Fonctions caractéristiques

Transcription

Définition et premières propriétés
Fonction caractéristique des lois usuelles
Résultats importants
Probabilités
Fonctions caractéristiques
Julian Tugaut
Télécom Saint-Étienne

Julian Tugaut
Probabilités
Sommaire
1
2
Loi de Bernoulli
Loi binomiale
Loi de Poisson
Loi uniforme
Loi exponentielle
Loi normale
3
Plan
1
2
3
Définition
Définition
La fonction caractéristique de la variable aléatoire X est la fonction
ϕX de la variable réelle à valeurs complexes définie par
ϕX (u) := E e iuX
Julian Tugaut
Probabilités
.
Définition
Définition
La fonction caractéristique de la variable aléatoire X est la fonction
ϕX de la variable réelle à valeurs complexes définie par
ϕX (u) := E e iuX
.
Cela consiste à prendre la transformée de Fourier inverse de la
distribution associée à X , PX −1 . On admet l’existence de cette
fonction.
Julian Tugaut
Probabilités
Fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle
discrète
Propriété
Si la variable aléatoire X est discrète, on peut écrire
ϕX (u) =
X
e iuxk P (X = xk ) ,
k∈N
où {xk , k ∈ N} est l’ensemble des réalisations possibles de X .
Julian Tugaut
Probabilités
discrète
Propriété
Si la variable aléatoire X est discrète, on peut écrire
ϕX (u) =
X
e iuxk P (X = xk ) ,
k∈N
où {xk , k ∈ N} est l’ensemble des réalisations possibles de X .
Il s’agit de la transformée de Fourier inverse de la distribution
X
P (X = xk ) δxk .
k∈N
Julian Tugaut
Probabilités
absolument continue
Propriété
Supposons que la variable aléatoire X admet une densité fX . On a
alors
Z
ϕX (u) =
e iux fX (x)dx .
R
Julian Tugaut
Probabilités
absolument continue
Propriété
Supposons que la variable aléatoire X admet une densité fX . On a
alors
Z
ϕX (u) =
e iux fX (x)dx .
R
Il s’agit de la transformée de Fourier inverse de la distribution
régulière associée à la fonction fX .
Julian Tugaut
Probabilités
Régularité de la fonction caractéristique
Théorème
Soit µ une mesure de probabilité sur R et soit X une variable
aléatoire réelle de loi µ. Alors la fonction caractéristique de X , ϕX ,
est bornée de module inférieur à 1, continue et de plus ϕX (0) = 1.
Julian Tugaut
Probabilités
Régularité de la fonction caractéristique
Théorème
Soit µ une mesure de probabilité sur R et soit X une variable
aléatoire réelle de loi µ. Alors la fonction caractéristique de X , ϕX ,
est bornée de module inférieur à 1, continue et de plus ϕX (0) = 1.
Preuve
Dans le cas continu.
Julian Tugaut
Probabilités
Dérivabilité de la fonction caractéristique
Théorème
Soit X une variable aléatoire réelle admettant
ides moments jusqu’à
h
l’ordre m, c’est-à-dire telle que max E |X |k < ∞.
1≤k≤m
Julian Tugaut
Probabilités
Dérivabilité de la fonction caractéristique
Théorème
Soit X une variable aléatoire réelle admettant
ides moments jusqu’à
h
l’ordre m, c’est-à-dire telle que max E |X |k < ∞. La fonction
1≤k≤m
caractéristique associée, ϕX , est alors de classe C m et de plus, pour
tout k ∈ [[1; m]], on a
i
h
dk
k
k iuX
.
ϕ
(u)
=
i
E
X
e
X
du k
Julian Tugaut
Probabilités
Moments d’une variable aléatoire
Une application immédiate du Théorème est l’utilisation de la
fonction caractéristique pour calculer les moments d’une variable
aléatoire réelle. En effet, si les quantités suivantes ont un sens, il
vient
Julian Tugaut
Probabilités
vient
ϕ′X (0) = iE[X ]
Julian Tugaut
Probabilités
vient
ϕ′X (0) = iE[X ]
ainsi que
ϕ′′X (0) = −E[X 2 ] .
Julian Tugaut
Probabilités
Autre propriété
Propriété
Soit X une variable aléatoire réelle. Alors, pour tout u ∈ R, on a
ϕX (u) = ϕX (−u).
Julian Tugaut
Probabilités
Autre propriété
Propriété
Soit X une variable aléatoire réelle. Alors, pour tout u ∈ R, on a
ϕX (u) = ϕX (−u).
Exercice
Prouver la Propriété.
Julian Tugaut
Probabilités
Plan
1
2
Loi de Bernoulli
Loi binomiale
Loi de Poisson
Loi uniforme
Loi exponentielle
Loi normale
3
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
de Bernoulli
binomiale
de Poisson
uniforme
exponentielle
normale
Loi de Bernoulli
On dit qu’une variable aléatoire réelle suit la loi de Bernoulli de
paramètre p si l’on a PX1−1 = (1 − p)δ0 + pδ1 . La fonction
caractéristique associée est donc
ϕX1 (u) = E[e iuX1 ] = (1 − p)e iu×0 + pe iu×1 = (1 − p) + pe iu .
Julian Tugaut
Probabilités
Loi binomiale
On suppose que X2 suit la loi binomiale de paramètres n et p
c’est-à-dire que l’on a
P(X2 = k) = Cnk p k (1 − p)n−k ,
avec la convention Cnk = 0 si k ∈
/ [[0; n]]. En d’autres termes, on a
PX2−1 =
n
X
k=0
Cnk p k (1 − p)n−k δk .
Loi binomiale
P(X2 = k) = Cnk p k (1 − p)n−k ,
PX2−1 =
n
X
k=0
Le calcul de la fonction caractéristique donne donc
ϕX2 (u) =
n
X
k=0
Cnk p k (1 − p)n−k e iuk = (1 − p) + pe iu
n
.
Loi binomiale
P(X2 = k) = Cnk p k (1 − p)n−k ,
PX2−1 =
n
X
k=0
Le calcul de la fonction caractéristique donne donc
ϕX2 (u) =
n
X
k=0
Cnk p k (1 − p)n−k e iuk = (1 − p) + pe iu
Remarquons que l’on dispose de l’égalité
ϕX2 (u) = (ϕX1 )n ,
n
.
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
de Bernoulli
binomiale
de Poisson
uniforme
exponentielle
normale
Loi de Poisson
On suppose que X3 suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0
PX3−1 =
∞
X
λn
n=0
Julian Tugaut
n!
e −λ δn .
Probabilités
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
de Bernoulli
binomiale
de Poisson
uniforme
exponentielle
normale
Loi de Poisson
On suppose que X3 suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0
PX3−1 =
∞
X
λn
n=0
n!
e −λ δn .
Exercice
Montrer que l’on a l’égalité
ϕX3 (u) = e λ(e
Julian Tugaut
).
iu −1
Probabilités
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
de Bernoulli
binomiale
de Poisson
uniforme
exponentielle
normale
Loi uniforme
X4 est une variable aléatoire réelle qui suit la loi uniforme sur
l’intervalle [a; b] (a < b) c’est-à-dire que l’on a
fX4 (x) =
1
1
(x) .
b − a [a;b]
Julian Tugaut
Probabilités
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
de Bernoulli
binomiale
de Poisson
uniforme
exponentielle
normale
Loi uniforme
fX4 (x) =
Le calcul nous donne alors
ϕX4 (u) =
1
b−a
Z
1
1
(x) .
b − a [a;b]
b
e iux dx =
a
si u 6= 0 et ϕX4 (0) = 1.
Julian Tugaut
1 e iub − e iua
b−a
iu
Probabilités
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
de Bernoulli
binomiale
de Poisson
uniforme
exponentielle
normale
Loi uniforme
fX4 (x) =
Le calcul nous donne alors
ϕX4 (u) =
1
b−a
Z
1
1
(x) .
b − a [a;b]
b
e iux dx =
a
1 e iub − e iua
b−a
iu
si u 6= 0 et ϕX4 (0) = 1. En particulier, si on considère la loi
uniforme sur l’intervalle [−a; a] avec a > 0, il vient
ϕX4 (u) =
Julian Tugaut
sin(ua)
.
ua
Probabilités
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
de Bernoulli
binomiale
de Poisson
uniforme
exponentielle
normale
Loi exponentielle
Ici, la variable aléatoire X5 suit la loi exponentielle de paramètre
λ > 0. En d’autres termes, on a
fX5 (x) = λe −λx 1[0;+∞[ (x) .
Julian Tugaut
Probabilités
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
de Bernoulli
binomiale
de Poisson
uniforme
exponentielle
normale
Loi exponentielle
Ici, la variable aléatoire X5 suit la loi exponentielle de paramètre
λ > 0. En d’autres termes, on a
fX5 (x) = λe −λx 1[0;+∞[ (x) .
On procède maintenant au calcul :
ϕX5 (u) = λ
Z
∞
e iux e −λx dx =
0
Julian Tugaut
Probabilités
λ
.
λ − iu
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
de Bernoulli
binomiale
de Poisson
uniforme
exponentielle
normale
Loi normale
On se donne une variable aléatoire réelle X6 qui suit la loi normale
centrée réduite c’est-à-dire que l’on a
x2
1
PX6−1 = √ e − 2 dx .
2π
Julian Tugaut
Probabilités
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
Loi
de Bernoulli
binomiale
de Poisson
uniforme
exponentielle
normale
Loi normale
On se donne une variable aléatoire réelle X6 qui suit la loi normale
centrée réduite c’est-à-dire que l’on a
x2
1
PX6−1 = √ e − 2 dx .
2π
On trouve ainsi
u2
ϕX (u) = e − 2 .
Julian Tugaut
Probabilités
Plan
1
2
3
Correspondance bijective
Théorème
Soient deux variables aléatoires réelles X1 et X2 . On suppose que
l’on a
ϕ X1 = ϕ X2 .
Julian Tugaut
Probabilités
Correspondance bijective
Théorème
Soient deux variables aléatoires réelles X1 et X2 . On suppose que
l’on a
ϕ X1 = ϕ X2 .
Alors, les variables aléatoires réelles X1 et X2 suivent la même loi.
Julian Tugaut
Probabilités
Somme de deux variables aléatoires réelles indépendantes
Théorème
Soient deux variables aléatoires réelles X et Y . On suppose que X
et Y sont indépendantes. On a alors
ϕX +Y (u) = ϕX (u)ϕY (u) ,
pour tout u ∈ R.
Julian Tugaut
Probabilités
Somme de deux variables aléatoires réelles indépendantes
Théorème
Soient deux variables aléatoires réelles X et Y . On suppose que X
et Y sont indépendantes. On a alors
ϕX +Y (u) = ϕX (u)ϕY (u) ,
pour tout u ∈ R.
Propriété
Soient deux fonctions positives f et g . On note fˆ et ĝ les
transformées de Fourier respectives de f et g . Alors, si ∗ désigne le
produit de convolution, il vient f[
∗ g = fˆ × ĝ .
Julian Tugaut
Probabilités
Formule d’inversion
Théorème
Soit X une variable aléatoire réelle. On suppose que sa fonction
caractéristique ϕX est intégrable au sens de Lebesgue. Alors X est
une variable absolument continue par rapport à la mesure de
Lebesgue et sa densité est donnée par la formule suivante
Julian Tugaut
Probabilités
Formule d’inversion
Théorème
Soit X une variable aléatoire réelle. On suppose que sa fonction
caractéristique ϕX est intégrable au sens de Lebesgue. Alors X est
une variable absolument continue par rapport à la mesure de
Lebesgue et sa densité est donnée par la formule suivante
1
fX (x) =
2π
Z
Julian Tugaut
R
ϕX (u)e −ixu du .
Probabilités

Fonctions caractéristiques

Transcription

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