DS 2 Seconde Correction

Nom Prénom
Devoir surveillé n°2
Seconde
Exercice 1
La fonction f est représentée par la courbe Cf cici
contre.
1°) Quel est le domaine de définition de f ?
Domaine de définition de f : [-4 ;4]
2°) Quelle est l’image par f de 2 ? de –4
4?
On a f(2)=3 et f(-4)=1
4)=1 par lecture graphique
3°) Donner les antécédents par f de 0.
Il y a 3 antécédent par f de 0 : -2 ;-0,25 ; 3,5
4°) Construire le tableau de variation de f.
x
-4
-1,5
1,5
2
f(x)
1
3
-2,5
2,5
4
-1
5°) Résoudre graphiquement l’équation f(x)=–1
L’équation f(x) = -1
1 possède trois solutions car -1 a 3
antécédents par f : il s’agit de -2,5 ; -0,75
0,75 et 4
6°) Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) ⩽1
On trace la droite d’équation y=1 et les solutions de
f(x) ⩽1
1 sont les abscisses des points de la courbe de f
situés en dessous de la droite tracée. L’ensemble des
solutions est donc [-4 ;0,25]U[3 ;4]
Exercice 2
On considère une fonction f qui admet le tableau de variations suivant :
x
0
2
3
6
f(x) –2
2
0
–5
10
0
1°) Quel est l'ensemble de définition de f ?
L'ensemble de définition de f est [0 ;10]
2°) Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est-elle décroissante ?
La fonction f est décroissante sur [0 ;2] et sur [6 ;10]
3°) Quel sont le maximum et le minimum de f sur son domaine de définition ?
Le maximum de f est atteint pour x=6 et vaut f(6)=2
4°) Tracer une courbe représentative de f qui respecte les informations du tableau.
La courbe tracée doit respecter les valeurs données dans le tableau ainsi que les variations de f.
5°) Comparer, en justifiant, f (6,5) et f (8).
f est décroissante sur [6 ;10] et comme 6,5<8 alors f(6,5)>f(8)
6°) Comparer, en justifiant, l’image de 1 et celle de 7,2.
7,2
1∈[0 ;2] où f est négative sur cet intervalle
7,2∈[6 ;10] où f est positive sur cet intervalle
On en déduit donc que f(7,2)>f(1)
7°) Donner un encadrement de f(x) sur [0 ; 2]. Justifier.
x∈[0 ;2] où f est décroissante donc f(x)<f(0)
)<f(0) et f(x)>f(2)
Donc : -5<f(x)<-2 lorsque x∈[0 ;2]
8°) Quels sont les nombres dont les images par f sont positives ? Justifier.
Les nombres de l’intervalle [3 ;10] ont leurs images positives.
Si x∈[3 ;6] f(x)>f(3) car f croissante donc f(x)>0 et si x ∈[6 ;10] f(x)>f(10) car f décroissante donc f(x)>0.
Sur l’intervalle [0 ;3] la fonction est négative.
Exercice 3
Soit ABCD un parallélogramme quelconque.
JJJJJJK
1°) Construire le point E tel que JJJJJK
HI = LM
Voir figure
JJJJJK = ML
JJJJJJK
2°) Construire le point F tel que PQ
Voir figure
3°) Démontrer que D est le milieu des segments [AF] et [CE]
JJJJJK = LM
JJJJJJK = JJJJJK
QP
HI donc JJJJJK
QP = JJJJJK
HI ce qui montre que CFEA est un parallélogramme.
Les diagonales de CFEA se coupent en leurs milieux donc [AF] et [CE] ont même milieu.
JJJJJK = LQ
JJJJJK = MP
JJJJJK car ABCD et BCFD sont des parallèlogrammes
D’autre part HM
Donc D est le milieu de [AF] et donc aussi de [CE]
JJJJJK + LQ
JJJJJK
JJJJJJK et HM
4°) Construire des représentants de JJJJJK
HQ + LM
JJJJJK + LM
JJJJJK et de même HM
JJJJJK + LQ
JJJJJK =HP
JJJJJK (on le voit sur le dessin mais ce n’est pas
JJJJJJK = HP
On trace par exemple HQ
prouvé)
JJJJJK + LQ
JJJJJK
JJJJJJK = HM
5°) Démontrer que JJJJJK
HQ + LM
JJJJJK + MQ
JJJJJK + LQ
JJJJJK + QM
JJJJJK =HM
JJJJJK + LQ
JJJJJK
JJJJJJK = HM
La relation de Chasles permet d’écrire : JJJJJK
HQ + LM
JJJJJK = LQ
JJJJJK
6°) Démontrer que JJJJJJK
LM − LH
JJJJJK = HL
JJJJJK on toujours par la relation de Chasles LM
JJJJJK = LM
JJJJJK = HM
JJJJJK
JJJJJJK − LH
JJJJJJK + HL
En remarquant que −LH
JJJJJK = LQ
JJJJJK
Et comme ABCD est un parallélogramme HM