Fractions Nombres Décimaux Pourcentages

LES FRACTIONS
RELATIONS :
FRACTIONS - nombres
DECIMAUX
- POURCENTAGES
Dossier n°6
octobre 1996
Tous droits réservés au réseau
RELATIONS : FRACTIONS NOMBRES DECIMAUX
POURCENTAGES
C.D.R.
AGRIMEDIA
Apprentissage
et
Evaluation
Pré-requis :
- Connaître ce qu’est :
- une fraction
- un nombre décimal
- un pourcentage
Objectifs :
- Etablir les relations entre fractions, nombres décimaux et
pourcentages.
Matériel :
- logiciel : FRADEPOU de MAC 6 Proportions (CUEEP).
Contenu :
I - Mise en évidence :
grâce à deux exemples, les relations existant entre ces trois
écritures mathématiques sont mises en évidence.
II - Passage d’une écriture à une autre :
1) d’une fraction à un nombre décimal
2) d’un nombre décimal à une fraction décimale
3) d’une fraction à un pourcentage
4) d’un pourcentage à un nombre décimal
5) d’un pourcentage à une fraction.
Ces différents passages sont expliqués à partir d’exemples,
puis des exercices avec correction sont proposés.
III - Exercices de synthèse :
sont proposés des exercices écrits et sur ordinateur.
Public concerné :
Toute personne désirant passer d’une écriture à une autre.
2
I - Mise en évidence
Pour mettre en évidence les relations qui existent entre ces trois écritures
mathématiques, prenons deux exemples concrets.
1er exemple :
Prenez une pièce de 50 centimes (ou 0,50F).
Si vous n’en avez pas, demandez à quelqu’un autour de vous dans le
Centre de Ressources.
Que voyez-vous d’inscrit sur le côté de la pièce appelé PILE, est-ce :
0,50 F
ou
50 centimes
ou
½ franc ?
⎠ Et non, ce n’est pas 0,50 F qui est inscrit mais ½ franc !!
Pourtant cette pièce représente bien une somme de 0,50 franc.
On peut donc dire :
0,50 F =
1
F
2
Or l’écriture 0,50 est une écriture décimale
1
et
est une écriture fractionnaire.
2
Dans le cas présent une même somme peut être écrite sous forme de
NOMBRE DECIMAL ou sous forme de FRACTION.
2ème exemple
C’est l’époque des soldes dans le magasin « VETINEWS » et certains
articles sont soldés à 50% de leur prix normal.
Sur l’étiquette d’un pull vous voyez :
Prix normal :
Réduction :
Prix SOLDE :
200 F
50 %
100 F
3
La réduction est : 50% de 200 F
c’est-à-dire : 200 x
50
= 100 F
100
Cette réduction de 100 F représente la moitié du prix normal.
1
La MOITIE peut s’écrire :
2
donc ici :
Or,
et
50 % du prix =
50 %
½
1
du prix
2
est un
est une
POURCENTAGE
FRACTION
Dans le cas présent, un POURCENTAGE d’une somme est égal à une
FRACTION de cette même somme.
EN CONCLUSION
Selon les situations de la vie courante, il existe des écritures différentes
pour exprimer la même chose.
Par exemple : « LA MOITIE » peut s’écrire sous forme :
- d’un NOMBRE DECIMAL :
- d’une FRACTION :
- d’un POURCENTAGE :
0,5
1
2
50 %
Etudions les façons de changer d’écriture.
II - Passage d’une écriture à une autre
1) d’une FRACTION à un NOMBRE DECIMAL
Il suffit de diviser le NUMERATEUR de la fraction (nombre du haut) par le
DENOMINATEUR de cette fraction (nombre du bas).
Exemple 1 : Ecrire
1
sous sa forme décimale
2
On calcule 1 que divise 2, c’est-à-dire 1 : 2 = 0,5
1
d’où :
= 0,5
2
4
Exemple 2 : Ecrire
3
sous sa forme décimale
4
On calcule 3 que divise 4, c’est-à-dire 3 : 4 = 0,75
d’où
Exemple 3 : Ecrire
3
= 0,75
4
2
sous sa forme décimale
3
On calcule 2 que divise 3, c’est-à-dire 2 : 3 = ....!!
Un problème se pose ici ; en effet, si on divise 2 par 3, il y a toujours un
reste. Le résultat de la division est : 0,66666666666..... qui n’est pas un
nombre décimal. Si vous utilisez votre calculatrice, vous trouvez le résultat
2
suivant : 0,6666667 qui est un nombre décimal proche de la fraction
3
sans pour autant lui être égal.
2
ne peut donc pas être écrite sous forme de nombre décimal.
3
On peut, par contre accepter :
La fraction
2~
− 0,6666667
3
~ signifie environ égal à.
−
CONCLUSION
Fraction
Ecriture décimale
Ecriture décimale
approchée
1
2
0,5
Pas nécessaire
3
4
0,75
Pas nécessaire
2
3
IMPOSSIBLE
0,6666667
5
A VOUS...!!
Ecrire chacune des fractions suivantes sous la forme d’un nombre décimal
:
1
5
1
6
3
8
9
4
4
2
2
10
4
5
5
4
14
3
25
100
30
54
13
8
21
7
29
5
14
11
42
14
36
4
3
6
Voir réponses page suivante.
6
REPONSES
1
= 0,2
5
1
6
3
= 0,375
8
9
= 2,25
4
4
=2
2
2
= 0,2
10
4
= 0,8
5
5
= 1,25
4
14
3
~
4,67 (valeur approchée)
25
= 0,25
100
30
54
~
0,56 (valeur approchée)
13
= 1,625
8
~
0,17 (valeur approchée)
21
=3
7
29
= 5,8
5
14
11
42
=3
14
~
1,27 (valeur approchée)
36
=9
4
3
= 0,5
6
Remarque : tout nombre entier est aussi un nombre décimal :
exemples :
3 peut s’écrire 3,0
2 peut s’écrire 2,0
7
2) Passage d’un NOMBRE DECIMAL à une FRACTION DECIMALE
Définition :
On appelle FRACTION DECIMALE une fraction dont le
dénominateur est un multiple de 10 (exemple 100 ; 10 000...)
et dont le numérateur est un nombre entier.
1er exemple : Ecrire 0,6 sous forme de fraction décimale
* Etape 1 : écrire le nombre décimal sous la forme d’une fraction
de dénominateur 1
0,6
0,6 =
1
* Etape 2 : multiplier le dénominateur et le numérateur de cette
fraction par 10.
0,6 x 10 6
=
on obtient une fraction décimale
1 x 10
10
d’où :
0,6 =
6
10
Remarque : si besoin, il faut répéter l’étape 2 jusqu’à obtenir un nombre
entier au numérateur.
2ème exemple : Ecrire 6,382 sous forme de fraction décimale
* Etape 1 : 6,382 =
6,382
1
* Etape 2 :
6,382 x 10 63,82
=
1 x10
10
* Etape 2 :
63,82 x 10 638,2
=
10 x10
100
* Etape 2 :
638,2 x 10 6382
=
100 x10
1 000
Le numérateur est un nombre entier : on arrête...
d’où :
6,382 =
6382
1000
8
A VOUS...!!
Ecrire chacun des nombres décimaux ci-dessous sous forme d’une
fraction décimale.
0,23
13,1
8,621
9,006
0,75
1,5
Voir réponses page suivante
9
REPONSES
0,23 =
23
100
13,1 =
131
10
8,621 =
8621
1000
9,006 =
9006
1000
0,75 =
1,5 =
75
100
15
10
10
3) Passage d’une FRACTION à un POURCENTAGE
On va utiliser successivement les deux changements d’écriture que l’on
vient de voir puisqu’un pourcentage est une fraction dont le dénominateur
est 100.
1er exemple : Ecrire
1
sous forme de pourcentage
4
* Etape 1 : sous forme de nombre décimal
1
= 1 : 4 = 0,25
4
* Etape 2 : fraction dont le dénominateur est 100
0,25 x 10 2,5
0,25
=
0,25 =
1 x 10
10
1
2,5 x 10 25
=
(on s’arrête à 100)
10 x 10 100
1 25
=
qu’on peut écrire 25%
4 100
d’où :
2ème exemple : Ecrire
* Etape 1 :
1
sous forme de pourcentage
2
1
= 0,5
2
0,5 x 10 5
0,5
=
1 x 10
10
1
5 x 10
50
=
(on doit avoir 100 au dénominateur)
10 x 10 100
* Etape 2 : 0,5 =
1
peut s’écrire 50%
2
d’où :
3ème exemple : Ecrire
* Etape 1 :
1
6
1
sous forme de pourcentage
6
~
0,17 : c’est une écriture approchée du résultat
11
* Etape 2 : 0,17 =
17
100
1
peut s’écrire 17%
6
C’est une valeur approchée.
d’où :
4ème exemple : Ecrire
* Etape 1 :
7
sous forme de pourcentage
8
7
= 0,875
8
87,5
(on arrête là car on obtient 100 au
100
dénominateur)
* Etape 2 : 0,875 =
7
peut s’écrire 87,5%
8
d’où :
A VOUS...!!
Ecrire les fractions suivantes sous forme de pourcentages.
1
5
1
6
3
8
9
4
4
2
2
10
4
5
5
4
14
3
25
100
30
54
13
8
21
7
29
5
14
11
Voir réponses page suivante
12
REPONSES
1
⇔ 20 %
5
1
se lit : « est équivalent à 20%»
5
1
⇔ 17 % (valeur approchée)
6
3
⇔ 37,5 %
8
9
⇔ 225 %
4
4
⇔ 200 %
2
2
⇔ 20 %
10
4
⇔ 80 %
5
5
⇔ 125 %
4
14
⇔ 467 % (valeur approchée)
3
25
⇔ 25 %
100
30
⇔ 56 %(valeur approchée)
54
13
⇔ 162,5 %
8
21
⇔ 300 %
7
29
⇔ 580 %
5
14
⇔ 127 % (valeur approchée)
11
13
4) Passage d’un POURCENTAGE à un NOMBRE DECIMAL
Il faut écrire le pourcentage sous forme de fraction décimale puis calculer
la valeur de la fraction obtenue.
Exemple : Ecrire 25 % sous forme de nombre décimal
Etape 1 :25 % ⇔
Etape 2 :
25
100
25
= 0,25
100
25 % ⇔ 0,25
d’où :
A VOUS...!!
Ecrire sous forme de nombres décimaux les pourcentages suivants :
15 %
20 %
150 %
7,5 %
20,6 %
9%
0,1 %
200 %
Voir réponses pages suivante
14
REPONSES
15 % ⇔ 0,15
20 % ⇔ 0,2
150 % ⇔ 1,5
7,5 % ⇔ 0,075
20,6 % ⇔ 0,206
9 % ⇔ 0,09
0,1 % ⇔ 0,001
200 % ⇔ 2
15
5) Passage d’un POURCENTAGE à une FRACTION
Il faut écrire le pourcentage sous sa forme de fraction décimale puis la
simplifier si cela est possible. (voir dossier 2 : simplification de fraction).
Exemple 1 : Ecrire 25 % sous forme de fraction
* Etape 1 : 25 % ⇔
25
100
* Etape 2 : décomposer le numérateur et le dénominateur en
produits de facteurs premiers.
numérateur : 25 = 5 x 5 x 1
dénominateur : 100 = 2 x 2 x 5 x 5 x 1
25
5x5x1
1
1
=
=
= fraction irréductible
100 2 x 2 x 5 x 5 x 1 2 x 2 x 1 4
d’où :
25 % peut s’écrire
1
4
Exemple 2 : Ecrire 63 % sous forme de fraction
* Etape 1 : 63 % ⇔
* Etape 2 :
63
100
numérateur : 63 = 3 x 3 x 7 x 1
dénominateur : 100 = 2 x 2 x 5 x 5 x 1
63
3x3x7x1
63
=
=
la fraction était déjà irréductible
100 2 x 2 x 5 x 5 x 1 100
d’où :
63 % peut s’écrire
63
100
16
A VOUS...!!
Ecrire les pourcentages suivants sous forme de fractions irréductibles :
10 %
15 %
21 %
5%
50 %
75 %
100 %
27 %
11 %
150 %
40 %
18 %
Voir réponses page suivante
17
REPONSES
10 % ⇔
10
1
=
100 10
10 % peut s’écrire
1
10
15 % ⇔
15
3
=
100 20
15 % peut s’écrire
3
20
21 % ⇔
21
100
21 % peut s’écrire
21
100
5
1
=
100 20
5 % peut s’écrire
50 % ⇔
50
1
=
100 2
50 % peut s’écrire
1
2
75 % ⇔
75
3
=
100 4
75 % peut s’écrire
3
4
5%⇔
100 % ⇔
100
=1
100
1
20
100 % peut s’écrire 1
27 % ⇔
27
100
27 % peut s’écrire
27
100
11 % ⇔
11
100
11 % peut s’écrire
11
100
150 % ⇔
150 3
=
100 2
150 % peut s’écrire
3
2
40 % ⇔
40
2
=
100 5
40 % peut s’écrire
2
5
18 % ⇔
18
9
=
100 50
18 % peut s’écrire
9
50
18
III - Exercices de synthèse (d’après MAC6)
1) Compléter comme dans l’exemple :
__________________________________________________________
MAC6
FRACTIONS DECIMAUX POURCENTAGES N°11 et 12
CUEEP U.S.T.L FLANDRES ARTOIS
__________________________________________________________
Je prends
Je prends
=
3
♠ sur 5
Je prends
3
5
0,60
Je prends 60 %
du lot des
du lot des
♠
du lot des
Exemple
__________________________________________________________
Je prends
=
♣ sur
Je prends
=
♥ sur
Je prends
=
♣ sur
Je prends
=
♠ sur
Je prends
du lot des
Je prends 0,
du lot des
Je prends
% du lot des
Je prends
du lot des
Je prends 0,
du lot des
Je prends
% du lot des
Je prends
du lot des
Je prends 0,
du lot des
Je prends
% du lot des
Je prends
du lot des
Je prends 0,
du lot des
Je prends
♣
♥
♣
♠
% du lot des
Voir réponses page 21
19
Je prends
=
♠ sur
Je prends
=
♣ sur
Je prends
=
♥ sur
Je prends
=
♣ sur
Je prends
=
♠ sur
Je prends
du lot des
Je prends 0,
du lot des
Je prends
% du lot des
Je prends
du lot des
Je prends 0,
du lot des
Je prends
% du lot des
Je prends
du lot des
Je prends 0,
du lot des
Je prends
% du lot des
Je prends
du lot des
Je prends 0,
du lot des
Je prends
% du lot des
Je prends
du lot des
Je prends 0,
du lot des
Je prends
♠
♣
♥
♣
♠
% du lot des
Voir réponses page 22
20
REPONSES
Je prends
=
1
♣ sur
4
du lot des
Je prends 25 %
du lot des
Je prends
Je prends
Je prends
=
7
1
4
0,25
Je prends
♥ sur 10
Je prends
7
10
0,7
Je prends 70 %
du lot des
du lot des
du lot des
du lot des
♣ sur 8
Je prends 37,5 %
du lot des
Je prends
7
16
Je prends 0,4375
du lot des
Je prends 43,75 %
du lot des
Je prends
=
3
Je prends
=
7
♠ sur 16
♥
du lot des
3
8
Je prends 0,375
Je prends
♣
du lot des
du lot des
♣
♠
21
Je prends
=
4
♠ sur 8
=
♣ sur 15
Je prends 50 %
du lot des
=
♥ sur 11
du lot des
6
2
=
15 5
Je prends 0,4
du lot des
Je prends 40 %
du lot des
5
11
Je prends 0,4545
Je prends
Je prends
5
du lot des
Je prends
Je prends
6
4 1
=
8 2
Je prends 0,5
Je prends
Je prends 45,45 %
du lot des
du lot des
du lot des
♠
♣
♥
du lot des
0,4545 et 45,45 sont des valeurs approchées
Je prends
=
2
2
7
Je prends 0,2857
du lot des
Je prends 28,57 %
du lot des
Je prends
♣ sur 7
du lot des
♣
0,2857 et 28,57 sont des valeurs approchées
Je prends
Je prends
=
4
♠ sur 14
4
2
du lot des
=
14 7
Je prends 0,2857 du lot des
Je prends 28,57 %
♠
du lot des
0,2857 et 28,57 sont des valeurs approchées
22
2) Ecrire les nombres suivants sous forme de nombres décimaux.
1
2
30 %
50 %
1
3
15
21
13
39
40
100
1
4
7
21
Voir réponses page suivante
REPONSES
23
1
2
peut s’écrire 0,5
30 %
peut s’écrire 0,3
50 %
peut s’écrire 0,5
1
3
peut s’écrire 0,33 (valeur approchée)
15
21
peut s’écrire 0,71 (valeur approchée)
13
39
peut s’écrire 0,33 (valeur approchée)
40
100
peut s’écrire 0,4
1
4
peut s’écrire 0,25
7
21
peut s’écrire 0,33 (valeur approchée)
24
Si vous le désirer d’autres exercices sont à votre disposition dans le
logiciel FRADEPOU dans MAC 6 Proportions.
Demandez le à l’animateur.
FIN
25