Performance de la méthode d`Anderson sur un exemple de transport

Performance de la méthode d’Anderson sur un exemple de transport réactif
Martin BACHET
Le transport réactif consiste à modéliser le comportement de différentes espèces en solution
aqueuse (phase mobile circulant à travers un milieu poreux) qui peuvent réagir entre elles et devenir
immobiles (phase fixe). Il s’agit de résoudre les équations qui régissent d’une part le transport et
d’autre part les réactions chimiques considérées à l’équilibre. L’approche dite globale implicite
consiste à résoudre numériquement les équations discrétisées simultanément pour la chimie et le
transport. Ces équations étant de nature différente (linéaire pour le transport et non linéaire pour la
chimie), il peut être efficace de recourir à la technique de la séparation d’opérateurs et de les
résoudre indépendamment, avec les outils les mieux adaptés à chacune pour obtenir une solution
approchée. C’est le principe qui a été adopté dans le code HYTEC1 développé par le centre de
géosciences de Mines ParisTech et le code OPTIUR2 qui en est dérivé en collaboration avec EDF et
permet de modéliser la purification des circuits d’eau de centrale nucléaire par résines échangeuses
d’ions.
La séparation des opérateurs a pour conséquence l’introduction d’une erreur qui peut être réduite
en répétant séquentiellement les calculs de chimie et de transport, ce qui constitue une itération de
point fixe. La méthode d’accélération proposée par Anderson3 permet une convergence plus rapide
de cette séquence et évite certains cas de divergence. Il est de plus possible d’ajouter une contrainte
de positivité des concentrations qui assure que des valeurs physiquement aberrantes ne sont pas
produites.
A partir d’un problème de transport dans une colonne garnie de résines échangeuses d’ions avec une
chimie très simplifiée, nous avons pu évaluer une condition sur le pas de temps des calculs
nécessaire à la convergence des itérations de point fixe et vérifier que la méthode d’Anderson
conduit bien à la convergence même lorsque ce pas de temps critique est dépassé. Les temps de
calcul pour ce cas test ont de plus été réduits d’un facteur de 2 à 10 suivant la complexité du
transport (prise en compte ou non d’une restriction au transfert de masse à la surface des billes de
résine) grâce à cette méthode. Par ailleurs, nous avons mis en évidence que certaines valeurs du pas
de temps conduisent à une précision numérique dégradée qui rend difficile l’atteinte des critères de
convergence. Ceci est lié aux propriétés du problème à résoudre et devrait se produire quelle que
soit la méthode utilisée, approche globale implicite ou séparation des opérateurs avec amélioration
séquentielle, accélérée ou non.
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van der Lee et al., « Module-oriented modeling of reactive transport with HYTEC »; Lagneau et van der Lee,
« Operator-splitting-based reactive transport models in strong feedback of porosity change ».
de Dieuleveut, Bachet, et Lagneau, « OPTIPUR: a reactive transport aproach to purification of power plant
water by ion exchange »; Bachet et al., « Reactive transport modeling of Co, Ni and Ag removal from
nuclear power plant water by mixed-bed ion-exchange resins ».
Anderson, « Iterative Procedures for Nonlinear Integral Equations ».Fang et Saad, « Two Classes of
Multisecant Methods for Nonlinear Acceleration »; Walker et Ni, « Anderson Acceleration for Fixed-Point
Iterations ».