Logarithmes - CPGE Dupuy de Lôme
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Logarithmes - CPGE Dupuy de Lôme
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Logarithmes 1 (b) Soient (p1 , . . . , pn ) et (q1 , . . . , qn ) des n-uplets formés de réels strictement positifs vérifiant n n X X pk = qk = 1 Exercice 1 [ 01827 ] [Correction] Établir, pour tout x ≥ 0, l’encadrement x− Enoncés k=1 Établir 1 2 x ≤ ln(1 + x) ≤ x 2 n X i=1 Exercice 2 [ 01828 ] k=1 pi ln qi ≤ n X pi ln pi i=1 Dans quel(s) cas y a-t-il égalité ? [Correction] (a) Montrer que, pour tout x > −1 ln(1 + x) ≤ x (b) En déduire que pour tout n ∈ N \ {0, 1} 1 1+ n !n 1 ≤e≤ 1− n !−n Exercice 3 [ 01829 ] [Correction] Montrer que pour tout a, b > 0 1 a+b (ln a + ln b) ≤ ln 2 2 Exercice 4 [ 01830 ] [Correction] Soit 0 < a ≤ b. On pose f : x 7→ ln(1+ax) ln(1+bx) définie sur R∗+ . Étudier la monotonie de f et en déduire que ln 1 + ab ln 1 + ab ≤ (ln 2)2 . Exercice 5 [ 01831 ] [Correction] Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier n > 0 est log10 n + 1. Exercice 6 [ 03626 ] [Correction] [Lemme de Gibbs] (a) Justifier ∀x > 0, ln x ≤ x − 1 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Corrections Corrections Exercice 1 : [énoncé] L’étude des variations des fonctions x 7→ x − ln(1 + x) et x 7→ ln(1 + x) − x + 12 x2 montre que celles-ci sont croissantes sur R+ , puisqu’elles s’annulent en 0, on peut conclure. Exercice 5 : [énoncé] Notons m le nombre de décimale dans l’écriture de n. On a 10m−1 ≤ n < 10m donc m − 1 ≤ log10 n < m puis m = log10 n + 1. Exercice 6 : [énoncé] (a) Une étude de la fonction x 7→ ln x − x + 1 assure l’inégalité écrite. De plus on observe qu’il y a égalité si, et seulement si, x = 1. Exercice 2 : [énoncé] (a) Posons f : ]−1 ; +∞[ → R définie par f (x) = x − ln(1 + x). f est dérivable, f (0) = 0 x et f 0 (x) = 1+x . Le tableau de variation de f donne f positive. (b) D’une part (b) On étudie la différence n X pi ln qi − i=1 1 1+ n !n n ln(1+ n1 ) =e n× n1 ≤e ≤e 1− 1 n !−n 1 = e−n ln(1− n ) ≥ e n X pi ln pi = i=1 n X i=1 pi ln qi pi Par l’inégalité précédente n X et d’autre part i=1 pi ln qi − n X i=1 pi ln pi ≤ n X i=1 pi ! X n qi (qi − pi ) = 0 −1 = pi i=1 De plus il y a égalité si, et seulement si, car ! 1 1 ln 1 − ≤− n n ∀1 ≤ i ≤ n, pi = qi Cette inégalité est fameuse lorsqu’on s’intéresse à l’entropie d’une source d’information. . . Exercice 3 : [énoncé] On a ln ! 1 a+b a+b − (ln a + ln b) = ln √ 2 2 2 ab or a+b= donc 2 √ √ 2 √ 2 a + b ≥ 2 ab a+b ln √ ≥ 0 2 ab Exercice 4 : [énoncé] g(x) f 0 (x) = (1+ax)(1+bx) avec g(x) = a(1 + bx) ln(1 + bx) − b(1 + ax) ln(1 + ax). ln(1+bx)2 1+bx 0 g(0) = 0 et g (x) = ab ln 1+ax ≥ 0 donc g est positive et par suite f croissante. 1 1 1 1 b ≤ a donc f b ≤ f a ce qui donne l’inégalité voulue. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD