La valeur efficace (ou RMS - Root Mean Square, ou moyenne

Séries de Fourier (2) : Convergence des séries de Fourier
Conditions de Dirichlet
Soit f un signal T-périodique vérifiant les conditions suivantes appelées conditions de Dirichlet:
f est continue, dérivable et avec une dérivée continue en tous les points de l’intervalle [0, T ] , sauf
éventuellement en un nombre fini de points, où les limites latérales de f et f ′ existent et sont finies.
Une fonction vérifiant les conditions de Dirichlet, s’appelle fonction de classe C1 par morceaux
sur l’intervalle [0, T ] .
Théorème Dirichlet
Si f est T-périodique et de classe C1 par morceaux sur [0, T ] , alors, quel que soit t ∈ [0, T ], la
série de Fourier
Snf (t ) associée à f est convergente et
lim Snf (t ) = f (t ) , si f est continue en x
n→∞
f (t + ) + f (t − ) , si f n’est pas continue en x (elle présente en saut).
(t ) =
2
Donc dans tous les points t où f est continue, la série de Fourier a pour somme la valeur de la fonction :
lim S f
n→∞ n
f (t ) = a0f + ∑ (anf cos(nω t ) + bnf sin(nω t ) )
n ≥1
Application : Le Théorème de Dirichlet permet de calculer la somme de certaines séries convergentes.
Exercice 1 : Soit f (t ) = t , si t ∈ [0, π [ un signal π- périodique. Montrez que f satisfait aux
conditions de Dirichlet et appliquez le théorème de Dirichlet pour t =
π
4
et t = 0 .
a) Ce signal est continu, dérivable, de dérivée f ′(t ) = 1 continue partout sauf en 0 et π (et nπ), où :
•
f n’est pas continue (donc pas dérivable) mais admet des limites latérales finies:
lim f ( x ) = π , lim f ( x ) = 0 et lim f ( x ) = π , lim f ( x ) = 0
x →0 −
•
x →0 +
x →π −
x →π +
f ′ n’est pas continue mais admet des limites latérales finies:
lim f ′( x ) = 1 , lim f ′( x ) = 1 et lim f ′( x ) = 1 , lim f ′( x ) = 1 .
x →0−
b) En t =
x →0 +
π
x →π −
x →π +
, la fonction est continue donc sa série de Fourier converge vers f ⎛⎜
4
π
⎛ π ⎞ π ∞ sin(2nπ / 4)
S nf ⎜ ⎟ = − ∑
n = et on obtient
n
4
⎝ 4 ⎠ 2 n =1
π⎞ π :
⎟=
⎝4⎠
( −1)
∞
k
4
π
∑ 2k + 1 = 4 .
k =1
Séries de Fourier (3) : Egalité de Parseval
La valeur efficace (ou RMS - Root Mean Square, ou moyenne quadratique) d'un signal T-périodique
est la racine carré du moment d'ordre deux (ou variance) du signal :
Veff ( f ) =
1
T
∫
f 2 ( t ) dt .
T
Exemple : En électricité, la valeur efficace d’un courant périodique i (t ) (ou d’une tension u (t ) )
I eff ( f ) =
1 2
∫ i ( t ) dt , représente l’intensité I d’un courant continu qui dissiperait, sur une période
T T
T, dans une résistance R, la même énergie E = RI eff2 que le courant i (t ) .
L’énergie de l’harmonique de rang n ≥ 1 d’un signal T-périodique f est (par définition) le nombre:
En =
1 2
(an + bn2 ) , où a0 , an , bn sont les coefficients de Fourier de f .
2
Le spectre des fréquences d’un signal f est la représentation (diagramme en bâtons) des
énergies E n = a n + bn (en ordonnée) en fonction des fréquences
2
2
n
des harmoniques (en abscisse).
T
Egalité de Parseval
Soit f une fonction T-périodique, satisfaisant les conditions de Dirichlet et a0 , a n , bn ses coefficients
de Fourier. Alors on a :
1
1
f 2 (t )dt = a02 + ∑ (an2 + bn2 )
∫
TT
2 n≥1
1
f 2 (t )dt , qui est le carré de la valeur efficace du signal f et représente
∫
TT
l’énergie équivalente du signal f sur une période, est égale avec la somme des énergies des
En termes physiques,
harmoniques et du carré de la valeur moyenne.
Application 1 : La formule de Parseval permet de calculer la somme de certaines séries convergentes.
Exercice 2 : Soit f (t ) = t , si t ∈ [0, π [ , une fonction périodique de période π.
Les coefficients de Fourier de f sont: a 0 =
π
2
,
1
an = 0 et bn = − , ∀n ∈ N * .
n
Montrer, en utilisant la formule de Parseval, que la somme de la série de Riemann
1
π2
est
.
∑
2
6
n ≥1 n
Application 2 : La formule de Parseval est utile pour déterminer dans un signal périodique la part
des harmoniques qui transportent la majorité de l’énergie du signal. On peut ainsi supprimer les
autres harmoniques (bruits) pour limiter la bande passante.
Veff2 ( S N )
est suffisamment
En pratique : On détermine le rang N de la série de Fourier pour lequel
Veff2 ( f )
1
1 N 2
2
2
2
2
2
proche de 1, où Veff ( S N ) = a0 + ∑ (a n + bn ) et Veff ( f ) = ∫ f (t )dt . On peut ensuite supprimer
TT
2 n =1
toutes les harmoniques d’ordre supérieur à N.
Exercice 3 : Soit f (t ) = sin(t ) , t ∈ R .
1) Montrer que f est une fonction π-périodique et représentez-la sur l’intervalle t ∈ [− π ,2π ] .
2) Calculer les coefficients de Fourier de f . ( a0 =
2
π
, bn = 0 et an =
2
2
*
, ∀n ∈ N )
2
π 1 − 4n
1
1
f 2 (t )dt = . ( avec cos(2t ) = 1 − 2 sin 2 (t ) )
∫
TT
2
2
1
2
2
2
2
4) Calculer Veff ( S 2 ) = a0 + ∑ (a n + bn ). En utilisant la formule de Parseval, comparez ce
2 n =1
3) Calculer Veff ( f ) =
2
résultat avec celui obtenu au point 3).