Exercices d`arithmétique avec corrigé

Exercices Arithmétique
Exercice 1:
1) Calculer le PGCD de 105 et 165.
2) Les dimensions d’une caisse, ayant la forme d’un pavé droit, sont 105cm, 165cm et 105cm. On veut
réaliser des boîtes cubiques, les plus grandes possibles, qui permettent de remplir entièrement la caisse.
Combien de telles boîtes peut on placer dans la caisse ?
Exercice 2:
Un philatéliste possède 1631 timbres français et 932 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en
réalisant des lots identiques, c'est à dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres
français et étrangers
Calculer le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser.
Combien y aura-t-il, dans ce cas, de timbres français et étrangers par lot ?
Exercice 3:
Un ouvrier dispose de plaques de métal de 120 cm de longueur et de 84 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante:
"Découper dans ces plaques des carrés tous identiques, les plus grands possibles de façon à ne pas avoir de perte."
Combien obtiendra-t-il de carrés par plaque et quelle sera la longueur d'un côté d'un carré?
Exercice 4:
Pour le 1er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et 78 roses.
Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs.
Combien de bouquets identiques peut-elle faire ?
Quelle sera la composition de chaque bouquet ?
Exercices Arithmétique
Exercice 1:
1) Calculer le PGCD de 105 et 165.
2) Les dimensions d’une caisse, ayant la forme d’un pavé droit, sont 105cm, 165cm et 105cm. On veut
réaliser des boîtes cubiques, les plus grandes possibles, qui permettent de remplir entièrement la caisse.
Combien de telles boîtes peut on placer dans la caisse ?
Exercice 2:
Un philatéliste possède 1631 timbres français et 932 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en
réalisant des lots identiques, c'est à dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres
français et étrangers
Calculer le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser.
Combien y aura-t-il, dans ce cas, de timbres français et étrangers par lot ?
Exercice 3:
Un ouvrier dispose de plaques de métal de 120 cm de longueur et de 84 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante:
"Découper dans ces plaques des carrés tous identiques, les plus grands possibles de façon à ne pas avoir de perte."
Combien obtiendra-t-il de carrés par plaque et quelle sera la longueur d'un côté d'un carré?
Exercice 4:
Pour le 1er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et 78 roses.
Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs.
Combien de bouquets identiques peut-elle faire ?
Quelle sera la composition de chaque bouquet ?
Correction
Exercice 1:
1) On utilise l'algorithme d'Euclide.
165 = 105 × 1 + 60
105 = 60 × 1 + 45
60 = 45 × 1 + 15
45 = 15 × 3 + 0
Le PGCD est le dernier reste non nul, donc PGCD( 165; 105) = 15
2) On note c la longueur d'une arête de cube.
On note x le nombre de cubes dans la hauteur et la profondeur de la boite.
c x = 105
On note y le nombre de cubes dans la longueur de la boîte.
c y = 165
Donc c est un diviseur commun de 105 et 165.
Comme on cherche à réaliser les plus grands cubes possibles, on cherche le PGCD de 105 et 165.
Donc un cube aura 15 cm d'arête.
3) Nombre de cubes que l'on peu placer dans la boite:
105 105 165
N=
×
×
N = 7 × 7 × 11
15
15
15
On pourra placer 539 cubes dans la grande caisse.
N = 539
Exercice 2:
On notre n le nombre de lots. f le nombre de timbres français par lot. e le nombre de timbres étrangers par lots.
on a : 1631 = n × f
et
932 = n × e
Donc n est un diviseur commun à 1631 et 932.
Comme on cherche le plus grand nombre de timbres par lots, on cherche le PGCD de 1631 et 932.
D’après l’algorithme d’Euclide:1631 = 932 × 1 + 699
932 = 699 × 1 + 233
699 = 233 × 3 + 0
Le PGCD est le dernier reste non nul, donc PGCD (1631 ;932)= 233 Le philatéliste pourra donc faire 233 lots.
932
1631
f=
f=7
e=
e=4
233
233
Il y aura dans chaque lot 7 timbres français et 4 timbres étrangers.
Exercice 3:
On note c la longueur d’un côté de carré, m le nombre de plaques dans la longueur, p le nombre de plaques dans la
largeur.
120 = c × m
84 = c × p
Donc c est un diviseur de 120 et 84.
On cherche de plus la plus grande plaque possible ayant une longueur et une largeur identiques, donc le PGCD de 84
et 120.
D’après l’algorithme d’Euclide,
120 = 84 × 1 + 36
84 = 36 × 2 + 12
36 = 12 × 3 + 0
Le PGCD est le dernier reste non nul, donc PGCD (120 ; 84 ) = 12
Chaque plaque mesurera 12 cm de côté.
120
84
m = 10
p=
12
12
nombre de carrés par plaque : 10 × 7 = 70
m=
p =7
Il y aura 70 carrés par plaque.
Exercice 4:
On note n le nombre de bouquets que Julie peut réaliser.
On note r le nombre de roses par bouquet et m le nombre de brins de muguet par bouquets
n × r = 78
et n × m = 182.
Donc n est un diviseur commun à 78 et 182.
Julie veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques. Ce nombre est donc le PGCD de 182 et 78
On utilise l'algorithme d'Euclide
182 = 78 × 2 + 26
78 = 26 × 3 + 0
Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc PGCD ( 182 ; 78 ) = 26
Donc Julie pourra réaliser 26 bouquets au maximum.
78
182
=7
= 3 Chaque bouquet comportera 7 bruns de muguet et 3 roses
26
26