Structure de la gamme occidentale

Structure de la gamme occidentale
Ce qui suit est extrait d'un cours fait à des TA^, élèves du
Conservatoire National Supérieur de Paris, des conservatoires et
écoles de musique de Paris et de la région parisienne.
Il s'agit d'un exposé élémentaire qui a pour but d'expliquer
la constitution de la gamme occidentale.
Depuis l'Antiquité, musiciens et théoriciens ont imaginé un
grand nombre de gammes. Il s'est dégagé au cours des siècles,
en Occident, des gammes de conceptions différentes mais de
structures très proches. Pour décrire « la gamme occidentale *,
il est courant d'envisager 3 de ces gammes qui ont chacune leurs
caractéristiques, et qui ne peuvent être fondues, théoriquement,
en une seule gamme ; il s'agit des gammes de Pythagore, de
Zarlino, et de la gamme tempérée.
GÉNÉRALITÉS
VALABLES
1. NOTES
POUR LES
3 GAMMES
DE LA GAMME.
Les diverses notes utilisées par les musiciens se groupent en
octaves de 7 + 1 notes chacune.
-
do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol la si do
y
-
octave 2
octave
do]
lal
doz
110 Hz
de
la2 do3
220 Hz
octave 3
la3
440 Hz
On envisage généralement 10 octaves, numérotées en France
1 0 1 2... 8).
- 1 à + 8 (-
L'ensemble de ces octaves forme l'échelle musicale.
Deux notes de même nom sont séparées par une octave ou
un nombre entier d'octaves.
Ex. : dol do2 sont séparés par 1 octave,
lal la3 sont séparés par 2 octaves.
Chaque note d'une gamme donnée est caractérisée par sa fréquence N exprimée en Hertz (Hz).
Ex. : la, 110 Hz
la, 440 Hz (pour les trois gammes).
Remarque.
Les valeurs numériques des fréquences des notes données
dans ce qui suit sont calculées à partir de la3 440 Hz.
2. PROPRIETES DES NOTES DE MEME NOM.
Il existe par définition une relation très simple entre les
fréquences de 2 notes de même nom.
Lorsque l'on passe d'une note, à la note de même nom
située à l'octave supérieure, la fréquence est multipliée par 2 .
doz 130,8 Hz (gamme tempérée).
Ex. : dol 65,4 Hz
Lorsque l'on passe d'une note, à la note de même nom
située 2 octaves au-dessus, la fréquence est multipliée par
2X2=4=22.
Ex. : lal
110 Hz
la3 440 Hz (toutes gammes).
- En multipliant la fréquence d'une note par 2n, on trouve
une note de même nom située à n octaves au-dessus de
la note de départ.
De même, lorsque l'on passe d'une note, à la note de même
nom située à l'octave inférieure, la fréquence est divisée par 2.
Lorsque l'on passe d'une note à la note de même nom
située 2 octaves en dessous, la fréquence est divisée par
2 x 2 = 4 = 2 2 .
440
Ex. : la3 440 Hz
lal 110 Hz = -.
4
- En divisant la fréquence d'une note par 2", on trouve
une note de même nom située à n octaves au-dessous de
la note de départ.
3. ALTERATION DES NOTES.
Chaque note d'une gamme peut être altérée :
# (ou # # ou x ), ce qui a pour effet d'augmenter
la fréquence de la note ;
- par un bémol i7 (ou b b), ce qui a pour effet de diminuer
la fréquence de la note.
- par un dièse
4. INTERVALLE DE 2 NOTES.
En raison de sa structure, l'oreille perçoit le rapport des
fréquences de 2 notes.
- L'intervalle qui existe entre 2 notes est déterminé par le
rapport des fréquences de ces notes.
fréquence de la note la plus haute
Intervalle ascendant i =
fréquence de la note la plus basse
fréquence de la note la plus basse
Intervalle descendant i =
fréquence de la note la plus haute
Ex. : Intervalle ascendant entre ré3 et la3 (gamme de
Pythagore) : ré3 293 Hz
la3 440 Hz
Intervalle descendant entre les mêmes notes :
Intervalle ascendant entre la2 et la3 (toutes gammes) :
- Il est parfois commode de mesurer un intervalle par le
logarithme décimal du rapport des fréquences et on mulplie par 1000 le résultat obtenu pour éviter un grand
nombre de chiffres après la virgule. Le résultat obtenu est
alors exprimé en Savart (Note 4).
On peut additionner ou soustraire les intervalles exprimés en
Savart.
Ex. : Intervalle ascendant la2 la3 en Savart :
440
= 1000 log 2 = 300 Savart.
i = 1000 log
220
-
Une oreille exercée reconnaît l'intervalle de 2 notes quelle que
soit la position de ces notes dans la gamme.
5. CONCLUSION.
- La structure d'une gamme sera déterminée par la connais-
sance de la structure d'une des octaves de la gamme, c'està-dire par la connaissance des intervalles qui existent
entre les différentes notes consécutives d'une même octave.
224
BULLETIN DE L'UNION
DES PHYSICIENS.
D'après ce qui précède, la structure des autrcs octaves de la
gamme sera identique.
ka frequence N d'une note d'une gamme donnée peut être
calculée si l'on connaît l'intervailile qui existe entre cette note et
une autre note dont on connaît la fréquence.
Par convention internationale la3 440 Hz.
D'oii la valeur des fréquences des notes dcs différentes
gammes.
Ex. : Gamme de Pythagore.
Calcul de la fréquence de ré,.
Intervalle ascendant ré3 la3 i = -.
3
L
Fréquence dc rCj =
fréquence de la3
- == 293,3 H L .
i
G A M M E DE PYTHAGORE
1. ORIGINE.
Cette gamme semble avoir comme origine la consonance,
considérée par les musiciens comme parfaite, de 2 sons émis l'un
par une corde ( a ) de longueur 1, l'autre par les 2 / 3 de la longueur 1 d'une corde ( b ) identique à la précédente. Cherchons I'intervalle de ces 2 sons :
La fréquence d'un son émis par une corde est à peu pris
kV
N = - ( k entier, V vitesse de propagation de la vibration le
22
long de la corde, 1 longueur de la corde).
La fréquence du son émis par la corde (a) est :
Na=V/22
( k = l )
La fréquence du son émis par la corde ( h ) est :
2
Nb=V/2*--l
d'où :
3
N a / N b = 312.
L'intervalle des 2 sons est donc 312.
(k=1)
Nous verrons que dans la gamme de Pythagore, 3/2 est l'intervalle qui separe la première note de la cinquième note (les
notes étant rangées par fréquence croissante) ; ces 2 sons
forment alors une quinte (juste).
Cette quinte a une origine naturelle (vibrations de cordes) ;
elle peut être mesurée scientifiquement ; elle est déterminée à
l'oreille par les musiciens.
Remarque.
Des considérations analogues peuvent être envisagées à partir de tuyaux.
2. PRINCIPE DE LA FORMATION DE LA GAMME DE PYTHAGORE.
Soit Ni la fréquence d'un son.
- Les notes de la gamme de Pythagore s'obtiennent par
quintes successives en prenant comme première note Ni.
Nous avons vu que l'octave a comme propriété de contenir
huit notes de fréquences Ni N2... Ns.
NB = 2 NI (par définition). Il faut donc trouver 6 notes dont
les fréquences soient comprises entre N1 et 2 NI.
- N1
- Note suivante à la quinte (ascendante par exemple) de N1 :
N2/N1 = 3/2, N2 = 3/2 Ni, N2 est bien inférieur à 2 Ni, donc
Nz convient.
- Note suivante à la quinte (ascendante par exemple) de N2 :
9
N;/NZ = 3/2, N', = - N1 = 2,25 Ni fréquence supérieure
4
à 2 Ni ; nous envisagerons alors la note de même nom N3 située
à l'octave inférieure de N;.
Soit N3 = NI3/2 = 9/8 de Ni ; N3 est bien compris entre NI
et 2 Ni, donc N3 convient.
- Note suivante, etc., voir schéma 1.
Pour obtenir les 6 notes dont les fréquences sont comprises
entre NI et 2 Ni, on peut envisager 6 quintes ascendantes ou
6 quintes descendantes ou mélanger quintes ascendantes et
quintes descendantes. On obtient, dans chaque cas, des octaves
de structures différentes, mais elles ont toutes en commun le
caractère fondamental suivant : les intervalles qui séparent
2 notes consécutives ne sont que de 2 types (les notes étant rangées par fréquence croissante) ; l'un est de 9/8 ou 51,15 Savart
226
Schéma 1
BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS
227
BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS
(intervalle IP), l'autre de 2561243 ou 22,64 Savart (intervalle JP).
Mais l'enchaînement de ces intervalles varie suivant le mélange
de quintes envisagé ; on obtient alors différents modes (ex. :
mode de Do ou mode Majeur, mode de Ré ou mode Dorien grec - etc.).
3. STRUCTURE DE LA GAMME DE PYTHAGORE.
Une division de l'octave très courante est obtenue à partir
de 5 quintes ascendantes et 1 quinte descendante (mode Majeur).
Elle a la structure suivante : schéma 2.
Schéma 2
00
Re'
mi
f=
Ip =
918
L4
,of
Si
ou 51,15 Savart,
Jp = 2561243 ou 22,64 Savart.
Degré
1
II
III
IV
Ex
Do
Ré
Mi
Fa
N1
9
-NI
8
Fréquence de la note
... .
9
Intervalle de la notelà NI
Intervalle en Savart .
1
O
81
-NI
64
81
4
-N,
3
4
-
-
-
8
64
3
51,15
102,30
124,94
228
BULLETIN DE L'UNION DES
Degré
1-
Sol
PHYSICIENS
La
Fréquence de la note . . . . . .
Intervalle de la notelà NI
Intervalle en Savart . . .
Intervalle de 2 notes consécutives :
Do Ré
918 soit Ip,
Ré Mi
918 soit Ip,
Mi Fa 2561243 soit Jp,
Fa Sol 918 soit Ip,
Sol La
918 soit Ip,
La Si
918 soit Ir,
Si Do 2561243 soit Jp.
Pour obtenir les notes altérées, on peut envisager davantage
de quintes ascendantes ou descendantes. L'introduction des notes
altérées : 1 B, 1 b ne fait intervenir qu'un seul nouvel intervalle :
JrP = 2 187/2048 ou 2552 Savart.
Schéma 3
5.f
la6
Jr
4
-
Ji
~ofit>
J
La
Z
1,
L'intervalle de 2 notes enharmoniques, ex. : La S Sol
en Savart :
28,52 - 22,64 = 5,88 Savart.
C'est le comma de Pythagore,
5
est
4. CONCLUSION.
Cette gamme est théoriquement remarquable par la simplicité de son mode de formation et par la constance des intervalles
obtenus. Elle n'est cependant pas cyclique : on démontre qu'une
suite de quintes ne permet jamais de retomber sur la note de
départ (ou une note de même nom).
Ex. : Si # ne coïncide pas avec Do.
Si b b ne coïncide pas avec La.
(On obtient une infinité de notes différentes).
La transposition parfois difficile est possible.
On reproche à la gamme de Pythagore de donner des accords
de tierce majeure légèrement plus grands que l'accord de tierce
majeure dit naturel - gamme de Zarlino.
81/64 = 127 pour Pythagore au lieu de 5/4 = 1,25 pour
Zarlino ; des battements (cas des orgues par exemple) peuvent
alors se produire (voir note 1).
Dans le domaine musical, cette gamme parfaite pour les
lignes mélodiques est considérée comme la plus satisfaisante et
la plus expressive. Des études statistiques ont montré que la
gamme de Pythagore est la plus appréciée.
Les musiciens qui peuvent « faire leur note » (violoniste,...)
jouent une gamme très voisine de celle de Pythagore, mais on
ne peut envisager cette gamme pour les instruments classiques
à sons fixes tels que pianos ...
Remarque.
Je n'étudie pas la gamme de Holder (17me siècle) obtenue en
divisant l'octave en 53 intervalles égaux - intervalles appelés
commas de Holder - (chaque ton vaut alors 9 commas avec
112 ton chromatique 5 commas et 112 ton diatonique 4 commas),
car le résultat obtenu est très proche de la gamme de Pythagore ;
les intervalles diffèrent le plus souvent de moins de 1/10e de
Savart quand on passe d'une gamme à l'autre (imperceptible à
l'oreille).
G A M M E DE ZARLINO
ou des physiciens, ou naturelle,
ou d'Aristoxène [théoricien de ['Antiquité)
1. ORIGINE.
Rappel.
Un son périodique de fréquence N (par exemple son émis
par une corde de violon) peut être considéré comme constitué
d'une série de sons élémentaires (sons sinusoïdaux émis simultanément par exemple par une série de diapasons) de fréquence N,
2 N, 3 N, 4 N, ... Le son sinusoïdal de fréquence N s'appelle le
fondamental (ou harmonique l), les sons sinusoïdaux de fréquence 2 N, 3 N, 4 N ,... s'appellent les harmoniques 2, 3, 4...
(voir note 2).
Il semble que l'origine de la gamme de Zarlino soit due aux
sons émis par des cordes identiques (nature, section), de longueur 1, 1/2, 1/3, l/4,... sons dont les fréquences sont justement
égales aux fréquences des harmoniques du son émis par la corde
de longueur 1 (résultat qui découle de la relation approxima2L
On envisage des harmoniques particuliers : en émettant simultanément des sons (accord) dont les fréquences sont égales aux
fréquences des harmoniques 4, 5, 6 soit 4 N, 5 N, 6 N, les fréquences de ces sons (N quelconque), on obtient un accord particulièrement apprécié (consonance presque parfaite) appelé accord
parfait majeur.
- Zarlino a construit sa gamme à partir d'accords parfaits
majeurs.
Ces accords sont naturels, ils peuvent être déterminés scientifiquement, ou à l'oreille par les musiciens.
Remarque.
Des considérations analogues peuvent être envisagées à partir de tuyaux.
2. PRINCIPE DE LA GAMME DE ZARLINO.
Nous avons vu que l'acord parfait majeur est constitué de
3 sons dont les fréquences sont entre elles comme 4 N, 5 N, 6 N
(N quelconque).
Calculons l'intervalle qui existe entre les sons de fréquence
-
5N
5
4 N et 5 N : i = - - ; nous verrons que cet intervalle
4N
4
sépare la ire et la 3me note de la gamme de Zarlino (les notes
étant rangées par fréquences croissantes) ; nous appellerons cet
intervalle intervalle de tierce (majeure).
Calculons l'intervalle qui existe entre les sons de fréquence
6
3
4 N et 6 N : i = - = --.
Nous observons qu'il s'agit de
4
2
l'intervalle de quinte de la gamme de Pythagore. Nous appellerons cet intervalle intervalle de quinte de la même façon car il
sépare la 1re note de la 5me note de la gamme de Zarlino.
- La gamme de Zarlino est construite par une succession
d'accords parfaits majeurs constitués chacun d'une tierce
(majeure) et d'une quinte (juste).
Si N est la fréquence du premier son de l'accord,
514 de N est la fréquence du 2- son de l'accord,
312 de N est la fréquence du 3-
son de l'accord.
Soit N1 la fréquence d'un son. L'octave doit contenir 8 notes
N1 N2... Ns avec N8 = 2 NI. Il faut donc trouver les 6 notes dont
les fréquences sont comprises entre N1 et 2 N1 ; ces 6 notes
peuvent être obtenues à l'aide de 3 accords parfaits : l'accord
parfait construit sur N1 donne 2 notes, l'une de ces notes est la
première note de l'accord parfait suivant qui permet d'obtenir
2 nouvelles notes, un troisième accord parfait construit sur l'une
des notes trouvées précédemment fournira les 2 dernières notes.
Lorsque la fréquence des notes trouvées est supérieure à
2 NI, ou inférieure à Ni, on ramène la note dans l'octave en divisant par 2" ou en multipliant par 2%.
Remarque.
NI n'est pas nécessairement la note de départ ; elle peut être
l'une des notes d'un accord parfait majeur issu d'une note N'
de fréquence inférieure à NI.
(Ne6sur de schéma suivant).
En procédant de cette façon, on peut obtenir des octaves de
structures très diverses (intervalles très différents).
- La structure de l'octave de Zarlino est celle qui se rap-
proche le plus de la structure de l'octave de Pythagore.
Schéma 4
233
BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS
3. STRUCTURE DE LA GAMME DE ZARLINO.
L'octave obtenue, comme l'indique le schéma précédent, a la
structure suivante (mode majeur) :
Schéma 5
On observe 3 sortes d'intervalles dans le cas envisagé :
IZ = 918 ou 51,15 Savart,
IZ = 1019 ou 45,76 Savart,
JZ = 16/15 ou 28.03 Savart.
III
Degré
FrCquence de la note
Intervalle de la notelà NI
..
--
Intervalle en Savart
. . ......
I
Degré
Sol
Fréquence de la note
I
.
.. .. .
Intervalle de la notelà NI . .
L
Intervalle en Savart . . . . . . . .
Intervalle de 2 notes consécutives
Do Ré 918 soit Iz,
Ré Mi 1019 soit I'z,
Mi Fa 16/15 soit Jz,
Fa Sol 918 soit Iz,
Sol La 1019 soit I'z,
La Si 918 soit Iz,
Si Do 16/15 soit JZ.
-
Remarques.
- Les valeurs des fréquences et intervalles du tableau précédent ne sont données qu'à titre d'exemple car dans la gamme
de Zarlino, une même note peut avoir différentes fréquences
suivant la tonalité dans laquelle elle se trouve.
Schéma 6
Sol x ne peut avoir même fréquence dans les 2 tonalités.
- Les notes altérées # ou b n'ont pas de valeurs fixes ; elles
dépendent par exemple de la tonalité envisagée. Les intervalles
qui interviennent sont par exemple : JZ = 16/15 ou Jfz = 25/24
(intervalle qui sépare J'Z de JZ), d'autres encore...
Mais le plus souvent, la note bémolisée est plus haute que
la note diésée enharmonique, phénomène inverse de ce qui se
passe dans la gamme de Pythagore.
- L'intervalle qui sépare Jz de JIz soit 9/10 : 1019 = 81/80
ou 5,40 Savart est le comma de Zarlino ou comma syntonique.
M
4. CONCLUSION.
Cette gamme semble assez arbitraire car elle n'est construite
que par référence à la gamme de Pythagore.
Les deux sortes de ton IZ et IJZsont extrêmement gênants ;
la transposition est inextricable.
Cette gamme a l'avantage de fournir une tierce naturelle sans
battements ... Elle ne semble être intéressante musicalement que
par ses qualiés harmoniques, mais elle ne peut être couramment
utilisée en raison de la variation de hauteur d'une note donnée
selon la tonalité envisagée.
G A M M E TEMPEREE
1. ORIGINE.
Il semble difficile d'envisager des instruments à sons fixes
utilisant les gammes précédentes ; le nombre de touches (par
exemple) nécessaires serait trop grand, les problèmes de transposition parfois difficiles dans la gamme de Pythagore deviennent
insolubles dans la gamme de Zarlino.
D'où la recherche d'une gamme de structure simple permettant entre autres de transposer facilement. Cette gamme fut élaborée sous l'influence de BACHet de RAMEAU.
La théorie en est
due à WEKCKMEISTEII,
1691.
2. PRINCIPE DE LA FORMATION DE LA GAMME TEMPEREE.
- L'octave est divisée en 12 demi-tons égaux.
Si NI Nt1 NZ NIz N3 N4 Nt4 Nj NF5Nt6 Np6N7 Ne sont les fréquences des notes de l'octave, on doit avoir :
en posant i l'intervalle d'un demi-ton.
D'autre part, &/NI = 2 par définition.
Valeur de i :
12 termes (12 intervalles).
En exprimant cet intervalle en Savart, 1 octave = 301,03 Savart
301,03
d'où : i = - i = 25.086 Savart E 25 Savart
3. STRUCTURE DE LA GAMME TEMPEREE.
L'octave obtenue, comme l'indique le schéma suivant, a la
structure (mode majeur).
Schéma 7
IT =
6 1-
J~ =
l2 2
-
v2
,
= (1,06)* ou
=
1 ,O6
50,17 Savart (2 i)
ou 25,086 Savart
(i)
I
Intervalle en Savart .. . .. ...
Degré
I0l1
Intervalle de la note/à NI . .
Intervalle en Savart . . . . . . . .
Une note altérée f ou b se trouve exactement à un intervalle
JT = i de la note non altérée.
Il en résulte que les notes enharmoniques ont exactement
la même fréquence.
Ex. : Sol B a même fréquence que La b.
4. CONCLUSION.
Cette gamme, dont la formation est purement artificielle, a
pour elle d'être très simple de structure et permet de transposer
facilement. Elle est utiIisée par les pianistes, harpistes ...
En comparant les intervalles de cette gamme aux intervalles
correspondants dcs gammes de Pythagore et de Zarlino, il appa-
rait que la gamme tempérée est un compromis entre la gamme
de Pythagore et celle de Zarlino : c'est peut-être là l'une des
raisons supplémentaires d'un certain succès.
Cependant, tous les intervalles de la gamme tempérée sont
faux... (ne peuvent s'obtenir naturellement) sauf l'octave.
Le schéma ci-après représente les intervalles de la gamme de
La majeur dans les 3 gammes étudiées précédemment.
P Gamme de Pythagore,
T Gamme de Tempérée,
Z Gamme de Zarlino.
Schéma 8
4
1
l
1
J,
:
I
l
r,
1
TT
4
Ji
De*
-
Jr
i
X=
i
Jz
I ?=
AL
1
Fa*
I
ad*
- Les notes de même nom soulignées ont même fréquence.
- Les lignes pointillées verticales indiquent la position d'une
note de la gamme tempérée par rapport à la note de même nom
dans les gammes de Pythagore et de Zarlino.
51,15
50J7
51,15
45,76
Savart
Savart
Savart
Savart
l
h
- Echelle du graphique non précisée.
IT
IT
IZ
I'z
I
4
I
j-
I,
;fi*
flil
1
1
Jp 22,64 Savart
JT 25,09 Savart
JZ 28,03 Savart
En raison de la perception de la hauteur des sons par l'oreille
humaine, il semble inutile d'approfondir la précision des calculs
d'intervalles appartenant aux gammes précédentes.
Dans la pratique, les musiciens tels que violonistes, violoncellistes ... utilisent une gamme voisine de celle de Pythagore,
tandis que pianistes, harpistes ... emploient une gamme voisine
de la gamme tempérée. La gamme de Zarlino est utilisée en
harmonie dans la réalisation de certains accords (orgue) par
exemple.
L'expérience montre que ces trois gammes sont très voisines
puisque, en musique d'ensemble, les musiciens n'utilisent pas la
même gamme : il ne semble pas que le résultat ait à en souffrir... Cependant, il faut noter que, par exemple, un violoniste
jouant dans la gamme tempérée joue plat ...
Note 1.
- Tierce de Zarlino :
N'
5
= - N = 1,25
N.
4
L'harmonique 5 de N coïncide avec l'harmonique 4 de N' ;
il n'y a pas de battements entre ces harmoniques.
Voir schéma 9.
Schéma 9
- Tierce de Pythagore :
81
N' = - N
1,27 N.
64
L'harmonique 5 de N coïncide presque avec l'harmonique 4
de N' d'où battements entre ces harmoniques.
Voir schéma 10.
240
BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS
Schéma 10
Note 2.
SONAGRAMME
(VIOLON).
Schéma 11.
On peut observer, entre autres, sur le sonagramme les harmoniques des 4 notes émises et déterminer l'intervalle de ces notes
par observation des coïncidences entre harmoniques :
4
harmoniques 3 et 4 soit i = -- pour sol ré (quarte),
3
9
harmoniques 9 et 8 soit i
- pour
harmoniques 4 et 5 soit i =
pour mi
4
8
5
ré mi (seconde),
do (tierce).
Note 3.
Il arrive d'entendre : 1 ton vaut 9 commas (4 + 5) sans autres
précisions ; cette affirmation n'est valable que dans la gamme
de Holder. Le comma n'existe pas dans la gamme tempérée et
a d'autres valeurs - parfois nombreuses en raisons de différentes définitions du comma - dans les gammes de Zarlino et
de Pythagore.
Note 4.
Il est rappelé que les musiciens commencent à percevoir
2 sons distinctement en hauteur lorsque l'intervalle de ces 2 sons
est de l'ordre de 2 à 3 Savart.
F. GILOT,
(Lycée Racine - Paris).
Schéma 11