Calcul de limites

Calcul de limites
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Calcul de limites
Résolution de formes indéterminées
Remarquez la grande diversité des méthodes utilisées ici, et comment des exercices
assez similaires dans l’énoncé peuvent utiliser des méthodes très différentes. Il faut donc
connaı̂tre toutes ces méthodes et savoir reconnaı̂tre quand elles sont applicables ou pas.
Résumé : taux d’accroissement, dérivée
4.
1+x
x→1 1 − x
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
2
indéterminée « ». Dans ce cas, il faut étudier le signe du dénominateur 1 − x.
0
On a : 1 − x > 0 pour x < 1 et 1 − x < 0 pour x > 1.
1+x
1+x
Donc lim
= +∞ et lim
= −∞, et la fonction n’a pas de limite globax→1 1 − x
x→1 1 − x
x<1
x>1
lement en 1.
Résumé : signe du dénominateur
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
0
indéterminée «∞ × 0». On peut essayer de se ramener à une indétermination « »
0
en changeant de variable.
1
On pose X = e−x . Comme on a lim e−x = 0 et e−x = x , le problème se ramène
x→+∞
e
1
à étudier lim
sin(X) d’après le théorème sur la composition des limites. Or on
X→0 X
sin(X)
= 1 (ou bien on peut la redémontrer avec
connaı̂t la limite du cours lim
X→0
X
un taux d’accroissement).
La limite cherchée vaut donc 1.
Résumé : changement de variable, limite connue
1. lim
x2 − x
x→1 1 − x2
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
0
indéterminée « ». Dans ce cas, différentes stratégies sont possibles.
0
Ici, on peut simplifier l’expression :
x2 − x
x
= ··· = −
. Cette fois les théorèmes sur les opérations peuvent s’ap1 − x2
1+x
1
pliquer, et on trouve comme limite −
2
Résumé : simplifier une division
2. lim
ex − e
x→1 x − 1
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
0
indéterminée « ». Dans ce cas, différentes stratégies sont possibles.
0
Ici, on peut reconnaı̂tre un taux d’accroissement et utiliser la définition d’une
dérivée :
ex − e
u(x) − u(1)
Si on pose u(x) = ex , alors
=
, c’est le taux d’accroissement de
x−1
x−1
u entre 1 et x. Or u est dérivable en 1, donc la limite est u0 (1) = e1 = e
lim ex sin(e−x )
x→+∞
5.
lim ex sin(e−x )
x→−∞
On ne peut pas appliquer les théorèmes sur les opérations car la fonction sin n’a
pas de limite en +∞.
On essaye d’appliquer le théorème des gendarmes.
Puisque −1 6 sin(X) 6 1 et ex > 0, on a : −ex 6 ex sin(e−x ) 6 ex . Or les deux
«gendarmes» −ex et ex ont la même limite 0.
Donc, d’après le théorème des gendarmes, la limite cherchée est 0.
Résumé : théorème des gendarmes
3. lim
6.
lim x2 − x
x→+∞
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
indéterminée «∞ − ∞».
Mais on peut appliquer directement le théorème du cours sur la limite d’un polynôme en +∞ : le polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré,
c’est-à-dire que x2 . La limite est donc +∞.
Résumé : terme de plus haut degré
Calcul de limites
7.
x+1
x→+∞ x2 + 1
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
∞
indéterminée « ».
∞
Mais on peut appliquer directement le théorème du cours sur la limite d’une fonction
rationnelle (quotient de polynômes) en +∞ : la fonction rationnelle a la même limite
x
1
que le rapport de ses termes de plus haut degré, c’est-à-dire que 2 = . La limite
x
x
est donc 0.
Résumé : rapport des termes de plus haut degré
lim
x2 − x
x→0 x3 + x2
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
0
indéterminée « ».
0
x−1
On simplifie l’expression :
. En essayant d’appliquer les théorèmes sur les
x(x + 1)
−1
opérations, on aboutit à une forme indéterminée «
». On sépare ce qui pose un
0
1
x−1
problème et ce qui n’en pose pas : ×
. le deuxième facteur a pour limite
x
x+1
−1. Il faut alors étudier le signe du dénominateur x.
D’après les théorèmes sur les opérations, la limite de la fonction initiale à gauche
en 0 (x < 0) est +∞ et la limite à droite en 0 (x > 0) est −∞. Il n’y a donc pas
de limite globale en 0.
Résumé : factoriser, simplifier, séparer les problèmes, signe du dénominateur
x
9. lim √
x→+∞
x2 + 1
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
∞
indéterminée « ».
∞
On essaye de mettre en évidence (en facteur) les termes dominants.
s r
√
1
1
x2 + 1 = x2 1 + 2 = |x| 1 + 2
x
x
Or ici on étudie la limite lorsque x tend vers +∞, on peut donc se restreindre au
cas où x > 0, et |x| = x.
x
1
Donc pour x > 0 : √
= ··· = r
2
x +1
1
1+ 2
x
La limite cherchée est donc 1 (la forme n’est plus indéterminée).
Résumé : mettre en facteur les termes dominants, simplifier, restriction à x > 0
8. lim
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10.
lim √
x
x2
+1
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
∞
indéterminée « ».
∞
On applique la même méthode qu’à l’exercice précédent, mais en se restreignant
cette fois au cas où x < 0, donc |x| = −x.
x
1
Donc pour x < 0 : √
= · · · = −r
2
x +1
1
1+ 2
x
La limite cherchée est donc −1 (la forme n’est plus indéterminée).
Résumé : mettre en facteur les termes dominants, simplifier, restriction à x < 0
p
√
11. lim x x + 1 − x3 + 1
x→−∞
x→+∞
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
indéterminée «∞ − ∞».
On pourrait penser à la méthode
√ précédente (mettre en facteur les termes dominants), mais on aboutirait à x x(...) avec la parenthèse qui tend vers 1 − 1 = 0.
Ce serait donc une forme indéterminée «∞ × 0».
Ici, en voyant des racines, on peut penser à la forme conjuguée :
√
√
x2 (x + 1) − (x3 + 1)
√
x x + 1 − x3 + 1 = √
.
x x + 1 + x3 + 1
+∞
On simplifie, et on obtient une nouvelle forme indéterminée «
».
+∞
On met en facteur les termes dominants. On obtient une forme :
x2 u(x)
√
avec u de limite 1 et v de limite 2 (calculs à compléter )
x xv(x)
∞
Il s’agit encore d’une forme « », mais on peut la résoudre en simplifiant : après
∞
√
u(x)
simplification, la fonction se met sous la forme x ×
, donc les théorèmes sur
v(x)
les opérations peuvent s’appliquer et on trouve comme limite +∞.
Résumé : forme conjuguée, simplifier, factoriser, simplifier
p
√
12. lim x x − x3 + 1
x→+∞
On utilise la même méthode que précédemment (forme conjuguée, simplification).
−1
√
La fonction se met sous la forme : √
.
x x + x3 + 1
Cette fois, la limite peut être calculée directement (avec les théorèmes sur les
opérations) sans nouvelle mise en facteur : on trouve 0.
Résumé : forme conjuguée, simplifier
Calcul de limites
13. lim
x→0
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sin(x)
√
x
sin(x)
= 1. Mais ce n’est pas exactement
x
la bonne forme. On commence par faire apparaı̂tre la forme voulue, puis on rectifie
sin(x)
sin(x)
x
sin(x) √
par multiplication : √
=
×√ =
× x
x
x
x
x
Cette fois on peut utiliser la formule du cours et il n’y a plus d’indétermination :
la limite est 1 × 0 = 0.
Résumé : faire apparaı̂tre, rectifier, simplifier, limite connue
Cela fait penser à la limite du cours lim
x→0
cos(x) − 1
x→0
x2
On pourrait penser à utiliser le même procédé que l’exemple précédent : faire apparaı̂tre un taux d’accroissement, rectifier :
cos(x) − 1
cos(x) − 1 1
=
× .
2
x
x
x
Le premier facteur tend vers cos0 (0) = sin(0) = 0 mais alors on se retrouve avec
une indétermination «0 × ∞» (pour la limite à droite par exemple).
Ici il faut penser à utiliser les propriétés algébriques du cosinus, en particulier la
formule cos(2X) − 1 = −2 sin2 (X) («formule de duplication»)
On pose 2X = x, et on transforme l’expression :
2
cos(x) − 1
1 sin2 (X)
1 sin(X)
=
·
·
·
=
−
=
−
x2
2 X2
2
X
sin(X)
= 1 (car X tend vers 0,
On peut alors appliquer la formule du cours lim
X→0
X
x
1
1
puisque X = ). La limite est alors − × 12 = −
2
2
2
Résumé : formule de trigonométrie, changement de variable, limite connue.
C’est un exercice difficile, s’il est donné sans indication
14. lim