Cours transformateur STS

TRANSFORMATEUR
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TABLE DES MATIERES
1 ) Transformateur parfait
1.1 ) Generalites
1.2 ) Règles de positionnement des courants positifs
1.3 ) Schéma equivalent
1.4 ) Rapport de transformation a vide
1.5 ) Impédance ramenée au primaire
1.6 ) Puissance apparente, active et réactive
1.7 ) Formule de Boucherot
2 ) Transformateur réel
2.1 ) Influence des pertes fer et de la réluctance
2.2 ) Mesure des pertes fer et des pertes magnétiques
2.3 ) Influence des fuites magnétiques
2.4 ) Inductances de Boucherot ( fuites ramenées au primaire et au secondaire )
2.5 ) Coefficient de dispersion de Blondel ϑ
2.6 ) Coefficient de couplage k
2.7 ) Schéma structurel du transformateur réel
2.8 ) Effet de la mutuelle inductance
2.9 ) Modèle de Kapp
2.10 ) Rendement
2.11 ) Transformateur d’impulsions
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2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
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6
6
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7
7
8
8
TRANSFORMATEUR
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1 ) TRANSFORMATEUR PARFAIT
1.1 ) GENERALITES
Un transformateur est parfait si
Les fuites magnétiques sont nulles : Φ = constante dans tout le circuit magnétique.
Les pertes fer sont nulles : le circuit magnétique ne chauffe pas.
La réluctance du circuit magnétique est nulle : pas de consommation de force
électromagnétique par le circuit magnétique ( Rappel : N × I = ℜ × Φ ).
Schéma équivalent :
Remarque : On peut considérer que le transformateur
est constitué de deux enroulements formés
d’un seul enroulement coupé en deux.
Si le sens des enroulements n’est pas modifié,
les bobines réagissent identiquement.
Si le sens des enroulements est inversé,
les bobines ont des réactions opposées.
1.2 ) REGLES DE POSITIONNEMENT DES COURANTS POSITIFS
1 ) placer un flux ou une induction positive ( arbitraire )
2 ) placer les courants ( règle de la main droite ou du tire bouchon de Maxwell )
3 ) placer les tensions ( convention récepteur en entrée et générateur en sortie )
Dans les 2 cas, les courants rentrent par les points de repérage d’enroulement
Par principe, les flux s’ajoutent : N 1 × I 1 + N 2 × I 2 = ℜ1 × Φ 1 + ℜ 2 × Φ 2
1.3 ) SCHEMA EQUIVALENT
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1.4 ) RAPPORT DE TRANSFORMATION A VIDE
dφ
dt
dφ
u 2 = +e2 = − N 2 ×
dt
u1 = −e1 = + N 1 ×
⇒ mv =
u
e2
N
= 2v = 2
e1 − u1 N 1
mv = rapport de transformation à vide
Remarque : mv =
Pas de perte
u 2v U 2v
=
en valeur efficace
u1
U1
⇒ P1 = P2 ⇒ U 1 × I1 = U 2 × I 2
Réluctance nulle
⇒ N 1 × i1 + N 2 × i2 = 0
⇒ mv =
I1
en valeur efficace
I2
⇒ mv = −
i1
en valeur instantanée
i2
U2 = Zs × I2
1.5 ) IMPEDANCE RAMENEE AU PRIMAIRE
mv × U 1 = Z s ×
I1
mv
Z
U1
= s2
I 1 mv
Zp = impédance
ramenée au primaire
Zp =
1.6 ) PUISSANCE APPARENTE, ACTIVE ET REACTIVE
Puissance apparente ( Réellement consommée )
Puissance active ( Effet Joule )
Puissance réactive ( Effet réactif )
Facteur de puissance
S = U × I en VA
P = U × I × cos(ϕ ) en W
Q = U × I × sin(ϕ ) en VAR
cos(ϕ )
S 2 = P2 + Q2
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1.7 ) FORMULE DE BOUCHEROT
φ est sinusoïdal de la forme φ = φ max × sin(ω × t )
( pour une spire )
dφ
u1 = −e1 = + N 1 ×
⇒ u1 = N 1 × ω × φ max × cos(ω × t ) = U 1 × 2 × cos(ω × t )
dt
donc U 1 =
Remarque :
ω
2
× N 1 × φ max
si f = 50Hz, alors
U 1 = 4,44 × f × N 1 × φ max (φ pour 1 spire)
U 1 = 4,44 × f × N 1 × S × Bmax
Formule de Boucherot
U1 = valeur efficace
L’induction maximale est constante indépendamment de I2.
Sa valeur dépend de U1.
2 ) TRANSFORMATEUR REEL
2.1 ) INFLUENCE DES PERTES FER ET DE LA RELUCTANCE
A vide, les pertes fer et la réluctance magnétique font que même si I2 = 0, alors I 1 ≠ 0 .
D’après la définition de la réluctance, à vide, N 1 × iv = ℜ × Φ
En charge, N 1 × i1 + N 2 × i2 = ℜ × Φ = N 1 × iv
i1 +
N2
× i 2 = iv
N1
⇒ i1 = iv − mv × i2
iv est pratiquement en quadrature arrière
i '1 = m × i2 dépend de la charge
Si la charge est résistive, alors
I 1 = I v + (m × I 2 ) 2
2
Les pertes fer (effet Joule, échauffement du matériau magnétique) sont symbolisées par une
résistance Rf.
Les pertes magnétiques ( magnétisation de la bobine ) sont symbolisées par une inductance
Lm.
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2.2 ) MESURE DES PERTES FER ET DES PERTES MAGNETIQUES
Cette mesure se fait à vide de la façon suivante :
On considère que les pertes dues à l’enroulement
du primaire sont négligeables
Mesure de U, I et P.
Le courant Iv comporte deux composantes en
quadrature Ia (actif ) et Iréac (réactif ).
 P 

P = U 1 × I v × cos(ϕ ) ⇒ ϕ = Arc cos
 U1 × I v 
I a = I v × cos(ϕ ) et I réac = I v × sin(ϕ )
Rf =
U1
U
Xm
et X m = 1 = Lm × ω ⇒ Lm =
Ia
I réac
2 ×π
2.3 ) INFLUENCE DES FUITES MAGNETIQUES
Soit φ1 , le flux qui traverse une spire de L1 ( produit par L1 )
Soit φ12 , le flux qui traverse une spire de L2 ( à vide, produit par I1 dans L1 )
Si φ1 ≠ φ1 2 , il existe alors des fuites magnétiques.
Le flux de fuite par spire est φ f 1 = φ1 − φ1 2
Soit l1, l’inductance de fuite au primaire
l1 × i1 = N 1 × φ f 1 = N 1 × φ1 − N 1 × φ1 2 (1)
Soit M, la mutuelle inductance. Elle est définie telle que M × I 1 = Φ 12 = N 2 × φ1 2 (2)
(1) et (2) ⇒ l1 × I 1 = L1 × I 1 −
N1 × M
× I1
N2
En alimentant par le secondaire, on obtient
(3) et (4)
l1 = L1 −
N1
× M (3)
N2
M × I 2 = Φ 21 = N 1 × φ 21
N
l 2 = L2 − 2 × M (4)
N1
M = ( L1 − l1 ) × ( L2 − l 2 ) (5)
M en Henry = mutuelle induction
= coefficient de Boucherot
Remarque : Si le circuit magnétique est sans fuite, alors
φ f 1 = φ f 2 = 0 car φ1 = φ1 2 et φ 2 = φ 21
donc l1 = l 2 = 0
donc M sans fuite = M max = L1 × L2
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2.4 ) INDUCTANCES DE BOUCHEROT ( FUITES RAMENEES AU PRIMAIRE ET AU
SECONDAIRE )
En réalité, l1 et l2 n’existent pas. On préfère mettre en place une inductance η1 qui correspond
aux fuites totales ramenées au primaire ou une inductance η 2 qui correspond aux fuites
totales ramenées au secondaire.
On suppose que l2 = 0 et que l1 représente toutes les fuites donc est η1 .
M2
(6) en Henry
L2
fuites totales ramenées au primaire
⇒ η1 = L1 −
M 2 = ( L1 − η1 ) × L2
(5) ⇒
M2
(7) en Henry
L1
fuites totales ramenées au secondaire
η 2 = L2 −
A l’inverse,
2.5 ) COEFFICIENT DE DISPERSION DE BLONDEL ϑ
Si le circuit est parfait, l1 = l 2 = 0
M = M max = L1 × L2
Si le circuit est réel, M < L1 × L2 donc M 2 < L1 × L2
L’écart entre L1 × L2 et M 2 caractérise les fuites.
L1 × L2 − M 2
Coefficient de dispersion de Blondel = ϑ =
(8)
L1 × L2
Coefficient sans unité.
Circuit parfait ϑ = 0 .
On remarque que η1 = ϑ × L1
η 2 = ϑ × L2 (9)
et
2.6 ) COEFFICIENT DE COUPLAGE K
Il est défini tel que k =
M
L1 × L2
(10)
0≤k≤1
couplage lâche ou serré
Si le circuit est parfait, le couplage est parfait ( k = 1 ) donc M = M max = L1 × L2
Remarques :
a ) On remarque que M = k × M max
b ) (8) et (10) ⇒ ϑ =
M max − M 2
2
M max
2
⇒ϑ =
M max × (1 − k 2 )
c ) Le rapport de transformation peut s’écrire
2
M max
2
ϑ = 1 − k 2 (11)
L2
(12)
L1
démonstration au § 2.8
m=k×
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2.7 ) SCHEMA STRUCTUREL DU TRANSFORMATEUR REEL
2.8 ) EFFET DE LA MUTUELLE INDUCTANCE
di1
di
+M× 2
dt
dt
(13)
di2
di1
v 2 = L2 ×
+M×
dt
dt
v1 = L1 ×
Si le transformateur est à vide,
di
v
v2 = M × 1 = M × 1
dt
L1
v
v
M
donc 2 =
or m = 2 donc:
v1 L1
v1
M = m × L1
de plus,
donc m =
m=
(11bis)
M k × L1 × L2
=
L1
L1
L2
M
=k×
(12)
L1
L1
2.9 ) MODELE DE KAPP
Il permet de déterminer la chute de tension en charge.
Rs et Xs sont les
impédances ramenées au
secondaire.
La chute de tension ne
dépend que d’elles et de
la charge.
Formule simplifiée : ∆v 2 = v 2 v − v 2 = Rs × I 2 × cos(ϕ 2 ) + X s × I 2 × sin(ϕ 2 ) (14)
ϕ 2 est le déphasage apporté par la charge du transformateur ( = 0 si Z = R ).
Pour appliquer la formule, il faut connaître les valeurs de Rs et X s .
Un mesure en court-circuit ( CC ) à U1 réduite ( 5% de U1N ) et à courant nominal I2N permet
cela. Le schéma de montage des appareils de mesure est le suivant :
I1CC
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D’après les résultats des mesures ( P1CC, U1CC et I1CC ), on calcule Rs , Xs et Zs .
P1CC = Rs × I 2CC
Zs =
2
U 2CC m × U 1CC
=
I 1CC
I 2CC
m
Z s = R s + X s ⇒ X s = Z s − Rs
2
2
2
2
2
2
m 2 × P1CC
donc
Rs =
donc
Zs =
donc
X s = Z s − Rs
I 1CC
2
m 2 × U 1CC
I 1CC
2
(15)
2
2.10 ) RENDEMENT
η=
P2
U 2 × I 2 × cos(ϕ 2 )
Pu P2
=
=
=
Pa P1 P2 + Pfer + PCu U 2 × I 2 × cos(ϕ 2 ) + Pfer + Rs × ( I 2 × cos(ϕ 2 )) 2
2.11 ) TRANSFORMATEUR D’IMPULSIONS
Il est constitué d’un tore de ferrite à deux enroulements.
IL faut éviter tous les phénomènes de saturation magnétique ( I L < I LS ).
Les constructeurs ne donnent pas I LS ( courant de saturation ) mais ils donnent V0 × t 0
mesuré à vide et l’inductance L p .
v1 (t ) = L p ×
di L
1
⇒ i L (t ) =
dt
Lp
∫ v (t ) × dt
1
or v1 (t ) = cste = V1 ⇒ i L (t ) = V1 × t
Si
i L (t ) < i LS alors Φ varie donc ∃ V2 .
Si
i L (t ) ≥ i LS alors Φ ne varie pas donc V2 = 0 .
V0 × t 0 représente la surface maximale d’une impulsion d’entrée de valeur V0 et de temps t 0 .
V0 × t 0 = ∫
∞
0
V0 × dt = ∫
∞
0
Lp ×
di L
× dt = L p × I LS
dt
⇒ I LS =
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V0 × t 0
Lp