Logarithmes - CPGE Dupuy de Lôme

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Logarithmes - CPGE Dupuy de Lôme
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016
Logarithmes
1
(b) Soient (p1 , . . . , pn ) et (q1 , . . . , qn ) des n-uplets formés de réels strictement positifs
vérifiant
n
n
X
X
pk =
qk = 1
Exercice 1 [ 01827 ] [Correction]
Établir, pour tout x ≥ 0, l’encadrement
x−
Enoncés
k=1
Établir
1 2
x ≤ ln(1 + x) ≤ x
2
n
X
i=1
Exercice 2
[ 01828 ]
k=1
pi ln qi ≤
n
X
pi ln pi
i=1
Dans quel(s) cas y a-t-il égalité ?
[Correction]
(a) Montrer que, pour tout x > −1
ln(1 + x) ≤ x
(b) En déduire que pour tout n ∈ N \ {0, 1}
1
1+
n
!n
1
≤e≤ 1−
n
!−n
Exercice 3 [ 01829 ] [Correction]
Montrer que pour tout a, b > 0
1
a+b
(ln a + ln b) ≤ ln
2
2
Exercice 4 [ 01830 ] [Correction]
Soit 0 < a ≤ b. On pose f : x 7→
ln(1+ax)
ln(1+bx)
définie sur R∗+ .
Étudier la monotonie de f et en déduire que ln 1 + ab ln 1 + ab ≤ (ln 2)2 .
Exercice 5 [ 01831 ] [Correction]
Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier n > 0 est
log10 n + 1.
Exercice 6 [ 03626 ] [Correction]
[Lemme de Gibbs]
(a) Justifier
∀x > 0, ln x ≤ x − 1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
L’étude des variations des fonctions x 7→ x − ln(1 + x) et x 7→ ln(1 + x) − x + 12 x2 montre
que celles-ci sont croissantes sur R+ , puisqu’elles s’annulent en 0, on peut conclure.
Exercice 5 : [énoncé]
Notons m le nombre de décimale dans l’écriture de n.
On a 10m−1 ≤ n < 10m donc m − 1 ≤ log10 n < m puis m = log10 n + 1.
Exercice 6 : [énoncé]
(a) Une étude de la fonction x 7→ ln x − x + 1 assure l’inégalité écrite.
De plus on observe qu’il y a égalité si, et seulement si, x = 1.
Exercice 2 : [énoncé]
(a) Posons f : ]−1 ; +∞[ → R définie par f (x) = x − ln(1 + x). f est dérivable, f (0) = 0
x
et f 0 (x) = 1+x
.
Le tableau de variation de f donne f positive.
(b) D’une part
(b) On étudie la différence
n
X
pi ln qi −
i=1
1
1+
n
!n
n ln(1+ n1 )
=e
n× n1
≤e
≤e
1−
1
n
!−n
1
= e−n ln(1− n ) ≥ e
n
X
pi ln pi =
i=1
n
X
i=1
pi ln
qi
pi
Par l’inégalité précédente
n
X
et d’autre part
i=1
pi ln qi −
n
X
i=1
pi ln pi ≤
n
X
i=1
pi
! X
n
qi
(qi − pi ) = 0
−1 =
pi
i=1
De plus il y a égalité si, et seulement si,
car
!
1
1
ln 1 −
≤−
n
n
∀1 ≤ i ≤ n, pi = qi
Cette inégalité est fameuse lorsqu’on s’intéresse à l’entropie d’une source
d’information. . .
Exercice 3 : [énoncé]
On a
ln
!
1
a+b
a+b
− (ln a + ln b) = ln √
2
2
2 ab
or
a+b=
donc
2
√
√ 2 √ 2
a + b ≥ 2 ab
a+b
ln √ ≥ 0
2 ab
Exercice 4 : [énoncé]
g(x)
f 0 (x) = (1+ax)(1+bx)
avec g(x) = a(1 + bx) ln(1 + bx) − b(1 + ax) ln(1 + ax).
ln(1+bx)2
1+bx
0
g(0) = 0 et g (x) = ab ln 1+ax ≥ 0 donc g est positive et par suite f croissante.
1
1
1
1
b ≤ a donc f b ≤ f a ce qui donne l’inégalité voulue.
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