Chapitre VIII. Les diagrammes thermodynamiques

Chapitre VI : Diagrammes thermodynamiques.
Chapitre VIII. Les diagrammes thermodynamiques
Introduction.
Tout fluide (liquide ou gaz) à son état d’équilibre est caractérisé par des
grandeurs thermodynamiques (variables d’état ou fonctions d’état) (P, V, T, U, H, S).
Equation caractéristique d’un fluide.
Soit f(x, y, z) = 0 avec x, y, z variables d’état. On peut mettre sous la forme
z=f(x, y). Donc dans le plan (x, y), on peut tracer des courbes d’équation z = cte.
VIII.1 : Diagramme de Clapyron (P, V).
C’est un diagramme dans lequel on porte le volume en abscisse et la
pression en ordonnée.
VIII.1.1 Représentation des isobares et isochores :
P
Isochore (V=Cte)
Isobare (P=cte)
v
VIII.1.2 Représentation du travail de forces de pression.
2
Wp    P.dV
1
P
1
p
2
Wp
p
Wp
2
A
+
A
1
-A
v1
Détente
Wp = -A
p
+A
v2
Cours de thermodynamique.
V
v2
v1
Compression
Wp = +A
V
V
Cycle générateur sens
trigonométrique Wcy=+A
V
Cycle moteur
Wcy = -A
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Chapitre VI : Diagrammes thermodynamiques.
VIII.1.3 : Représentation des isothermes et adiabatiques réversibles :
Les isothermes sont représentées par des courbes d’équation P.V = cte ou
P = Cte /V.
Ce sont des hyperboles équilatères. Les adiabatiques sont représentées par des
courbes d’équation P .V = cte (voir chapitre gaz parfait).
P
 P 

 : Pente au point M de la courbe qui représente
 V  T
Adiabatique (Q = 0)
la transformation isotherme.
 P 


 V  Q
 P 


 V  T
 P 

 : Pente au point M de la courbe qui représente
 V  Q
Isotherme
la transformation adiabatique
V
 P 
 P 
 avec

 = 
 V  Q
 V  T
>1
 P 
 P 
 : Fluide monophasique.

 >
 V  Q  V T
Remarque :
Les adiabatiques réversibles ont une forme compliquée à
particulièrement pour des grandes variations de pression et de volume.
tracer,
Exemple : Turbine à vapeur ( Pression à l’admission 20 Bars, Pression à
l’échappement 0,02 Bars.
VIII.1.4 : Cas de la vapeur d’eau (fluide diphasique (Liq + Vap)
P
Permet de calculer le titre
en vapeur
C : point critique
C
Isotherme
critique (Tc)
liq+ vap
Liq
Vap
Isotherme T<Tc
Courbe de saturation
V
Conclusion :
Le diagramme de ClapyRon est commode à utiliser pour des considérations et
études théoriques.
Pour lire des valeurs numériques et faire des calculs on utilisera les
diagrammes Entropique et Enthalpique
Cours de thermodynamique.
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Chapitre VI : Diagrammes thermodynamiques.
VIII.2 : Diagramme entropique (T, S)
Abscisse  Entropie
Ordonnée  température.
VIII.2.1 : Représentation des isothermes et isentropiques (adiabatiques et
réversibles)
T
T
Isotherme T=cte
Isentropique
S= cte
0
B
T1
T2
S
C
Cycle de Carnot
A
D
S1
S2
S
VIII.2.2 : Quantité de chaleur échangée
T
TB
Qrev
iS  0
T
Qrev  T .dS
TA
Qrev   T .dS
B
dS 
B
A
A
B
Q
Q
Transforma tion réversible de A  B
A
S
A
Transforma tion réversible de B  A
B
 A
 A
Remarque :
2
B
Analogie entre W    P.dv dans le diagramme (p, v) et
1
Qrev   T .dS dans le
A
diagramme (T,S).
T
Cas d’un cycle :
T
B
B
+A
-A
A
A
S
Cours de thermodynamique.
Qrev = + A si le cycle est
parcouru dans le sens d’une
aiguille d’une montre.
S
Qrev = - A si le cycle est parcouru
dans le sens trigonométrique.
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Chapitre VI : Diagrammes thermodynamiques.
W +Q = E = (U +Ec +Ep)
Pour un cycle réversible E = 0 Wrev +Qrev = 0  Wrev = - Qrev = -(We)rev
Pour un cycle réversible, il y a donc équivalence entre l’aire mesurée sur le
diagramme de Clapeyron et celle mesurée sur le diagramme entropique.
VIII.2.3 : - Isochore et isobare d’un fluide à Cv et Cp constantes
Isobare réversible  Qrev = Cp.dT (dp = 0)  dS = Qrev /T
 dS = Cp(dT /T)
 S = Cp Ln(T)+Cte  Ln(T) = (S – Cte)/Cp  T  e
Isochore réversible  QREV = CvdT
iS = 0
S  Cte
Cp
 k. e
S
Cp
(dV = 0) 
Q
dT
dS = rev  Cv
 S  C v LnT  Cte 
T
T
S
T  k e V
Les transformations isobares et isothermes réversibles sont représentées dans le
diagramme (T.S) par des exponentielles.
VIII.2.4 : Représentation de l’isobare et de l’isochore sur le diagramme (T, S)
Plaçons nous en un point M du diagramme (T, S) et cherchons à situer l’isobare
(l’isochore) en ce point.
dT
dT
Soient   et   les pentes des tanjentes à l’isobare et à l’isochore du point
 dS V
 dS  P
M arbitraire du diagramme (T, S).
T
S
S
k Cp T   dT 
 dT 
T  ke Cp  

e




C p   dS V C p
 dS  P C p

  1

S
S
dT
C


v

dT
k
T





T  k e Cv  
e Cv 
 

dS

P
Cv 
 dS V Cv
 dT 
 dT 

La tangente (à l' isochore) est toujours
 

 dS V
 dS  P
Isochore (V = cte)
Isobare (P=cte)
 T 


 S  P
 T 


 S V
supèrieure à la tangnte(à l' isobar) en ce point M
S
Ce résultat reste encore valable même si Cp et Cv ne restent pas constantes.
Cours de thermodynamique.
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Chapitre VI : Diagrammes thermodynamiques.
Cas des transformations irréversibles.
Une transformation réelle ne peut pas être en toute rigueur représentée dans un
diagramme thermodynamique, car les états intermédiaires ne sont pas des états
d’équilibre. Il est important de noter que la courbe ainsi tracée n’à pas les mêmes
propriétés que dans le cas des transformations réversibles.
dS 
 Q irr
  iS ( iS  0 )   Q irr  TdS  T  iS 
T
B
Aire A


0


B
B
  Q irr  Q irr   TdS   T  iS
A
A
A
B
Q irr  A   T
 iS  Q irr  A
0
A
Transformation réversible de :
T
A
B
AB
BA
B’
Q AB   A
A
QB   A
A
Transformation irréversible de :
A’
A  B’
B’  A
SA
S S
AB 
Q Irr   A  A
B A
Qirr   A; ( A  A)
VIII.2.5 : Représentation d’une compression et une détente adiabatique.
Q
 iS iS  0 
T
B
Adiabatique  Q=0  Q=0  S   iS  0
dS 
S ne peut qu’évoluer ().
A
On représente donc les transformations adiabatiques par des courbes toujours
dirigées vers le sens des entropies croissantes.
T
T
P2>P1
2 2’
irrev
rev
1
P1
rev
1
S1 S2’
Compression adiabatique
Cours de thermodynamique.
2
S
P1
P2<P1
irrev
2’
S1 S2
S
Détente adiabatique
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Chapitre VI : Diagrammes thermodynamiques.
Rendement isentropique.
Compression adiabatique (ηs)c = (WTrev) / (WTirr) avec 0 < ηsc < 1
Détente adiabatique (ηs)d = (WTirr)/ (WTrev) avec 0 < ηsd < 1.
1er principe de la thermodynamique donne : WT + Q = H + Ec + Ep
(Q, Ec, Ep  0)
 WT = H
WT rev  H 2  H 1 
H 2  H1
 Compression   is.c 
WT  H 2  H 1 
H 2  H 1
WT rev  H 2  H 1 
H 1  H 2
 Détente   is.d 
H1  H 2
WT  H 2  H 1 
Cas des gaz calorifiquement parfaits (Cp = cte)  H = mCpT + cte
 is.c 
T2  T1
T2  T1
 is.d 
T1  T2
T1  T2
VIII.2.6 : Cas de la vapeur d’eau ou fluide diphasique.
T
AA’ vaporisation
C
Pc pression critique
Liq + Vap
Liquide A
A’ vapeur
S
VIII.3 : Diagramme Enthalpie – Entropie (H, S).
H
T
Ordonnée  Enthalpie (S)
Abscisse  Entropie (H)


P = Cte
Cours de thermodynamique.
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S
Chapitre VI : Diagrammes thermodynamiques.
Dans le cas d’une transformation isobare (p = cte) on à :
QP = dH ou Qp = H
dS = Qrev/T  Qrev = T.dS  QP = Qrev = dH = T.dS.
 dH 

 T
 dS  P
Le coefficient angulaire de la tangente à une isobare est égal à la température
thermodynamique.
1 : Cas d’un gaz parfait :
 H 
 H 
H  f (T )  
 
 0
 P  T  V T
dH = Cp.dT
Si Cp = Cte  H = CpT + Cte
Le diagramme (H, S) s’identifie au diagramme entropique à un changement de
l’échelle des ordonnées près.
Si Cp et Cv  Cte, les isothermes sont toujours parallèles à l’axe des entropies
(S), mais leur écartement varie (croit avec la température puisque Cp augmente
avec T).
2 : Cas d’un mélange liquide – vapeur (diagramme de MOLLIER).
Ces diagrammes sont utilisés pour l’étude des machines thermiques en
particulier les machines frigorifiques. A l’intérieur de la courbe de saturation, les
isobares confondues avec les isothermes sont des droites inclinées. On peut
également porter les pressions en ordonnée et l’enthalpie en abscisse pour
représenter l’état d’un fluide. Un tel diagramme est surtout utilisé pour l’étude
des machines frigorifiques.
H
P
Courbe de
saturation
C
entropie massique
P = Cte
T:cte
Courbe de
saturation
P et T Cte
S
Cours de thermodynamique.
H
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Chapitre VI : Diagrammes thermodynamiques.
3- Cas d’une compression ou d’une détente adiabatique irréversibles
H
H
P2>P1
P1
P1
H2’
2’
H2
P2<P1
H1
2
1
H2’
2’
H2
H1
2
1
S
S
1  2 : réversible.
1  2’ : irréversible.
Rendement isentropique :
Compression
 s c

H 2  H1
H 2  H 1
Cours de thermodynamique.
Détente :
 s d

H 1  H 2
H1  H 2
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