence. On notre θ i l'angle d'incidence du vecteur k i avec la normale à la surface
de séparation.
13/59
D'où :
r
k i = (k 1 sin θ i ,0 ,−k 1 cos θ i )
avec k 1 =
ω
, expression dans laquelle vφ1 représente la vitesse de phase des ondes dans le milieu 1.
v φ1
vφ1 =
c
=
n1
c
ε r 1µ r 1
µ
ε
On rappelle que ε r 1 = 1 et que µ r 1 = 1
ε0
µ0
Au niveau de la surface de séparation on distingue une onde réfléchie qui repart dans le milieu 1 vers les z positifs et
une onde transmise qui pénètre dans le milieu 2.
Ces deux ondes sont de mêmes pulsations que l'onde
r
et l'on cherche leurs vecteurs d'ondes respectifs k r et
incidente. On considère qu'elles sont également des ondes planes
r
kt .
r
ω
ω
et k 2 =
, on introduit les amplitudes complexes des vecteurs champ électriques incident : A ,
v φ1
v φ2
r
r
réfléchi : B et transmis : C . Le champ magnétique se déduira du champ électrique par la relation :
On a déjà : k 1 =
r
ε r
ux ∧ E
µ
r
r
r
ε k
H=
r ∧E
µ k
r
H=
r
H=
r
H =ε
ε vφ r r
k ∧E
µ ω
1 vφ r r
k ∧E
εµ ω
r vφ2 ε r r
H =
k ∧E
ω
On doit distinguer les composantes normales et parallèles au plan d'incidence, qui seront notées avec des indices H et V
des composantes normales et parallèles à la surface de séparation qui seront notées avec des indices ⊥ et
//.
A⊥
AV
A//
AH
r
ki
r
ki
Le champ électrique incident s'écrit :
r r
r
r
E i = A e j (ωt − ki .r )
Les champs réfléchis et transmis s’écrivent :
14/59
r r
r
r
E r = B e j (ωt − kr .r )
r r
r
r
E t = C e j (ωt − kt .r )
r
r
Les conditions à respecter à la surface sont la continuité des composantes tangentielles de E et de H , la continuité de
r
la composante tangentielle de E s’écrit :
r r
r r
r r
r
r
r
A // e − jki .r + B // e − jkr .r = C // e − jkt .r
→
r
Cette relation doit être vérifiée en tous points M de la surface, OM = r = ( x , y , O )
r
Seule la composante parallèle des vecteurs k intervient (du fait de z = 0 )
D’où :
r r
r r
r r
r
r
r
A // e − jki // .r + B // e − jk r // .r = C // e − jkt // .r
Pour r = 0 ( x = y = 0 ) , il vient :
r
r
r
A // + B // = C //
r
Pour r ≠ 0 , il vient, en multipliant par e jkt // :
r r r r
r r r r
r
r
r
r
r
A// e − j (ki // .r − kt // .r ) + B// e − j (k r // .r − kt // .r ) = C// = A// + B//
r
Pour que cette relation soit vérifiée quelque soit r , on doit avoir :
r
r
r
k i // = k r // = k t //
r
r
Cette équation traduit le fait que les vecteurs kr et kt sont dans le plan d’incidence. en introduisant les angles θt et
θr , il vient :
r
ω
kr = (k1 sin θr ,0 , k1 cos θr ) avec k1 =
vφ1
kt = (k2 sin θt ,0,−k 2 cos θt ) avec k2 =
ω
vφ2
Les composantes des vecteurs d’onde parallèles au plan de séparation se réduisent donc aux composantes sur l’axe Ox
D’où la loi de la réflexion :
kix = krx ⇒ k1 sin θi = k1 sin θr
d’où :
θi = θr
et la loi de la réfraction :
kix = ktx ⇒ k1 sin θi = k2 sin θt
ou encore
15/59
vφ2 sin θi = vφ1 sin θt
et en utilisant les expressions des vitesses de phase en fonction de l’indice du milieu : vφ1 =
c
c
et vφ2 =
n1
n2
n1 sin θi = n2 sin θt
Ces deux formules constituent les formules Descartes.
4.1
Formules de Fresnel
Ayant déterminé les directions des ondes réfléchies et transmises, il reste à calculer leurs amplitudes.
Pour cela on introduit les phases totales des champs électriques de la manière suivante :
r r
τi = ωt − ki .r
r r
τr = ωt − kr .r
r r
τt = ωt − kt .r
Champ électrique
Le champ électrique incident s’écrit alors :
E xi = AV cos θi e j τ i , E yi = AH e j τi , E zi = AV sin θi e j τi
Pour le champ électrique réfléchi, l’expression devient :
E xr = BV cos θ r e j τ r , E yr = B H e j τ r , E zr = − BV sin θ r e j τ ri
Et pour le champ transmis :
E xt = CV cos θ t e j τt , E yt = C H e j τt , E zt = CV sin θ t e j τt
Les équations de continuité des composantes parallèles à la surface de séparation donnent alors les deux équations
suivantes :
( AV
+ BV )cos θi = CV cos θt
AH + BH = C H
Champ magnétique
On peut écrire les mêmes équations pour les composantes du champ magnétique. On se place ici dans le cas simple où
les deux milieux sont non magnétiques (ce cas correspond à la grande majorité des problèmes rencontrés en
propagation).
On a donc :
µ1 = µ 2 = µ0
On en déduit alors :
ε1 vφ1 = ε0 n12 vφ1 = ε0 n1 c
ε 2 vφ2 = ε0 n2 2 vφ2 = ε0 n2 c
16/59
r
r
B
On utilisera à partir d'ici l'excitation magnétique H =
.
µ0
r
r vφ2 ε r r
k ∧ E ou encore compte tenu de la définition du vecteur d’onde k en
En utilisant l’équation de Maxwell : H =
ω
r
r
r
k
utilisant l’écriture suivante : H = vφε r ∧ E , il vient :
k
Pour champ magnétique incident :
H xi = vφ1ε1 AH cos θi e j τi , H yi = −vφ1ε1 AV e j τi , H zi = vφ1ε1 AH sin θi e j τi
Pour le champ électrique réfléchi :
H xr = −vφ1ε1BH cos θr e j τ r , H yr = vφ1ε1BV e j τ r , H zr = vφ1ε1 BH sin θr e j τ r
Pour le champ magnétique transmis :
H xt = vφ2ε 2C H cos θt e j τt , H yt = −vφ2ε 2CV e j τt , H zt = vφ2 ε 2C H sin θt e j τt
Les équations de continuité des composantes parallèles à la surface de séparation donnent alors les deux équations
suivantes :
n1 ( AH − BH ) cos θi = n2CH cos θt
n1 ( AV − BV ) = n2CV
On a donc obtenu 4 équations reliant les amplitudes des composantes V et H des vecteurs champs électriques incident,
transmis, réfléchi ainsi que les indices des deux milieux. En regroupant ces équations on obtient :
Pour les composantes dans le plan d’incidence :
n cos θt − n2 cos θi
BV = 1
AV
n1 cos θt + n2 cos θi
et
CV =
2n1 cos θi
AV
Pour les composantes dans le plan de séparation :
n cos θi − n2 cos θt
BH = 1
AH
n1 cos θi + n2 cos θt
et
CH =
2n1 cos θi
AH
Ondes TM
On considère souvent le cas d’ondes planes polarisées rectilignement avec un vecteur champ électrique évoluant dans le
plan d’incidence. On parle alors d’ondes TM, abréviation de Transverse Magnétique, car le champ magnétique se
trouve alors perpendiculaire au plan d’incidence.
17/59
Pour une onde TM on s’intéresse alors au coefficient de réflexion :
B
n cos θt − n2 cos θi
tg (θi − θt )
RV = V = 1
=−
AV
tg (θi + θt )
ainsi qu’au coefficient de transmission :
C
2n1 cos θi
2 sin θt cos θt
TV = V =
=
AV
n1 cos θt + n2 cos θi sin(θi + θt )cos(θi − θt )
Ondes TE
On rencontre aussi des ondes planes polarisées rectilignement avec un vecteur champ électrique évoluant dans le plan
de séparation. On parle alors d’ondes TE , abréviation de Transverse Electrique.
Pour une onde TE on s’intéresse alors au coefficient de réflexion :
RH =
AH
n cos θi − n2 cos θt
sin(θt − θi )
= 1
=
BH
sin(θi + θt )
ainsi que le coefficient de transmission :
TH =
CH
2n1 cos θi
2 sin θt cos θi
=
=
AH
sin(θi + θt )
Ces 4 équations qui donnent les coefficients de réflexion et de transmission constituent les formules de Fresnel.
18/59
4.2
Remarques sur quelques angles d’incidence
Polarisations
On considère ici le cas de milieux non dissipatifs, les constantes diélectriques ε1 et ε 2 sont des nombres réels.
En polarisation verticale le facteur de transmission TV est toujours positif, ce qui montre que le champ incident et le
champ transmis sont en phase.
Par contre le facteur de réflexion RV peut être positif ou négatif.
Le champ réfléchi est en phase avec le champ incident si : θt > θi et θt + θi <
ou si : θt < θi et θt + θi >
π
2
π
2
Si ces conditions ne sont pas respectées, il y a un déphasage de π entre les deux champs.
Incidence de Brewster
Si θt + θi =
π
, le facteur de réflexion est nul. Ceci correspond à un angle d’incidence particulier appelé incidence de
2
Brewster :
n 
θ Brewster = arctg  2 
 n1 
Transmission d’énergie
r
Pour une onde plane, l’énergie incidente par unité de surface est obtenue en multipliant le vecteur de Poynting R de
l’onde par le cosinus de l’angle entre le vecteur de propagation et la normale à la surface de séparation. On obtient ainsi
les proportions d’énergie transmise ET et réfléchie ER.
r
r
k
H = vφε r ∧ E
k
r
r 1 r r* 1 ε r 2 k
R= E∧H =
E r
2
2 µ
k
En polarisation verticale :
ER
ET n2 cos θt 2
= RV 2 et
=
TV
EI
EI
n1 cos θi
En polarisation horizontale :
ET n2 cos θt
ER
= RH 2 et
=
TH 2
EI
EI
n1 cos θi
Incidence normale
n
Si θi → 0 alors θt → 0 et θt ≈ 1 θi
n2
On a alors :
ER  n1 − n2 
n −n

RV = RH = 1 2 ,
=
EI  n1 + n2 
n1 + n2
2
19/59
TV = TH =
ET
4 n1n2
2n1
=
,
EI
n1 + n2
(n1 + n2 )2
En incidence normale les plans verticaux et horizontaux sont indéterminés, il est normal que les coefficients soient les
mêmes.
Incidence rasante
Lorsque n2 > n1 , il y a une onde transmise quelque soit l’angle d’incidence. Si on considère le cas de l’incidence
rasante, ce qui correspond à la plupart des liaisons en visibilité au voisinage du sol, on a alors :
θi →
π
2
n
1
sin θt = 1 = en introduisant n comme le ratio des deux indices.
n2 n
1 

cos θt =  1 − 2  =
n 

On introduit alors α =
n2 − 1
n
π
− θi , sin θi ≈ 1 et cos θi ≈ α
2
D’où :
RV =
n 2 − 1 − n 2α
n 2 − 1 + n 2α
RH =
≈ 1−
2n 2α
n2 − 1
α − n2 − 1
α + n2 − 1
Angle limite, réflexion totale
L’angle n’est défini ∀θi que si n2 > n1 .
Si n1 > n2 , il n’y a une onde transmise que si l’angle d’incidence est inférieur à un angle limite θ L , avec :
n 
θ L = arcsin 2 
 n1 
Si l’angle d’incidence est supérieur à cet angle limite, il y a réflexion totale. En fait on peut montrer que l’onde réfléchie
reste une onde plane avec une modification de sa polarisation (celle ci pouvant passer de rectiligne à elliptique) et que
l’onde transmise est une onde dite évanescente qui se propage parallèlement à la surface de séparation.
4.3
La réflexion sur un obstacle
Lorsque le rayon de courbure de l’obstacle est grand par rapport à la longueur d’onde, il est possible de remplacer la
surface réfléchissante par son plan tangent au point de réflexion. Le champ incident est représentable par une onde
localement plane et on peut alors assimiler le phénomène de réflexion sur l’obstacle à la réflexion d’une onde plane sur
une surface plane. Les lois de la réflexion et de la réfraction établie précédemment s’étendent alors à la réflexion sur un
obstacle et l’on peut appliquer les formules de Descartes.
20/59
Ayant ainsi déterminé les directions des rayons réfléchis et réfractés par l’obstacle, il reste à déterminer les amplitudes
de ces différents champs. De la même manière que pour les directions on admet que l’on peut utiliser les formules de
Fresnel pour le cas de la réflexion d’une onde plane sur une surface de discontinuité plane.
4.3.1
Facteur de divergence
Cependant les considérations d’optique géométrique utilisent la notion d’énergie d’un rayon. Or cette notion n’a pas de
réalité physique et il faut en fait considérer un pinceau de rayons. Lors de la réflexion sur un obstacle, le coefficient de
Fresnel qui traduit le pourcentage d’énergie incidente réfléchie doit alors être multiplié par un coefficient correcteur qui
traduit la déformation du pinceau de rayons incidents lors de la réflexion. Ce coefficient dépend des propriétés de la
surface réfléchissante et des caractéristiques géométriques du faisceau incident.
Le calcul de ce coefficient est en général très compliqué. Un pinceau incident qui se réfléchit sur un obstacle convexe
(donc divergent) a une ouverture angulaire plus grande que s’il était réfléchi sur un plan.
L’énergie surfacique de champ réfléchi est donc plus petite et le coefficient de réflexion R obtenu par les formules de
Fresnel doit être multiplié par un coefficient D < 1 .
P
S
Ω1
Ω2
r2
r1
Le facteur de divergence s’écrit alors :
D=
Ω1
Ω2
Si on applique cette méthode à une réflexion sur le sol terrestre lui même, en considérant la terre comme une sphère
parfaite, le facteur de divergence s’écrit :
1
D=
1+
2r1r2
RT (r1 + r2 )cos θ
Dans cette expression, RT représente le rayon terrestre, r1 représente l’altitude de la source par rapport au sol, r2
représente l’altitude du point d’observation par rapport au sol et θ représente l’angle d’incidence. On constate que si r1
et r2 sont très faibles devant le rayon terrestre ce facteur de divergence est très proche de 1. Par contre pour des
transmissions satellites, r1 peut atteindre des valeurs importantes et le facteur D n’est plus égal à 1.
4.3.2
Critère de Rayleigh
Le facteur de divergence n’étant pas toujours facile à calculer, une approche qualitative peut être utilisée afin de
déterminer si les lois de la réflexion peuvent s’appliquer.
21/59
Pour savoir si une surface réfléchissante comportant un obstacle de hauteur h peut être considérée comme lisse ou non,
on s’intéresse à la différence de marche des rayons se réfléchissant au sommet et à la base de l’obstacle.
h
α
L’obstacle sur la surface réfléchissante de hauteur h introduit une différence de marche entre les rayons se réfléchissant
sur sa base et sur son sommet ∆ l = 2h sin α
D’où une différence de phase entre les deux rayons :
∆ϕ =
4π h
sin α
λ
Si le déphasage ∆ϕ reste faible, les deux rayons sont en phase et la surface peut être considérée comme parfaitement
plane (elle est dite spéculaire).
Si le déphasage ∆ϕ est égal à π, les deux ondes sont en opposition de phase et s’annulent. Il n’y a plus d’énergie dans
la direction de réflexion, toute l’énergie est diffusée dans d’autres directions.
Le critère de Rayleigh consiste à choisir un seuil ∆ϕ =
π
pour caractériser la surface.
2
La réflexion est considérée comme spéculaire pour l’incidence considérée si h <
λ
, elle est dite diffuse dans le
8 sin α
cas inverse.
De manière générale, le champ réfléchi par une surface rugueuse est la somme de deux composantes : une composante
spéculaire et une composante diffuse. La composante spéculaire se caractérise par la réflexion de l’onde incidente sur
une surface lisse. La composante diffuse est au contraire émise dans toutes les directions. Elle résulte des composantes
rayonnées par des points d’une zone beaucoup plus étendue que l’on appelle surface luisante.
On peut définir le coefficient de réflexion spéculaire par l’équation :
Rs = ρ s R
le terme ρ s est un facteur de réduction et le coefficient R est le coefficient de réflexion obtenu au moyen des formules
de Fresnel.
On définit aussi un coefficient de réflexion diffuse
Rd = ρd R
Le calcul de ces coefficients est difficile et s’obtient en considérant des modèles statistiques pour décrire la surface du
terrain.
Une de ces méthodes approchées consiste à considérer que les hauteurs h des irrégularités ont une distribution
gaussienne. On introduit alors ∆h comme étant l’écart type de la distribution des irrégularités. On confond ensuite les
22/59
deux types de réflexion et on considère qu’il faut multiplier le coefficient de réflexion par un terme correcteur ρ défini
de la manière suivante :
ρ=
 ∆h sin α 
−8 π2 

λ


e
∆h sin α
λ
ρ
1/100
0.99
1/32
0.93
1/16
0.73
1/8
0.29
1/4
0.0072
2
On peut constater, au regard de ces différentes formules établies, qu’une surface rugueuse en incidence normale peut
paraître lisse en incidence rasante.
4.4
La modélisation des multitrajets
Ce paragraphe aborde brièvement la modélisation type "signal" des canaux de propagations de type radiomobiles. Lors
de transmissions en environnement urbain, l'émetteur et le récepteur ne sont presque jamais en vue directe et le signal
reçu par le récepteur va être modélisé comme une somme discrète de trajets réfléchis (d'où la présence de ce paragraphe
dans ce chapitre). On se trouve alors confronté à modéliser le canal par sa réponse impulsionnelle, cette dernière variant
au cours du temps.
t = t0
t = t1
t = t 0 + τ 12
t = t 0 + τ 11
t = t0 + α
t = t2
t = t 2 + τ 23
t = t 2 + τ 21
La formalisation donne alors :
- signal transmis :
{
s( t ) = Re s 1 ( t )e j 2 πf ct
-
signal reçu :
}
x( t ) = ∑ α n ( t )s(t − τ n ( t ))
n
23/59
-
signal reçu en bande de base :
r( t ) = ∑ α n ( t )e j 2 πf c τn ( t ) s 1 (t − τ n ( t ))
n
d'où l'écriture du canal :
c( u ; t ) = ∑ α n ( t )e j 2 πf c τn ( t ) δ(u − τ n ( t ))
n
On voit apparaître deux variables temporelles u et t. c( u ; t ) représente la réponse impulsionnelle du canal à l'instant t.
Cette réponse impulsionnelle est une fonction du temps qui est noté u et elle s'étend sur une certaine durée.
Etude du cas particulier d'un signal non modulé : s 1 ( t ) = 1 ∀t
L'enveloppe complexe du signal reçu s'écrit alors :
r1 ( t ) = ∑ α n ( t )e j 2 πf c τn ( t )
n
ou encore :
r1 ( t ) = ∑ α n ( t )e jθn ( t ) avec θ n ( t ) = 2 πf c τ n ( t )
n
1
). Si on considère un grand nombre de trajets, le signal
fc
Le terme θ n ( t ) "tourne" très vite ( 2π si τ n change de
r1 ( t ) peut être considéré comme une somme de vecteurs complexes uniformément répartis entre 0 et 2π
Somme de trajets, sans trajet prépondérant
Le signal reçu r1 ( t ) peut alors être considéré comme une variable aléatoire gaussienne complexe centrée. Son module
r1 ( t ) = Re{r1 ( t )}2 + Im{r1 ( t )}2 suit alors une loi de Rayleigh (racine de la somme de deux variables gaussiennes
centrées de variance σ 2 au carré). On rappelle ici la densité de probabilité de Rayleigh :
pR ( r ) =
r
−r 2
e 2 σ avec r ≥ 0
2
σ
On ne pourra alors qu'estimer la probabilité d'observer un module du champ reçu supérieur à une valeur. Le bilan de
2
liaison deviendra donc statistique. Dans le cas où l'on considère qu'il existe un trajet prépondérant, le signal reçu reste
gaussien complexe mais n'est plus centré
Somme de trajets, avec un trajet prépondérant
24/59
Le module du champ reçu suit alors une loi de Rice :
pR ( r ) =
r
σ
2
(
− r 2 +s2
e
2σ2
)
 rs
I 0 
 σ2

 avec r ≥ 0 et I 0 fonction de Bessel

où s 2 = m12 + m 22 représente la somme des moyennes au carré des parties réelles et imaginaires de l'enveloppe
complexe. On retrouve Rayleigh pour m1 = m 2 = 0 .
Par extension on parlera finalement de canal de Rice et de canal de Rayleigh. Ces canaux sont à comparer au canal
AWGN. On notera essentiellement que les choix de forme d'onde sont adaptés à ces types de canaux.
25/59
5 La réfraction
Les formules développées jusqu'à maintenant ont considéré que les différents milieux étaient homogènes et isotropes.
En propagation radio cette hypothèse ne peut s'appliquer à l'atmosphère dont l'indice de réfraction n varie de manière
continue en fonction de la pression, de la température et de la composition de l'air. On rappelle que n =
εµ
et que
ε0 µ0
pour l'air µ = µ0 . Les caractéristiques de l'atmosphère se résument à sa constante diélectrique ε et à sa perméabilité
magnétique µ . On considère dans un premier temps que l'air n'est pas dissipatif et que ε et µ sont à valeurs réelles.
On considère aussi que l'air est un milieu non magnétique c'est à dire µ = µ 0 . L'indice de réfraction n de l'atmosphère
est alors égale à :
n=
ε
= εr
ε0
ε r étant proche de 1 on modifie l'équation précédente qui devient :
ε −1
n = 1 + ( εr − 1 ) ≈ 1 + r
2
On introduit en général le coindice N définit par :
N = ( n − 1 ).106
Enfin il est possible de relier la quantité ε r − 1 à la pression et à la température de l'atmosphère. Après plusieurs
développement on aboutit à la formule approchée de Smith et Weintraub :
N ≈ 77.6
Pd
e
e
+ 72 + 3.75.10 5. 2
T
T
T
dans cette expression Pd représente la pression d'air sec en hPa et T représente la température en °K.
En introduisant la variable P = Pd + e et en se limitant à un intervalle de température [− 40°C ,+40°C ]
La formule peut encore être simplifiée pour conduire à :
N ≈ 77.6
P
e
+ 3.73.10 5. 2
T
T
Cette formule du coindice en fonction de la pression et de la température permet de prédire son évolution en fonction de
l'altitude. Ainsi, partant du niveau du sol (alt 0 m), dans la plupart des cas on peut s'attendre à une diminution du
coindice lorsque l'altitude augmente du fait de la diminution de la pression. Cet effet sera en général prépondérant
devant la diminution de la température qui pour sa part joue en faveur d'une augmentation du coindice.
Lorsqu'on se limite au premier kilomètre de l'atmosphère on peut considérer un modèle de décroissance linéaire du
coindice en fonction de l'altitude :
N ( h ) = N ( sol ) +
dN
( h − hsol )
dh
Au dessus du premier km ce modèle est insuffisant pour traduire l'évolution du coindice et on lui préfère un modèle
exponentiel :
N ( h ) = N ( sol )e
−( h − hsol )
h0
Le terme h0 est un paramètre du modèle. Dans les régions tempérées il est choisi égal à 7.3 km.
26/59
Avec ce modèle, le gradient du coindice s'écrit :
dN
N( h )
=−
dh
h0
Ce modèle est valide jusqu'à une altitude d'environ 5 km. Cette variation de l'indice de réfraction conduit à modifier le
rayon terrestre pour prendre en compte la courbure des trajectoires des ondes radioélectriques. Certain modes guidés qui
ont lieu entre des altitudes correspondant à des indices particuliers peuvent voir le jour. Leur étude et analyse est
spécifique et n'est pas dans le cadre de cet aperçu général.
On admettra pour la suite de ce paragraphe que la variation de cet indice en fonction de l'altitude peut être résumée par
la formule approchée suivante :
n( h ) = 1 + 315.10 −6 .e−0.136 h
Expression dans laquelle l'altitude h est exprimée en km.
Compte tenu des faibles variations de cet indice on introduit souvent le coindice N défini de la manière suivante :
N = ( n − 1 ).106
Compte tenu de la formule précédente on obtient :
N ( h ) = 315.e −0.136 h
Cet indice est exprimé en unité N noté uN
Cette variation de l'indice a pour effet d'infléchir la trajectoire des ondes électromagnétique. Ainsi la trajectoire est
infléchie vers le sol lorsque l'indice de réfraction augmente quand on se s'éloigne du sol. La trajectoire s'éloigne du sol
lorsque l'indice diminue quand on se rapproche du sol.
θ1
Zone d'indice n
dθ
Zone d'indice n-dn
θ2
Lorsque l'indice n varie de manière continue, la loi de Descartes devient :
n sin θ = (n − dn )sin (θ + dθ)
La quantité n sin θ reste constante en fonction de l'altitude, la dérivée de cette quantité en fonction de h est donc nulle :
d
(n sin θ) = 0
dh
d'où :
dn
dθ
sin θ + n cos θ
=0
dh
dh
ou encore
27/59
dθ
−g
cotgθ =
dh
n
Expression dans laquelle g =
parcourt donc une distance
dn
représente le gradient d'indice en fonction de l'altitude. Sur une altitude dh , l'onde
dh
dh
cos θ
θ
dh
dθ
Rdθ
R
R
dθ
On a :
R dθ cos (θ + dθ) = dh
d'où, en considérant θ + dθ ≈ θ ,
R dθ =
et la courbure
dh
cos θ
1
dθ cos θ
1 − g sin θ
=
de l'onde vaut
, ou encore
dh
R
n
R
Pour des trajectoire perpendiculaires au gradient d'indice θ ≈
π
et dans l'atmosphère n ≈ 1 , la courbure des rayons est
2
approximativement égale à − g . On voit donc, qu'au signe près, la courbure des trajectoires est égale au gradient
vertical de l'indice de réfraction. Si le gradient vertical est constant, les trajectoires sont des arcs de cercle.
Tout se passe donc comme si les trajectoires des ondes parallèles au sol restaient rectilignes par rapport à une terre de
1
courbure   + g avec a qui représente le rayon terrestre (a = 6370 km ) . On introduit ainsi le rayon fictif de la terre,
a
qui est le rayon de courbure de la terre dans un espace où les trajectoires des ondes parallèles au sol sont des droites. Le
rayon fictif R f de la terre est alors :
Rf =
1
1
+g
a
L'atmosphère normale correspond à un rayon fictif de 8500 km
28/59
Discussion sur le gradient d'indice
•
1
Un gradient d'indice g = −157 unité N par km correspond à une terre plate. On a g = − .106 d'où
a
R f = ∞ . Les rayons émis horizontalement suivent des trajectoires parallèles au sol, la courbure due au
gradient d'indice est exactement identique à la courbure du rayon terrestre réel. On parle alors de
supraréfraction.
•
Un gradient d'indice g > −157 unité N par km correspond à une terre concave. Le rayon émis peut
éventuellement se propager à très grande distance par rebonds successifs sur des couches hautes de
l'atmosphère (si la fréquence porteuse utilisée le permet). On parle alors d'infraréfraction. Ce type de
propagation est relativement rare. Les atmosphères susceptibles de produire ce type de phénomènes se
rencontrent essentiellement au dessus des étendues d'eau ou de végétation uniforme.
•
Un gradient d'indice g < −157 unité N par km correspond à une terre convexe. Ce type d'indice est celui que
l'on rencontre le plus fréquemment. On parle alors de guidage.
g=0
0 > g > - 157 uN
g = - 157 uN
g < - 157 uN
29/59
6 La diffraction
6.1
Généralités
L’approche géométrique développée jusqu’ici a considérée que lorsque une onde incidente rencontre un obstacle le
champ incident est arrêté par cet obstacle et que la présence de celui ci crée deux nouveaux champs, un champ réfléchi
et un champ transmis. Une autre manière de décrire ce phénomène consiste à considérer que lorsque l’onde incidente
rencontre un obstacle, les charges de l’obstacles sont mises en mouvement et émettent à leur tour une onde
électromagnétique de même pulsation que l’onde incidente. On observe finalement la superposition de ces deux
champs. Ainsi dans le cas où l’obstacle serait un écran parfaitement opaque on pourrait considérer que les charges
oscillantes de l’écran créent un champ qui est, en tous points derrière l’écran, en parfaite opposition de phase avec le
champ incident. La superposition des deux champs s’annule donc, ce qui explique qu’en lumière visible il fait sombre
derrière l’écran.
Si on fait un léger trou au centre de l’écran on supprime donc les oscillateurs qui se trouvaient en cette position. Ils ne
rayonnent donc plus un champ en opposition de phase derrière l’écran. Si l’on admet que leur contribution était
essentiellement concentrée à proximité de leurs positions on explique ainsi pourquoi l’on voit apparaître, en lumière
visible, un éclairement autour du trou réalisé.
6.2
Zones de Fresnel
Principe de Huygens-Fresnel
Le principe de Huygens est une description géométrique de la propagation d’une onde. Supposant connu le front d’onde
à un instant donné, Huygens postule que tous les points de cette surface peuvent être regardés comme des sources
d’ondes secondaires
Considérons une onde plane arrivant sur la gauche suivant Oz et cherchons à calculer l’éclairement en un point Q. Pour
cela on considère les sources secondaires du plan Π du front d’onde. L’éclairement en Q est obtenu en intégrant les
contributions de ces sources sur le plan Π.
→
r
Le champ, reçu en Q, d’une source secondaire, placée sur le plan Π, en un point M tel que MQ = r s’écrit :
E0 e
(
r
r
j ωt − k MQ .r
)
→
r
Ce champ s’ajoute au champ, reçu en Q, d’une source secondaire, placée sur le plan Π ,en O tel que OQ = r0 s’écrit :
E0 e
(
r r
j ωt − kOQ .r0
)
Les deux champs sont en opposition de phase si :
r
r r r
k MQ .r − kOQ .r0 = ± π
r
r
r
Dans ce modèle les vecteurs d’onde k sont orientés dans le même sens que les vecteurs r et r0 . On rappelle que
k=
2π
. On en déduit donc que la phase des contributions en Q s’inverse pour :
λ
2π
(r − r0 ) = mπ
λ
30/59
r
r
avec la convention r = r et r0 = r0
On voit donc apparaître des couronnes circulaires concentriques sur le plan Π. Les sources contenues dans une
couronne ont des contributions dont la phase est de même signe en Q.
M
r
Mm
ρm
O
Q
r0
M’m
Onde plane
incidente
z
Plan Π
Ces couronnes successives constituent ce que l’on appelle les zones de Fresnel. L’intégrale de diffraction au point Q
peut ainsi s’exprimer comme une somme sur les contributions des différentes zones de Fresnel.
Le rayon ρm de la mième zone de Fresnel est donné par :
2
mλ 

2
ρm =  r0 +
 − r0
2 

dans le cas où mλ << r0 on utilise l’approximation suivante :
ρm ≈ mλr0
La surface S m de la mième zone de Fresnel est donnée par :
(
)
S m = π ρm 2 − ρm −12 = πλr0
Toutes les zones de Fresnel ont la même surface
Diffraction par une ouverture circulaire
Considérons l’éclairement obtenu en un point de l’axe du fait de la diffraction par une ouverture circulaire de rayon R.
Lorsque la distance r0 du point d’observation au plan d’ouverture est très grande, l’ouverture ne recouvre qu’une petite
partie de la première zone de Fresnel et l’amplitude résultante est faible. Lorsque le point d’observation se rapproche,
r0 décroit et l’ouverture recouvre un nombre croissant de zones de Fresnel. L’intensité du champ reçu augmente
jusqu’à ce qu’il y ait recouvrement parfait de la première zone de Fresnel puis cette intensité oscille au fur et à mesure
que de nouvelles couronnes sont recouvertes par l’ouverture.
Exemple, considérons une ouverture circulaire de rayon r = 1 cm avec un fréquence porteuse f = 3 GHz , ce qui
correspond à λ = 10 cm
-
Si le point d’observation se trouve à une distance r0 = 100 m , l’ouverture est exactement égale à la première zone
de Fresnel, r = ρ1
31/59
-
Si le point d’observation se trouve à une distance r0 = 50 m , l’ouverture est exactement égale aux deux premières
zones de Fresnel, r = ρ2
-
Si le point d’observation se trouve à une distance r0 = 10 m , l’ouverture est exactement égale aux dix premières
zones de Fresnel, r = ρ10
6.3
Applications aux Faisceaux Hertziens
Le dimensionnement des liaisons Hertziennes utilise la notion de zone de Fresnel qui vient d’être développée. Il faut
cependant considérer maintenant une source ponctuelle. On considère donc les déphasages entre la source et les sources
secondaires du plan Π et les déphasages des sources secondaires vers le point d’observation.
M
r1
r2
Mm
ρm
E
O
Q
r0
r'1
M’m
r'2
Plan Π
En utilisant les mêmes développements que précédemment, la différence de marche entre le chemin direct EOQ et le
→
→
chemin EMQ entraîne un déphasage des deux champs égal à : k (r1 + r2 − r0 ) , avec r1 = EM et r2 = MQ
La mième zone de Fresnel est définie comme l’ensemble des points M du plan Π tels que :
(m − 1)π < k (r1 + r2 − r0 ) < mπ
ou encore
(m − 1) λ < r1 + r2 − r0 < m λ
2
2
Lorsque le plan Π se déplace de la source au point d’observation la m
ième
zone de Fresnel décrit un ellipsoïde appelé
ellipsoïde de Fresnel.
Ellipsoïde de Fresnel
Mm
E
ρm
O
Q
M’m
Plan Π
32/59
Lors de la mise en place d’un faisceau Hertzien on considère que la majeure partie de l’énergie est transmise dans le
premier lobe de Fresnel. On analyse donc si, en fonction de la fréquence de la liaison et des hauteurs des antennes, un
obstacle du sol pénètre dans ce premier ellipsoïde. Si c’est le cas, la liaison est considérée comme perturbée et il faut
analyser plus finement les effets dus à la diffraction par cet obstacle. Dans le cas contraire, la liaison est considérée
comme de bonne qualité et elle est dite en visibilité. Pratiquement, la parade en cas d’obstacle, consiste à déplacer les
antennes ou à les surélever.
M
x1
E
x2
ρ
d1
d2
Q
Lorsque l'on est loin des points E et Q les distances x1 et x 2 peuvent être approchées par :
x1 =
d 12
2
2
1ρ
1ρ
2
2
+ ρ ≈ d1 +
et x 2 = d 2 + ρ ≈ d 2 +
2d
2d
2
1
2
Le rayon de l'ellipsoïde est alors donné par :
2πf
∆x
= π avec ∆x = x1 − x 2
c
d'où :
ρ=
λd 1 d 2
d1 + d 2
Exemples
Dans le cas d’une liaison Hertzienne, le rayon ρ du premier ellipsoïde de Fresnel est maximal à égale distance de
l’émetteur et du récepteur.
ρ
d
Preuve :
On pose d 1 = x et d 2 = d − x , d'où :
ρ( x ) =
∂ρ( x ) 1  λx(d − x ) 
λx(d − x )
d'où
= 

d
∂x
2
d

−0.5
λ(d − 2 x )
d
33/59
La solution x = d / 2 annule la dérivée. On peut facilement remarquer que cette solution correspond à un maximum de
ρ( x ) . Cette valeur maximale du rayon de l'ellipsoïde est donc donnée par : ρ max =
1
λd avec d : distance entre
2
l’émetteur et le récepteur.
Quelques valeurs pour une distance d = 50 km entre l’émetteur et le récepteur :
Fréquence
Longueur d’onde
ρ1max
600 THz
0.5 µm
0.08 m (lumière)
6 GHz
5 cm
25 m
60 MHz
5m
250 m
600 kHz
500 m
2.500 m
Les ondes centimétriques peuvent donc, sur des distances de quelques dizaines de km, être transmises en visibilité, à
condition d’utiliser des pylônes ou de bénéficier d’une configuration adéquate de terrain. Pour les ondes métriques ou
plus longues, il est en pratique impossible de dégager le premier ellipsoïde de Fresnel. Les liaisons à ces fréquences ne
sont donc jamais en visibilité.
34/59
6.4
Diffraction par un obstacle
Lorsque qu'un obstacle pénètre le premier ellipsoïde de Fresnel le calcul de l'affaiblissement se fait par une méthode
approchée qui ne considère que le profil de l'obstacle en modélisant ce dernier comme une forme simple.
Diffraction par une lame de couteau.
Le cas le plus simple consiste à modéliser l'obstacle par une lame de couteau
d2
θ
R
α2
h
d1
α1
E
On note d1 la distance de l'émetteur au sommet de l'obstacle, d 2 la distance du sommet de l'obstacle au récepteur et h
la distance du sommet de l'obstacle au trajet direct de l'émetteur au récepteur.
On en déduit un paramètre noté v qui peut s'écrire de différentes manières :
v=h
2 1
1 
 +


λ  d1 d 2 
v=ε
v=ε
2hθ
λ
2d
α1α 2
λ
Le paramètre h est positif si l'obstacle se trouve sur le trajet direct. Il est négatif si l'obstacle n'intercepte pas le trajet
direct mais qu'il pénètre cependant dans le premier ellipsoïde Fresnel.
On note P0 la puissance reçue en l'absence d'obstacle et P la puissance reçue avec présence de l'obstacle. Le rapport
des deux puissances s'obtient alors au moyen de la formule suivante :
2
2
P 1  1
 1
 
=  − F1( v )  +  − F2 ( v )  
P0 2  2
 2
 

Dans cette expression les fonctions F1 et F2 représentent les intégrales de Fresnel :
v
F1( v ) = ∫ cos
0
v
π t2
π t2
dt et F2 ( v ) = ∫ sin
dt
2
2
0
35/59
On introduit aussi :
J ( v ) = −10 log10
P
.
P0
Lorsque le paramètre v > −1 , cet affaiblissement est approché par la formule :
J ( v ) = 6.4 + 20 log  v 2 + 1 + v 


Lorsque le paramètre v > 1 , cet affaiblissement est approché par la formule :
J ( v ) = 13 + 20 log10 ( v )
Diffraction par un obstacle arrondi
θ
R
d1
d2
h
obstacle
α1
α2
Emet
Récept
En plus des paramètres précédents, on introduit le rayon de courbure du sommet de l'obstacle. On calcule alors deux
nouveaux paramètres :
1/ 2
 1
1 

ρ =  +

 d1 d 2 
1/ 6
 λR 2 


 π 


1/ 3
 πR 
χ=

 λ 
θ
L'atténuation (en dB) par rapport à une transmission sans obstacles s'obtient alors au moyen de la formule approchée
suivante :
A = −10 log10
P
= J ( v ) + T ( ρ ) + Q( χ )
P0
avec
J ( v ) = 13 + 20 log10 ( v )
T ( ρ ) = 7.2ρ − 2ρ2 + 3.6 ρ3 − 0.8ρ4



2
166  1 + χ + χ − 1  si χ ≥ 0



8 80
Q( χ ) = 


 T( ρ )
si χ < 0
χ

ρ
36/59
L'affaiblissement ainsi obtenu est toujours supérieur à l'affaiblissement d'un obstacle en lame de couteau. On notera la
continuité des modèles dans le cas R = 0 pour lequel on a ρ = 0 et χ = 0 .
6.5
Diffraction par plusieurs obstacles
On considère enfin le cas de plusieurs obstacles entre l'émetteur et le récepteur. On utilise alors les formules approchées
établies précédemment. Deux méthodes dites d'Epstein et Peterson pour la première et de Deygout pour la deuxième
peuvent être utilisées.
•
Méthode Epstein Peterson
A
B
h1
E
h2
A'
B'
R
La méthode d'Epstein Peterson décompose la diffraction par les différents obstacles comme la somme de plusieurs
diffractions par des obstacles simples. Dans le cas d'une configuration avec deux obstacles comme celle qui est
présentée sur la figure ci-dessus, la méthode considère un premier trajet de l'émetteur note E au sommet du deuxième
obstacle, noté B. Le premier ellipsoïde de ce trajet rencontre l'obstacle AA' et l'on calcule le coefficient d'affaiblissement
correspondant. On note AE 1 cet affaiblissement, il est calculé en considérant soit ce premier obstacle comme un
obstacle en lame de couteau, soit en le considérant comme un obstacle arrondi.
On considère ensuite un deuxième trajet allant du sommet du premier obstacle, noté ici A, jusqu'au récepteur R. On
calcule l'affaiblissement apporté par l'obstacle BB' sur ce trajet et l'on en déduit un affaiblissement noté AE 2 .
L'affaiblissement total est égal au produit en linéaire des affaiblissements ou à leur somme en dB.
Atotal Epstein = AE 1 + AE 2 ,( en dB )
•
Méthode de Deygout
La méthode de Deygout procède aussi en décomposant l'obstacle en somme de plusieurs obstacles simples mais la
procédure suivie pour déterminer les affaiblissement est légèrement différente. Cette méthode considère uniquement des
obstacles en lame de couteau. Elle analyse indépendamment tous les obstacles entre l'émetteur E et le récepteur R. Elle
sélectionne l'obstacle qui donne le coefficient v le plus important. La méthode calcule alors l'affaiblissement que
produirait cet obstacle s'il était seul. Sur la figure ci dessous, l'obstacle le plus pénalisant est AA' et sa hauteur apparente
pour la liaison E-R est égal à h1 . On note AD1 l'affaiblissement causé par cet obstacle.
37/59
A
B
h2
h1
E
A'
B'
R
Le sommet de cet obstacle est alors considéré comme soit comme un point de réception, soit comme un point
d'émission. On réitère la procédure précédente en cherchant l'obstacle dont le paramètre v est le plus important. Dans
l'exemple ci dessus il s'agit alors de l'obstacle BB'. On note l'affaiblissement AD 2 qu'il entraîne. La procédure s'arrête
lorsque tous les obstacles ont été pris en compte.
Ici on obtiendra :
Atotal Deygout = AD1 + AD 2
Les deux méthodes de modélisation de la diffraction apportée par des obstacles sont utilisées par les outils de prédiction
de propagation. Elles ne donnent pas forcément les mêmes valeurs. Dans l'exemple proposé ci dessus, on a AE 2 = AD 2
mais AD1 ≠ AE 1
6.6
6.6.1
Diffraction Sphérique et diffraction sol
Formules générales
Pour certaines transmissions il est parfois nécessaire de considérer la diffraction des ondes autour de la terre. Celle-ci
peut être exprimée au moyen de la formule suivante :
∞ e − jτ n ζ
E
= 2πζ ∑
.g n (he ).g n (hr )
E0
n =1 δ + 2 τ n
 2π
avec : ζ = 
 λR 2



1/ 3
 2 πR 
d et δ = 

 λ 
2/3
On introduit aussi la quantité : q = ζ δ =
C0
2π
C0 d
λ
Avec :
E module du champ en un point
E 0 module du champ en espace libre au même point
he et hr hauteurs des antennes d'émission et de réception
λ longueur d'onde
R rayon de la Terre (que l'on peut remplacer par le rayon équivalent pour tenir compte de la réfraction atmosphérique)
d distance de l'émetteur au récepteur calculée le long de l'arc de cercle qui les relie.
38/59
C0 dépend de la nature du sol et de la longueur d'onde :
C0 = C 0V =
η−1
η2
en polarisation verticale
C0 = C 0 H = η − 1 en polarisation horizontale
avec η qui représente la permittivité complexe du sol et qui s'écrit : η = ε − j60 σ
Les fonctions g n (h) forment une suite de fonctions complexes, dont on peut trouver des approximations dans certains
domaines. Ainsi, pour h faible, la fonction g n (h) est indépendante de n et elle est donnée par l'expression approchée
linéaire suivante :
g n ( h) = 1 + j
pour h ≤ H 1 =
λ
2π
1
C0
pour H 1 ≤ h ≤ H 2 =
2π
C0 h
λ
, la fonction g n (h) est pratiquement constante et égale à l'unité
1  Rλ2
2  π 2




1/ 3
, la fonction g n (h) est sensiblement proportionnel à h
pour H 2 ≤ h , la fonction g n (h) est exponentielle en h
On voit donc que H 1 dépend de la nature du sol et H 2 de la courbure terrestre. Pour divers types de sol et pour les
polarisations verticales et horizontales. On constate qu'en polarisation horizontale, la hauteur H 1 est inférieure à la
longueur d'onde, alors qu'en polarisation verticale, H 1 peut avoir des valeurs très grandes, particulièrement au dessus
de la mer.
Pour une fréquence et un sol donnés, si les hauteurs he et hr sont l'une et l'autre supérieures à la valeur de H 1 qui
correspond à la polarisation verticale, le champ est pratiquement le même pour les deux polarisations. En particulier, si
he et hr sont supérieures à la valeur de H 1 qui correspond à la polarisation verticale sur mer, le champ ne dépend
plus de la nature du sol ni de la polarisation.
Si l'on considère des hauteurs he et hr d'abord supérieures à H 1 puis progressivement décroissantes, le champ
décroît, mais, en polarisation verticale il cesse de décroître à une hauteur plus élevée qu'en polarisation horizontale et il
conserve donc jusqu'au sol une valeur plus grande. Cet effet a surtout une grande importance pour les fréquences
basses, au point que ces fréquences ne peuvent être utilisées au voisinage du sol qu'en polarisation verticale.
Les termes de la série
∞ e − jτ n ζ
E
= 2 πζ ∑
.g n (he ).g n (hr ) sont assez rapidement décroissant et lorsque la distance
E0
n =1 δ + 2 τ n
est grande, on peut donc se limiter au premier terme.
39/59
Formules approchées lorsque he et hr sont inférieures à H 1 et H 2
E
e − jτ1ζ
≈ (2πζ )1 / 2
2 E0
δ + 2τ 1
les quantités δ et τ 1 sont complexes et dépendent de la longueur d'onde.
En général on néglige l'affaiblissement du à la courbure terrestre pour les distances faibles de l'ordre de grandeur
suivant : d e ≈ 10.λ1 / 3
Formules approchées lorsque he et hr sont supérieures à H 1
E
e − jτ1ζ
≈ 2 1 / 3 (2 πζ )1 / 2
g (he ).g (hr )
2 E0
δ
6.6.2
Formules approchées pour la diffraction sol
A chaque fois que les ondes électromagnétiques passent au voisinage du sol celui ci intervient sur la propagation. L'effet
est particulièrement important dans le cas des liaisons terrestres dont l'ensemble du trajet est au voisinage du sol. Il est
aussi important pour les liaisons satellites pour la partie concernant la station terrienne. La caractéristique principale du
sol est sa permittivité diélectrique ε. En général on considère le sol comme non magnétique : µ = µ 0 . La permittivité
dépend grandement du taux d'humidité du sol considéré. L'atténuation due à la diffraction par le sol peut-être approchée
par la formule suivante :
A = F ( X ) + G (Ye ) + G (Yr )
F ( X ) = −(11 + 10 log( X ) − 17.6 X )
G (Y ) = −17.6 Y − 1.1 + 5 log(Y − 1.1) − 8
pour Y > 2
G (Y ) = −20 log(Y + 0.1 Y 3 )
pour Y < 2
Ye correspond à l'antenne d'émission et Yr à l'antenne de réception. Le paramètre X est donné par la formule :
 π
X = 
 λa 2



1/ 3
d
avec : λ : longueur d'onde, d : longueur de la liaison, h : hauteur d'antenne, a : rayon terrestre équivalent
Le paramètre Y est donné par la formule :
 π2 

Y = 2
 λ2 a 


1/ 3
h
40/59
7 La diffusion
L’encombrement du spectre Hertzien et le développement de nouveaux services de télécommunications conduit les
opérateurs soit :
•
à utiliser des fréquences de plus en plus élevées,
•
à utiliser dans une même bande de fréquence deux polarisations orthogonales.
Il est alors très important de prendre en compte les imperfections du canal de propagation. Au dessus de 1 GHz ce canal
a plusieurs effets. Sur une liaison sol-sol ou sol-satellite, les ondes électromagnétiques ne se propagent pas dans le vide.
Le milieu atmosphérique est constitué de gaz qui ont des propriétés d'absorption particulières en fonction de la
fréquence. Le milieu est aussi constitué de particules en suspension, ces dernières pouvant être des gouttes d’eau, des
poussières, des grains de sable, ...etc. Toutes ces particules ont pour effet d’atténuer l’onde électromagnétique mais
aussi de la déphaser et de modifier sa pureté de polarisation. Tous ces effets sont regroupés sous le terme d’effets de
diffusion.
7.1
7.1.1
Aspects macroscopiques
Diffusion troposphérique
Les liaisons troposphériques vont utiliser les phénomènes de diffusion pour établir une liaison entre un émetteur et un
récepteur qui ne sont pas en visibilité.
volume commun aux deux
faisceaux d'antennes
Le niveau moyen reçu est lié principalement aux valeurs moyennes du gradient vertical de l'indice de réfraction dans le
volume commun aux faisceaux des antennes. La comparaison d'un grand nombre de mesures a conduit à la formule
suivante :
A = 30 log F + 30 log d + 1.5 g + 102
A affaiblissement entre antennes en dB
F fréquence en MHz
d distance en km
g représente le gradient d'indice dans le volume commun en unité N par kilomètre.
Cependant comme on ne connaît pas toujours les gradients d'indice de réfraction en altitude, on ne peut pas utiliser cette
formule et il est utile de tracer des réseaux de courbes, valables chacun dans un climat donné. Ces courbes supposent
41/59
que les antennes sont dégagées et que le faisceau est horizontal. Lorsque ces conditions ne sont pas respectées, les
courbes peuvent être utilisées mais avec une distance équivalente :
d e = d + 8.5(θ 1 + θ 2 )
d en km
θ1 et θ2 angles en milliradians
Enfin, compte tenu du fait que la surface de l'onde dans l'ouverture de l'antenne de réception n'est pas une onde plane
mais possède des irrégularités d'amplitude et de phase, il est nécessaire de réduire le gain des antennes au moyen de la
formule suivante :
G eff = (G e + G r )e
 G + Gr 
− e

 148 
4
 G + Gr 
1+ e

 148 
4
Exemple typique de couples fréquences - antennes :
Fréquence
300 MHz
3 GHz
7.2
7.2.1
Diamètre
antenne
30 m
3m
Aspects microscopiques
Diffusion par une particule isolée
P
z
r
ks
ki
y
E0
x
On considère une onde plane polarisée linéairement, on place le centre du repère au centre de la particule et on écrit le
→
r
champ reçu en un point P distant, OP = r . Ce champ sera la somme de deux composantes : une composante due au
champ incident et une composante due au champ diffusé par la particule. On admet que le champ diffusé par la particule
a une structure d’onde sphérique avec un vecteur d’onde :
r
r
k s = k0 r
r
Le champ incident s’écrit donc :
r r
r
r
E i ( r , t ) = E 0 e j (ωt − ki .r )
42/59
et le champ diffusé :
r
r r
e j (ωt −k0 r )
E s ( r ,t ) = E 0 f ( k s , k i )
jk0 r
r
Le terme f ( k s ,k i ) est un vecteur complexe appelé amplitude de diffusion.
Le champ électromagnétique total s’écrit donc :
r
r
r
E( r ,t ) = Ei ( r ,t ) + Es ( r ,t )
r
r
r
H ( r ,t ) = H i ( r ,t ) + H s ( r ,t )
Le vecteur f ( k s ,ki ) est un vecteur généralement complexe appelé " amplitude de diffusion ".
On introduit aussi :
•
La section efficace d'absorption σa qui est homogène à une surface et qui est définie comme le rapport entre
l'énergie absorbée par la particule et l'énergie incidente par unité de surface.
On rappelle que l'énergie incidente par unité de surface est donnée par la norme du vecteur de Poynting :
r 1 r r
W
R = E ∧ H . En introduisant l'énergie absorbée Wa , la section efficace d'absorption s'écrit alors : σ a = ra
2
R
•
La section efficace de diffusion σ s qui est homogène à une surface et qui est définie comme le rapport entre
E
l'énergie diffusée par la particule et l'énergie incidente par unité de surface : σ s = rs
R
•
La section efficace d'extinction σex définie comme la somme des sections efficaces d'absorption et de
diffusion : σex = σ a + σ s
Diffusion de Rayleigh
Lorsque la taille des particules diffusantes est très inférieure à la longueur d'onde et lorsque ces particules sont de forme
sphérique, l'approximation de Rayleigh permet de calculer les sections efficaces d'absorption et de diffusion. En
introduisant ainsi l'indice de réfraction m = ε r du diffuseur, il vient :
σa = k0 Im( ε r )
2
3
m2 + 2
V
et
(
)
2
3k 4 m 2 − 1
σs = 0
V2
2π m 2 + 2
7.2.2
Diffusion par un ensemble de particules
Dans les applications de télécommunications on s'intéresse en général aux phénomènes de diffusion par un nuage de
particules. La formalisation du problème est alors difficile et elle est liée à la densité des particules diffusantes. Si cette
densité est faible on considère approximativement que l'onde va rencontrer M particules diffusantes et que l'énergie
diffusée est M fois celle d'une particule isolée. En réalité chaque particule est exposée au champ incident et au champ
diffusé par les autres particules et le calcul est plus complexe à mener.
43/59
On introduit alors un coefficient effectif d'atténuation linéique noté keff et l'on considère plus globalement que
l'intensité de l'onde est atténuée par un facteur :
e
− k eff L
Expression dans laquelle L représente la longueur du trajet radioélectrique dans le nuage de particules diffusantes.
7.3
Application, atténuation en non visibilité
Considérons un volume V de particules diffusantes. Ces dernières sont aléatoirement distribuées avec une densité n.
On considère un émetteur ayant une antenne de gain Ge .
On considère un récepteur n'étant pas en vue directe de l'émetteur et regardant dans la direction du nuage de particules
diffusantes. L'antenne de ce récepteur a un gain Gr et une surface de réception équivalente.
Le nuage de particules diffusantes est à une distance r1 de l'émetteur et r2 du récepteur. Ces distances sont grandes par
rapport à la longueur d'onde de la fréquence porteuse afin que les fronts d'onde puisse être considérés comme plan.
Nuage de particules diffusantes
r2
r1
ks
ki
On note Pe la puissance rayonnée par l'émetteur. Le flux de puissance par unité de surface s'écrit alors :
φi =
Ge Pe
4 πr12
Ce flux va être diffusé par le nuage de particule. Le flux diffusé par unité de surface dans la direction du récepteur
s'écrit :
φs =
r r r 2
f (k s , ki )
k 02 r22
φi
r r r
On retrouve ici le vecteur f ( k s , ki ) appelé "amplitude de diffusion" qui a été introduit précédemment. Ce vecteur
intègre la direction de diffusion et c'est la raison pour laquelle on ne retrouve pas de division par 4 π dans l'équation
donnant le flux diffusé en fonction du flux incident.
Considérons un petit volume dV d'épaisseur dx et de surface dS du nuage diffusant. Ce petit volume comporte donc
n.dx.dS particules diffusantes. En supposant que la densité de particules est faible et que l'on peut se placer dans
44/59
l'hypothèse simple énoncée lors du paragraphe précédent pour laquelle, le champ diffusé est la somme des champs
diffusé par les particules rencontrées, la puissance reçue par le récepteur s'écrit alors :
r r r 2
f ( k s , ki ) G G λ2
e
r
dPr =
Pe ndxdS
k02 r22
4 πr12 4 π
On introduit parfois la section efficace de diffusion bistatique :
r r r 2
f ( k s , ki )
r r
σbi ( k s , ki ) = 4 π
k02
l'équation précédente devient alors :
dPr =
r r
σbi ( k s , ki )GeGr λ2
(4 π)3 r12 r22
Pe ndxdS
En considérant le volume de diffusion petit devant les distances r1 et r2 la puissance totale reçue s'écrit :
Pr = Pe ∫
V
r r
σbi ( k s , ki )GeGr λ2
(4 π)3 r12 r22
ndV
Cette équation est appelée l'équation du radar.
45/59
7.4
Application, atténuation en visibilité
Considérons un milieu homogène comprenant n diffuseurs identiques par unité de volume. Supposons qu'une onde
incidente, se propageant dans la direction Ox ait un flux de puissance par unité de surface φ( x )
ki
x
O
dx
On considère une tranche d'épaisseur dx du nuage de particules diffusantes. Cette tranche contient donc n.dx
particules par unité de surface. En utilisant les sections efficaces d'absorption et de diffusion définies précédemment, on
constate que la variation de flux incident lors de la traversée d'une épaisseur dx du nuage va s'écrire :
dφ( x ) = −φ( x )( σa + σ s )n.dx
On peut reconnaître la section efficace d'extinction σex et l'intégrale de cette équation sur l'épaisseur du nuage donne
finalement :
dφ( x )
= − σ ex n .dx
φ( x )
d'où :
x
Ln (φ( x )) = − ∫ σ ex n .du + Ln (φ( 0 ))
0
soit finalement :
x
φ( x ) = φ( 0 )e
− ∫ n .σ ex du
0
x
La quantité τ( x ) = ∫ n.σex du est appelée profondeur optique. Elle se mesure en Népers. Dans les bilans de liaison
0
l'atténuation A( x ) est calculée en dB :
A( x ) = 10 log10
7.5
φ( x )
= 4.34 τ( x )
φ( 0 )
La dépolarisation
Lorsqu'une onde se propage dans un milieu peuplé de diffuseurs non sphériques elle voit sa polarisation se modifier au
fur et à mesure de sa progression. Cet effet est très gênant pour les systèmes de télécommunications qui transmettent sur
les deux polarisations. On peut rencontrer ce type de configurations avec des polarisations linéaires, c'est notamment le
cas pour certains faisceaux Hertziens, ou avec des polarisations circulaires ou elliptiques, en particulier en transmission
satellites. On se restreindra ici au cas de polarisations linéaires horizontales ou verticales. Les autres polarisations se
déduisant du cas linéaire par projection.
46/59
Nuage de particules dépolarisant
EVV
Ev
EHV
ki
x
EVH
EH
EHH
dx
r
La dépolarisation se traduit par le fait que la composante horizontale EH du champ électrique avant traversée du nuage
r
va se retrouver en partie sur l'axe vertical après la traversée. On note EHV cette composante. De la même manière la
r
r
composante verticale du champ électrique EV va se retrouver en partie sur l'axe horizontal. On note EVH cette
composante.
On définit alors deux facteurs de découplage de polarisation, appelé crosspolarization discrimination en anglais et qui
sont notés XPDH et XPDV
Ils s'obtiennent en dB par les formules suivantes :
XPDH = 20 log10
EHH
EHV
XPDV = 20 log10
EVV
EVH
On définit aussi deux facteurs d'isolation, appelés crosspolarization isolation et notés XPI H et XPIV . Ils sont définis
pour des puissances émises égales sur les deux polarisations.
XPI H = 20 log10
E HH
EVH
XPIV = 20 log10
EVV
EHV
Les facteurs de découplage sont simples à mesurer puisqu'une seule polarisation étant émise, son niveau absolu n'influe
pas sur la mesure. Le facteur d'isolation est plus délicat à mesurer car il faut s'assurer que les niveaux émis sur les deux
polarisations sont identiques sous peine d'introduire un biais. En revanche, il traduit mieux l'interférence entre les deux
canaux de propagation. Ces facteurs de crosspolarisation sont d'une importance capitale pour l'analyse des bilans de
liaison des systèmes de télécommunications dans lesquels ils sont toujours rencontrés. Une partie du débat important sur
les avantages du CDMA par rapport au TDMA est lui même basé sur des considérations les faisant intervenir.
On définit aussi les termes de composantes copolaires et de composantes contrapolaires.
r
Si on considère le cas d'un polarisation horizontale (onde TE) le champ émis est EH , la composante copolaire est alors
r
r
EHH et la composante contrapolaire est EHV .
47/59
r
Si on considère le cas d'un polarisation verticale (onde TM) le champ émis est EV , la composante copolaire est alors
r
r
EVV et la composante contrapolaire est EVH .
7.6
7.6.1
Diffusion et absorption par la pluie
Absorption par l'atmosphère
Certaines fréquences sont absorbées par l'oxygène ou par la vapeur d'eau. L'oxygène absorbe ainsi un certain nombre de
raies qui se trouvent à des fréquences entre 50 et 70 GHz ainsi qu'une raie isolée à 118.74 GHz.
Il est possible d'exprimer au moyen d'une formule approchée le coefficient d'absorption linéique γ o2 de l'Oxygène :
γ 02



6 ,09
4 ,81
+
10 −3 f 2 7 ,19.10 − 3 + 2
 pour f < 57 GHz
2
f + 0 ,227 ( f − 57 ) + 1,5 


=

 −3
0 ,265
0 ,028
2
−7
+
 pour f > 57 GHz
10 ( f + 198 ) 3 ,79.10 f +
( f − 63 )2 + 1,59 ( f − 118 )2 + 1,47 


Cette formule est valable pour une pression de 1013 hPa et pour une température de 15°C et elle fournit le coefficient
d'absorption linéique γ o2 en dB/km.
7.6.2
Absorption par la vapeur d'eau
La vapeur d'eau absorbe trois raies aux fréquences 22.2, 183.3 et 325.4 GHz.
Il existe aussi une formule approchée pour évaluer cette absorption :

 2
3,6
10 ,6
8 ,9
γ H 2O = 10 − 4 .0.05 + 0.0021ρ +
+
+
f ρ
2
2
2
( f − 22 ,2 ) + 8 ,5 ( f − 183,3 ) + 9 ( f − 325 ,4 ) + 26 ,3 

Expression dans laquelle ρ représente la concentration de la vapeur d'eau en g/m3
γ dB / km
10
2
H2O
O2
101
1
10-1
10-2
f GHz
1
10
100
350
48/59
7.6.3
Les nuages
Constitués de plusieurs centaines de particules d'eau par cm3, ils provoquent dans certaines gammes de fréquence des
atténuations importantes sur les ondes radioélectriques. Les particules d'eau sont général de petites tailles
(diamètre < 100 µm).
7.6.4
La pluie
La pluie est le phénomène le plus perturbant du point de vue de la propagation. Les gouttes d'eau sont en général
considérées comme sphériques et leurs dimensions peuvent atteindre un diamètre de 2 mm. Elles ont pour effet
d'atténuer, de diffuser et d'altérer la polarisation des ondes.
La pluie est décrite au moyen de la distribution des tailles des gouttes. On utilise en général la distribution de Marshall
et Palmer :
N ( r ) = N 0 e − αr
N ( r )dr représente le nombre de gouttes d'eau par unité de volume dont le rayon est compris entre r et r + dr . N0 est
une constante expérimentale exprimée en m −3 mm −1 et α est aussi une constante expérimentale en mm-1.
On prend en général :
N0 = 16.10 3 m −3 mm −1
et α = 8 ,2 R −0.21mm −1
R représente l'intensité de pluie exprimée en mm/heure.
Pour des fréquences entre 30 MHz et 1000 GHz et pour des températures de –4°C à +30°C, la permittivité relative de la
pluie en fonction de la fréquence f s'écrit :
ε r = ε0 −
ε0 − ε p
f − if p
f +
ε p − εs
f − if s
f
avec :
ε0 = 77.6 + 103.3θ , ε p = 5 ,48 , ε s = 3 ,51
f p = 20 ,09 − 142θ + 294θ2
f s = 590 − 1500θ
θ=
300
−1
273,15 + T
T : température en °C
L'atténuation subie par une onde traversant un rideau de pluie homogène est proportionnelle à la distance parcourue et
peut-être caractérisée par une atténuation linéique. Il a été montré, par des calculs approchés, que l'atténuation linéique γ
en dB/km pouvait s'écrire en fonction de l'intensité de pluie R en mm/h par la relation :
γ = aR b
Les coefficients a et b dépendent de la fréquence et de polarisation. Le tableau ci-dessous fournit les valeurs les plus
caractéristiques des régions tempérées.
49/59
Fréquence (GHz)
aH
av
bH
bv
1
0.0000387
0.0000352
0.912
0.880
10
0.0101
0.00887
1.276
1.264
20
0.0751
0.0691
1.099
1.065
30
0.187
0.167
1.021
1.000
40
0.350
0.310
0.939
0.929
50
0.536
0.479
0.873
0.868
L'atténuation à travers un rideau homogène s'écrit :
AdB =
∫ γ ( x)dx
trajet
La pluie n'étant, en général, pas homogène, γ ( x) varie le long du trajet et le calcul de l'atténuation est très compliqué.
On préfère alors calculer la longueur équivalente du trajet : Le = kL , et considérer que γ est constant sur cette
longueur. L'atténuation devient alors : AdB = γkL . Le problème consiste alors à déterminer le coefficient k. On procède
alors au moyen de formules approchées. La formule de Lin s'écrit ainsi :
k ( L, R ) =
1
( R − 6.2)
1+ L
2636
Un autre effet important du à la pluie et la modification des composantes copolaires et contrapolaires de l'onde
électromagnétique qui traverse un rideau de pluie.
Considérons ainsi une onde plane de polarisation bien définie qui traverse une tranche de pluie homogène ayant une
épaisseur l le long de la direction de propagation. Désignons par E 0 le champ surfacique de l'onde incidente, par E c ,
E x , le champ surfacique de l'onde copolaire et de l'onde contrapolaire à la sortie de la tranche de pluie. A une distance
z de l'entrée, le champ de l'onde copolaire est donc égal à :
E cz = E 0 e − γ z
Expression dans laquelle γ représente l'atténuation linéique.
La composante contrapolaire est nulle à l'entrée et elle est crée progressivement puisqu'elle est due à la somme des
champs rayonnés par toutes les gouttes. Si l'on suppose que la répartition des diamètres et l'orientation des gouttes sont
les mêmes tout le long du trajet et si l'on néglige la diffusion multiple, les rayonnements de toutes les gouttes se
retrouvent en phase à la sortie, mais ayant subi un affaiblissement sur tout le trajet parcouru. Le champ contrapolaire
provenant d'une tranche d'épaisseur dz est donc donné par l'équation :
dE xz = KE cz dze − γ (l − z )
K étant un paramètre qui caractérise la transpolarisation du milieu dans les conditions de la liaison. En remplaçant E cz
par sa valeur, on obtient :
dE xz = KE 0 e − γl dz
Sur l'épaisseur totale de la pluie on a donc finalement
Ec
= e − γl
E0
50/59
Ex
= Kl
Ec
D'où :
Ex
K E
= − ln c
Ec
γ
E0
Cette expression s'écrit généralement en dB :
20 log 10
20 log 10
E0
= CPA : Copolar Attenuation
Ec
Ec
= XPD : Cross Polar Discrimination
Ex
Ce qui conduit à l'expression :
XPD = U − 20.CPA
Le paramètre U résume toutes les caractéristiques du trajet. La forme suivante a été proposée (CCIR) pour la gamme 8 à
35 GHz
U = −10 log 10
1
(1 − 0.94 cos(4 τ) ) − 40 log 10 (cos ϕ) + 30 log 10 f
2
dans cette expression :
τ est l'angle d'inclinaison du plan de polarisation par rapport au plan horizontal
ϕ est l'angle d'élévation du trajet
f est la fréquence en GHz
51/59
8 Formules approchées par gamme de fréquence
Ce chapitre développe un ensemble de formules approchées de propagation qui sont utilisées dans tous les systèmes de
télécommunications. Ces formules sont présentées par gamme de fréquences où elles s'appliquent. On peut classer les
liaisons radioélectriques en deux grandes familles. La première famille concerne les liaisons utilisant des fréquences
inférieures à 30 MHz. Dans cette gamme de fréquences les ondes se réfléchissent sur la ionosphère et la propagation est
dite guidée entre le sol et la ionosphère. La deuxième famille concerne les ondes de fréquences supérieures à 60 MHz,
pour ces fréquences la ionosphère est transparente et les liaisons s'établissent en visibilité.
8.1
Relation champ / tension / puissance
Un certain nombre de formules simples permettent de déterminer la tension à l'entrée d'un récepteur en fonction du
champ électrique reçu sur son antenne.
r
Soit une antenne de réception de gain Gr , la puissance captée par cette antenne en fonction du champ reçu E est
simplement égale au flux du vecteur de Poynting à travers al surface équivalente de cette antenne, soit donc à travers
une surface égale à
λ2
G r s'écrit :
4π
P=
r
E
2
120 π
Gr .
λ2
4π
En considérant un coefficient de couplage ayant un facteur atténuation a entre l'antenne et le récepteur, la puissance à
l'entrée du récepteur vaut
P
a
En supposant ce dernier adapté sur une impédance de 50 Ω , il vient :
P V2
=
a
50
Expression dans laquelle V est la tension reçue aux bornes de l'impédance.
D'où :
V =
8.2
r2
50 E
.λ2 .Gr
2
a 480 π
Ondes kilométriques (0 à 300 kHz)
Ces fréquences sont essentiellement utilisées pour les communications longue distance avec les sous-marins. Ces ondes
pénètrent dans l'eau de mer mais sont assez fortement atténuées en fonction de la profondeur
La conductivité de l'eau de mer est σ = 5 Siemens/m
Et sa permittivité relative est ε r = 80
Pour une onde plane polarisée verticalement et se propageant suivant une direction Oz , le champ électrique s'écrit :
r r
E = E0 e −αz e j (ωt − kz ) , le terme α traduit l'absorption par le milieu.
52/59
Fréquence (kHz)
α
10
100
1000
0.44
1.40
4.44
0.712 m
0.225 m
Profondeur pour laquelle 2.25 m
Le champ est divisé par e
En anglais ces bandes de fréquences s'appellent ELF (Extremely Low Frequency, 0-3 kHz), VLF (Very Low Frequency,
3-30 kHz) et LF (Low Frequency, 30-300kHz).
Les antennes d'émission sont en général très hautes (environ 100 m) et souvent disposées sous la forme d'un réseau de
pylônes. Les puissances des amplificateurs sont aussi très importantes et il n'est pas rare de trouver des amplificateurs
de 500 kW jusqu'à 1 MW. Les problèmes d'adaptation d'antennes sont alors particulièrement importants. Enfin pour la
gamme ELF des essais (USA) ont été réalisés avec des antennes horizontales constituées par des voies de chemin de fer.
8.3
Ondes hectométriques (300 à 3000 kHz)
Ces ondes sont utilisées pour communiquer avec des navires principalement entre 400 kHz et 3.8 MHz. La propagation
est due à une onde de surface et les portées utilisées sont d'environ 100 km au dessus du sol et 1000 km au dessus de la
mer. Les antennes et la polarisation de l'onde sont verticales.
λ
Le champ en volt/m efficace à 1 km de l'émetteur pour une antenne courte   est approché par la formule :
4
E = 300 Pr , Pr est la puissance rayonnée en kW.
A une distance D ,exprimée en km, de l'émetteur la moyenne annuelle E du niveau de champ en dBµV/m
λ
(dBµV/m = 20log valeur du champs en µV/m), et pour une puissance rayonnée Pr = 1 kW sur une antenne courte   ,
4
est donnée par la formule :
E = 80.2 − 10 log10 D − 0.00176. f 0.26 .D
avec f qui représente la fréquence porteuse en kHz.
8.4
Ondes décamétriques (3 MHz – 30 MHz)
Ces ondes dites ondes HF (High Frequency) se propagent à grande distance grâce à la réflexion sur la ionosphère. Ces
réflexions permettent théoriquement de placer l'émetteur et le récepteur n'importe où sur la surface de la Terre. La
ionosphère est constituée de plusieurs couches repérées par des lettres :
Couche D : 50-90 km d'altitude
Couche E : 90-130 km d'altitude
Couche F1 : 175-250 km d'altitude
Couche F2 : 250-400 km d'altitude
8.5
Ondes de fréquences supérieures à 30 MHz
Pour les fréquences supérieures à 30 MHz, la ionosphère devient transparente et il n'y a plus de phénomènes de
réflexion. En toute rigueur la frontière n'est pas aussi tranchée et on considère que des phénomènes de réflexion
peuvent, en fonction de l'état de la ionosphère, subsister jusqu'à 60 MHz. La propagation s'effectue alors en vue directe.
53/59
Les méthodes de prédiction de propagation utilisent en général des formules paramétriques et se réfèrent à des tables de
propagation établies à partir de mesures effectuées sur le terrain; Le but de ce cours n'est pas de présenter et de discuter
toutes ces méthodes. On présentera cependant une des plus simple appelée méthode Bullington ou méthode heuristique
et on citera à simple titre d'exemple la méthode d'Okumura Hata et la méthode CCIR 370. Certain paramètres doivent
préalablement être précisés.
Paramètre de vallonnement
Si on dispose d'un profil de terrain précis il est possible d'estimer le champ reçu au moyen d'approches de modélisation
d'obstacles, telles que les méthodes de Deygout ou d'Epstein Peterson. On peut aussi utiliser des approches moyennes
qui déterminent l'affaiblissement moyen du champ en fonction de la distance et du vallonnement du terrain. Pour
caractériser le vallonnement d'un terrain on introduit un paramètre ∆h qui est défini comme étant la différence de
l'altitude dépassée par 10% des points et de l'altitude dépassée par 90% des points. Les points considérés sont ceux
situés entre 10 et 50 km de l'émetteur.
Altitude
∆h
10 km
50 km
Emetteur
Distance
On corrige alors l'atténuation de propagation par un terme dépendant du vallonnement ∆h et de la longueur d'onde λ.
La correction est proportionnelle au rapport
∆h
λ
Pour des fréquences entre 400 MHz et 1.5 GHz, le coefficient correctif noté K v s'obtient au moyen de la formule :
 ∆h  
 ∆h  
K v = 7 ,2 + 10 log10 
 − 2 log10 
 
 31,62  
 31,62  
2
Ce coefficient s'applique de la manière suivante :
Ecorrigé = E + K v lorsque le récepteur est sur une crête
Ecorrigé = E − K v lorsque le récepteur est dans un creux
Paramètre d'orientation en environnement urbain
En environnement urbain il faut considérer, non pas un paramètre de vallonnement, mais un paramètre lié à l'angle de la
rue avec la direction de propagation.
Ce coefficient de correction, noté K ov , est approché par la formule suivante :
54/59
 d 
K ov = 2 ,4. f .10 −3 − 1,9 log10  
 20 
la fréquence f est exprimée en kHz et la distance d en km. Cette formule est valable pour des distances : 5 < d < 100 km
Ce coefficient s'applique de la manière suivante :
Ecorrigé = E + K ov dans le cas d'un rue parallèle à l'axe de propagation
Ecorrigé = E − K ov dans le cas d'un rue perpendiculaire à l'axe de propagation
Les méthodes de modélisation de propagation sont assez nombreuses et diffèrent essentiellement par des jeux de
coefficients et par des ensembles de paramètres. On présente ici la méthode de Bullington qui est valable pour le
gamme 80-500 MHz et on introduit brièvement la méthode d'Okumura Hata qui est grandement appliquée dans le
domaine du GSM. Les méthodes de prédiction adaptée à la gamme GSM sont aujourd'hui grandement utilisées pour
effectuer les calculs de prédiction de couverture des réseaux.
Hauteur apparente d'antenne
Les tables de relevés de mesures de propagation sont indicées en fonction de la hauteur de l'antenne d'émission.
Cependant, en fonction du terrain, le premier ellipsoïde de Fresnel peut rencontrer ou non le sol. On considère donc la
hauteur apparente de l'antenne d'émission qui est inférieure à la hauteur réelle de l'antenne et qui est définie de la
manière suivante :
•
Antennes très hautes : la hauteur apparente est la différence entre l'altitude réelle et l'altitude ou le premier
ellipsoïde rencontre le sol.
•
Antennes en ville : la hauteur réelle est diminuée de la demi hauteur des immeubles à 150 MHz et de la hauteur
complète à 450 MHz.
•
Antennes en forêt : l'altitude réelle est diminuée de la hauteur moyenne des arbres moins 5 m à 150 MHz et de la
hauteur des arbres à 450 MHz.
Méthode de Bullington
Cette méthode s'applique aux transmissions dans la gamme 80-500 MHz. Elle est basée sur la formule approchée
suivante :
Pr = P − A0 − Ad − Az + Ch
P : puissance apparente rayonnée en dBW
A0 : atténuation de propagation
Ad : atténuation due au relief
Az : atténuation due aux obstacles proches (immeuble, forêts)
Ch : correction d'atténuation en fonction de la hauteur de réception du mobile
Pr : puissance reçue en dBW
Cette formule est assez générale et symptomatique d'un modèle de propagation. Les différents termes qui la composent
sont précisés ci dessous.
55/59
•
Le terme d'atténuation de propagation A0 peut être calculé ou lu sur des tables. Dans le cas d'une antenne
omnidirectionnelle on considère (cf chapitre Bilans de Liaison) que la puissance à une distance r de l'antenne est
répartie sur une sphère de 4π strd avec une densité surfacique
•
Pr
4 πr 2
Le terme d'atténuation due au relief Ad peut être estimé au moyen des approches de Deygout ou d'Epstein Peterson
qui ont été présentées lors du chapitre 3.
•
Le terme d'atténuation due aux obstacles proches Az traduit le fait que le champ reçu par le mobile subit de
nombreuses réflexions et diffraction et qu'il est en fait constitué par la somme d'un très grand nombre de "trajets".
La répartition des phases de ces trajets peut conduire à des quasi annulations du signal. On parle alors de fading de
Rayleigh.
•
Le terme Az peut se décomposer en trois termes : Az = Ac + Ab + Ai
-
Le terme Ac lié aux constructions peut être relié au coefficient d'occupation des sols (COS), le tableau cidessous est un exemple de quelques atténuations pouvant être rencontrées.
Zone rurale
-
Zone suburbaine
Zone urbaine
COS
0.35
1
2
4
8
Hauteur immeuble (m)
4à8
8
15
30
50
Atténuation (dB) à 40 MHz
3
9
19
22
25
29
5
12
22
25
28
32
7
15
25
28
31
35
9
18
28
31
34
38
Le terme Ab est lié à la végétation. L'atténuation due aux arbres peut être approchée par la formule de
Weissberger : Ab = 0 ,187 f 0 ,284 .d 0 ,588 . Cette expression fournit l'atténuation directement en dB avec d :
largeur du bosquet d'arbres en mètres et f : fréquence en MHz. Cette formule est utilisable pour f > 200 MHz
et d < 400 m .
-
Le terme Ai est lié aux constructions, le tableau ci dessous est un exemple des atténuations que l'on peut
rencontrer.
-
Fréquences / Obstacles
Brique sèche
Brique humide
Bois
Verre mince
Verre épais
160 MHz
2.5 dB
10 dB
1 dB
0.5 dB
3 dB
450 MHz
4.5 dB
17 dB
2 dB
1 dB
5 dB
Le terme Ch enfin, permet de corriger des valeurs issues de tables. Ces valeurs sont en général données pour
une hauteur d'antenne fixée qui peut ne pas correspondre au cas considéré
56/59
Méthode d'Okumura Hata
Cette méthode est applicable pour les fréquences GSM (900 MHz et 1.8 GHz). Elle a été établie au japon pour un
milieu suburbain. Elle permet de calculer le champ électrique reçu. Elle permet de remplacer directement le terme de
perte en espace libre par un nouveau terme LOH de perte (valeur médiane de la perte de propagation) exprimé
directement en dB :
LOH ( dB ) = 69 ,55 + 26 ,16 log f − 13 ,82 log hb − A( hm ) + ( 44 ,9 − 6 ,55 log hb ) log d
−
A( hm ) = ( 1,1 log f − 0 ,7 )hm − ( 1,56 log f − 0 ,8 )
−
150 MHz < f < 1500 MHz , f étant exprimé en MHz
−
30 m < hb < 300 m , hb hauteur de l'antenne de la station de base exprimée en m
−
1 km < d < 20 km , d distance du mobile à la station de base exprimée en km
−
1 m < hm < 10 m , hm hauteur de l'antenne du mobile exprimée en m
Cette formule exprime que les obstacles et les multitrajets du canal de propagation entraînent une perte de la puissance
émise qui ne se retrouve pas au niveau du mobile ni pour des transmissions utiles ni pour des interférences en dehors de
la zone de couverture.
Le terme d'affaiblissement LOH exprimé en décibels s'intègre directement dans l'évaluation du bilan de liaison en
prenant en compte le gain de l'antenne de réception.
Pour passer en mode rural, il suffit d'ajouter un terme correctif donné par :
LOH ( rural ) = LOH − 4.78[log( f )]2 + 18.33 log( f ) − 40.94
Pour comparer avec la perte de propagation en espace libre, on peut écrire cette perte, directement en dB et avec les
mêmes conventions d'unités, de la manière suivante :
L EL = 32.4 + 20 log( f ) + 20 log(d )
D'autres formules de ce type sont valables pour différents environnements. On peut citer par exemple, le modèle Cost
Hata valable en environnement urbain et donné par :
LCH = 46.33 + 33.9 log( f ) − 13.82 log(hb ) − a + (44.9 − 6.55 log(hb )) log(d )
avec : a = (1.1 log( f ) − 0.7 )hm − (1.56 log( f ) − 0.8 )
Ce chapitre a développé un ensemble de formules approchées qui permettent d'estimer rapidement le champ électrique
reçu lors de l'établissement d'une liaison de radiocommunications. Ces formules sont le résultat d'une synthèse de
l'application des équations de Maxwell à différents milieux, des formules d'optique géométriques et de relevés de
mesures. Elles sont, en particulier pour le dimensionnement des réseaux GSM, d'une grande utilité pratique.
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9
Les différentes gammes de fréquence
Plusieurs classifications des bandes de fréquences sont utilisées. Les tableaux ci-dessous les résument.
Fréquences
Longueurs d'onde
Abréviation
3 kHz < f < 30 kHz
myriamétriques
VLF (Very Low Frequency)
30 kHz < f < 300 kHz
kilométriques
LF (Low Frequency)
300 kHz < f < 3 MHz
hectométriques
MF (Medium Frequency)
3 MHz < f < 30 MHz
décamétriques
HF (High Frequency)
30 MHz < f < 300 MHz
métriques
VHF (Very High Frequency)
300 MHz < f < 3 GHz
décimétriques
UHF (Ultra High Frequency)
3 GHz < f < 30 GHz
centimétriques
SHF (Super High Frequency)
30 GHz < f < 300 GHz
millimétriques
EHF (Extremely High Frequency)
Tableau 1 – Classification de bandes de fréquences par abréviation -
Lors de la deuxième guerre mondiale, les gammes de fréquences étaient désignées par des lettres. Cette classification
est encore utilisée dans certain secteur professionnel, en particulier dans le domaine des transmissions satellites. Les
frontières entre les différentes bandes peuvent alors être légèrement variables.
Fréquences
Appellation de la bande
f autour de 1.5 GHz
L
2 GHz < f < 3 GHz
S
4 GHz < f < 6 GHz
C
7 GHz < f < 9 GHz
X
10 GHz < f < 16 GHz
Ku
16 GHz < f < 23 GHz
Ka
42 GHz < f < 47 GHz
Q
Tableau 2 – Classification de bandes de fréquences par lettres -
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La classification par service peut aussi être utilisée :
Fréquences
Services
10 kHz < f < 1 MHz
Aéronautiques, Navigation
autour de 1 MHz
Radio diffusion par modulation d'amplitude
autour de 10 MHz
Radio amateurs, Radio Internationales
autour de 100 MHz
TV VHF,
Radio diffusion par modulation de fréquences
TV UHF
GSM
GSM/DCS
autour de 900 MHz
autour de 1.8 GHz
1 GHz < f < 100 GHz
Stations terriennes satellites
Radar
Liaisons satellites-satellites
Systèmes de Navigation
Systèmes expérimentaux
Tableau 3 – Classification de bandes de fréquences par services -
Références
Lucien Boithias, "Propagation des ondes radioélectriques", Dunod 1983
J. Lavergnat, M. Sylvain, "Propagation des ondes radioélectriques", Collection Pédagogique des Télécommunications,
MASSON, 1997.
∴
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ELE115-Propagation

Transcription

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