Dr HITTA Amara Alg`ebre, Analyse I Exercices

Transcription

Université 8 Mai 1945 - Guelma
Dr HITTA Amara
Département Mathématiques & informatique
Algèbre, Analyse I
Conformément aux programmes LMD, DEUG I-MI/ST
Exercices Corrigés
Faculté des Sciences & de l’Ingénieur
1
Cours & exercices corrigés
Théorie des groupes
2
CHAPITRE 1
Groupe, anneaux et corps
1.1
Généralités sur les groupes
C’est Evariste Galois (1811-1832) qui dégagea, le premier, la notion de groupe fini, en
particulier les groupes de permutations.
Définition 1.1.1 Un ensemble G muni d’une loi interne notée multiplicativement est un
groupe si :
¬ La loi est associative
Il existe un élément neutre noté 1G
® Tout élément de G admet un élément symétrique.
Si de plus la loi est commutative, on dit que le groupe est un groupe abélien ou commutatif.
Lorsque le groupe G n’est pas commutatif, le centre de G est formé par les éléments qui
commutent avec tous les éléments de G et on note
C(G) = {a ∈ G / xa = ax, ∀x ∈ G}.
Evidemment : G est un groupe commutatif si et seulement, si G = C(G).
+ Exemple 1.1.1 (Groupe des applications). L’ensemble F(E, G) des applications
d’un ensemble E dans le groupe G est un groupe, s’il est muni du produit de fonctions
défini pour tous f, ϕ ∈ F(E, G) par (f ϕ)(x) = f (x)ϕ(x), x ∈ E. L’élément neutre pour
cette loi est la fonction constante 1. L’inverse de la fonction non nulle ϕ ∈ F(E, G) est la
1
fonction ϕ−1 définie par ϕ−1 (x) =
. u
ϕ(x)
3
+ Exemple 1.1.2 (Groupe cyclique Cn ). C’est le groupe formé des puissances d’un
élément r tel que rn = 1 : C = {1, r, r2 , · · · , rn−1 }. On peut le réaliser comme le groupe
des rotations de 2kπ/n autour d’un axe fixe. u
+ Exemple 1.1.3 (Groupe diédral Dn ). C’est le groupe des rotations et des symétries
du plan qui conservent un polygone régulier à n côtés. Il contient n rotations et n
symétries. Si l’on note r la rotation d’angle 2π/n, et si l’on note s l’une quelconque des
symétries, on aura les relations rn = 1, s2 = 1, srs = r−1 . Notons que cette dernière
relation implique que srk s = r−k = rn−k . D’où
rk s = srn−k
et (rk s)2 = 1.
Soit k ∈ N∗ tel que 0 < k ≤ n − 1. Tout élément de x ∈ Dn s’écrit d’une manière unique
sous la forme
x=

r k
si x ∈ Cn
srk
si x ∈
/ Cn . u
On montre tout d’abord la division euclidienne qui sera d’une grande utilité dans la suite
et on caractérisera les éléments du groupe additif Zn .
Lemme 1.1.2 (Division euclidienne dans Z). Pour tout couple (a, b) ∈ Z × N∗ , il
existe (q, r) ∈ Z2 , tel que
a = bq + r
avec
0 ≤ r < b.
Preuve : Il suffit de montrer l’existence, puisque l’unicité est évidente. Si a = 0 on
prendra q = r = 0. Supposons que a > 0 (quitte à le remplacer par −a) et considérons
l’ensemble K = {n ∈ N : bn > a} 6= ∅ car a + 1 ∈ K. Si q + 1 est le minimum de K avec
q ∈ N, alors b(q + 1) > a et bq ≤ a, sinon bq > a entrainerait q ∈ K, ce qui contredit
le fait que q + 1 est le minimum de K. Cette relation entraine bq ≤ a < bq + b et pour
terminer la preuve on prendra r = a − bq.
u
+ Exemple 1.1.4 On définit sur Z une relation d’équivalence par
xRy (mod. n) ⇐⇒ ∃ k ∈ Z /x − y = kn, x, y ∈ Z.
Pour tout x ∈ Z, il existe un couple (q, r) ∈ Z2 , tel que x = nq + r et 0 ≤ r < n. Donc
x − r = nq
⇐⇒ xRr (mod n).
4
L’ensemble {1, 2, · · · , n − 1} forme ainsi une famille de représentants des classes de Z
modulo n. L’ensemble quotient de Z par R sera noté
Z/nZ = Zn = 1̄, 2̄, · · · , n − 1 .
On définit une loi interne sur Zn par (x, y) → x+̇y qui fait de (Zn , +̇) un groupe abélien
fini d’ordre n, appelé le groupe des classes de congruence de Z modulo n. u
Théorème 1.1.1 Soit G un groupe. Les applications γa et δa définies par γa (x) = ax
et δa (x) = xa, a ∈ G, sont bijectives. Les équations ax = b et xa = b, a, b ∈ G,
admettent une solution unique dans G.
Preuve : Les applications en question admettent des réciproques γa−1 et δa−1 , elles sont
alors des bijections de G d’où l’unicité des solutions. u
1.1.1
Groupes symétriques
L’étude des permutations d’un ensemble fini dans lui même était à l’origine de la théorie
des groupes puisque Cayley a montré que tout groupe fini G s’injecte dans son groupe
symétrique S(G).
Soit E un ensemble non vide, désignons par SE l’ensemble des permutations de E c’est-àdire des bijections de E dans E. Si ϕ et f ∈ SE alors ϕ◦f ∈ SE . La loi de composition ainsi
définie est associative, admet un élément neutre qui est l’identité IdE et toute application
ϕ admet un symétrique qui est son application réciproque ϕ−1 ∈ SE . Le groupe (SE , ◦)
est dit groupe symétrique de E.
Si In = {1, 2, · · · , n}, le groupe symétrique associé sera noté Sn .
Proposition 1.1.2 Le groupe symétrique (Sn , ◦) admet n! éléments.
Preuve : . L’image du premier élément peut être choisie de n façons, celle du second de
(n − 1) façons, ..., celle du k eme de (n − k) façons etc.., donc le nombre de permutations
de Sn est n!. u
L’identité de (Sn , ◦) sera notée σ0 .
Notations. Toute permutation σ ∈ Sn se présente sous la forme
!
1
2
···
n
.
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
5
+ Exemple 1.1.5 Le groupe S3 a 3! = 6 permutations, à savoir
!
1 2 3
σ0 =
σ1 =
1 2 3
!
1 2 3
τ1 =
τ2 =
1 3 2
!
1 2 3
!
1 2 3
σ2 =
2 3 1
!
1 2 3
3 1 2
!
1 2 3
τ3 =
3 2 1
2 1 3
.
Soient τ et σ ∈ Sn . La permutation σ ◦ τ , appelée permutation produit de τ et σ, est
définie par
σ◦τ =
1
2
···
σ ◦ τ (1) σ ◦ τ (2) · · ·
n
!
σ ◦ τ (n)
avec σ ◦ τ (i) = σ(τ (i)). u
+ Exemple 1.1.6 Dans le groupe S3 , on a les produits
σ1 ◦ τ3 =
τ3 ◦ σ1 =
!
1 2 3
3 2 1
!
1 2 3
1 3 1
= τ2
= τ1 .
On remarque par ailleurs que σ1 ◦ τ3 6= τ3 ◦ σ1 , donc le groupe S3 est non abélien. u
En général :
Pour n ≥ 3, le groupe symétrique Sn est non abélien.
Définition 1.1.3 Nous appellerons transposition sur i et j, l’élément τij ∈ Sn , défini
par
τij (i) = j,
τij (j) = i,
et τij (k) = k pour k 6= i et k 6= j.
La transposition τij est une involution puisqu’elle permute entre eux, les éléments i et j,
et laisse invariants les autres éléments. Donc
τij2 = σ0 ,
Définition 1.1.4 On appelle s-cycle toute bijection σ de E permutant circulairement s
éléments de E.
Ainsi, une transposition est un 2-cycle.
6
+ Exemple 1.1.7 La permutation de S9 donnée par
p=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
!
2 9 4 7 1 8 3 6 5
se décompose en cycles : C1 = {1, 2, 9, 5}, C3 = {3, 4, 7} et C6 = {6, 8}. u
1.1.2
Sous-groupe
Définition 1.1.5 Soit G un groupe d’élément neutre 1G . Une partie non vide H de G
est un sous-groupe si



(x, y) ∈ H × H =⇒ xy ∈ H


(1)




(2)
x ∈ H =⇒ x−1 ∈ H.
Tout sous-groupe de G, distinct de G et {1G }, est appelé sous-groupe propre. En posant
y = x−1 dans (1) on obtient : 1G ∈ H.
Théorème 1.1.3 Soit H une partie non vide d’un groupe G, alors H est un sousgroupe de G si et seulement si
∀(x, y) ∈ H × H
alors xy −1 ∈ H.
(∗)
Preuve : Supposons que H est un sous-groupe de G alors on a (∗). Supposons que (∗)
est vérifiée, si y = x alors xx−1 = 1G ∈ H. Si x = 1G alors y −1 ∈ H, ceci implique que
zy −1 ∈ H pour tout z ∈ H. u
Proposition 1.1.4 Soit G un groupe et {Hi }i∈I une famille de sous-groupes de G;
T
alors
Hi est un sous-groupe de G.
i∈I
Preuve : Soient x, y ∈
T
Hi , pour tout i ∈ I on a x, y ∈ Hi comme Hi est un sous-groupe
T
alors xy −1 ∈ Hi pour tout i. Donc xy −1 ∈
Hi . u
i∈I
S
Remarque. En général i∈I Hi n’est pas un sous-groupe de G. Soient les sous-groupes
i∈I
de G = (Z, +) : H1 = 3Z et H2 = 8Z. Comme 3 + 8 = 11 ∈
/ H1 ∪ H2 alors H1 ∪ H2 n’est
pas un sous-groupe de Z. u
Proposition 1.1.5 Soient G un groupe et F = {Hi }i∈I une famille de sous-groupes
S
de G ordonnée par inclusion alors
Hi est un sous-groupe de G.
i∈I
7
Preuve : Soient x, y ∈
S
Hi , il existe j, k ∈ I tels que x ∈ Hj et y ∈ Hk et, supposons
S
∈ Hj donc xy −1 ∈
Hi . u
i∈I
que Hk ⊂ Hj alors xy −1
i∈I
+ Exemple 1.1.8 (Sous-groupes de Z). Supposons que H 6= {0} est un sous-groupe
de Z. Si x ∈ H alors −x ∈ H, donc H ∩ N∗ 6= ∅, soit n son petit élément. Puisque H
est stable pour l’addition et le passage à l’opposé alors n ∈ H
=⇒ nZ ⊂ H. De plus,
pour tout x ∈ H il existe q, r ∈ Z, tels que x = nq + r, 0 ≤ r < n. Comme x, n ∈ H alors
r = x − nq ∈ H soit r = 0. Donc les seuls sous-groupes de Z sont les sous-ensembles de
la forme nZ = {nq : q ∈ Z}. Soient n1 , n2 , · · · , nk ∈ N∗ tels que la famille (ni Z)1≤i≤k de
k
S
sous-groupes de Z soit ordonnée par inclusion, alors
ni Z est un sous-groupe de Z donc
i=1
il est de la forme nZ avec n = p.p.c.m(n1 , n2 , · · · , nk ).
u
+ Exemple 1.1.9 ( Sous-groupe multiplicatif de C∗ ). Pour tout n > 0, désignons
par Un l’ensemble des racines nème de l’unité dans C. Donc
Un = {z0 , · · · , zn }
où zk = e
2kπi
n
et
k ∈ {0, · · · , n − 1}.
n
Si zk et zk0 ∈ Un , alors (zk zk−1
= (zk )n (zkn0 )−1 = 1 donc zk zk−1
∈ Un . Donc Un est un
0 )
0
sous-groupe fini multiplicatif de C∗ . u
+ Exemple 1.1.10 (Sous-groupe spécial). Soient K un corps quelconque et désignons
par Mn (K) l’ensemble des matrices carrées n × n sur K. L’ensemble GLn (K) des matrices
inversibles, muni de la multiplication est un groupe appelé groupe linéaire. Les matrices
de déterminant égal à 1, forment un sous-groupe de GLn (K) noté SLn (K), appelé groupe
spécial de GLn (K). u
+ Exemple 1.1.11 (Permutations circulaires). Dans le groupe symétrique Sn , les
n − 1 permutations de la forme
σk =
1
2
···
n − k n − k + 1 ···
k + 1 k + 2 ···
n
1
···
!
n
k
,
k = 1, · · · , n − 1,
et la permutaion identique σ0 sont appelées permutations circulaires. On définit le produit
des permutations circulaires σk et σh par



σ ,
si k + h < n,

 k+h
σk ◦ σh = σ0 ,
si k + h = n,



σ
k+h−1 , si k + h > n.
On vérifie que l’on a (σk )−1 = σn−k . Ainsi, les permutations circulaires forment un sousgroupe abélien de Sn , noté Cn . u
8
1.1.3
Morphismes et sous-groupes distingués
Deux groupes sont isomorphes si leurs structures sont identiques. Ainsi, les tables de
Cayley du groupe (C4 , ◦) et le groupe multiplicatif Γ = {1, −1, i, −i} sont les mêmes. Il
suffit d’associer à chaque rotation d’angle nπ/2 le nombre complexe in , n = 0, 1, 2, 3. On
dit dans ce cas que les groupes (C4 , ◦) et (Γ, .) sont isomorphes.
Définition 1.1.6 Une application ϕ d’un groupe multiplicatif G dans un groupe multiplicatif G0 est un morphisme de groupes si
∀x, y ∈ G.
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y),
(∗∗)
Posons y = x−1 dans l’expression (∗∗), il vient que
ϕ(1G ) = 1G0 et ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 .
De plus les sous-ensembles suivants appelés respectivement noyau et image de ϕ sont des
sous-groupes respectifs de G et G0
Ker(ϕ) = {x ∈ G : ϕ(x) = 1G0 }
Im(ϕ) = {y ∈ G : ∃x ∈ G et ϕ(x) = y}.
Définition 1.1.7 Soient G et G0 deux groupes.
• Un épimorphisme est un morphisme surjectif.
• Un isomorphisme entre G et G0 est un morphisme bijectif entre les deux groupes.
• Un endomorphisme de G est un morphisme de G dans lui-même. On notera par
End(G) le groupe des endomorphismes de G muni de la loi (f.g)(x) = f (x)g(x).
• Un automorphisme de G est un endomorphisme bijectif de G.
L’ensemble des automorphismes de G muni de la loi ◦ est un groupe noté (Aut(G), ◦).
+ Exemple 1.1.12 L’application x → logx est un morphisme de (R∗+ , ×) dans (R, +)
car pour tous x, y ∈ R∗+ on a log(xy) = logx + logy. u
→
−
+ Exemple 1.1.13 L’application ϕ, qui à tout vecteur ~u du plan vectoriel V associe
→
−
la translation t~u de l’ensemble T des translations du plan V , établit un isomorphisme du
→
−
→
−
groupe ( V , +) sur (T, ◦). Car, pour tout (~u, ~v ) ∈ V 2 , on a t~u + ~v = t~u ◦ t~v . De plus ϕ
est bijective. u
9
+ Exemple 1.1.14 Soient G un groupe multiplicatif et g un élément de G. L’application
φg : (Z, +) → (G, .)
telle que φg (n) = g n est un morphisme de groupes. Car, pour tout (n; n0 ) ∈ N2 , on a
0
φg (n + n0 ) = g n .g n = φg (n).φg (n0 ). u
Soientt G un groupe et g ∈ G. L’application ϕg : G → G définie par ϕg (x) = gxg −1 est
un automorphisme appelé automorphisme intérieur de G. Ces automorphismes forment
un sous-groupe de (Aut(G), ◦) qu’on notera (Int(G), ◦). Remarquons d’ailleurs que, pour
tout g, g 0 ∈ G, on a : ϕg ◦ ϕg0 = ϕgg0 . L’application ϕ : (G, .) → (Aut(G), ◦) telle que
ϕ(g) = ϕg est donc un morphisme de groupes.
Dans les exemples suivants, on détermine les automorphismes des groupes Z et Z × Z.
+ Exemple 1.1.15 L’ensemble des automorphismes du groupe additif (Z, +), est
Aut(Z) ' Z2 .
En effet, pour tout ϕ ∈ Aut(Z), on a l’équivalence ϕ(1) = h etϕ(n) = nh, pour tout n ∈ Z.
L’image Im(ϕ) = Z est engendrée par h c’est à dire que h = ±1. Donc l’automorphisme
ϕ aura pour image ϕ(n) = n ou ϕ(n) = −n pour tout n ∈ Z.
u
+ Exemple 1.1.16 Soit G = Z × Z. Le groupe des automorphismes de G est
Aut(G) ' GL2 (Z) =
#
("
a b
c d
)
: a, b, c, d ∈ Z et ad − bc = ±1 . u
Définition 1.1.8 On appelle sous-groupe distingué du groupe G, tout sous-groupe H de
G qui est stable par tout automorphisme intérieur de G, c’est à dire que, pour tout a ∈ G,
on a
aH = Ha.
On notera dans ce cas H / G.
Le centralisateur d’une partie A de G est l’ensemble
C(A) = {x ∈ G/∀a ∈ A, xa = ax}.
Le normalisateur d’un sous-groupe H de G est l’ensemble
N(H) = {g ∈ G/gHg −1 = H}.
Il est clair que C(H) et N(H) sont des sous-groupes de G.
10
+ Exemple 1.1.17 Soit Sn le groupe symétrique d’ordre n.
• Le nème groupe alterné
An = {σ ∈ Sn : ε(σ) = 1}
est un sous-groupe distingué de Sn . Pour le voir, considérons (s, σ) ∈ Sn × An , on a
ε(s ◦ σ ◦ s−1 ) = ε(σ) = 1 =⇒ s ◦ σ ◦ s−1 ∈ An .
• L’ensemble Tn des transpositions est invariant par tout automorphisme intérieur.
En effet, pour toute transposition τx,y échangeant x et y de En et ϕ ∈ Sn , on a
ϕτx,y ϕ−1 = τϕ(x),ϕ(y) ∈ Tn . u
+ Exemple 1.1.18 (Sous-groupe de Klein). Soit K la partie de S4 formée des
permutations qui échangent deux éléments distincts et en même temps les 2 autres. Donc
K = {σ0 , σ1 , σ2 , σ3 } ⊂ S4
avec
σ0 = IdK , σ1 =
!
1 2 3 4
2 1 4 3
, σ2 =
!
1 2 3 4
3 4 1 2
et σ3 =
!
1 2 3 4
4 3 2 1
.
K est un sous-groupe de S4 . On remarque que, ∀σ ∈ K, on a
σ 2 = σ0 et σ −1 ∈ K.
D’autre part, la composition de deux permutations est égale à la troisième donc K est
stable par la composition et par l’inverse. K est un sous-groupe distingué de S4 .
Soit (s, σ) ∈ S4 × K. Posons s∗ = s−1 .σ.s et considérons les deux cas suivants
Si σ = σ0 alors s∗ = s−1 σ0 s = σ0 ∈ K.
Si σ 6= σ0 on désignera par i, j, k les nombres 2, 3, 4 dans un ordre tel que s(i) soit l’image
de s(1) par σ, alors
σ[s(1)] = s(i),
σ[s(i)] = s(1),
σ[s(j)] = s(k),
σ[s(k)] = s(j).
On en déduit, en prenant les images par s−1 , que
!
1
i
j
k
s∗ =
∈ K =⇒ s−1 Ks ⊂ K.
i 1 k j
De même, en remplaçant s par s−1 dans l’expression de s∗ , on obtient K ⊂ s−1 Ks Le
sous-groupe K est un sous-groupe distingué de S4 dit sous-groupe de klein. u
11
Théorème 1.1.6 Soit ϕ : G → G0 un morphisme de groupes.
• Le noyau de ϕ est un sous-groupe distingué de G.
• Le morphisme ϕ est injectif si et seulement si Ker(ϕ) = {1G }.
• L’application réciproque du morphisme ϕ est un morphisme.
Preuve : Pour tout a, b ∈ Ker(ϕ), on a ϕ(ab−1 ) = ϕ(a)ϕ(b)−1 = 1G0 c’est à dire
ab−1 ∈ Ker(ϕ) donc Ker(ϕ) est un sous-groupe de G. Soient a ∈ Ker(ϕ) et x ∈ G, alors
ϕ(xax−1 ) = ϕ(a) = 1G0
=⇒ xax−1 ∈ Ker(ϕ)
et en remplaçant x par x−1 il vient que Ker(ϕ) est un sous-groupe distingué de G. De
plus, si ϕ(a) = ϕ(b) alors ab−1 ∈ Ker (ϕ). Donc :
ϕ est injectif ⇐⇒ Ker(ϕ) = {1G }.
Soient maintenant h0 et g 0 ∈ G0 , il existe h, g ∈ G, tels que h0 = ϕ(h) et g 0 = ϕ(g). Les produits dans G0 et G, donnent h0 g 0 = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(hg) etϕ−1 (h0 g 0 ) = hg = ϕ−1 (h0 )ϕ−1 (g 0 ).
L’application réciproque ϕ−1 est bien un morphisme de groupes. u
Théorème 1.1.7 Tout groupe fini G est isomorphe à un sous-groupe du groupe des
permutations S(G) de G.
Preuve : Soit g ∈ G. Considérons γg ∈ S(G) définie par γg : x → gx. L’application
γ : G → (S(G), ◦) définie par γ : g →
γg est un morphisme injective. Comme γ est
surjectif alors γ ∈ S(G). u
Ainsi, tout groupe fini à n éléments peut être réalisé comme un sous-groupe du groupe
symétrique Sn . L’étude des propriétés des groupes symétriques détermine ainsi celles des
groupes finis à l’aide du théorème de représentation de Cayley.
1.1.4
Groupe quotient et théorèmes d’isomorphisme
Soient G un groupe et H sous-groupe distingué de G. La relation R définie sur G par
aRb ⇐⇒ a−1 b ∈ H,
a, b ∈ G,
est une relation d’équivalence. La classe d’équivalence de x sera notée x̄ et l’ensemble des
classes d’équivalences de G modulo R sera noté G/H.
12
Proposition 1.1.8 L’ensemble G/H est un groupe pour la loi interne définie par
(x̄, ȳ) → xy = x̄ȳ.
Preuve. On vérifie aisément que cette loi interne ne dépend pas du représentant x
de la classe d’équivalence x̄. u
La projection canonique
πH : G → G/H,
qui à x ∈ G associe sa classe x̄ = xH d’équivalence dans G/H, est surjective. Son noyau
et son image sont respectivement
Ker πH = H et Im πH = G/H.
+ Exemple 1.1.19 24 Soient G = S3 = {σ0 , σ, σ 2 , τ, στ, σ 2 τ } et H = {σ0 , τ } le sousgroupe de G engendré par τ , où
σ=
!
1 2 3
2 3 1
et τ =
!
1 2 3
2 1 3
.
Les classes à gauche de G suivant H sont données par
H = {σ0 , τ },
σH = {σ, στ } et σ 2 H = {σ 2 , σ 2 τ }.
Par contre, les classes à droite sont données par
H = {σ0 , τ },
Hσ = {σ, σ 2 τ } et Hσ 2 = {σ 2 , στ }.
Par ailleurs, les classes à droites sont différentes des classes à gauche, donc H n’est pas
un sous-groupe distingué de G. u
13
Théorème 1.1.9 (Décomposition de morphismes). Tout morphisme ϕ d’un
groupe G dans un groupe G0 se factorise pour donner le diagramme commutatif suivant
ϕ
G
/
0
G
O
j
ξ
G/Kerϕ
ϕ̄
/
Imϕ
où ξ : G → G/Ker ϕ est la surjection canonique, ϕ̄ : G/Ker ϕ → Im ϕ est un
isomorphisme de groupes et l’application j : Im ϕ → G0 est une injection.
Preuve : Les équivalences suivantes
ϕ(x) = ϕ(y) ⇐⇒ ϕ(xy −1 ) = 1G0
⇐⇒ xy −1 ∈ Ker ϕ,
montrent que tous les éléments de la classe x̄ ∈ G/Ker ϕ ont la même image ϕ(x). On
définie alors l’application ϕ̄ par ϕ̄(x̄) = ϕ(x). C’est un morphisme de groupes, car
ϕ̄(x̄ȳ) = ϕ̄(xy) = ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = ϕ̄(x̄)ϕ̄(ȳ).
L’application ϕ̄ est evidemment injective, puisque Ker ϕ̄ = Ker ϕ = {0̄}.u
+ Exemple 1.1.20 (Projection canonique). Si H est un sous-groupe distingué d’un
groupe G, la projection canonique πH : G → G/H qui à x fait correspondre sa classe
d’équivalence x̄ = xH est un morphisme surjectif de groupes de noyau H. u
+ Exemple 1.1.21 (Tore de dimension 1). Soit S1 le cercle unité qui s’identifie
au groupe U des nombres complexes de module 1. L’application ϕ : R → S1 , tel que
ϕ(x) = e2iπx , est un épimorphisme de noyau Z car, pour que ϕ(x) = 1 il faut et il suffit
que x ∈ Z. Donc :
S1 ' R/Z. u
+ Exemple 1.1.22 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n (K corps commutatif ). L’application ϕ : u → detK (u) est un morphisme de groupe linéaire GLK (E) sur
14
le groupe multiplicatif K∗ . Le noyau de ϕ (autrement dit le groupe des automorphismes de
E, de déterminant 1) est un sous-groupe distingué de GLK (E) appelé groupe unimodulaire
et noté SLK (E). Si E = Kn , on notera SLK (E) par SLn (K). La décomposition de ϕ nous
donne l’isomorphisme de groupes
GLn (K)/SLn (K) ' K∗ . u
+ Exemple 1.1.23 (Automorphisme intérieure). Soient a ∈ G et ϕa l’automorphisme
intérieur de G défini par ϕa (x) = axa−1 . Le noyau de ϕa est le centre C(G) de G. La
décomposition de l’application a → ϕa , qui est surjective, de G dans le groupe des automorphismes intérieurs (Int, ◦) nous donne l’isomorphisme de groupes
Int(G) ' G/C(G). u
1.2
Anneaux, sous-anneaux et morphismes
La structure d’anneau a été introduite par Dedekind (1831-1916) dont les travaux fondamentaux sur les nombres irrationnels datent de 1872. La structure de corps a été
découverte dans le cadre des recherches sur la théorie des nombres, à l’origine desquels se
trouvent Gauss (1777-1855) et Kummer (1810-1893).
1.2.1
Structure d’anneaux
Les anneaux sont des structures mathématiques munies de deux lois internes. La théorie
des groupes nous aidera à dégager certaines informations sur la nature réelle des anneaux
et leurs propriétés.
Définition 1.2.1 Soit A un ensemble muni de deux lois de composition internes + et
une loi notée multiplicativement. On dit que (A, +, .) est un anneau si
¬
(A, +) est un groupe abélien

La loi . est associative et distributive par rapport à l’addition.
Si de plus, la loi multiplicative est commutative (resp. admet un élément neutre), on dit
que l’anneau A est commutatif (resp. unitaire).
15
+ Exemple 1.2.1 Les ensembles Z, Q et R munis de l’addition et de la multiplication
sont des anneaux commutatifs unitaires. L’ensemble des fonctions réelles définies sur un
ensemble E, noté F(E, R), est un anneau, pour l’addition et la multiplication de fonctions,
lorsque E admet plus de deux éléments. u
+ Exemple 1.2.2 (Anneau des entiers de Gauss). Gauss a étudier en détail la
structure de l’anneau des nombres de la forme α+βi avec α, β ∈ Z et i =
√
−1. Cet anneau
est appelé “l’anneau des entiers de Gauss” et noté Z[i]. L’addition et la multiplication
dans Z[i] sont données par

(α + βi) + (α0 + β 0 i) = (α + α0 ) + (β + β 0 )i
(α + βi).(α0 + β 0 i) = (αα0 − ββ 0 ) + (αβ 0 + βα0 )i. J
Théorème 1.2.1 Dans un anneau commutatif (A, +, .), on a la formule du binôme
de Newton
(x + a)n =
n
P
Cnk xk an−k ,
∀n ∈ N, x, a ∈ A.
k=0
Preuve. Développons pour ai ∈ A, i = 1, · · · , n, le produit suivant
!
!
n
Y
X
X
P (x) =
(x + ai ) = xn +
ai xn−1 +
ai aj xn−2 + · · · + a1 a2 · · · an .
i=1
Les cœfficients
i
P
i6=j
ai aj de xn−2 désignent la somme de tous les produits de 2 éléments pris
i,j
parmi les n éléments, leur nombre est alors Cn2 . De même, le cœfficient de xn−p est la
somme de tous les produits de p éléments pris parmi les n éléments ai , donc égal à Cnp . Si
a1 = a2 = · · · = an = a. On obtient la formule du Binôme encadrée ci-dessus. u
Proposition 1.2.2 Un élément x d’un anneau unitaire commutatif est dit nilpotent,
s’ il existe un entier relatif n tel que xn = 0. Dans ce cas, 1 − x est inversible.
Preuve : Comme x est nilpotent et vérifie xn = 1 pour un certain entier n, l’inverse de
1 − x est donné directement par la formule
(1 − x)−1 = xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1.
16
Proposition 1.2.3 Un anneau A est dit idempotent si
A2 = A ⇐⇒ ∀x ∈ A, x2 = x.
Tout anneau idempotent A est un anneau commutatif.
Preuve : . En développant (x + x)2 = x + x on trouve que x + x = 0 d’où x = −x.
En développant l’expression du carré de x + y, il vient que (x + y)2 = x + y soit que
xy = −yx = yx. u
L’ensemble U(A) des éléments inversibles d’un anneau A, muni de la multiplication induite, est un groupe. En effet, 1 ∈ U(A) et pour tous x, y ∈ U(A), on a x ∈ U(A) si et
Å
seulement, si x−1 ∈ U(A) et (xy)−1 = y −1 x−1 si et seulement, si xy ∈ U(A).
+ Exemple 1.2.3 L’ensemble des éléments inversibles de Z est
U(Z) = {−1, 1}.
Par contre, l’ensemble des éléments inversibles de l’anneau Zn = Z/nZ des entiers modulo
n est
U(Zn ) = {x̄ : 0 ≤ x ≤ n − 1, x premier avec n}.
.
En effet, x est premier avec n si et seulement, s’il existe deux entiers p et q tels que
px + qn = 1 ce qui donne p̄x̄ + q̄n̄ = 1̄ or n̄ = 0̄ alors p̄x̄ = 1̄ donc x̄ admet p̄ comme
inverse. u
1.3
Strucute de sous-anneaux
Définition 1.3.1 Une partie A0 de l’anneau (A, +, .) est dite
0
sous-anneau de A, si
0
∀(a, b) ∈ A × A , on a
a − b ∈ A0 , ab ∈ A0
et
0A ∈ A0 .
c’est à dire que A0 est stable pour la multiplication et l’addition.
+ Exemple 1.3.1 L’ensemble nZ des multiples de l’entier naturel n ≥ 2 est un sousanneau de (Z, +, ×). L’ensemble Z[i] des entiers de Gauss est un sous-anneau unitaire
de C. L’ensemble C(R, R) des fonctions continues de R dans R est un sous-anneau de
l’ensemble calF (R, R) de toutes les applications de R dans R. u
17
+ Exemple 1.3.2 (Anneau des polynômes). Soit A un anneau commutatif et unitaire. On considère l’ensemble S des suites (αn ), avec αn ∈ A, muni des opérations

(α ) + (β ) = (α + β )
X
n
n
n
n
où
γn =
αi βn−i .
(α ).(β ) = (γ )
n
n
i
n
C’est un anneau commutatif et unitaire. L’ensemble des suites (α, 0, · · · ) est un sousanneau de S, qu’on peut identifier à A. Les suites (αn ) nulles à partir d’un certain rang
forment un sous-anneau P de S. Si l’on pose
X = (0, 1, 0, · · · )
et
X i+1 = X i .X,
il en résulte que toute suite (αn ) ∈ P s’écrit sous la forme (αn ) =
P
n
αn X n . L’anneau P
s’appelle anneau des polynômes à cœfficients dans A et se note P = A[X]. u
Définition 1.3.2 L’anneau (A, +, .) est dit intègre s’il est différent de {0}, commutatif
et sans diviseur de 0 c’est à dire, pour tout (a, b) ∈ A × A, on a
ab = 0 =⇒ a = 0 ou b = 0.
+ Exemple 1.3.3 Les anneaux Z, R, Q sont intègres pour les lois + et ×. u
+ Exemple 1.3.4 Soient β = (a, b) et β 0 = (a0 , b0 ) ∈ Z2 . L’ensemble Z × Z, muni des
lois internes

β + β 0 = (a + a0 , b + b0 )
β.β 0 = (aa0 , 0).
est un anneau commutatif. Si α.β = (0, 0) alors aa0 = 0 dans Z. Comme Z est un anneau
intègre, on aura a = 0 ou a0 = 0. L’ensemble des diviseurs de zéro dans Z × Z est
D[(0, 0)] = {(0, β) : β ∈ Z} =
6 {(0, 0)}.
Donc Z × Z muni de ces deux lois n’est pas intègre. u
+ Exemple 1.3.5 L’anneau (F(R, R), +, .) n’est pas intègre. Pour le voir, considérons
deux fonctions
ϕ(x) =

x
si x ≥ 0
0
si x ≤ 0
et f (x) =

0
si x ≥ 0
x si x ≤ 0.
On a ϕ(x)f (x) = 0, ∀x ∈ R. Donc ϕf = 0 et pourtant f 6= 0 et ϕ 6= 0. u
18
+ Exemple 1.3.6 11 Tout anneau A qui admet des éléments nilpotents n’est pas intègre,
car si a ∈ A est nilpotent et non nul, il existe un certain n ∈ N, tel que
an = ai .an−i = 0, 1 ≤ i ≤ n − 1.
Comme on peut le voir, tous les ai sont bien des diviseurs non nuls de zéro dans A. u
Proposition 1.3.1 L’anneau A[X] des polynômes à cœfficients dans A est intègre si
l’anneau A est intègre.
Preuve. Soient P =
P
αn X n , Q =
P
βn X n des polynômes de A[X] et µ (resp. ν) le
petit entier tel que αn 6= 0 (resp. βn 6= 0). On a
P Q = αµ βν X µ+ν + (αµ+1 βν + αµ βν+1 )X µ+ν+1 + · · · .
Si A est un anneau intègre αµ βν 6= 0 et donc P Q 6= 0 ce qui donne le résultat. u
1.3.1
Morphismes d’anneaux
Définition 1.3.3 Soient A, B deux anneaux unitaires munis chacuns de deux lois notées
+ et × et ϕ une application de A sur B. On dit que ϕ est un morphisme d’anneaux si
pour tout (x, y) ∈ A2 on a
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) et
ϕ(1A ) = 1B .
Le noyau Ker ϕ et l’image Im ϕ du morphisme ϕ, sont définis par
Ker ϕ = {x ∈ A : ϕ(x) = 1B }
Im ϕ = {y ∈ B : ∃x ∈ A et y = ϕ(x)}.
Sous les hypothèses de cette définition, on vérifie facilement que le noyau Ker ϕ (resp.
l’image ϕ(A)) est un sous-anneau de A (resp. B).
Proposition 1.3.2 Le noyau du morphisme d’anneaux ϕ : A → B est un sous-anneau
de A. De même, l’image de ϕ est un sous-anneau de B.
Preuve : Puisque Ker ϕ est un sous-groupe de A, il suffit de montrer que Ker ϕ est
stable pour la multiplication. Soient a, b ∈ Ker ϕ, alors ϕ(a) = ϕ(b) = 1B . Donc :
ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = 1B
=⇒ ab ∈ Ker ϕ.
On fait les mêmes vérifications pour l’image de ϕ. u
19
+ Exemple 1.3.7 L’application πn : Z → Zn = Z/nZ, qui à chaque entier associe sa
classe résiduelle modulo n, est un morphisme surjectif d’anneaux. Son noyau, ainsi que
son image, sont Ker πn = nZ et Im πn = Zn . u
√
+ Exemple 1.3.8 Soit l’application ϕ : Q[X] → R définie par ϕ(f (X)) = f ( 2). Donc
:
ϕ(1) = 1, ϕ(X) =
√
√
2, · · · , ϕ(X n ) = ( 2)n .
Soit f (X) = α0 + α1 X + · · · + αn X n ∈ Q[X], alors
√
√
√
ϕ(f (X)) = α0 + α1 2 + α2 ( 2)2 + · · · + αn ( 2)n
√
= (α0 + 2α2 + · · · ) + 2(α1 + 2α3 + · · · )
√
√
= a + b 2 ∈ Q( 2).
√
Ainsi, l’image Imϕ ⊂ Q( 2) de ϕ est un sous-anneau de R[X]. Comme ϕ(a + bX) =
√
√
√
√
a + b 2 alors Imϕ = Q( 2). Soit f (X) ∈ Ker ϕ, donc f ( 2) = 0 et f (− 2) = 0. Ce
√
√
qui équivaut à f (X) = (X − 2)(X + 2).h(X) = (X 2 − 2).h(X). Le noyau de ϕ est
Ker ϕ = {(X 2 − 2).h(X) : h(X) ∈ Q[X]}. u
+ Exemple 1.3.9 Il ne peut exister de morphismes d’anneaux entre Z3 et Z4 . Car si
ϕ : Z3 → Z4 est un morphisme d’anneaux on aura ϕ(3Z + 1) = 4Z + 1. Donc :
ϕ(0̄) = ϕ(3Z + 3) = 4Z + 3 6= 0̄
qui est non nul. D’où la contradiction, car on devrait avoir ϕ(0̄) = 0̄. u
Définition 1.3.4 L’application ϕ est un isomorphisme d’anneaux entre A et B si ϕ est
un morphisme d’anneaux tel que
Ker ϕ = {0A } et Im ϕ = B. u
+ Exemple 1.3.10 L’application ϕ : Z → (End Z, +, ◦) définie par ϕ : n → ϕn avec
ϕn (x) = nx est un isomorphisme d’anneaux. u
+ Exemple 1.3.11 L’application Ψ : X → IX qui à tout X ⊂ E associe sa fonction caractéristique IX , est un isomorphisme de l’anneau (P(E), ∆, ∩) dans l’anneau
[F(E, Z2 ), +, .]. u
20
+ Exemple 1.3.12 Notons par Zn l’anneau des entiers relatifs modulo n muni de l’addition
et de la multiplication. Si l’on désigne par nα la classe résiduelle de n modulo α, on définit
une application ϕ de Z6 dans Z2 ×Z3 par ϕ(n6 ) = (n2 , n3 ). L’application ϕ est bien définie
de plus elle est injective car si n2 = n02 et n3 = n03 , 2 et 3 divisent n − n0 donc 6 divise
n − n0 d’où n6 = n06 . De plus ϕ est une surjection car l’espace de départ et d’arrivée ont
le même nombre d’éléments. Enfin, ϕ est un morphisme d’anneaux donc :
Z6 ' Z2 × Z3 . u
1.3.2
Idéaux et anneaux quotients
Définition 3.2.1. Une partie J non vide de l’anneau (A, +, .) est dite un idéal bilatère
(ou idéal simplement) de A si et seulement si
¬ J est un sous-groupe de (A, +)
Pour x ∈ J et a ∈ A on a
x.a ∈ J et a.x ∈ J.
L’idéal J est dit idéal propre de l’anneau A s’il est différent de A et de {0 }.
Å
1
∈ R et 3 ∈ Z
5
3
alors que ∈
/ Z. Tout sous-groupe de Z est de la forme nZ, n ∈ Z. Par conséquent, tout
5
idéal de Z est de cette forme et inversement.u
+ Exemple 1.3.13 L’ensemble Z n’est pas un idéal de (R, +, ×) car
+ Exemple 1.3.14 Soit J un idéal de l’anneaux A. L’ensemble noté
√
J = {x ∈ A : xp ∈ J pour un certain p }
est un idéal de A appelé radical de J. u
Il est facile de vérifier que :
• L’intersection des idéaux de A est un idéal de A
• Si X est une partie non vide de l’anneau A, l’intersection des idéaux de A qui contiennent X est le plus petit des idéaux qui contiennent X, c’est l’idéal engendré par X,
qu’on notera (X).
• L’image directe d’un idéal par un morphisme d’anneaux surjectif est un idéal.
• Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal.
21
1.3.3
Anneau principal
Définition 1.3.5 L’idéal J de l’anneau A est dit principal s’il existe x ∈ A tel que
J = xA = Ax = (x).
L’anneau A est dit anneau principal si tout idéal de A est principal.
En supposant que l’anneau A est commutatif et unitaire, l’idéal engendré par le singleton
{a} est l’idéal principal (a) = aA constitué par des multiples de a. Soient a et b ∈ A.
L’idéal (a, b) engendré par a et b est l’ensemble des éléments x ∈ A qui s’écrivent
x = au + bv,
u, v ∈ A.
Si d divise à la fois a et b, on a
(a, b) ⊂ (d).
On appelle p.g.c.d. des éléments x1 , x2 , · · · , xn de A, l’élément d ∈ A tel que
(d) = (x1 , · · · , xn ) ⇐⇒ ∃u1 , · · · , un ∈ A tels que d = u1 x1 + · · · + un xn .
L’idéal (a) ∩ (b) est constitué des multiples communs à a et b, et contient l’idéal engendré
par a et b
(a, b) ⊂ (a) ∩ (b).
On appelle p.p.c.m. des éléments x1 , x2 , · · · , xn de A, l’élément m ∈ A, tel que
(m) = ∩ni=1 (xi ) ⇐⇒ (xi |h ∈ A, ∀i = 1, · · · , n =⇒ m|h).
+ Exemple 1.3.15 L’ensemble nZ est un idéal principal de l’anneau Z engendré par
l’entier n. Soient p et q deux entiers et m leur multiple commun, alors
pZ ∩ qZ = mZ.
Par exemple
2Z ∩ 3Z = 6Z.
Si d est le diviseur commun de p et q, il existe alors u1 et u2 ∈ Z tels que l’on ait l’identité
de Bezout
u1 p + u2 q = d ⇐⇒ (p, q) = (d). u
22
1.3.4
Anneau quotient
Si (A, +, .) est un anneau commutatif et J un idéal de A. La relation définie par
x R y ⇐⇒ x − y ∈ J
est une relation d’équivalence sur A, compatible avec les deux lois définies sur A.
˙ et vérifient, ∀(x̄, ȳ) ∈ (A/R)2 , les
On définit deux lois internes sur A/R notées +̇ et ×
égalités
˙ = xy.
x×y
x+̇y = x + y,
˙ est associative et
Comme (A/R, +̇) est un groupe, on vérifie facilement que la loi ×
˙
distributive par rapport à l’addition +̇. On obtient ainsi, un anneau quotient (A/R, +̇, ×)
commutatif, qu’on notera simplement par A/J.
Théorème 1.3.3 Soit ϕ un morphisme d’un anneau A dans un anneau B. Pour tout
x̄ ∈ A/Ker ϕ, on définit une application ϕ̄ par
ϕ(x̄) = ϕ(x).
L’application ϕ̄ est un isomorphisme d’anneaux
ϕ : Imϕ ' A/Ker ϕ,
telle que le diagramme suivant soit commutatif
A
ϕ
π
/
B
O
i
A/Kerϕ
ϕ̄
/
Imϕ
où π est un morphisme d’anneaux surjectif qui a un élément x ∈ A associe sa classe
d’équivalence π(x) = x̄ dans A/Ker ϕ.
Preuve : La démonstration est identique à celle sur la décomposition de morphismes de
groupes sous-jacents. D’ailleurs, on a
ϕ(x̄ȳ) = ϕ(xy) = ϕ(x).ϕ(y) = ϕ(x̄).ϕ(ȳ).
23
La relation d’équivalence xRy ⇐⇒ x − y ∈ Ker ϕ est ainsi compatible avec la multiplication. u
Remarque. Soient A un anneau, J un idéal de A et π : A → A/J la projection canonique
qui à x ∈ A associe sa classe d’équivalence π(x) = xJ :
¬
Si I est un idéal de A/J, alors π −1 (I) est un idéal de A contenant J.

L’application I → π −1 (I) établit une bijection entre l’ensemble des idéaux de A/J et
l’ensemble des idéaux qui contiennent J.
+ Exemple 1.3.16 La formation des classes modulo n est compatible avec les deux lois
˙ est un anneau commutatif ayant n éléments. u
de l’anneau Z, alors (Z/nZ, +̇, ×)
+ Exemple 1.3.17 Notons par J l’idéal engendré par le polynôme P (X) = X 2 + X + 1.
Posons A = Z2 [X] l’anneau des polynômes à une indéterminée et à cœfficients dans Z2 .
L’anneau quotient des classes d’équivalence suivant l’idéal J est
A/J = {P + a0 + a1 X, a0 , a1 ∈ Z2 }
= {P, P + 1, P + X, P + X + 1}. u
+ Exemple 1.3.18 Soit ϕ : R[X] → C l’application définie par ϕ(f (X)) = f (i) avec
i=
√
−1. Le noyau de ϕ est engendré par le polynôme X 2 + 1, donc Ker ϕ = (X 2 + 1).
Pour tout α + iβ ∈ C, on définit un polynôme α + βX ∈ R[X] tel que ϕ(α + βX) = α + iβ.
Donc ϕ est un morphisme surjectif d’anneaux, et l’on a l’isomorphisme
R[X]/(X 2 + 1) ' C. u
√
+ Exemple 1.3.19 Soit ϕ : Q[X] → R définie par ϕ(f (X)) = f ( 2). On sait d’après
l’exemple précédent que le noyau de ϕ est l’idéal engendré par le polynôme X 2 − 2, à
√
√
savoir Ker ϕ = (X 2 − 2) et que son image est Im(ϕ) = Q( 2) = {a + b 2 : a, b ∈ Q}.
Donc :
√
Q[X]/(X 2 − 2) ' Q( 2). u
Définition 1.3.6 Un idéal J d’un anneau A est dit idéal premier si J 6= A et si l’on a
l’équivalence
xy ∈ J et x ∈
/J
24
⇐⇒
y ∈ J.
Théorème 1.3.4 Soit J un idéal d’un anneau commutatif A. Alors J est premier si
et seulement si l’anneau quotient A/J est un anneau intègre.
Preuve : Soit π le morphisme surjectif d’anneaux A → A/J. L’anneau A/J est intègre
si, pour tout x, y ∈ A, on a
π(xy) = π(x)π(y) = π(0) et π(x) 6= π(0)
=⇒
π(y) = π(0).
Ceci est équivalent à xy ∈ J et x ∈
/ J donc y ∈ J. u
1.4
Caractéristique d’un anneau
Soient A un anneau et a ∈ A∗ = A\{0}. L’application ϕa : Z → A définie par ϕa (n) = na
admet pour image le sous-groupe de A engendré par a. Suivant que ϕa est injectif ou non,
deux cas se présentent :
¬
Ker ϕa = {0} : ϕa est injectif et Z s’injecte dans A, donc A est infini, il n’existe
aucun entier n 6= 0 tel que na = 0. On dit que A est un anneau de caractéristique
infinie.
Un anneau est de caractéristique infini s’il conntient une copie de Z.

Ker ϕa 6= {0} : ϕa n’est pas injectif, Il existe alors q ∈ Z tel que Ker ϕa = qZ. Le
nombre q est le plus petit entier positif de Ker ϕa . Donc :
qa = 0 et na 6= 0 pour 0 ≤ q < n.
On dit dans ce cas que a est d’indice q et on note i(x) = q.
Notons par I l’ensemble des indices des éléments de A∗ :
I = {i(x) ∈ Z : x ∈ A∗ } ⊂ Z.
Deux cas se présentent :
• I est fini. Soit p le p.p.c.m. des éléments de I. Alors px = 0 pour tout x ∈ A∗ et
si nx = 0 alors p divise n. le nombre p est dit caractéristique finie de l’anneau
A.
• I n’est pas majoré. Le seul entier p ayant la propriété pa = 0 est p = 0. On dit
que la caractéristique de A est 0.
25
+ Exemple 1.4.1 (Caractéristique de l’anneau (Zn , +, .).
˙ on a i(8̄) = 2 et i(4̄) = 4. La caractéristique de
• Dans l’anneau (Z16 , +̇, ×),
Z12 est 12. En général, la caractéristique de Zn est n. Par contre Z a pour
caractéristique 0. u
Proposition 1.4.1 Soit A un anneau commutatif de caractéristique un nombre premier p. Pour tout (x, y) ∈ A2 , on a
(x + y)p = xp + y p .
Preuve : De la formule du Binôme, on en déduit que
p
p
p
(x + y) − x − y =
p−1
X
Cpk xk y p−k .
k=1
L’entier Cpk est divisible par p car k!Cpk = p(p − 1) · · · (p − k − 1). Les entiers
1, 2, · · · , k sont inférieurs strictement à p, donc premier avec p. Le produit k! de ces
entiers est aussi premier avec p, donc p divise Cpk . u
Lorsque l’anneau A est de caractéristique un nombre premier p. L’application de
A dans A définie par ϕp : x → xp est un morphisme d’anneaux, un morphisme de
Frobenuis. u
+ Exemple 1.4.2 (Théorème de Fermat). L’anneau Zp a pour caractéristique
p. L’application ϕ : x → xp de Zp dans lui même, est un morphisme de Frobenius.
Son noyau Ker ϕ, qui est un sous-anneau de Zp , est {0̄}. L’image n’étant pas réduite
à {0̄} car ϕ(1̄) = 1̄ donc ϕ est un automorphisme. D’autre part, tout α ∈ Zp peut
s’écrire sous la forme
α = h.1̄,
h ∈ {0, 1, · · · , p}.
Soit ϕ1 ∈ Aut(Zp ), alors
ϕ1 (α) = ϕ1 (h.1̄) = h.ϕ1 (1̄) = h.1̄ = α.
Donc, tout automorphisme de Zp est réduit à l’identité. On obtient ainsi, le théorème
de Fermat
Pour tout α ∈ Zp on a αp−1 = 1̄.
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1.5
Corps et extension
Une différence importante entre les divers anneaux est la notion d’éléments inversibles pour la multiplication. Par exemple, dans l’anneau des nombres rationnels
Q, chaque élément non nul α 6= 0 admet un inverse 1/α. Cette même propriété est
vraie pour les ensembles R, C et Zp pour p premier. Par contre, dans l’anneau Z,
l’entier 5 n’admet pas d’inverse pour la multiplication.
1.5.1
Corps et sous-corps
Définition 1.5.1 On appelle corps tout anneau (K, +, ×), K 6= {0}, tel que chaque
élément non nul admet un inverse pour la deuxième loi, ce qui équivaut à
¬
(K, +) et (K∗ , ×) sont des groupes
¬
La première loi est distributive par rapport à la deuxième loi.
Donc :
Un corps est un anneau dont tous éléments non nuls sont inversibles.
Si de plus la deuxième loi est commutative, le corps (K, +, ×) est dit corps commutatif.
+ Exemple 1.5.1 L’ensemble (R, +, ×) est un corps commutatif. On sait déjà
que (Z3 , +, ×) est un anneau commutatif unitaire d’élément neutre 0̄ pour l’addition
et 1̄ pour la multiplication. Or 1̄× 1̄ = 1̄ et 2̄× 2̄ = 1̄, Chaque élément de Z3 différent
de 0̄ admet un inverse, donc c’est un corps. u
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